三角函数知识点整理
三角函数知识点总结
一 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1、角概念的推广：
在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义：
(1)正角，负角，零角 ：见上文。 (2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等
(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角
终边在x 轴上的角的集合： {}
Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合： {}
Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈?=,90| ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+ (5)与α终边反向的角： (21)x k απ=++
终边在直线y =x 上的角的集合：{}
Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在直线x y -=上的角的集合：{}
Z k k ∈-?=,45180| ββ
(6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 (7)成特殊关系的两角
若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式不唯一.
(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型：
1.表示终边位于指定区间的角.
例1:写出在720-?到720?之间与1050-?的终边相同的角. 例2:若α是第二象限的角,则2,
2
α
α是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.
例3:①写出终边在y 轴上的集合.
②写出终边和函数y x =-的图像重合,试写出角α 的集合. ③α在第二象限角,试确定2,
,
23αα
α所在的象限.
④θ角终边与168?角终边相同,求在[0,360)??内与
3
θ
终边相同的角.
（二）弧度制
1、弧度制的定义：l R
α=
2、角度与弧度的换算公式：
360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
一个式子中不能角度,弧度混用.
3、题型
（1）角度与弧度的互化
例:74315,330,,63ππ?? （2）L R α=，2
11,22
l r s lr r αα===（扇形面积公式）
二 任意角三角函数
（一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义
正弦r y =
αsin ，余弦r x
=αcos ，正切x
y =αtan 2、三角函数的定义域：
三角函数 定义域
=)(x f sin x R =)(x f cos x R
=)(x f tan x
?
??
???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且
（二）单位圆与三角函数线
1、单位圆的三角函数线定义
如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线。 如图(2)AT 表示α角的正切值，叫做正切线。
注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负
（三）同角三角函数的基本关系式
同角三角函数关系式
(1) 商数关系：α
α
α
tan
cos
sin
=
(2) 平方关系：1
cos
sin2
2=
+α
α
（四）诱导公式(重点)（奇变偶不变，符号看象限）
1.
x
x
k
x
x
k
x
x
k
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
=
+
=
+
=
+
π
π
π
2
2
2
2.
x
x
x
x
x
x
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
-
=
-
=
-
-
=
-
3.
x
x
x
x
x
x
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
-
=
-
=
-
-
=
-
π
π
π
2
2
2
4..
x
x
x
x
x
x
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
=
+
-
=
+
-
=
+
π
π
π
5.
x
x
x
x
x
x
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
-
=
-
-
=
-
=
-
π
π
π
三三角函数的图像与性质
（一）基本图像：
1．正弦函数
2．余弦函数
α
α
πsin
)
2
1
cos(-
=
+
α
α
πcos
)
2
1
sin(=
+
α
α
πcot
)
2
1
tan(-
=
+
α
α
πsin
)
2
1
cos(=
-
α
α
πcos
)
2
1
sin(=
-
α
α
πcot
)
2
1
tan(=
-
3．正切函数
（二）、函数图像的性质
定义域
R
R
{}
|1
2
x x R x k ππ∈≠+且
值域 ]1,1[+- ]1,1[+-
R
周期 π2
π2
π
奇偶
奇函数
偶函数 奇函数
单调
]
,
[ππ
ππ
k k 22
22
++-
上为增函数
],[ππ
ππ
k k 22
322++ 上为减函数(Z k ∈)
()],[ππk k 212-
上为增函数
()],[ππ122+k k
上为减函数(Z k ∈)
?
??
??++-ππππk k 22,
上为增函数
(Z k ∈) 无单调递减区间
对称
对称轴为2
x k ππ=+，
对称中心为(,0) k π， k Z
∈
对称轴为x k π=，
对称中心为
(,0)2
k ππ+
k Z
∈
无对称轴， 对称中心为
(
,0)2k π
k Z ∈
（三）、常见结论：
1.x y sin =与x y cos =的周期是π.
x
y tan =x
y cos =x
y sin =
2.)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y (0≠ω)的周期ω
π
2=
T .
3.
2
tan
x
y =的周期为2π. 4.)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+
=k x (Z k ∈)，对称中心(0,πk )；
)cos(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈)，对称中心(0,2
1ππ+k )；
)tan(?ω+=x y 的对称中心(
0,2
π
k ). 5.函数
x y tan =在R 上为增函数.(错)
[只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的.] 6.奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有00=)(f .(x ?0的定义域，则无此性质)
7 x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数(π=T )；
x y cos =是周期函数(如图)；x y cos =为周期函数(π=T )；
2
1
2cos +
=x y 的周期为π(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
四 和角公式
两角和与差的公式（重点）
y=cos |x|
图象y=|cos2x +1/2|图象
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-
βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ β
αβαβαsin cos cos sin )sin(-=-
五 倍角公式和半角公式
（一）倍角（重点）与半角公式（无需记忆）：
αααcos sin 22sin =
2
cos 12sin α
α
-±=
α
αααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
2
cos 12
cos
α
α
+±
= α
αα2
tan 1tan 22tan -=
sin 1cos tan
2
1cos sin α
αα
αα
-===+
六 特殊角函数值
42675cos 15sin -=
= , 4
2615cos 75sin +==
, 3275cot 15tan -== , 3215cot 75tan +==