灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用

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灰色系统理论GM(1,1)预测模型的应用

来进行预测和解析，而灰色系统理论则可以弥补传统结构法建立模型的不足．本文研究了灰色系统理在人均年收入预测中的应用，作为应用实例，对云南省德宏州农民人均年纯收入建立了ＧＭ
（１，１）模型，并进行了残差修正．根据检验结果可知，所建立的残差修正ＧＭ（１，１）模型对农民人均年纯收入的短期动态变化趋势有良好的预测效果．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒａｉｓｉｎｇａｗａｒｄｓｔａｎｄａｒｄｏｆｔｈｅｆａｍｉｌｙｐｌａｎｎｉｎｇｏｆ” ＦｅｗｅｒＣｈｉｌｄｒｅｎＥｑｕａｌｓＦａｓｔｅｒＰｒｏｓｐｅｒｉｔｙ ”ｉｓｔｈｅｋｅｙｔｏｉｔｓａｔｔｒａｃｔｉｏｎａｎｄｔｉｍｅｌｉｎｅｓｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓｈｏｕｌｄｎｏｔｏｎｌｙｍａｔｃｈｔｈｅｎａｔｉｏｎａｌｉｓｆｃａｌｔｏｌｅｒａｎｃｅ，ｂｕｔａｌｓｏｓｔｉｍｕｌａｔｅｓｔｈｅｔｉｍｅｌｉｎｅｓｓａｎｄａｔｔｒａｃｔｉｏｎ．ＡｍｏｄｅｌｉＳｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｗｉｔｈｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｌｏｓｅａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅａｗａｒｄｓｔａｎｄａｒｄａｎｄｔｈｅｐｅｒｃａｐｉｔａｎｅｔａｎｎｕａｌｉｎｃｏｍｅｏｆｆａｒｍｅｒｓ．Ｔｈｅｐｅｒｃａｐｉｔａｎｅｔａｎｎｕａｌｉｎｃｏｍｅｏｆｆａｒｍｅｒｓｉｓａｆｆｅｃｔｅｄｂｙｍａｎｙｆａｃｔｏｒｓ，ｗｈｏｓｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｒｅｐａｒｔｌｙｋｎｏｗｎａｎｄｐａｔｌｒｙｕｎｋｎｏｗｎ，ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｏｔｅｆｎｕｎａｂｌｅｔｏａｎａｌｙｚｅａｎｄｐｒｅｄｉｃｔｉｔ．ＴｈｅＧｒａｙｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙ，ｈｏｗｅｖ－ｅｒ，ｃａｎｍａｋｅｕｐｔｈｅｄｅｉｃｆｉｅｎｃｉｅｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒｅｙｓｙｓｔｅｍｔｏｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｏｆａｎｎｕａｌ

基于灰色残差GM(1,1)模型的中国铁路货运量预测

基于灰色残差GM（1，1）模型的中国铁路货运量预测作者：曹飞来源：《北方经贸》2012年第07期摘要：铁路货运量预测作为铁路运输生产的基础工作之一，是铁路运输企业制定正确市场营销战略的前提条件。

为提高我国铁路货运量的预测精度，适应铁路持续、迅速、健康发展的需要，在传统灰色预测技术的基础上，本文建立了残差灰色预测模型，并通过实例分析验证了该模型的实用性和精确性。

关键词：中国铁路；货运量；灰色残差GM（1，1）模型中图分类号：F503 文献标识码：A文章编号：1005-913X（2012）07-0107-01一、导言铁路货运作为现代交通运输体系中的骨干，承担了全社会45%的货物周转量，为国民经济持续续快速发展提供了重要保障，对经济可持续增长有密切影响。

铁路货运量预测是铁路运输项目建设的重要环节，科学准确的运输需求预测是铁路持续、迅速、健康发展的有效保障，是铁路各级决策部门制定发展战略和规划的重要依据。

在市场经济条件下，对不断变化的铁路运输需求进行迅捷、灵敏地预测，显得尤为迫切与重要。

[1]灰色系统是指介于白色系统和黑色系统之间的数据系统。

其研究的对象是部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信息和不确定系统。

灰色系统预测方法具有预测精度高，所需原始信息少，计算过程简单等优点，因此得到了广泛应用。

灰色系统预测通常采用GM （1， 1）模型，由于该模型仅适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调变化的过程，而反映不出摆动的情况，若对一些数据有摆动的情况仍采用GM （1，1）模型预测则误差相对较大。

