考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题8 概率与统计 第36练
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 考前回扣 回扣9 Word版含答案
回扣9 概率与统计1.牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式 P (A )＝事件A 包含的基本事件数m 基本事件总数n ；②互斥事件的概率计算公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③对立事件的概率计算公式 P (A )＝1－P (A )； ④几何概型的概率计算公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量. (3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.③平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1n (x 1＋x 2＋…x n ).④方差与标准差方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].标准差： s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质Ⅰ.p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；Ⅱ.p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②均值公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . ③均值的性质Ⅰ.E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； Ⅲ.若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差D X . ⑤方差的性质Ⅰ.D (aX ＋b )＝a 2D (X )；Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )； Ⅲ.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ). ⑥独立事件同时发生的概率计算公式 P (AB )＝P (A )P (B ).⑦独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k . ⑧条件概率公式 P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2.活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率. ②各小长方形的面积之和等于1.③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y ).(3)利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.(4)如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ2)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.1.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.2.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.4.要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生.(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB ).5.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.1.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法 答案 D解析 总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.2.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率是( ) A.13 B.14 C.16 D.112 答案 C解析 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，记作(m ，n )，共有6×6＝36(种)结果.(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，应满足m ＝n ，有6种情况，所以所求概率为636＝16，故选C.3.一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( ) A.35 B.310 C.12 D.625 答案 B解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3，2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种.其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元 答案 B解析 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4， ∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).5.设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)( )A.6 038B.6 587C.7 028D.7 539 答案 B解析 由题意知，P (0<X ≤1)＝1－12×0.682 6＝0.658 7，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.658 7＝6 587.故选B.6.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 答案 C解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 7.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为( )A.0B.3C.6D.9 答案 A解析 设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，x <1，所以x ＝0.故选A.8.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－13x ＋2上，则这组样本数据的样本的相关系数为( )A.－1B.0C.－13 D.1答案 A解析 数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－13x ＋2上，说明这组数据点完全负相关，其相关系数为－1，故选A.9.在区间[1，5]和[2，4]内分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________. 答案1532解析 当方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，a 2<4b 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b . 又a ∈[1，5]，b ∈[2，4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示 ，求得阴影部分的面积为154，故P ＝S 阴影2×4＝1532.10.将某班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________. 答案 13解析 系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13. 11.某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a ，28，b ，52号学生在样本中，则a ＋b ＝________. 答案 56解析 ∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12， ∵编号为4，a ，28，b ，52号学生在样本中， ∴a ＝16，b ＝40， ∴a ＋b ＝56.12.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”. 其中属于互斥事件的是________.(把你认为正确的事件的序号都填上). 答案 ①③④解析 ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件.13.国内某知名大学有男生14 000人，女生10 000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3])男生平均每天运动的时间分布情况：女生平均每天运动的时间分布情况：(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1)；(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d参考数据：解(1)由分层抽样得：男生抽取的人数为120×14 00014 000＋10 000＝70，女生抽取的人数为120－70＝50，故x＝5，y＝2，则该校男生平均每天运动的时间为0.25×2＋0.75×12＋1.25×23＋1.75×18＋2.25×10＋2.75×570≈1.5.故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时.