韦达定理
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解：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x1●2＝3k 即2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
k 1 2
=
(b) 2 ( b 2 4ac ) 2 4a 2
=
4ac 4a 2
c = a
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么X1+X2= －P , X1X2= q
说出下列各方程的两根之和与两根之积： 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 1 3x + 2 =0
x1+x2=2
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2= ∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
k 1 2
,
k 3 x1x2= 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
(2) x1 = 3, x2 = -6
7
, x2 =
(4) x1 = -2+ 5 , x2 = -2- 5
3 3
x 解： 由韦达定理，得 x1+x2= - p , x1 · 2= q
∴p= -3(x1+x2)
(1)p= -9 (2)p= 9 (3)p= 0 (4)p= 12 q= 6
q=3 x1 · 2 x
由韦达定理，得 解：
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1
2 =-2+( 3 2
)+1=
5 2
1、韦达定理及其推论
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意两个隐含条件： （1）二次项系数a≠0 （2）根的判别式△ ≥0
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解二： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由韦达定理，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (3) x1 = 7
韦达定理
执教者：虞申君
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
2 4ac b b 2a
X1,2=
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 两根积 X1+x2 x 1x 2 12 7 3 -4
韦达定理的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
+
b 2b = = 2a a
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
q= -54 q= -21 q= -3
1、已知方程3xБайду номын сангаас－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
3 2
方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0
3
1
-2
-
-1
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2=
-
b a
c , X1x2= a
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0
韦达（1540－1603）
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 4(k 1) 2 4k 2 0 由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
1 x 1 1 x 2
2 3
, x1 · 2=-3 x
2 3 3
=
x1 x 2 x x2 1
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2 -2x x )2
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x1x2= 4
3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 =4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求： (1) 1 1 (2) x 2+x 2
x1 x2
。
1
2
解：由题意可知x1+x2= (1)
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
k 1 2
=
(b) 2 ( b 2 4ac ) 2 4a 2
=
4ac 4a 2
c = a
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么X1+X2= －P , X1X2= q
说出下列各方程的两根之和与两根之积： 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 1 3x + 2 =0
x1+x2=2
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2= ∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
k 1 2
,
k 3 x1x2= 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
(2) x1 = 3, x2 = -6
7
, x2 =
(4) x1 = -2+ 5 , x2 = -2- 5
3 3
x 解： 由韦达定理，得 x1+x2= - p , x1 · 2= q
∴p= -3(x1+x2)
(1)p= -9 (2)p= 9 (3)p= 0 (4)p= 12 q= 6
q=3 x1 · 2 x
由韦达定理，得 解：
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1
2 =-2+( 3 2
)+1=
5 2
1、韦达定理及其推论
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意两个隐含条件： （1）二次项系数a≠0 （2）根的判别式△ ≥0
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解二： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由韦达定理，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (3) x1 = 7
韦达定理
执教者：虞申君
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
2 4ac b b 2a
X1,2=
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 两根积 X1+x2 x 1x 2 12 7 3 -4
韦达定理的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
+
b 2b = = 2a a
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
q= -54 q= -21 q= -3
1、已知方程3xБайду номын сангаас－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
3 2
方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0
3
1
-2
-
-1
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2=
-
b a
c , X1x2= a
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0
韦达（1540－1603）
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 4(k 1) 2 4k 2 0 由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
1 x 1 1 x 2
2 3
, x1 · 2=-3 x
2 3 3
=
x1 x 2 x x2 1
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2 -2x x )2
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x1x2= 4
3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 =4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求： (1) 1 1 (2) x 2+x 2
x1 x2
。
1
2
解：由题意可知x1+x2= (1)