圆锥曲线的切线及切点弦方程

近几年，

切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题, 或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的最值等问题。

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点 Pg,儿诳椭圆 7+F=l（fl>fr>0）上r = °c。"，儿"sin0,0e（O,亍）

直线I与直线人：牛+学=i垂直,O为坐标原点，直线op的倾斜角为4 cT b°

直线12的倾斜角为/.

证明：点P是椭圆与直线人的唯一交点；

复习：

1:过圆X2 + y2 = r2_t 一点M（x0, y0）fi\J 切线方程：

“）+啊=八

x2V2

2：设P（q,儿）为椭圆—+—= I上的点，则过该点的切线Jj程为：cr b°

3：设P（入，儿）为双Ml线丄--二=1上的点，则过该点的切线方程为：

0. Z

4：设P（A0,y0）为抛物线V2 = 2 px±.的点，则过该点的切线Jj程为： y 儿=P（X + %）

圆锥曲线切线的几个性质

抛物线）的准线弓其氏（实）轴所在iT ?线抛物线）的两条切线，则切点弦氏等于该的通

径.

性质2过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点F|的直线交椭圆（双曲线，抛物线）丁认，B 两点，过A, B 两点作椭圆（双曲性质1过椭圆（双曲线,

的交点作椭圆（双曲线,

椭圆（双曲线,抛物线）

所以 = -3y G +

市点P 在直线/1：运动.从而得到亟心G 的轨迹方程为:

X_ (―3y + 4x 2

)- 2 = 0?即 y =丄(4于-x + 2). 3

例題1：如图。瑕扼汤绳、：￥=/的魚点为F,动点P 在直线

/: x - y - 2 = 0上运动，过P 作拋杨线C 的两条切线PA 、PB, 且与拋场线C 分别相切于A 、B 两5?求2XAPB 的重心（3的轨迹方程.

解：设切点A 、B 坐标分别为（匕兀）和（"，*）（（"

工％） .?.切线AP 的方程为： 2x u x 一 y — X ： = 0;

切线BP 的方程为： 2X]X - y - x ； = 0;

x + x 解得P 点的坐标为： x p = ----- ? y P = x o x l

X 。+ X] +厂

听以△ APB 的巫心G 的坐标为:

圆锥曲线的切点弦方程

?改戶（兀0」0）为圆/ + b =厂外?点，则切点弦的方程为：

+ yy0 =厂？。

/ V2

?设尸（入，儿）为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，

cr b，

切点为A, B则弦AB的方程为： XX y儿t

a b

▲x2 y2

?过戶（x。」。）为双曲线r—— =1的两支作阿条切线，则切点眩方程为：cT 『?设P（%」0）为抛物线y2= 2px开口外一点，则切点弦的方程为：

例题2：

*> 1

对于圆锥仙线二土二=1,过点P（//i,0）,作两条切线，切点为儿B.求证直线A8恒过定点

证：设y,） > B（x2.y2）

则过A点的切线方稈人:工1 ±卫占二| a"

b°

则过〃点的切线方程人:兰土斗=I ?/ b2

因为pdi n线人和rt线厶上.所以竽=i和怦=i a' X

所以瓦线AB的方杵！为“=—.即恢过定点//（—.0）m m

此时S“=—，直线AB 方程为

例题3:

已知闘x‘ + 2y 2

= 1,P 是在直线4?+3y = 12 I ：—点，

由向已知椭圆作两切线，切点分别为A.B,问当直线AB 与两坐标轴田成的三角形OMN 而积级小，最小值为多少？

解：设P 点*标为F (x 0, y 0)，所以切点弦所在直线方程为：

3 ???北 y <3，当且仅当 Ax 。= 3儿，即％ = —, y () = 2 o ° 0