(2)①样本中“运动达人”所占比例是20120＝16，故估计该校“运动达人”有16×(14 000＋10 000)＝4 000(人). ②由表格可知：故K 2的观测值k ＝120×(15×45－5×55)220×100×50×70＝9635≈2.743<3.841，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 14.某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，求X 的分布列和均值. 解 (1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A 1、B 1， 设事件E 表示第一轮考核后甲不合格、乙合格， 则P (E )＝P (A 1·B 1)＝0.6×0.6＝0.36.即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A 、B 、C ， 则P (A )＝0.4×0.5＝0.2， P (B )＝0.6×0.5＝0.3， P (C )＝0.4×0.5＝0.2，经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，则X 可能取0，1，2，3. P (X ＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，P (X ＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416， P (X ＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012， P (X ＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124. X 的分布列为均值为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.7.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)技巧规范篇 第一篇 第2讲 四种策略搞定填空题
第2讲 四种策略搞定填空题[题型分析·高考展望] 填空题的基本特点是：(1)题目小巧灵活，结构简单；(2)答案简短明确，不反映过程 ，只要结果；(3)填空题根据填写内容，可分为定量型(填写数值，数集或数量关系)和定性型(填写某种性质或是有某种性质的对象).根据填空题的特点，在解答时要做到四个字——“快”“稳”“全”“细”.快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；细——审题要细，不能粗心大意.高考必会题型方法一 直接法根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案.解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程.解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件.例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，则角B 的值为________. 答案2π3解析 方法一 由正弦定理， 即a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0. 在△ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ， 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 又sin A ≠0，所以cos B ＝－12.又角B 为△ABC 的内角，所以B ＝2π3.方法二 由余弦定理，即cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入cos B cos C ＝－b2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ，整理，得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，又角B 为△ABC 的内角，所以B ＝2π3.点评 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.变式训练1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，则S 2 016＝____________. 答案 3·21 008－3解析 由题意得a n ·a n ＋1＝2n ，a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1⇒a n ＋2a n＝2，因此a 1，a 3，a 5，…构成一个以1为首项，2为公比的等比数列； a 2，a 4，a 6，…构成一个以2为首项，2为公比的等比数列；从而S 2 016＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2×1－21 0081－2＝3(21 008－1).方法二 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.例2 (1)若函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝________.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是________. 答案 (1)－1 (2)323解析 (1)由题意，对任意的x ∈R ， 有f (－π8＋x )＝f (－π8－x )，令x ＝π8，得f (0)＝f (－π4)，得a ＝－1.(2)方法一 △ABC 为等边三角形时满足条件，则S △ABC ＝332. 方法二 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.点评 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.变式训练2 (1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.答案 (1)－32(2)2解析 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ， 又因为函数为偶函数，所以f (－13)－f (13)＝0，即ln(e －1＋1)－a 3－ln(e ＋1)－a 3＝0，ln e －1－23a ＝0，解得a ＝－32，将a ＝－32代入原函数，检验知f (x )是偶函数， 故a ＝－32.(2)用特殊值法， 可设AB ＝AC ＝BM ＝1， 因为AB →＝mAM →，所以m ＝12，过点C 引AM 的平行线，并延长MN ，两线相交于点E ，则AE ＝BC ＝2OC ，易得AN ＝23AC ，因为AC →＝nAN →，所以n ＝32，可知m ＋n ＝12＋32＝2.方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确、规范地作出相应的图形.例3 (1)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是________________________________________________________________________. (2)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________. 答案 (1)[2，16] (2)[－1，＋∞)解析 (1)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3，0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，∴d 2min ＝[|3－0－1|12＋(－1)2]2＝(2)2＝2.最大值为点Q 到点A 的距离的平方， ∴d 2max ＝16.∴取值范围是[2，16].(2)函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞).点评 数形结合在解答填空题中的应用，就是利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.变式训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，3x ， x ≤0且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析 方程f (x )＋x －a ＝0的实根也就是函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数的图象，显然当a ≤1时，两个函数图象有两个交点，当a >1时，两个函数图象的交点只有一个.所以实数a 的取值范围是(1，＋∞). 方法四 构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法. 例4 (1)若a ＝ln12 017－12 017，b ＝ln 12 016－12 016，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________.(2)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，△AED 、△EBF 、△FCD 分别沿着DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________.答案 (1)a <b <c (2)62解析 (1)令f (x )＝ln x －x (0<x <1)， 则f ′(x )＝1x－1，∵0<x <1，∴f ′(x )>0，∴f (x )为增函数.