七年级数学下册七年级数学下册23.幂的运算(提高)巩固练习 (1)
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幂的运算(提高)
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方);
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】
【高清课堂396573 幂的运算 知识要点】 要点一、同底数幂的乘法性质
+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、
多项式.
(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,
即m
n
p
m n p
a a a a
++⋅⋅=(,,m n p 都是正整数).
(3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数
与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
m n m n a a a +=⋅(,m n 都是正整数).
要点二、幂的乘方法则 ()=m n
mn
a a
(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
要点诠释:(1)公式的推广:(())=m n p
mnp
a a
(0≠a ,,,m n p 均为正整数)
(2)逆用公式: ()()
n
m
mn
m n a
a
a ==,根据题目的需要常常逆用幂的乘
方运算能将某些幂变形,从而解决问题. 要点三、积的乘方法则
()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,
再把所得的幂相乘.
要点诠释:(1)公式的推广:()=⋅⋅n
n
n
n
abc a b c (n 为正整数).
(2)逆用公式:()n n n
a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其
是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:1010
101122 1.22⎛⎫⎛⎫
⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
要点四、注意事项
(1)底数可以是任意实数,也可以是单项式、多项式.
(2)同底数幂的乘法时,只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1,计算时不要
遗漏.
(3)幂的乘方运算时,指数相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加.
(4)积的乘方运算时须注意,积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. (5)灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.
(6)带有负号的幂的运算,要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质 【高清课堂396573 幂的运算 例1】
1、计算:
(1)3
5
(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+; (2)2
3
(2)(2)x y y x -⋅- . 【答案与解析】
解:(1)3
5
351
9(2)(2)(2)(2)
(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+.
(2)2
3
2
3
5
(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--. 【总结升华】(1)同底数幂相乘时,底数可以是多项式,也可以是单项式.
(2)在幂的运算中,经常用到以下变形:
()()(),n n
n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()
n n
n
b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数. 类型二、幂的乘方法则
【高清课堂396573 幂的运算 例2】
2、计算:
(1)23
[()]a b --; (2)32
23
5
()()2y y y y +-g ;
(3)224
12()()m m x
x -+⋅; (4)3234()()x x ⋅.
【答案与解析】
解:(1)23
[()]a b --23
6()
()a b a b ⨯=--=--.
(2)32235
()()2y y y y +-⋅6
6
6
6
6
2220y y y y y =+-=-=. (3)224
12()()m m x
x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=.
(4)32
34
()()x x ⋅6
12
18x x
x =⋅=.
【总结升华】(1)运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理,一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.(2)幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母,也可以是单项式或多项式.
【高清课堂396573 幂的运算 例3】
3、已知84=m
,85=n
,求328
+m n
的值.
【思路点拨】由于已知8,8m n
的值,所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n
变成
323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯,再代入计算.
【答案与解析】 解:因为3338
(8)464===m
m , 2228(8)525===n n .
所以32328
8864251600+=⨯=⨯=m n
m n .
【总结升华】运用整体的观念看待数学问题,是一种重要的数学思维方法.把8,8m
n
当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁. 举一反三: 【变式】已知322,3m
m a
b ==,则()
()()3
6
322m
m
m m a b a b b +-⋅= .
【答案】-5;
提示:原式()()()()
2
3
2
2
3232m m m m a
b a b =+-⋅
∵
∴ 原式=23222323+-⨯=-5.
类型三、积的乘方法则
4、计算:
(1)24
(2)xy - (2)2
4333
[()]a a b -⋅-
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】
解:(1)24
4
4
24
4
8
(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-.
(2)2
4333
[()]a a b -⋅-23
1293
6
36
27
4227()()()a a b a a b
a b =-⋅-=-⋅-⋅=.
【总结升华】(1)应用积的乘方时,特别注意观察底数含有几个因式,每个因式都分别乘方.(2)注意系数及系数符号,对系数-1不可忽略. 举一反三:
【变式】下列等式正确的个数是( ).
①(
)
3
2
36
9
26x y
x y -=- ②()3
26m m
a
a -= ③()
3
6933a
a =
④(
)(
)5
7
35510710
3510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()
()
100
100
1010.520.522-⨯=-⨯⨯
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 【答案】A ;