2023年山西高考数学试卷
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪∁U M=( )A. {2,3,5}B. {1,3,4}C. {1,2,4,5}D. {2,3,4,5}2.5(1+i 3)(2+i)(2−i)=( )A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i3.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗⃗=(2,2)，则cos〈a⃗⃗+b⃗⃗，a⃗⃗−b⃗⃗〉=( )A. 117B. √ 1717C. √ 55D. 2√ 554.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 235.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=( )A. 25B. 22C. 20D. 156.执行下边的程序框图，则输出的B =( )A. 21B. 34C. 55D. 897.设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则|PF 1|⋅|PF 2|=( ) A. 1 B. 2C. 4D. 58.曲线y =e xx+1在点(1,e 2)处的切线方程为( ) A. y =e4xB. y =e2xC. y =e 4x +e4D. y =e 2x +3e49.已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√ 5，C 的一条渐近线与圆(x −2)2+(y −3)2=1交于A ，B 两点，则|AB|=( ) A. √ 55B. 2√ 55C. 3√ 55D. 4√ 5510.在三棱锥P −ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA =PB =2，PC =√ 6，则该棱锥的体积为( ) A. 1B. √ 3C. 2D. 311.已知函数f(x)=e −(x−1)2.记a =f(√ 22)，b =f(√ 32)，c =f(√ 62)，则( )A. b >c >aB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b12.函数y =f(x)的图象由y =cos(2x +π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y =f(x)的图象与直线y =12x −12的交点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年山西太原高考一模考试 数学试卷(含答案解析)
2
2
2
由正弦定理得 b c a
2
2
2
选择条件②： cos A cos B sin C sin B sin C ，
2
2
2
由题意可得 1 sin A 1 sin B sin C sin B sin C ，
2
2
2
2
2
2
即 sin B sin C sin A sin B sin C ，由正弦定理得 b c a bc ， ………3 分
令 x1 1 ，则 z1 1 ， n (1,0,1) ，
x1 2 y1 z1 0，
cos m, n
mn
| m || n |
2
3
，
3
3 2
平面 PAB 与平面 PAD 夹角的余弦值为
20.解：
（1）
20
bˆ
x y
i 1
20
i
n2 n
n 1
1 1 1
1
1
.
Tn b1 b2 bn [(1 ) ( ) (
)]
4 8
3 3 5
2n 1 2n 1 4n 2
2
2
18.解：
（1）选择条件①： sin B sin C sin A(22 Nhomakorabea2
由题意可得 sin B sin C sin A
勘
误
高三数学一模：
第 11 题 C 选项
原为：
C. 若�� ⊥ ��，则线段��的最大值为 2 2
现更正为：
C. 若�� ⊥ ��恒成立，则线段��的最大值为 2 2
2023年全国高考甲卷理科数学试题及解析
绝密★启用前 试卷类型：A2023年普通高等学校招生统一考试（全国甲卷）理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一项选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．设集合},|{Z k k x x A ∈1+3==，},|{Z k k x x B ∈2+3==，U 为整数集，则=)(B A C U （ ）A ．},|{Z k k x x ∈3=B ．},|{Z k k x x ∈－13= C ．},|{Z k k x x ∈－23= D ．【解析】 集合A 由被3除余1的整数组成，集合B 由被3除余2的整数组成，B A 由不能被3整除的整数组成，所以，)(B A C U 由被3整除的整数组成，故选A ．2．若复数R a ai i a ∈2=1+,))((－，则=a （ ）A ．1－B ．0C ．1D ．2【解析】 由2=1+))((ai i a － ，得2=1+22i a a )(－， 所以，2=2a ，0=12a －，即1=a ，故选C ．3．执行下面的程序框图，输出的=B （ ） A ．21 B ．34 C ．55 D ．89【解析】 1=n 时判断为“是”，执行3个处理框后，2=5=3=n B A ,,；2=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，3=13=8=n B A ,,；3=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，4=34=21=n B A ,,；4=n 时判断为“否”，输出34，故选B ．4．向量1==b a ，2=c 且0=++c b a ，则>=<c b c a －－,cos （ ） A ．51－ B ．52－C ．52D ．54【解析】 显然2=1==222c b a ,，，由0=++c b a ，得0=++)(c b a a ，即0=1++ac ab ， 同理0=1++bc ab ，0=2++bc ac ，所以，1==0=－bc ac ab , ．于是4=+=2c cb ac ab c b c a －－－－))((，5==2)(c a c a －－，5==2)(c b c b －－，所以54=554=>=<cb c a c b c a c b c a －－－－－－))((,cos ．故选D ．开始结束输出B5．已知正项等比数列}{n a 中，1=1a ，n S 为}{n a 前n 项和，45=35－S S ，则=4S （ ）A ．7B ．9C ．15D ．30 【解析】 因为数列}{n a 为正项等比数列，设公比为)(0>q q ，则 4325++++1=q q q q S ，23++1=q q S ，由题意，得4++15=++++12432－)(q q q q q q ，解之，2=q ．