又12 017<12 016<12 015，∴a <b <c . (2)由题意知DF ＝5，A ′E ＝A ′F ＝1，A ′D ＝2， 以A ′E 、A ′F 、A ′D 为棱，建立一个长方体， 则体对角线长为2R ＝12＋12＋22(R 为球的半径)，R ＝62. 点评 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.变式训练4 (1)若x ，y ∈[－π4，π4]，a ∈R ，且满足方程x 3＋sin x －2a ＝0和4y 3＋sin y cos y＋a ＝0，则cos(x ＋2y )＝________.(2)如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.答案 (1)1 (2)6π解析 (1)对第二个等式进行变形可得：(2y )3＋sin 2y ＋2a ＝0，对照两等式和所求的结论思考， 可以找到x 和2y 的关系， 构造函数f (x )＝x 3＋sin x ，则两个条件分别变为f (x )＝2a 和f (2y )＝－2a ， 即f (x )＝－f (2y )，因为函数f (x )＝x 3＋sin x 是奇函数，所以有f (x )＝f (－2y )，又因为当x ，y ∈[－π4，π4]时，f (x )是单调递增的函数， 所以有x ＝－2y ，即x ＋2y ＝0， 因此cos(x ＋2y )＝1.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径， 所以CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ， 所以R ＝62， 故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.高考题型精练1.设ln 3＝a ，ln 7＝b ，则e a ＋e b ＝______(其中e 为自然对数的底数). 答案 10解析 ∵e a ＝3，e b ＝7，∴e a ＋e b ＝10.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.答案 18解析 把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 3.已知θ∈(0，π)，且sin(θ－π4)＝210，则tan 2θ＝________.答案 －247解析 由sin(θ－π4)＝210得，22(sin θ－cos θ)＝210，sin θ－cos θ＝15，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－(43)2＝－247.4.一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为________. 答案512解析 一共有36种情况，其中甲掷得的向上的点数比乙大的有：(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(3，1)、(3，2)、(2，1)，共15种，所以所求概率为1536＝512.5.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 答案 2解析 方法一 如图所示，在△OAB 中，|OA →|＝|OB →|＝1，∠AOB ＝60°，延长BA 到C 使∠BOC ＝90°，则A 为BC 的中点，c ＝OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋BA →＝2a －b ， 则t ＝2.方法二 由已知b ·c ＝0， 即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0， 12t ＋(1－t )＝0，因此t ＝2. 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝________. 答案 45解析 令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形， 且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝45＋01＋45×0＝45.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－33，33解析 由题意，得圆心到直线的距离 d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝|2k |1＋k 2，若|MN |≥23，则4－d 2≥(3)2， 解得－33≤k ≤33. 8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.答案 [－∞，2]解析 f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.9.已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是________.答案 13解析 由平面向量基本定理及点P 为ABCD 内部或边界上任意一点，可知0≤x ≤1且0≤y ≤1，又满足条件的x ，y 满足0≤x ≤12，0≤y ≤23，所以P (A )＝23×121×1＝13.10.某程序框图如图所示，若a ＝3，则该程序运行后，输出的x 值为________.答案 31解析 第一次循环，x ＝2×3＋1＝7，n ＝2； 第二次循环，x ＝2×7＋1＝15，n ＝3； 第三次循环，x ＝2×15＋1＝31，n ＝4， 程序结束，故输出x ＝31.11.e 416，e 525，e 636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________. 答案 e 416<e 525<e 636解析 由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝(e xx 2)′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x －2)x 3，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636. 12.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则yx －1的最小值是________. 答案 1解析 作出变量x ，y 满足的平面区域， 如图阴影部分所示，y x －1表示的几何意义是平面区域内的一点与点P (1，0)连线的斜率，结合图形可知，P A 的斜率最小，所以y x －1的最小值为23－1＝1. 13.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.答案 3解析 不妨设A (2cos θ，3sin θ)，θ∈(0，π)，△F AB 的周长为2(|AF |＋3sin θ)＝2(2＋cos θ＋3sin θ)＝4＋4sin(θ＋π6). 当θ＝π3，即A (1，32)时，△F AB 的周长最大. 所以△F AB 的面积为S ＝12×2×3＝3. 14.三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14解析 如图，设S △ABD ＝S 1，S △P AB ＝S 2，E 到平面ABD 的距离为h 1，C 到平面P AB 的距离为h 2，则S 2＝2S 1，h 2＝2h 1，V 1＝13S 1h 1，V 2＝13S 2h 2， 所以V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝14. 15.已知函数f (x )＝2x －a ，g (x )＝x e x ，若对任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[－1，1]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为________.答案 [2－e ，1e] 解析 f (x )＝2x －a 为增函数，∵x 1∈[0，1]，∴f (x 1)的范围是[－a ，2－a ]，易知g (x )也为增函数，当x 2∈[－1，1]时，g (x 2)的范围是[－1e，e]， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－1e ，2－a ≤e.∴2－e ≤a ≤1e . 16.若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是a n ＝(－1)n ＋2 016a ，b n ＝2＋(－1)n＋2 017n ，且a n <b n ，对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 [－2，32) 解析 由题意，当n 为偶数时，a <2－1n恒成立， 可得a <32；当n 为奇数时， －a <2＋1n恒成立， 可得a ≥－2，故－2≤a ＜32. 17.设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 [5，＋∞)解析 由于T k ＋1＝C k 6⎝⎛⎭⎫12k x 12－3k ， 故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3， f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立， 即m ≥52x 2，又52x 2≤5， 故实数m 的取值范围是m ≥5.18.设M ，N 分别是曲线f (x )＝－x 3＋x 2(x <e)与g (x )＝a ln x (x ≥e)上一点，△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________.答案 (0，2e －2e －1] 解析 ∵△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点恰好在y 轴上，∴M ，N 两点的横坐标互为相反数，设M (－t ，t 3＋t 2)，N (t ，a ln t )(t ≥e)，由题意知OM →·ON →＝0，有－t 2＋(t 2＋t 3)·a ln t ＝0，整理得1a ＝(t ＋1)ln t (t ≥e)， 令h (x )＝(x ＋1)ln x (x ≥e)，则h ′(x )＝ln x ＋1＋1x＞0， ∴h (x )在[e ，＋∞)上是增函数，∴h (t )≥h (e)＝e ＋12， ∴1a ≥e ＋12， 解得0＜a ≤2e －2e －1.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 压轴大题突破练(二)
