2021年中考数学压轴题专项训练一次函数含解析

2021年中考数学压轴题专项训练《一次函数》

1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：

（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；

（2）求乙出发后几小时追上甲车？

解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b

将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：

解得：，

∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；

（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，

联立，

解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），

∴乙车出发后1.5小时追上甲车．

2．如图①所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过B地．甲车先出发，当甲车到达B地时，乙车开始出发．当乙车到达B地时，甲车与B地相距km

设甲、乙两车与B地之间的距离为，y

1（km），y

2

（km），乙车行驶的时间为x（h），y

1

，y

2

与x的函数关系如图②所示．

（1）A，B两地之间的距离为20km；

（2）当x为何值时，甲、乙两车相距5km？

解：（1）A，B两地之间的距离为20km．

故答案为：20；

（2）乙车的速度为：20÷＝120（km/h），

甲车的速度为：＝100（km/h），

甲比乙早出发的时间为：20÷100＝0.2（h），

相遇前：（20+100x）﹣120x＝5，解得x＝0.75；

相遇后：120x﹣（20+100x）＝5，解得x＝1.25；

答：当x为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km．

3．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（0，3），点E是线段AB上的一点，以DE为腰在第二象限内作等腰直角△DEF，∠EDF＝90°．（1）请直接写出点A，B的坐标：A（﹣2，0），B（0，2）；

（2）设点F的坐标为（a，b），连接FB并延长交x轴于点G，求点G的坐标．

解：（1）∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，

∴点A（﹣2，0），点B（0，2）

故答案为：（﹣2，0），（0，2）

（2）如图，过点F作FM⊥y轴，过点E作EN⊥y轴，

∴∠FMD＝∠EDF＝90°

∴∠FDM+∠DFM＝90°，∠FDM+∠EDN＝90°，

∴∠DFM＝∠EDN，且FD＝DE，∠FMD＝∠END＝90°，

∴△DFM≌△EDN（AAS）

∴EN＝DM，FM＝BN，

∵点F的坐标为（a，b），

∴FM＝DN＝﹣a，DM＝b﹣3，

∴点E坐标（﹣b+3，3+a），

∵点E是线段AB上的一点，

∴3+a＝﹣b+3+2

∴a+b＝2，

∴点F（a，2﹣a）

设直线BF的解析式为y＝kx+2，

∴2﹣a＝ka+2

∴k＝﹣1，

∴直线BF的解析式为y＝﹣x+2，

∴点G（2，0）

4．某学校甲、乙两名同学去爱国主义教育基地参观，该基地与学校相距2400米．甲从学校步行去基地，出发5分钟后乙再出发，乙从学校骑自行车到基地．乙骑行到一半时，发现有东西忘带，立即返回，拿好东西之后再从学校出发．在骑行过程中，乙的速度保持

不变，最后甲、乙两人同时到达基地．已知，乙骑行的总时间是甲步行时间的．设甲步行的时间为x（分），图中线段OA表示甲离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．图中折线B﹣C﹣D和线段EA表示乙离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．根据图中所给的信息，解答下列问题：

（1）甲步行的速度和乙骑行的速度；

（2）甲出发多少时间后，甲、乙两人第二次相遇？

（3）若s（米）表示甲、乙两人之间的距离，当15≤x≤30时，求s（米）关于x（分）的函数关系式．

解：（1）由题意得：（米/分），

＝240（米/分）；

（2）由题意可得：C（10，1200），D（15，0），A（30，2400），

设线段CD的解析式为：y＝kx+b，则

，

解得

∴线段CD的解析式为：y＝﹣240x+3600，

易知线段OA的解析式为：y＝80x，根据题意得

240x+3600＝80x，

解得：x＝，

∴甲出发分后，甲、乙两人第二次相遇；

（3）∵E（20，0），A（30，2400），

设线段EA 的解析式为：y ＝mx +n ，

，

解得

，

∴线段EA 的解析式为：y ＝240x ﹣4800，∴当15≤x ≤20时，s ＝y OA ﹣0＝80x ，

当20＜x ≤30时，s ＝y OA ﹣y EA ＝80x ﹣（240x ﹣4800）＝﹣160x +4800，∴

．

5．对于给定的△ABC ，我们给出如下定义：

若点M 是边BC 上的一个定点，且以M 为圆心的半圆上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的半圆为BC 边上的点M 关于△ABC 的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M 关于△ABC 的最大内半圆．

若点M 是边BC 上的一个动点（M 不与B ，C 重合），则在所有的点M 关于△ABC 的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC 关于△ABC 的内半圆．

（1）在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，

①如图1，点D 在边BC 上，且CD ＝1，直接写出点D 关于△ABC 的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC 关于△ABC 的内半圆，并直接写出它的半径长；