所以15=8+4+2+1=4S ．故选C ．6．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报了足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A ．80.B ．40.C ．20.D ．10. 【解析】 因为同时报名乒乓球和足球两个俱乐部的人数为40=7060+50－，记“某人报了足球俱乐部”为事件A ，“某人报了乒乓俱乐部”为事件B ， 则75=7050=)(A p ，76=7060=)(B p ，74=7040=)(AB p ， 所以，在已知某人报了足球俱乐部的条件下，其报乒乓球俱乐部的概率为80=54=7474==.)()()|(A p AB p A B p ，故选A ．7．“1=+22βαsin sin ” 是 “0=+βαcos sin ”的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【解析】 由1=+22βαsin sin ⇔βα22=cos sin ，命题“若βα22=cos sin ，则0=+βαcos sin ”为假， 命题“若0=+βαcos sin ，则βα22=cos sin ”为真，所以，“1=+22βαsin sin ” 是 “0=+βαcos sin ”的必要但不是充分条件，故选B ．8．已知双曲线),(0>0>1=2222b a b y a x －的离心率为5，其中一条渐近线与圆1=3+222)()(－－y x 相交于B A ,两点，则=AB （ ）A ．51－B ．52－C ．52D ．54 【解析】 由双曲线),(0>0>1=2222b a by a x －的离心率为5，可得双曲线的渐近线方程为0=±2y x ．又圆心),(32到0=+2y x 的距离为57，大于圆的半径1，所以0=+2y x 与圆不相交，圆心),(32到0=2y x －的距离为51=d ，小于圆的半径1=r ， 所以0=2y x －与圆相交，所以 554=54=5112=2=222)(－－d r AB ．故选D ．9．有5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A ．120B ．60C ．40D ．30 【解析】 先从5人中任选1人参加两天服务，有15C 种选法； 再从剩下4人中任选1人参加星期六服务，有14C 种选法； 最后从剩下3人中任选1人参加星期天服务，有13C 种选法． 根据乘法原理，共有60=131415C C C 种不同选法．故选B ．10．已知)(x f 为函数)cos(6+2=πx y 在向左平移6π个单位所的函数，则)(x f y =与2121=－x y 的交点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 先通过平移得到x x x x f y 2=2+2=6+6+2==sin )cos())(cos()(－πππ，即x x f 2=sin )(－．分别作x y 2=sin －和2121=－x y 的图象，如图，因为2143×21>1=43×2－－－－－)())(sin(ππ，即84=21>83π， 2143×21>1=43×2－－ππ)sin(，即812=23<83π，由图可知x y 2=sin －与2121=－x y 的交点个数为3．故选C ．11．在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 为正方形，3==4=PD PC AB ,，°45=PCA ∠，则PBC ∆的面积为( )A ．22B ．23C ．24D ．25【解析】 连接BD AC ,相交于O ，连接PO ，PD PC = ，PO PO =，OD OC =，POD POC ∆∆≌∴，PDO PCO ∠=∠，又PD PC = ，PDO PCO ∠=∠，BD AC =，PDB PCA ∆∆≌∴，PB PA ∠=，在PCA ∆中，24=3=CA PC ,，°45=PCA ∠，所以，°45××2+=222cos AC PC PC AC PA －O xyπABCDPO17=22×24×3×29+32=－，在PBC ∆中，4=3=BC PC ,，17==PA PB ，所以173=174×2916+17=××2+=∠222－－BC PB PC BC PB PBC cos ，于是1722=PBC ∠sin ， 所以，PBC ∆的面积为24=1722×4×17×21=×××21PBC BC PB ∠sin ．故选C ．12．已知椭圆1=6+922y x ，21F F ,为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，53=∠21PF F cos ，则=PO （ ）A ．52 B ．230 C ．53D ．235【解析】在椭圆1=6+922y x 中，3=a ，6=b ，3=c ，由2122222121×2+=53=PF PF FF PF PF PF F －∠cos 2121212221221×2×224=×2×2+=PF PF PF PF PF PF FF PF PF PF PF －－－)(， 所以215=×21PF PF ． 设点),(n m P ，则21PF F ∆的面积为3=54×215×21=∠×××212121PF F PF PF sin ， 于是 3=3=××2121n n F F ，所以3=2n ．又P 为椭圆上一点，所以29=2m ．230=3+29=+=22n m PO ．故选B ．二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若)sin()(2+++1=2πx ax x y －为偶函数，则=a 【解析】 因为x a x x x ax x y )(cos )sin()(2+1++=2+++1=22－－π．而1++2x x cos 是偶函数，所以2=a ，应填2．14. 设y x ,满足约束条件 1≥+32333+2y x y x y x≤－≤－ ，设y x z 2+3=，则z 的最大值为【解析】 作出满足约束条件的点),(y x 的可行域， 由),(),(y x y x z •23=2+3=所以，当3=3=y x ,时，z 取得最大值15． 故填15．15. 在正方体1111D C B A ABCD －中，F E ,分别为11B A CD ,的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 【解析】 设正方体的棱长为2，O 为球心，于是，球O 的半径为2==OF OE ，可求得点O 到所有棱的距离均为2，所以球面与正方体每条棱的交点总数为12，故填12．16. 