压轴大题突破练(二) 直线与圆锥曲线(2)1.(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1， 得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2， 因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k 2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2). ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所求离心率的取值范围是(0，22]. 2.已知过点M ⎝⎛⎭⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点.(1)求p 的值；(2)当|AM |＋4|BM |最小时，求直线l 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p 2. 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px 消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.∵OA →·OB →＝－3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24， ∴p 24－p 2＝－3⇒p 2＝4. ∵p >0，∴p ＝2.(2)由抛物线定义，得|AM |＝x 1＋p 2＝x 1＋1， |BM |＝x 2＋p 2＝x 2＋1， ∴|AM |＋4|BM |＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号.将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1， 得x 2＝12(负值舍去). 将x 2＝12代入y 2＝4x ， 得y 2＝±2，即点B ⎝⎛⎭⎫12，±2.将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24. ∴直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0.3.已知动点S (x ，y )到直线l ：x ＝22的距离是它到点T (2，0)的距离的2倍.(1)求动点S 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 上一动点P 满足：OP →＝λOM →＋2μON →，其中M ，N 是轨迹C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，若Q (λ，μ)为一动点，E 1(－32，0)，E 2(32，0)为两定点，求|QE 1|＋|QE 2|的值.解 (1) 点S (x ，y )到直线x ＝22的距离，是到点T (2，0)的距离的2倍，则|x －22|＝ 2 (x －2)2＋y 2， 化简得x 24＋y 22＝1. 所以轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则OP →＝λOM →＋2μON →，即x ＝λx 1＋2μx 2，y ＝λy 1＋2μy 2，因为点P ，M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，x 2＋2y 2＝4，故x 2＋2y 2＝λ2(x 21＋2y 21)＋4μ2(x 22＋2y 22)＋4λμ(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝4λ2＋16μ2＋4λμ(x 1x 2＋2y 1y 2)＝4，设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12， 因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以λ2＋4μ2＝1，所以点Q 是椭圆λ2＋4μ2＝1上的点，而E 1，E 2恰为该椭圆的左，右焦点，所以由椭圆的定义可得，|QE 1|＋|QE 2|＝2.4.已知曲线C 上任意一点P 到两定点F 1(－1，0)与F 2(1，0)的距离之和为4.(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴负半轴交点为A ，过点M (－4，0)作斜率为k 的直线l 交曲线C 于B 、C 两点(B 在M 、C 之间)，N 为BC 中点.①证明：k ·k ON 为定值；②是否存在实数k ，使得F 1N ⊥AC ？如果存在，求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由.(1)解 由已知可得：曲线C 是以两定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a ＝2，c ＝1⇒b ＝a 2－c 2＝3，故曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设过点M 的直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)， 设B (x 1， y 1)，C (x 2， y 2)(x 2>x 1).①联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋4)，x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.故x N ＝x 1＋x 22＝－16k 24k 2＋3， y N ＝k (x N ＋4)＝12k 4k 2＋3. 所以k ON ＝－34k， 所以k ·k ON ＝－34为定值. ②解 若F 1N ⊥AC ，则k AC ·kF 1N ＝－1，因为F 1(－1，0)，kF 1N ＝12k4k 2＋3－16k 24k 2＋3＋1＝4k 1－4k 2， 因为A (－2，0)，k AC ＝y 2x 2＋2， 故y 2x 2＋2·4k 1－4k 2＝－1， 代入y 2＝k (x 2＋4)得x 2＝－2－8k 2，y 2＝2k －8k 3， 而x 2≥－2，故只能k ＝0，显然不成立，所以这样的直线不存在.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 压轴大题突破练(二)
压轴大题突破练(二) 直线与圆锥曲线(2)1.(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1， 得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2， 因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k 2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2). ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所求离心率的取值范围是(0，22]. 2.已知过点M ⎝⎛⎭⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点.(1)求p 的值；(2)当|AM |＋4|BM |最小时，求直线l 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p 2. 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px 消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.∵OA →·OB →＝－3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24， ∴p 24－p 2＝－3⇒p 2＝4. ∵p >0，∴p ＝2.(2)由抛物线定义，得|AM |＝x 1＋p 2＝x 1＋1， |BM |＝x 2＋p 2＝x 2＋1， ∴|AM |＋4|BM |＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号.将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1， 得x 2＝12(负值舍去). 将x 2＝12代入y 2＝4x ， 得y 2＝±2，即点B ⎝⎛⎭⎫12，±2.将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24. ∴直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0.3.已知动点S (x ，y )到直线l ：x ＝22的距离是它到点T (2，0)的距离的2倍.(1)求动点S 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 上一动点P 满足：OP →＝λOM →＋2μON →，其中M ，N 是轨迹C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，若Q (λ，μ)为一动点，E 1(－32，0)，E 2(32，0)为两定点，求|QE 1|＋|QE 2|的值.