为此，本文提出了GM （1，1）残差模型，通过对该模型进行验证和分析，结果表明该模型适用于我国铁路货运量预测，而且还具有较高的预测精度。

二、GM（1，1）模型及GM（1，1）残差模型（一）GM（1， 1）模型[2]设x（0）={ x（0）（1）， x（0）（2），…x（0）（k）}为系统输出的非负原始数列。

其中x（0）（k）>0，k=1，2…，n；X（1）为X（0）的1-AGO 序列X（1）=（ x（1）（1），x（1）（2），…x（1）（n））其中x（1）（k）=■x（0）（i），k=1，2，…n；（1）式Z（1）为X（1）的紧邻均值生成序列；Z（1）=（z（1）（2）. …，z（1）（n））其中z（1）（k）=0.5（x（1）（k）+x（1）（k-1）），k=2，3，…，n.。

灰色-马尔可夫链模型在股市预测中的应用

灰色-马尔可夫链模型在股市预测中的应用作者：简艳群来源：《价值工程》2010年第24期摘要:用GM(1,1)预测具有良好的精确性和规律性,但对于随机波动性较大的股市行业,它的预测精度比较低,而马尔可夫模型可以克服波动性较大的局限性,弥补灰色模型的不足,因此将两者结合起来对股市进行预测将能提高预测的精度。

本文依据上交所20 个月末收盘指数预测后四个月的月末收盘指数范围,实证分析表明灰色马尔可夫链模型在股市预测中应用的可行性Abstract: Using GM(1,1)model to predict has great accuracy and regularity.But for the random high waving stock market,The accuracy is low. But Markov model can overcome the defection of high waving and make up the shortage of GM(1,1) model. So combining GM(1,1) with Markov chain model to predict stock market can improve the precision of prediction. Based on the indexes ended in the twenty months in Shanghai Stock Exchange,the range of the index in the end of next four months was predicted. Empirical analysis shows that GM - Markov chain model is a feasible tool to predict the stock market.关键词:灰色预测模型;马尔可夫模型;月末上证收盘指数;预测Key word: gray prediction;markov model;the index of shanghai stock exchange close in the end of month;predict中图分类号:F22 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)24-0255-020引言在股票市场中,股票价格是一个基本特征量,但是它总受政治、经济等各方面的影响,具体的影响因素的程度和信息是不完全的,所以我们可以把股市当成一个灰色系统来处理。

灰色系统GM(1,1)预测模型

5.1.2 灰色系统GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型的建立由于统计数据信息不完整，故有部分日用水量数据和70%以上的水厂日供水量数据采用曲线拟合法进行回归分析不能得到令人满意的结果，所以我们考虑用对信息质量要求不高的灰色系统分析法进行预测，建立GM(1,1)模型。

记)),(),...2(),1((n x x x x =其中)(i x 表示第i 年数值。

Step1：令)0(x 为GM （1，1）建模序列，表示灰导数(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =其中)()()0(k x k x =，...3,2,1=kStep2：令)1(x 为)0(x 的AGO 序列，对)0(x 作累加生成，即得到新的序列)1(x ，(1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())x x x x n =(1)(0)(1)(1)x x =(1)(0)1()()km x k x m ==∑Step3：令)1(z 为)1(x 的均值（MEAN ）序列，表示白化背景值(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+- （5.9）(1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())z z z z n =则得到GM(1,1)的灰微分方程模型为b k az k x =+)()()1()0( （5.10）式中：b a 、为待估计参数，分别称为发展灰度和内生控制灰度。