在ABC ∆中，2=AB ，°60=∠BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD【解析】在ABC ∆中，由正弦定理知，ACBABBAC BC ∠sin sin =∠，O xyB 1ABC D A 1C 1D 1EFOMN即22=63=×=BCBACAB ACB ∠∠sin sin ，所以°45=ACB ∠，于是°75=ABC ∠，在ABD ∆和ACD ∆中，分别由正弦定理知，°30=°45sin sin CD AD ， °306=°75sin sin CD AD －，42+6=°75sin ， 由°30=°45sin sin CD AD ，得AD CD 2=2， 由°306=°75sin sin CDAD －，得CD AD 262=26－－)(，解得2=AD ，故填2．三、解答题：本题共5小题,共60分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（12分）已知数列}{n a 中，1=2a ，设n S 为}{n a 的前n 项和，n n na S =2． （1）求}{n a 的通项公式；（2）求数列}{nn a 21+的前n 项和n T ． 【解析】 （1）由n n na S =2，得0=1a ，当2≥n 时，111=2－－－n n a n S )(， 两式相减，得11=2－－－n n n a n na a )(， 即11=2－－－n n a n a n )()(， 当2>n 时，21=1－－－n n a a n n ，此时， 223211××××=a a aa a a a a n n n n n －－－ 1=1×12××32×21=－－－－－n n n n n ， 当21=,n 时均满足，所以}{n a 的通项公式为1=－n a n ； （2）由n n n n a 2=21+，所以n n n T 2++23+22+21=32 ， 两边同乘以21，得1+322+21++22+21=21n n n n n T － ， 两式相减，得1+1+322211=221++21+21+21=21n n n n n n n T －－－ ， 所以，n n n T 22+2=－．18.（12分）在三棱柱111C B A ABC －中，2=1AA ，⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ，1A 到平面11B BCC 的距离为1．（1）证明：C A AC 1=；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11B BCC 所成角的正弦值． 【解析】 （1）由⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ，可知°90=∠11C A C ， 平面⊥11C A C 平面BC B C 11，1A 到平面11B BCC 的距离为1．即C A C Rt 11∆斜边上的高为1，又斜边长2==11AA CC ， 所以C A C 11∆为等腰三角形，即C A C A 111=， 又AC C A =11，所以C A AC 1=． （2）由1CA CB CA ,,，两两互相垂直，由直线1AA 与1BB 距离为2，得3=BC ，，以C 为原点，分别以1CA CB CA ,,为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角 坐标系，则),,(000C ，),,(2001A ，),,(030B ，),,(2021－C ，),,(002A ，),,(2321－B ，于是),,(030=CB ，ABCA 1B 1C 1),,(202=1－CC ，),,(2322=1－AB ，平面11B BCC 的一个法向量为),,(101=n ， 所以1AB 与平面11B BCC所成角的正弦值为1313=131=101×2322101•2322=),,(),,(),,(),,(－－．19.（12分）为探究某药物对小鼠的生长作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）测得 40 只小鼠体重如下（单位：g ）（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组： 5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.1 26.0 （i ）求 40 只小鼠体重的中位数m ，并完成下面 2×2 列联表： （ii ）根据 2×2 列联表，能否有 95％的把握认为药物对小鼠 生长有抑制作用 参考数据：【解析】 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，且7819==0=240220020C C C X P )(； 7840==1=240120120C C C X P )(；7819==2=240020220C C C X P )(． X 的分布列为数学期望为1=7819×2+7840×1+7819×0=)(X E ．（2）（i ） 40 只小鼠体重的中位数423=2623+223=...m ．完成下面 2×2 列联表为（ii ）计算8413>4006=20×20×20×2040×14×146×6=22..)(－K ， 所以，有 95％的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．20.（12分）直线0=1+2y x －与)(0>2=2p px y 交于B A ,两点，154=AB ．（1）求p 的值；（2）F 为px y 2=2的焦点，N M ,为抛物线上的两点，且0=•NF MF ，求MNF 面积的最小值．【解析】 （1）将0=12=－y x 代入px y 2=2，得0=2+42p py y －，设),(),,(2211y x B y x A ，则p y y 4=+21，p y y 2=21， 于是，221221+=)()(y y x x AB －－212212214+5=5=y y y y y y －－)()(154=8165=2p p －．所以，2=p ，（2）F 为x y 4=2的焦点，),(01∴F ，设),(M M y y M 42,),(N Ny y N 42,由0=•NF MF ，得 0=41•4122),(),(N N M M y y y y －－－－，即0=+414122N M NM y y y y ))((－－，0=1+++41162222N M N M N M y y y y y y )(－，即224+=4)()(N M N M y y y y －， 设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线方程联立，得 )(n my y +4=2，即0=442n my y －－，于是有，m y y N M 4=+，n y y N M 4=－， 且0>16+16=2n m ∆，0>+2n m ．