解 (1) 点S (x ，y )到直线x ＝22的距离，是到点T (2，0)的距离的2倍，则|x －22|＝ 2 (x －2)2＋y 2， 化简得x 24＋y 22＝1. 所以轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则OP →＝λOM →＋2μON →，即x ＝λx 1＋2μx 2，y ＝λy 1＋2μy 2，因为点P ，M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，x 2＋2y 2＝4，故x 2＋2y 2＝λ2(x 21＋2y 21)＋4μ2(x 22＋2y 22)＋4λμ(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝4λ2＋16μ2＋4λμ(x 1x 2＋2y 1y 2)＝4，设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12， 因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以λ2＋4μ2＝1，所以点Q 是椭圆λ2＋4μ2＝1上的点，而E 1，E 2恰为该椭圆的左，右焦点，所以由椭圆的定义可得，|QE 1|＋|QE 2|＝2.4.已知曲线C 上任意一点P 到两定点F 1(－1，0)与F 2(1，0)的距离之和为4.(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴负半轴交点为A ，过点M (－4，0)作斜率为k 的直线l 交曲线C 于B 、C 两点(B 在M 、C 之间)，N 为BC 中点.①证明：k ·k ON 为定值；②是否存在实数k ，使得F 1N ⊥AC ？如果存在，求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由.(1)解 由已知可得：曲线C 是以两定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a ＝2，c ＝1⇒b ＝a 2－c 2＝3，故曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设过点M 的直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，设B (x 1， y 1)，C (x 2， y 2)(x 2>x 1).①联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋4)，x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.故x N ＝x 1＋x 22＝－16k 24k 2＋3， y N ＝k (x N ＋4)＝12k 4k 2＋3. 所以k ON ＝－34k， 所以k ·k ON ＝－34为定值. ②解 若F 1N ⊥AC ，则k AC ·kF 1N ＝－1，因为F 1(－1，0)，kF 1N ＝12k4k 2＋3－16k 24k 2＋3＋1＝4k 1－4k 2， 因为A (－2，0)，k AC ＝y 2x 2＋2， 故y 2x 2＋2·4k 1－4k 2＝－1， 代入y 2＝k (x 2＋4)得x 2＝－2－8k 2，y 2＝2k －8k 3，而x 2≥－2，故只能k ＝0，显然不成立，所以这样的直线不存在.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 中档大题规范练4
中档大题规范练4 概率与统计1.(2016·北京)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班34.567.5910.51213.5(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明). 解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1，2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1，2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1，2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1，2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1，2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2 ∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.2.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm).跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X 的分布列，并求X 的均值.解 (1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，故中位数为12(176＋178)＝177.(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为530×12＝2，不合格人数为530×18＝3. (3)X ＝0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 212＝111，P (X ＝1)＝C 18C 14C 212＝1633，P (X ＝2)＝C 28C 212＝1433.故X 的分布列为E (X )＝0×111＋1×1633＋2×1433＝43.3.安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的. (1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列.解 (1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有C 25·23＝80(种)，∴P (M )＝80243.即5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率为80243.(2)由题意得：ξ＝1，2，3， ξ＝1⇒5人去同一所学校，有C 13＝3(种)，∴P (ξ＝1)＝3243＝181，ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4，1或3，2有C 23·(C 45＋C 35)·A 22＝90(种)，∴P (ξ＝2)＝90243＝3081＝1027，ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3，1，1或2，2，1有(C 35·C 12·12！＋C 25·C 23·12！)·A 33＝150(种)，∴P (ξ＝3)＝150243＝5081.∴ξ 的分布列为4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A 点投中的概率都是12，在B 点投中的概率都是13，且在A ，B 两点处投中与否相互独立，设定甲、乙两人先在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜. (1)求甲投篮总得分ξ的分布列和均值； (2)求甲获胜的概率.解 (1)设“甲在A 点投中”为事件A ，“甲在B 点投中”为事件B ，根据题意，ξ的可能取值为0，2，3，5，则P (ξ＝0)＝P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13，P (ξ＝2)＝P (A B )＝12×(1－13)＝13，P (ξ＝3)＝P (A B )＝(1－12)×13＝16，P (ξ＝5)＝P (AB )＝12×13＝16.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.(2)同理，乙的总得分η的分布列为甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥.因此，所求事件的概率为P ＝P (ξ＝2)×P (η＝0)＋P (ξ＝3)×P (η<3)＋P (ξ＝5)×P (η<5)＝13×13＋16×(13＋13)＋16×(1－16)＝1336. 5.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示， 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人， 求至少有1人成绩是合格等级的概率；(3)在选取的样本中， 从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研， 记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数， 求随机变量ξ的分布列及均值. 解 (1)n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004，y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45， 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，故从该校学生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为910，设在该校高一学生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A ， 则P (A )＝1－C 03×(1－910)3＝9991 000. (3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18×50＝9，A 等级的学生人数为3， 故ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝C 33C 312＝1220，P (ξ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220，P (ξ＝2)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (ξ＝3)＝C 39C 312＝84220＝2155，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×1220＋1×27220＋2×2755＋3×2155＝94.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 压轴大题突破练(四)