其中，∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========---=----=n k nk n k n k n k n k n k n k n k n k n k k z k z n k x k z k z k z k z b k z k z n k x k z n k x k z a 222)1(2)1(22)0(22)1()1(2)1()1(222)1(2)1(2)0()1(22)0()1())(()()1()()()()()(;))(()()1()()()1()()( 经变换后得到)()()1()0(k az b k x -= （5.11）GM(1,1)模型的求解在（5.11）两端同时乘以ak e 得，(0)(1)()()ak ak ak e x k e az k e b +=即(1)()()ak ak t z k e be d C -=+⎰ ak b Ce a-=+ 将代入上式中，可得0(1)b C x a=- 于是得出时间函数(1)(1)x k +的估计值(1)0ˆ(1)[(1)]ak b b x k x e a a-+=-+ （5.12）我们把上式（5.12）作为预测方程。

灰色预测GM(1,1)模型分析

SPSS分析SPSS教程SPSSAU 灰色预测模型GM11 灰色模型灰色预测GM(1,1)模型分析Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。

但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。

灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。

特别提示：GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测；GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。

灰色预测模型案例Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)1背景当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。

数据如下：年份城市交通噪声/dB(A)198671.10198772.40198872.40198972.10199071.40199172.00199271.602理论灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。

在进行模型构建时，通常包括以下步骤：第一步：级比值检验；此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。

级比值=当期值/上一期值。

一般情况下级比值介于[0.982,1.0098]之间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。

第二步：后验差比检验；在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差/ 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。

灰色GM(1,1)模型在山东焦家金矿床深部含矿性预测中的应用

维普资讯
第２２卷
２０年第月０７１４期２
地
质
找
矿
论
丛
ＶＤ２ｏ４ｏ２．１Ｎ．
ｅ．２０ｓ０７
灰色ＧＭ（，）型在山东焦家金矿床深部１１模含矿性预测中的应用
息未知的系统，它在自然界和社会领域中普遍存在。地质科学的各个研究领域所涉及到的各种对象，在
一
其中：
ａ一｛ＩＬ
定程度上均属灰色系统。灰色系统理论的一个基
广口］
本观点是：切随机量都可看作是一定范围内变化一
Ｂ＝＝
通常用其作为检验预测模型精度的标准引。
马田生
（西鲁能晋北铝业有限责任公司矿业公司，西原平０４０）山山３１０
摘
要：运用灰色理论，以焦家金矿床矿体品位、度代表矿化的白化值，过数据生成处理，厚经建
立了矿体品位、度灰色ＧＭ（，）型。通过残差、验差、联度检验，究了模型的可靠性，厚１１模后关研对影响预测模型精度的因素进行了分析，提出了提高模型精度的方法；过ＧＭ（，）型预测，并通１１模焦家金矿床Ｉ， Ⅲ矿体金矿化强度白浅部向深部逐渐增强， Ⅱ号矿体品位白浅部向深部逐渐增高，但

中国粮食产量的无偏灰色GM(1,1)模型与预测

ｔｂｉｈｄ．Ｔｍｐｒｃｌａａｙｉｎｏｅａｔｗｅｅｍａｅｏｅｇａｎｙｅｄｉｉａｆｏ２０ｏ２５．ＴｅｕｔｈｗｅｈｔｈｅｅｔｂｉｈｄａｌｓｅｈｅｅｉｉａｎｌｓｓａｄｆｒｃｓｒｄｎｈｉｉｌｎＣｈｎｒｍ０９ｔ０１ｒｈｅｒｓｌｓｓｏｄｔａｓａｌｅｔｓｍｏｅｉｌｅｈｄｌｇｓｅｓａｄｅｈｎｅｈｅｐｅｉｔｏｃｕａｙｄｌｓｍｐｉｄｔｅｍｏｅｉｔｐｎｎａｃｄｔｒｄｃｉｎａｃｒｃ．ＴｈｏｅａｔｎｅｕｔｒｃｏｄａｔｗｉｈｃｕｌａｎｙｅｄｉｉｆｎｅｆｒｃｓｉｇｒｓｌｗｅｅａｃｒｎｔｔｅａｔａｉｉｌｎｓｈｒｇＣｎ．ｈｉａ
县奖励和粮食最低收购价等措施。２０２００４～０９年，连续６年
一
Hale Waihona Puke ＿Ｌ（（）＋１２］１ｒ１１（（））
一
颁发一号文件，采取了一整套政策措施从整体上推进 “ 三农 ”
问题的解决。我国是世界第一人口大国，食产量举足轻粮重。因此，做好我国粮食产量的预测工作对我国实施粮食安全战略具有十分重要的现实意义。粮食产量预测的方法有
安徽农业科学，ｏｒａｏｎｕＡｈｃ．０９，７（１：８１— ８２ＪｕｌｆＡｈｉＳ．Ｓｉ２０３１）４４４４ｎ
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李菲菲
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灰色GM（1，1）模型在能源消费预测中的应用