将224+=4)()(N M N M y y y y －变为224+=16+4)()(N M N M N M y y y y y y －， 即224+4=41644)()()(n n m －－－，0>1=+422)()(－n n m ， 0≥1+6=422n n m －，解得22+3≥n 或223≤－n ， 即1228≥4=－－n y y N M ．记MNF ∆面积为S ，则S =1+421=+4421=22N M N M N M M N N M y y y y y y y y y y －－－ 24+161=4+81=)(N M N M N M y y y y y y － 22124=4+1228161≥)()(－－． 所以记MNF ∆面积的最小值为2124)(－．21.（12分）已知xxax x f 3=cos sin )(－，),(20∈πx ． （1）若8=a ，讨论)(x f 的单调性；（2）若x x f 2<sin )(恒成立，求a 的取值范围．【解析】 （1）由8=a ，xx x x f 38=cos sin )(－，xxx x x x x f 622433+8=′8=′cos cos sin cos )cos sin ()(－－x xx 4223+8=cos sin cos －xx x 4223+412=cos )cos )(cos (－．因为0>3+42x cos ，0>4x cos ，),(20∈πx ．所以，当0>2=122x x cos cos －时，即),(40π∈x 时，)(x f 单调递增， 当0<2=122x x cos cos －时，即),(24ππ∈x 时，)(x f 单调递增． （2）由x x f 2<sin )(恒成立，即0<23x xxax sin cos sin －－，),(20∈πx ， 令x xxax x g 2=3sin cos sin )(－－，则0=0)(g ，)(x g 的最大值小于零， x xxx a x g 223+=′422cos cos sin cos )(－－2+423=242x x x a cos cos cos －－－， 令t x =2cos ， 得232+42+=′t t t a x g －－)(，1<<0t ，设232+42+=t t t a t －－)(ϕ，则33326+24=6+24=′tt t t t t －－－－)(ϕ， 323+2+212=t t t t ))((－－，由1<<0t 知，0>′)(t ϕ，)(t ϕ单调递增，)(x g ′单调递增， 所以3=1<－a t )()(ϕϕ，3<′－a x g )(， 当3≤a 时，0<′)(x g ，)(x g 为减函数，最大值小于零，满足题意； 当3>a 时，)(x g ′在),(20π内有零点，即)(x g 在),(20π内有极小值点， 又因为2→πx 必有∞－→)(x g ，这不可能． 所以，所求求a 的取值范围是∞,3]－(．四、选做题：本题共2小题,任选一道作答，共10分．22 〖选修4－4：坐标系与参数方程〗（10分）【解析】 （1）因为令0=y ，得，αsin 1=1－t ，所以αsin 1==1t PA ，令0=x ，得，αcos 2=2－t ，所以αcos 2==2t PB ，由4=PB PA ，得4=2ααcos sin ，即1=2αsin ，1±=2αsin ，由题意παπ<<2，所以43=πα．（2） 由（1）知t x 222=－，t y 22+1=，所以3=+y x ， l 的极坐标方程为3=+θρθρsin cos ．23 〖选修4－5：不等式选讲〗（10分）【解析】 （1）由x x f <)(，得0>+<2a a x a x ,－， 两边平方，2222+2+<4+84a ax x a ax x －，即0<3+10322a ax x －，0<33))((a x a x －－，因为0>a ，所以a x a3<<3． （2）因为0>a ，当a x ≥时，a x x f 32=－)(；当a x <时，x a x f 2=－)(；作出函数图象，得),(),,(020a B a A ，),(),,(a a D aC －023．函数图象与坐标轴围成的面积为2，即 2=43=+2a S S BCD AOB ∆∆，所以362=a ．xyAO a -aa BCD。
2023年高考数学全国一卷试卷及解析
2023年高考数学全国一卷试卷及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{}54321，，，，=U ，集合{}41，=M ，{}52，=N ，则=⋃M C N U （）A .{}5,3,2B .{}431，，C .{}5,4,2,1D .{}5,4,3,22.()()()=-++i i i 22153（）A .1-B .1C .i -1D .i+13.已知向量()1,3=a ，()2,2=b ，则=-+b a b a ,cos （）A .171B .1717C .55D .5524.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A .61B .31C .21D .325.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1062=+a a ，4584=a a ，则=5S （）A .25B .22C .20D .156.执行右边的程序框图，则输出的=B （）A .21B .34C .55D .897.设21,F F 为椭圆1522=+y x C ：的两个焦点，点P 在C 上，若021=⋅PF PF ，则=⋅21PF PF （）A .1B .2C .4D .58.曲线1+=x e y x 在点⎪⎭⎫⎝⎛21e ，处的切线方程为（）A .x e y 4=B .x ey 2=C .44ex e y +=D .432ex e y +=9.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，C 的一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .55B .552C .553D .55410.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，2==PB P A ，6=PC ，则该棱锥的体积为（）A .1B .3C .2D .311.已知函数()()21--=x ex f .记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22f a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23f b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26f c ，则（）A .a c b >>B .c a b >>C .ab c >>D .b a c >>12.函数()x f y =的图象由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 的图象向左平移6π个单位长度，则()x f y =的图象与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3678S S =，则{}n a 的公比为.14.若()()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x x f 为偶函数，则=a .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为.16.在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，O 为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023年新高考1卷数学真题试卷附详解