压轴大题突破练(四) 函数与导数(2)1.已知函数 f (x )＝12x －sin x ，x ∈R . (1)试求函数f (x )的递减区间；(2)试求函数f (x )在区间[－π，π]上的最值.解 (1)求导数得：f ′(x )＝12－cos x ， 令f ′(x )<0，即12－cos x <0， 得－π3＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )在区间(－π3＋2k π，π3＋2k π)，k ∈Z 上为减函数. (2)由(1)知，函数f (x )在区间(－π，－π3)，(π3，π)上为增函数，在区间(－π3，π3)上为减函数， ∴函数f (x )在x ＝－π3处取极大值f (－π3)＝32－π6，在x ＝π3处取极小值f (π3)＝π6－32，∵f (－π)＝－π2，f (π)＝π2，∴函数f (x )在区间[－π，π]上的最大值为f (π)＝π2，最小值为f (－π)＝－π2. 2.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )＞(a ＋1)ln x ＋ax －1在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.解 (1)由题意得，f ′(x )＝a x＋2x (x ＞0)， ∴f ′(1)＝a ＋2，又f (1)＝0，∴切线方程是y ＝(a ＋2)(x －1)，即(a ＋2)x －y －a －2＝0.(2)由f (x )＞(a ＋1)ln x ＋ax －1得，ax ＜x 2－ln x ，∵x ＞1，∴a ＜x －ln x x恒成立. 令g (x )＝x －ln x x， 则g ′(x )＝x 2＋ln x －1x 2， 令h (x )＝x 2＋ln x －1，则h ′(x )＝2x ＋1x＞0， ∴h (x )在(1，＋∞)上递增，而h (1)＝0，∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上递增，∴g (x )＞g (1)＝1，∴当a ≤1时，a ＜g (x )恒成立，∴a 的取值范围是(－∞，1].3.(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.(1)解 f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a ).①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点.②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2， 则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b >0， 故f (x )存在两个零点.③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a ).若a ≥－e 2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增. 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点.若a <－e 2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增.又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点.综上，a 的取值范围为(0，＋∞).(2)证明 不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2.设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )，所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.4.已知函数f (x )＝ln x －12ax 2 (a ∈R ). (1)若f (x )在点(2，f (2))处的切线与直线x －2y ＋1＝0垂直，求实数a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间[1，e 2]上零点的个数.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f (x )＝ln x －12ax 2. ∴f ′(x )＝1x －ax ＝1－ax 2x， 由于直线x －2y ＋1＝0的斜率为12， ∴12×1－4a 2＝－1，∴a ＝54. (2)由(1)知f ′(x )＝1x －ax ＝1－ax 2x. 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增.当a >0时，由f ′(x )>0，得x <1a ， 由f ′(x )<0，得x >1a ， ∴f (x )在(0，1a)上单调递增，在(1a ，＋∞)上单调递减. 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为 (0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，1a )，单调递减区间为(1a，＋∞). (3)由(2)可知，当a <0时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增，∵f (1)＝－12a >0，∴ f (x )在区间[1，e 2]上没有零点. 当a ＝0时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增，∵f (1)＝－12a ＝0， ∴f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点.当a >0时，①若1a≤1，即a ≥1时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递减， ∵f (1)＝－12a <0，∴f (x )在区间[1，e 2]上没有零点. ②若1<1a <e 2，即1e 4<a <1时，f (x )在[1，1a ]上单调递增，在[ 1a，e 2]上单调递减，∵f (1)＝－12a <0，f (1a )＝－12ln a －12， f (e 2)＝2－12a e 4. 若－12ln a －12<0，即a >1e时，f (x )在区间[1，e 2]上没有零点； 若－12ln a －12＝0，即a ＝1e时，f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点； 若－12ln a －12>0，即a <1e 时，由f (e 2)＝2－12a e 4>0得a <4e4，此时f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点. 由f (e 2)＝2－12a e 4≤0，得a ≥4e4 ，此时f (x )在区间[1，e 2]上有两个零点. ③若1a ≥e 2即0<a ≤1e4时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增， ∵f (1)＝－12a ＜0，f (e 2)＝2－12a e 4>0， ∴f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点.综上所述，当0≤a <4e 4或a ＝1e时，f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点； 当4e 4≤a <1e时，f (x )在区间[1，e 2]上有两个零点； 当a <0或a >1e时，f (x )在区间[1，e 2]上没有零点.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣5含答案
回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc 错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >b c 不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立.故选C.2.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.故选A.3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)答案 C解析 由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C.1 D.4 答案 B解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8，10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40，4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94，故选B.7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案 B解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1). 