灰色GM（1，1）模型在能源消费预测中的应用徐步然【摘要】选取重庆市2000-2011年能源消费总量数据和能源消费结构中的煤炭、石油、天然气以及电力消费量数据，应用灰色预测理论，建立重庆市能源消费的GM（1，1）预测模型，对重庆市能源消费总量和能源消费结构进行中短期预测，提出了对重庆市“十二五”期间能源发展战略的建议。

结果表明：灰色GM（1，1）模型具有较高的预测精度，适合进行中短期预测。

%This paper selects the total energy consumption data and the coal,oil,natural gas,elec-tricity consumption data of Chongqing from 2000 to 2011,and establishes the energy consumption model based on GM(1 ,1 )model for short-term energy consumption prediction and energy consump-tion structure prediction of Chongqing.The results show that,the gray GM (1 ,1 )model owns higher prediction accuracy,and is suitable for short-term prediction of gross energy consumption;at the same time,it will still maintain a high growth for Chongqing city in the next few years.While the coal con-sumption decreased year by year,but the energy consumption structure is not obviously improved.Fi-nally,the proposal of energy development strategy is put forward for Chongqing during 12th Five year.【期刊名称】《重庆理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)009【总页数】4页(P130-133)【关键词】能源消费;灰色预测;GM(1, 1)模型;重庆市【作者】徐步然【作者单位】天津大学管理与经济学部，天津 300072【正文语种】中文【中图分类】O21;F062.1能源是实现经济持续快速平稳发展、维持社会和谐稳定的物质基础，对经济和社会发展有不可替代的作用。

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灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用1 绪论1.1 研究的背景灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授于1982年创立的(1), 灰色系统理论这一新兴理论刚一诞生，就受到国内外学术界和广大实际工作者的极大关注，不少著名学者和专家给予充分肯定和支持，许多中青年学者纷纷加入灰色系统理论研究行列，以极大的热情开展理论探索及在不同领域中的应用研究工作。

目前，英、美、德、日、台湾、香港、联合国世界卫生组织(WHO)等国家、地区及国际组织有许多知名学者从事灰色系统的研究和应用;海内外许高校开设了灰色系统课程;国际、国内多种学术期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。

在灰色系统理论发展的同时，灰色系统理论的实际应用日趋广泛，应用领域不断拓展，先后在生命科学、环保、电力，经济、能源、交通、教育、金融等众多科学领域[2-7]，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题。

灰色系统理论经过20年的发展，其蓬勃生机和广阔发展前景正日益广泛地为国际、国内各界所认识、所重视。

而灰色GM多维变量又是现代灰色系统理论的核心组成部分，它已成功地应用于经济生活、气象预报、人口预测、电力系统负荷预测等领域，并取得了可喜的成就。

灰色模型理论应用于经济预测也已成为国内外专家学者研究的热点，近年来一些专家对灰色预测模型进行了改进，相继出现了无偏GM(1，n)模型、动态多维GM(1,n)模型的应用。

对于本课题中的建模和预测，虽然有许多成功的实例，但也有不少偏差较大的实例。

用于短期预测时有较好的精度，但用于中长期预测时预测结果就存在较大的误差。

近年来不少学者提出对GM模型的改进与适用范围的研究，从不同的角度通过对背景值的改进来提高GM模型建模精度，通过优化灰导数白化值的方法改进了GM模型的建模精度。

本文将进一步研究了GM(1,N)模型及其精度，并作出预测和推广应用。

1.2研究的目的在灰色系统理论发展及其实际应用日趋广泛、应用领域不断拓展同时，灰色GM(1,N)模型在经济社会领域中尤为特出，如在农业、工业中研究经济效益受各因素的影响预测继而减少经济损失等，有助于国家、国民收入的整体提高。