2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=（ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2-D. 22. 已知1i22iz -=+,则z z -=（ ） A.i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+,则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =,则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=（ ）A. 1B.C.D.7. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列；乙:{}nS n为等差数列,则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压．下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x f y =+,则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=-,则C 的离心率为________． 四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =,求AB 边上的高．18. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明:2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+． 20. 设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >．令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d ．21. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求()E Y ．22. 在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷答案一、选择题.1. C解:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-．故选:C ． 2. A解:因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-． 故选:A ． 3. D解:因为()()1,1,1,1a b ==-,所以()1,1a b λλλ+=+-,()1,1a b μμμ+=+- 由()()a b a b λμ+⊥+可得,()()0a b a b λμ+⋅+= 即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-． 故选:D ． 4. D解:函数2xy =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D. 5. A解:由21e ,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以a =故选:A. 6. B解:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B因为PC ==,则PA ==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<⎝⎭⎝⎭即APB ∠为钝角.所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α. 故选:B. 7. C解:甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+ 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥ 两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件,C 正确. 故选:C. 8. B解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=. 故选:B.二、选择题.9. BD解:对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n 则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小 例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==. 例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==. 例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==；故A 错误； 对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确； 对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++= 标准差1s ==4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++= 标准差2s ==5>,即12s s >；故C 错误； 对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确； 故选:BD. 10. ACD解:由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈= 对于选项A :可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥ 所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确； 对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥ 所以23pp ≥23,0p p >,可得23p ≥ 当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误； 对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确； 对于选项D :由选项A 可知:121220lgp p p L L p =-⨯ 且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg40p p ⨯≤ 即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确； 故选:ACD. 11. ABC解:因为22()()()f xy y f x x f y =+对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确. 对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确. 对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误. 12. ABD解:对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长 所以能够被整体放入正方体内,故A 正确；对于选项B :, 1.4> 所以能够被整体放入正方体内,故B 正确；对于选项C :, 1.8< 所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确；对于选项D :, 1.2>设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h如图,结合对称性可知:11111110.62OC C A C O OC OO ===-= 则1111C O h AA C A =,即0.61h -=解得10.340.012h =>> 所以能够被整体放入正方体内,故D 正确； 故选:ABD.三、填空题．13. 64解:（1（当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种；（2（当从8门课中选修3门①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为:64. 14.解:如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222AO AC B AO AC ======故()1112AM AC A C =-=,则1A M ===所以所求体积为1(413V =⨯++=故答案为:6. 15. [2,3)解:因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤ 令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根 令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<故答案为:[2,3).16.解:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-（舍去）所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a = 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =故5c e a ==.四、解答题．17. （1 （2）6 【小问1详解】3A B C += π3C C ∴-=,即π4C =又2sin()sin sin()A C B A C -==+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+ sin cos 3cos sin A C A C ∴= sin 3cos A A ∴=即tan 3A =,所以π02A <<sin10A ∴==. 【小问2详解】由（1）知,cos10A ==由sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=由正弦定理,sin sin c bC B=,可得52b ==11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅sin 6h b A ∴=⋅==. 18. （1）证明见解析 （2）1 【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- 2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∴∥.【小问2详解】 设(0,2,)(04)P λλ≤≤则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令 2z =,得3,1y x λλ=-=-(1,3,2)n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令 1a =,得1,2==b c(1,1,2)m ∴=cos ,cos1506n m n m n m⋅∴===︒=化简可得,2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P21B P ∴=.19. （1）答案见解析 （2）证明见解析 【小问1详解】解:因为()()e x f x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减； 当ln x a >-时,0fx,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减；当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-上单调递减,()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增. 【小问2详解】由（1）得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立. 令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=令()0g a '<,则02a <<；令()0g a '>,则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()2min 1ln 02222g a g ⎛⎛==--=>⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立. 