9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.38 答案 D解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________.答案 8解析 由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝n m ＋4mn＋4≥2n m ·4mn＋4＝8. 当且仅当n ＝2m 时取等号.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.答案 4＋423解析 因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1 ＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2＝23(14a －1＋24－4a )[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a ，即a ＝32－24时，取等号). 12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.答案 1解析 由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2，2)，所以m ＝1. 13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.答案 －2解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大.即过点(0，1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________. 答案 [－1，92]解析 作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5，6)连线斜率，k P A ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做压轴大题突破练(一)
压轴大题突破练压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)1.在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B 在直线l ：x ＝－1上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M . (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过(1)中轨迹E 上的点P (1，2)作两条直线分别与轨迹E 相交于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点.试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解 (1)依题意，得|MA |＝|MB |.∴动点M 的轨迹E 是以A (1，0)为焦点，直线l ：x ＝－1为准线的抛物线， ∴动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)∵P (1，2)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 由①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴直线CD 的斜率为k CD ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.③设直线PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ， 则直线PC 方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ＋2，得ky 2－4y －4k ＋8＝0. 由2＋y 1＝4k ，求得y 1＝4k －2，同理可求得y 2＝－4k－2.∴k CD ＝4y 1＋y 2＝4(4k －2)＋(－4k －2)＝－1，∴直线CD 的斜率为定值－1 .2.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN . (1)解 依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0). 因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 02，y 0.又点A 的坐标为(0，1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1.因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝⎛⎭⎫x 01－y 0，－1.因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点， 所以N ⎝⎛⎭⎫x 02(1－y 0)，－1.所以向量NM →＝⎝⎛⎭⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1.又OM →＝⎝⎛⎭⎫x 02，y 0， 所以OM →·NM →＝x 02⎣⎡⎦⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1)＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0＝⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0. 所以OM ⊥MN .3.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝22.设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相切于点P 且交直线x ＝2于点N ，△PF 1F 2的周长为2(2＋1). (1)求椭圆E 的方程；(2)求两焦点F 1、F 2到切线l 的距离之积； (3)求证：以PN 为直径的圆恒过点F 2. (1)解 设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2a ＋2c ＝2(2＋1)，解得a ＝2，c ＝1. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0.设直线l 与椭圆E 相切于点P (x 0，y 0)， 则Δ＝0，化简2k 2＋1＝m 2，焦点F 1，F 2到直线l 的距离d 1，d 2分别为d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|k ＋m |k 2＋1，则d 1·d 2＝m 2－k 2k 2＋1＝k 2＋1k 2＋1＝1.(3)证明 ∵x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2km ，∴y 0＝kx 0＋m ＝－2k 2m ＋m ＝m 2－2k 2m ＝1m ，∴P (－2k m ，1m).又联立y ＝kx ＋m 与x ＝2，得到N (2，2k ＋m )， PF 2→＝(1＋2k m ，－1m )，F 2N →＝(1，2k ＋m ).∴PF 2→·F 2N →＝(1＋2k m ，－1m )·(1，2k ＋m )＝1＋2k m －1m (2k ＋m )＝1＋2k m －2km －1＝0.∴PF 2→⊥F 2N →，∴以PN 为直径的圆恒过点F 2.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2，0)的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点. (1)解 由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解 设l ：y ＝k (x －2)，与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ>0得0≤k 2<12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝10k 2－21＋2k 2＝5－71＋2k 2.∵0≤k 2<12，∴72<71＋2k 2≤7，故所求范围是[－2，32).(3)证明 由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上， 直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1).令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1，故直线AN 恒过定点(1，0).合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题2 不等式与线性规划 第3练