本文将应用GM(1,N)模型对我省的年生产总值进行分析预测，进而分析我省的宏观经济运行的情况。

1.3 研究的意义经济是极其复杂的特大系统，随着我国社会主义市场经济的建立，应用数量经济学1灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用方法和模型研究宏观经济状态、预测经济发展趋势，具有特别重要的理论意义和实用价值。

但是经济系统模型动辄成百上千的方程和浩如烟海的数据，要建立一个经济模型在方程中考虑到所有的经济关系，以求能全面描述经济系统，能模拟并预测该系统的运转，无论在理论上还是在实际应用中都十分困难，沿这个方向所作的种种努力未能收到预期效果。

近年来，混沌经济学的发展为人们启开了一条全新的思路，但要用这种非线性的数学方法描述经济系统还有很长的路要走。

灰色系统理论和方法提供了另外一种思路:不是从足够多的数据中直接回归计算出一条理论曲线，而是通过对数据的各种处理，减少其随机性，加强数据内在的趋势，这样就有可能用尽可能少的数据建立起描述经济系统的模型。

因此，本文运用灰色系统理论的相关方法建立描述并预测我国经济系统的模型，研究我国经济状况，其分析结果对经济政策的制定具有一定的参考价值。

1.4 论文的主要研究内容灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立、发现、掌握系统的发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测，从而确定系统未来发展变化的趋势。

本文主要是国民经济采用灰色预测方法进行预测。

首先分析国民经济构成及其影响因素，然后根据历史数据，建立定义型GM(1,1)，GM (1,N)预测模型对国民经济中第二产业，第三产业，社会固定资产投资的预测，得到较高的精度，并将预测结果与实际造数据进行对比以验证预测模型的有效性。

本文的主要工作如下:第二章详细阐述灰色系统关联模式第三章详细阐述灰色系统建模概况及GM(1.1)模型的原理第四章先介绍GM(1.N)模型原理，再用BP神经网络残差修正的GM(1,N)模型，以第二产业、第三产业为例对我省生产总值数据进行预测与应用。

最后总结了本文的结论、分析了本文的不足之处，提出今后有待研究的工作。

2 灰色系统关联模式2.1 关联分析统计相关分析是对因素之间的相互关系进行定量分析的一种有效方法。

但是，我们也注意到相关系数具这样的性质: r(xy)=r(yx)，即因素y对因素x的相关程度与因素x对因素y的相关程度相等。

暂且不去追究因素之间的相关程度究竟有多大。

单就相关系数的这种性质而言，也是与实际情况不太相符的.譬如，在国民经济问题研究中，我们能将农业对工业的关联程度与工业对农业的关联程度等同看待吗?其次，由于地理现象与问题的复杂性，以及人们认识水平的限制，许多因素之间的关系是灰色的，很难用相关2灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用系数[8]作比较精确地度量其相关程度的客观大小。

为了克服统计相关分析的上述种种缺陷，灰色系统理论中的灰色关联分析给我们提供了一种分析因素之间相互关系的又一种方法。

对于信息部分明确、部分不明确的灰色系统，我们可采用灰色系统关联分析来对其进行分析和讨论，并用关联度来描述各种信息之间的关联顺序。

灰色系统关联分析法[9]实质上是关联系数的分析。

先是求各个方案与由最佳指标组成的理想方案的关联系数，由关联系数得到关联度，再按关联度的大小进行排序、分析，得出结论。

这种方法优于经典的精确数学方法，经过把意图、观点和要求概念化、模型化，从而使所研究的灰色系统从结构、模型、关系上逐渐由黑变白，不明确的因素逐渐明确[10]。

该方法突破了传统精确数学绝不容许模棱两可的约束，具有原理简单、易于掌握、计算简便、排序明确、对数据分布类型及变量之间的相关类型无特殊要求等特点，故具有极大的实际应用价值。

特别是在计算机科学与技术的支撑下，那些与数学毫不相关或关系不大的学科如生物学、心理学、语言学、社会科学等)都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而使该方法的适用范围大大扩展。