所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕. 20.（1）3n a n = （2）5150d =【小问1详解】21333a a a =+,132d a d ∴=+,解得1a d = 32133()6d d S a a =+==∴又31232612923T b b b d d d d=++=++= 339621S T d d∴+=+= 即22730d d -+=,解得3d =或12d =（舍去） 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+ 2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d = 1d >,0n a ∴>又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解； 当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =. 综上,5150d =. 21. （1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+ 构造等比数列{}i p λ+设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22. （1）214y x =+ （2）见解析 【小问1详解】设(,)P x y ,则y =两边同平方化简得214y x =+ 故21:4W y x =+. 【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0.则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<- 同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()0f x '=,解得x =当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增则min 27()4f x f ==⎝⎭故122C ≥=,即C ≥当C =时,n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤ 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a ≠则||2|AB k a =-同理||2AD a =+||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m+==+++则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭||||AB AD ∴+≥但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-+≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时k =,故AB AD +>. 法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,\矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时第 21 页 共 21 页332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<- 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥ 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=当且仅当cos 3θ=时等号成立,故A B B C ''''+>,故矩形周长大于。
2023年新高考全国卷Ⅰ高考数学试题及答案
2023年新高考全国卷Ⅰ高考数学试题及答案2023年新高考全国卷Ⅰ高考数学试题及答案为题，用中文写一篇3000字文章。
众所周知，数学一直是高考中最重要的科目之一。
而2023年的新高考全国卷Ⅰ数学试题依然备受瞩目。
这个试卷不仅考察了学生在基础知识、方法和思维能力方面的掌握程度，更注重了学生的创新思维和解决问题的能力。
下面我将为大家详细解读这套试题，并提供相对详细的答案解析。
首先，我们来看一道经典的选择题。
【选择题】1. 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图象过点 P(-2, 1)，点P在抛物线 y = 4x^2 - 4x + 1 上。
求函数 f(x) 的解析式。
解析：由题意可知，点P在抛物线 y = 4x^2 - 4x + 1 上，所以代入点(-2, 1)得到：1 = 4(-2)^2 - 4(-2) + 1解得 a = 4，b = -4，c = 1。
所以函数 f(x) 的解析式为 f(x) = 4x^2 - 4x + 1。
2. 在三角形ABC中，AB = 12，AC = 9，BC = 15。
点M为边AC 上一点，且AM = MC。
若三角形BMC的面积等于三角形ABC的面积的1/4，求AM的长度。
解析：设 AM = MC = x，则 BM = 15 - AM - MC = 15 - 2x。
由三角形面积公式可得：S(ABC) = 1/2 × 12 × 9 × sin∠BAC，S(BMC) = 1/2 × BM × MC × sin∠BMC。
由题意可得到：S(BMC) = 1/4 × S(ABC)。
代入数据，并利用正弦定理搭建等式：1/2 × BM × MC × sin∠BMC = 1/4 × 1/2 × 12 × 9 ×sin∠BAC化简后得到：BM × MC × sin∠BMC = 27 × sin∠BAC代入BM和MC的值，得到：(15 - 2x) × x × sin∠BMC = 27 ×sin∠BAC化简后得到：x(15 - 2x) × sin∠BMC = 27 × sin∠BAC根据正弦定理可知：sin∠BAC = sin∠BMC代入值进行求解，得到：3(5 - 2x) = 9解得 x = 1/2。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|x=3k+1,k∈Z}，B={x|x=3k+2,k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)=( )A. {x|x=3k,k∈Z}B. {x|x=3k−1,k∈Z}C. {x|x=3k−2,k∈Z}D. ⌀2.若复数(a+i)(1−ai)=2，a∈R，则a=( )A. −1B. 0C. 1D. 23.执行下面的程序框图，输出的B=( )A. 21B. 34C. 55D. 89第1页，共18页4.