（2）在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（3，0），点P 在直线y ＝

x 上运动（P

不与O 重合），将OE 关于△OEP 的内半圆半径记为R ，当≤R ≤1时，求点P 的横坐标t 的取值范围．

解：（1）①如图1，过D 作DE ⊥AC 于E ，

∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，

∴∠C＝∠B＝45°，

∵CD＝1，

∴BD＝2﹣1＞CD，

∴D到AC的距离小于到AB的距离，

∵△DEC是等腰直角三角形，

∴DE＝，

即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是；

②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，

∴BD＝BC＝，

同理可得：BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．

（2）过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE上的动点，

i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，

∵直线OF：y＝x

∴∠FOE＝30°

由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于△OEP的内半圆，

∴当R＝时，如图3，DM＝，此时PM⊥x轴，P的横坐标t＝OM＝；

如图4，当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF，FE相切，

此时R＝1，P的横坐标t＝OE＝3；

∴当≤R≤1时，t的取值范围是≤t≤3．

ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5．

∴当R＝1时，t的取值范围是t≥3．

iii）当点P在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M 为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．

∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，

∴∠OEP＜30°，

∴OM＜1，

当R＝时，如图6，过P作PA⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE，此时OM＝MN＝

，ME＝3﹣＝，

∴EN＝＝＝，

Rt△OPA中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，

∴PA＝﹣t，

∵∠ENM＝∠EAP＝90°，∠MEN＝∠AEP，

∴△EMN∽△EPA，

∴，即＝

解得：t＝﹣，

∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．

综上，点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合），当≤R≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．

6．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相

交于点C ．过点B 作x 轴的平行线l ．点P 是直线l 上的一个动点．

（1）求点A ，点B 的坐标．

（2）若S △AOC ＝S △BCP ，求点P 的坐标．

（3）若点E 是直线y ＝x 上的一个动点，当△APE 是以AP 为直角边的等腰直角三角形时，求点E 的坐标．

解：（1）一次函数y ＝﹣x +6的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，则点A 、B 的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；

（2）联立y ＝﹣x +6、y ＝x 并解得：x ＝3，故点C （3，），

S △AOC ＝8×

＝15＝S △BCP ＝BP ×（yP ﹣yC ）＝BP ×（6﹣），

解得：BP ＝，

故点P （

，6）或（﹣，6）

（3）设点E （m ，m ）、点P （n ，6）；

①当∠EPA ＝90°时，如左图，

∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，

∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），

则ME＝PN＝6，MP＝AN，

即|m﹣n|＝6，m﹣6＝8﹣n，

解得：m＝或16，

故点E（，）或（14，）；

②当∠EAP＝90°时，如右图，

同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），

故MP＝EN，AM＝AN＝6，

即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14，

故点E（2，）或（16，20）；

上，E（，）或（14，）或；（2，）或（16，20）．

7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标．

（3）若点D是折线A﹣B﹣C上一动点，是否存在点D，使AACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）在y＝x+4中，

令x＝0，得y＝4，

令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．

把B（0，4）代入，y＝﹣2x+b，

得b＝4

∴直线BC为：y＝﹣2x+4．

在y＝﹣2x+4中，

令y＝0，得x＝2，

∴C点的坐标为（2，0）；

（2）如图点E为所求

点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．点B关于x轴的对称点B

的坐标为（0，﹣4）．

1

的解析式为y＝kx+b．

设直线DB

1

把D（﹣2，2），B

（0，﹣4）代入一次函数表达式并解得：

1

故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．

令y＝0，得E点的坐标为．

（3）存在，D点的坐标为（﹣1，3）或．

①当点D在AB上时，由OA＝OB＝4

得到：∠BAC＝45°，

由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；

②当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．

在△AOF与△BOC中，∠FAO＝∠CBO，∠AOF＝∠BOD，AO＝BO，

∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，

∴点F的坐标为（0，2），

易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组并解得：

x＝，∴交点D的坐标为．

8．（1）模型建立：

如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD ⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；

（2）模型应用：

①如图2，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为腰在

第一象限内作等腰直角三角形ABC，则C点的坐标为C（4，6）或C（6，2）（直接写出结果）

②如图3，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝45°，连接BD、AE，

作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．

解：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＝∠CAD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE＝90°，