灰色关联分析[11]，从其思想方法上来看，属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较。

用于度量因素之间关联程度的关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。

2.2 灰色关联分析的基本特征1.总体性关联度虽是描述离散函数之间的远近程度的量度，但它强调的是若干个离散函数对一个离散函数远近的相对程度，即要排出关联序，这就是总体性，其将各因素统一置于系统之中进行比较与分析。

2(非对称性在同一系统中，甲对乙的关联度，并不等于乙对甲的关联度萝这较真实地反映了系统中因素之间真实的灰关系。

3(非唯一性关联度随着母序列不同、子序列不同、原始数据处理方法不同、数据多少不同、分辨系数不同而不同。

4(有序性系统中的状态变量不能任意颠倒时序，否则会改变原序列性质。

5(动态性因素间的灰关联度随着序列的长度不同而变化，表明系统在发展过程中，各因素之间的关联关系也随着不断变化。

3灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用 2.3 灰色关联因素和关联算子集对一个抽象的系统或现象进行分析，首先要选准反映行为特征的映射量，然后确定影响系统主行为的有效因素，通过算子作用，将映射量和各有效因素化为数量级上大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。

设为系统因素，其在序号k上的观测数据为:，k=1，2，?， x(k)ixix(1)则称=(，,…,)为因素的行为序列，若存在: x(2)x(n)XXiiiii=(，,…,) XDx(1)x(2)x(n)dddii1ii111其中=/ k=1,2,… ,n 则称为初值化算子，为原象，初值x(k)x(k)x(1)DXXDdiii1ii11像;若存在=(,,…,) Xx(1)dx(2)x(n)Dddii2ii222n1其中: =/ = k=1,2,…,n x(k)x(k)x(k)dxx,iii2iini,1则称为均值化算子，为均值像;若存在 XDDi22=(,,…,) XDx(1)dx(2)dx(n)dii33i3i3x(k),minx(k)iik其中: = k=1，2，?，n x(k)di3maxx(k),minx(k)iikk则称为区间值化算子，为区间值像;若存在 DXD3i3=(,,…,) Xx(1)dx(2)x(n)Dddii4ii444:其中 x(k)=1- k=1，2，?，nx(k)dii4则称为逆化算子，为逆化像;若存在 XDDi44=(,,…,) XDx(1)dx(2)dx(n)dii55i5i5x(k)其中: d=1/x(k) k=1，2，?，n i5i则称为倒数化算子，为倒数化像。

DXD5i5D以上将D={|i=1,2,3,4,5}称为灰色关联算子集，(X，D)为灰色关联因子空间。

i4灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用由系统因素集合和灰色关联算子集构成的因子空间是灰色关联分析的基础。

基于n维空间的距离求出灰色关联度，进而排出关联序。

2.4 灰色关联度和关联序灰色关联度简记入，K点关联系数简记为。

,(x,x),,(x(k),x(k)),(k)0i0i0i0i求灰色关联序可按下述步骤:(1) 求各序列的初值像(或均值像)令X''''i = ( ,,…,) i=0,1,2,…,m X,x(1)x(2)x(n)iiiix(k)i'' (2)求差序列，记 ,i(k),|x(k),x(k)|i0=(,,…,) i=0,1,2,…,m ,i(1),i(2),i(n),i(3)求两极最大差与最小差记:M= maxmax,i(k)m,minmin,i(k)ikik,m，M(4)求关联系数: = k=1,2,..,n i=1,2,…,m ,(0,1),(k),0i,i(k)，,M n1 (5)计算关联度:=,(k) i =1, 2,…, m ,,0i0ink,1从以上关联度的定义可以看出，它主要取决于各时刻的关联系数的值，而(t)(t),,ijij又取决于各时刻与观测值之差(t)。

显然，与量纲不同，作图比例尺就会xxx,xijiijj不同，因而关联曲线的空间相对位置也会不同，这就会影响关联度的计算结果。

为,ij了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，就需要在进行关联度计算之前，首先对各要素的原始数据作初值变换或均值变换然后利用变换后所得到的新数据作关联度计算(6)排关联序:当为系统特征行为序列,,X为相关因素行为序列，γ为灰色关联度，若XXj0i ,,,,,，则称因素X 优于因素X，记为XX，称为由灰色关联度导出的灰色0jjj0iii5灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用关联序。