向量|a⃗|=|b⃗⃗|=1，|c⃗⃗|=√ 2，且a⃗⃗+b⃗⃗+c⃗⃗=0⃗⃗，则cos〈a⃗⃗−c⃗⃗，b⃗⃗−c⃗⃗〉=( )A. −15B. −25C. 25D. 455.已知等比数列{a n}中，a1=1，S n为{a n}前n项和，S5=5S3−4，则S4=( )A. 7B. 9C. 15D. 306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17.“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的( )A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√ 5，其中一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )A. 15B. √ 55C. 2√ 55D. 4√ 559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )A. 120B. 60C. 40D. 3010.已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x−12的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，则△PBC的面积为( )A. 2√ 2B. 3√ 2C. 4√ 2D. 5√ 212.已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=35，则|PO|=( )A. 25B. √ 302C. 35D. √ 352第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。
建立自己的题库。
多做。
主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。
抓住课堂。
高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。
高质量完成作业。
所谓高质量是指高正确率和高速度。
翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。
2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。
3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
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2023年山西高考数学试卷
考场号：_________ 座位号：_________
考试时间：______________至______________
考试说明：
1. 本试卷共12道大题，满分150分，考试时间150分钟。
2. 答案必须写在答题纸上，如用草稿纸答题一律无效。
3. 计算题请写出详细的计算过程，注明单位并保留必要的计算精度。
4. 必要的几何图形请画清楚并标明重要数据，简单的几何图形可以不画。
5. 本试卷不允许使用任何电子设备、词典以及其他参考资料。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案填写在答题纸上）
1. 已知直线k的坐标方程为y=2x+3，点P（3，7）是直线k上
的一点，则P到坐标原点O的距离为：
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
2. 设函数f(x)=2x^2+bx+3，其中b为常数，若f(-1)=6，则b的
值为：
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
3. 等差数列{an}的公差d=4，已知a5=13，a8=22，则a1的值为：
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
4. 若函数f(x)=ax^2+2x+1在区间[1,2]上的最小值为3，则a的值为：
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
5. 已知三角形ABC，AB=AC，D为BC边上的一点，且
∠ADC=90°，AD=6，DC=8，则三角形ABC的周长为：
A. 12
B. 20
C. 24
D. 28
6. 设log2x=log3y=log5z，若x=32，则y的值为：
A. 5
B. 15
C. 25
D. 125
7. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像关于点(1,2)对称，且经过点(-1,6)，则a+b+c的值为：
A. -2
B. 0
C. 2
D. 4
8. 若a，b，c是互异的正整数，且满足a^2+b^2=c^2，则a，b，c可能的取值是：
A. (3, 4, 5)
B. (5, 12, 13)
C. (8, 15, 17)
D. (7, 24, 25)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请在答题纸上作答）
9. 已知函数f(x)=3x^2+2ax-1的图像与x轴交于两个点，且这两个点的横坐标之积为4/3，则a的值为________。
10. 在等差数列{an}中，a1+a2+a3=9，a2+a3+a4=12，则a1+a5的值为________。
11. 已知三角形ABC，其中∠B=90°，AB=3，BC=4，则∠A的正弦值为________。
12. 若A是一个n阶方阵，且A^T是A的转置矩阵，则n的值为________。
三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分，请将详细过程和答案写在答题纸上）
13. 已知函数f(x)=x^2+ax+b，其中a，b为常数。
当0≤x≤2时，f(x)的值单调递增。
求a和b的取值范围。
14. 解方程组：
{ logx(y+3)=1
{ log(x+2)y=2
15. 已知函数f(x)的定义域为实数集R，对任意实数x和y有
f(x+y)=f(x)f(y)，且f(2)=4。
求f(1/2)的值。
16. 设四阶行列式D=|1 2 3 4|，则D的值为________。
四、证明题（本大题共1小题，共30分，请将证明过程写在
答题纸上）
17. 设a，b，c为正整数，且满足不等式abc ≥ 9 (a+b+c)。
证明：a+b+c ≥ 9。
五、应用题（本大题共1小题，共30分，请将详细过程和答
案写在答题纸上）
18. 甲、乙两人一起完成一项工作所需的时间比是3 : 5。
如果
两人同时工作12小时后，乙退下继续休息，甲单独完成剩下的工作，需要再工作8小时。
求乙单独完成整个工作需要多少小时。
-------------------------祝您考试顺利！。