∴∠BCE＝∠CAD，

在△BEC和△CDA中

，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

（2）①根据题意可得点C的坐标为C（4，6）或C（6，2）；故答案为：C（4，6）或C（6，2）；

②如图，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q

∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，

∵∠BCA＝∠AMC，

∴∠BCP＝∠CAM，

在△CBP与△ACM中，

，

∴△CBP≌△ACM（AAS），

∴MC＝BP，

同理，CM＝DQ，

∴DQ＝BP

在△BPN与△DQN中，

，

∵△BPN≌△DQN（AAS），

∴BN＝ND，

∴N是BD的中点．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N，连接FM．

（1）求tan∠ABO的值；

（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；

（3）若MD＝MN，求点D的坐标．

解：（1）直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，

则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（3，0）；

tan∠ABO＝＝＝tanα；

（2）DE与FM的位置关系为相互垂直，理由：

点C是AB的中点，

则∠COB＝∠CBO＝∠EDF＝α，∠ONF＝∠DNM，

∴∠DMN＝∠DFO，

∴O、F、M、D四点共圆，

∴∠DMF+∠DOF＝180°，

∴∠DOF ＝90°，即：DE ⊥FM ；

（3）MD ＝MN ，∴∠MDN ＝∠MND ＝α，

而∠COB ＝α，∠DNM ＝∠ONF ＝α，

即△OCF 为以ON 为底，底角为α的等腰三角形，则tan∠NFO ＝

＝

＝tanβ，则cosβ＝

（证明见备注）；

设OF ＝m ，则DF ＝FB ＝3﹣m ，cos∠DFO ＝cosβ＝，

解得：m ＝

，

OD 2＝DF 2﹣OF 2＝（3﹣m ）2﹣m 2＝

；

则OD ＝，

故点D （0，）．

备注：如下图，

过点N 作HN ⊥OF 于点H ，tanα＝，则sinα＝，作FM ⊥ON 于点M ，设FN ＝OF ＝5a ，则FN ＝4a ，则ON ＝6a ，同理可得：NH ＝，

tan∠NFO ＝

＝

＝tanβ，则cosβ＝

．

10．如图，直线l 1：y ＝x +与y 轴的交点为A ，直线l 1与直线l 2：y ＝kx 的交点M 的坐标为M （3，a ）．（1）求a 和k 的值；

（2）直接写出关于x的不等式x+＜kx的解集；（3）若点B在x轴上，MB＝MA，直接写出点B的坐标．

解：（1）∵直线l

1与直线l

2

的交点为M（3，a），

∴M（3，a）在直线y＝x+上，也在直线y＝kx上，∴a＝×3+＝3，

∴M（3，3），

∴3＝3k，

解得k＝1；

（2）不等式x+＜kx的解集为x＞3；

（3）作MN⊥x轴于N，

∵直线l

1

：y＝x+与y轴的交点为A，

∴A（0，），

∵M（3，3），

∴AM2＝（3﹣0）2+（3﹣）2＝，

∵MN＝3，MB＝MA，

∴BN＝＝，

∴B（，0）或B（，0）．

11．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F．

（1）求证：OF＝CF；

（2）若OD＝4，OB＝8，写出OE所在直线的解析式．

解：（1）∵四边形OBCD为矩形，

∴DO＝BC，∠OBC＝∠ODC．

由翻折的性质可知∠E＝∠OBC，CE＝BC，

∴OD＝CE，∠E＝∠ODC．

在△ODF和△CEF中，

∴△ODF≌△CEF（AAS），

∴OF＝CF．

（2）∵OF＝CF．

设DF＝x，则OF＝CF＝8﹣x．

在Rt△ODF中，OD＝4，根据勾股定理得，OD2+DF2＝OF2，

∴42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴F（3，4），

设直线OE的解析式为y＝kx，

把F（3，4）代入得4＝3k，

解得k＝，

∴OE所在直线的解析式y＝x．

12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m过点A（5，﹣2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画AD∥x轴，交y轴于点D．

（1）求点B、C的坐标；

（2）在线段AD上存在点P，使BP+CP最小，求点P的坐标．

解：（1）∵y＝﹣x+m过点A（5，﹣2），

∴﹣2＝﹣5+m，

∴m＝3，

∴y＝﹣x+3，

令y＝0，∴x＝3，

∴B（3，0），

令x＝0，∴y＝3，

∴C（0，3）；

（2）过C作直线AD对称点Q，

可得Q（0，﹣7），

连结BQ，交AD与点P

可得直线BQ：，

令y′＝﹣2，

∴，

∴．

13．如图，直线l

1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l

1

与x轴交于点D．直线l

2

与x轴交

于点A，且经过点B（4，1），直线l

1与l

2

交于点C（m，3）．

（1）求点D和点C的坐标；

（2）求直线l

2

的函数表达式；

（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．

解：（1）在y＝3x﹣2中

令y＝0，即3x﹣2＝0解得x＝，

∴D（，0），

∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，

∴3m﹣2＝3，

∴m＝，

∴C（，3）；

（2）设直线l

2

的函数表达式为Y＝KX+B（K≠0），

由题意得：，

解得：，

∴y＝﹣x+；

（3）由图可知，二元一次方程组的解为．

14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y 轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交点为C（m，4）．

（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；

（2）求△BOC的面积；

（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．

解：（1）∵点C在正比例函数图象上，

∴m＝4，解得：m＝3，

∵点C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函数图象上，

∴代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，

∴一次函数的解析式为y＝x+2；

（2）在中，令x＝0，解得y＝2，