第3练 “三个二次”的转化与应用[题型分析·高考展望] “二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具.如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力.体验高考1.(2015·陕西)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A.－1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2，8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析 A 正确等价于a －b ＋c ＝0， ① B 正确等价于b ＝－2a ， ② C 正确等价于4ac －b 24a ＝3，③ D 正确等价于4a ＋2b ＋c ＝8.④下面分情况验证，若A 错，由②、③、④组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10，c ＝8.符合题意；若B 错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a 的方程后无实数解；若C 错，由①、②、④组成方程组，经验证a 无整数解；若D 错，由①、②、③组成的方程组a 的解为－34也不是整数.综上，故选A.2.(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2 答案 D解析 方法一 当x >2时， g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2；当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根. 当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋2＝0，无解. 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x ＝2－x ，有无数个解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解. 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋1＝0，无解.所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝(x －2)2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74， 所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.3.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 答案 [－3，1]解析 要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1].4.(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 答案 (3，＋∞) 解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ， 在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ， 使方程f (x )＝b 有三个不同的根， 则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.5.(2015·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值.(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值.(1)证明 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24， 得对称轴为直线x ＝－a2.由|a |≥2，得|－a2|≥1，故f (x )在[－1，1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}. 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4， 得max{f (1)，－f (－1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解 由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2， 故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3， 且|x 2＋2x －1|在[－1，1]上的最大值为2. 即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.高考必会题型题型一 函数与方程的转化例1 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0，3)的图象(如图)，f (0)＝12，当x ＝1时f (x )极大值＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在[－3，4]上有10个根，即函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 在[－3，4]上有10个交点.由于函数f (x )的周期为3，则直线y ＝a 与f (x )的图象在[0，3)上应有4个交点，因此有a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.点评 二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题，一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决，解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组)，或用数形结合的方法解决.变式训练1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________. 答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1共有7个零点.题型二 函数与不等式的转化例2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称.若对任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0恒成立，则当x ＞3时，x 2＋y 2的取值范围是________. 答案 (13，49)解析 由函数f (x －1)的图象关于点(1，0)对称可知，函数f (x )为奇函数.所以不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0，可化为f (x 2－6x ＋21)＜－f (y 2－8y )＝f (－y 2＋8y ). 又因为函数f (x )在R 上为增函数， 故必有x 2－6x ＋21＜－y 2＋8y ， 即x 2－6x ＋21＋y 2－8y ＜0， 配方，得(x －3)2＋(y －4)2＜4.因为x ＞3，故不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＜4，x ＞3，它表示的区域为如图所示的半圆的内部.而x 2＋y 2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方.由图可知，x 2＋y 2的最小值在点A 处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x 2＋y 2＞32＋22＝13，而最大值为圆心(3，4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在圆的边界上，不属于可行域，故x 2＋y 2＜(5＋2)2＝49，故13＜x 2＋y 2＜49.点评 不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具，将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路.而二次不等式的解的确定又要借助二次函数图象，所以二者关系密切.函数单调性的确定是抽象函数转化为不等式的关键.变式训练2 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围.解 设F (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，则问题的条件变为当x ∈[－1，＋∞)时，F (x )≥0恒成立. ∵当Δ＝(－2a )2－4(2－a ) ＝4(a ＋2)·(a －1)≤0，即－2≤a ≤1时，F (x )≥0恒成立. 又当Δ＞0时，F (x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1或a ＜－2，a ≥－3，a ≤－1⇒－3≤a ＜－2.故a 的取值范围是[－3，1]. 题型三 方程与不等式的转化例3 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围. 解 方法一 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]， ①若f (x )＝0在区间[0，2]上有一解， ∵f (0)＝1＞0，则应有f (2)＜0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ＜－32.②若f (x )＝0在区间[0，2]上有两解， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜－m －12＜2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋(m －1)×2＋1≥0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1].方法二 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0＜x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1].点评 “三个二次”是一个整体，不可分割.有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.变式训练3 若关于x 的方程x 2＋ax －4＝0在区间[2，4]上有实数根，则实数a 的取值范围是( )A.(－3，＋∞)B.[－3，0]C.(0，＋∞)D.[0，3] 答案 B解析 如果方程有实数根，注意到两个根之积为－4＜0，可知两根必定一正一负，因此在[2，4]上有且只有一个实数根，设f (x )＝x 2＋ax －4，则必有f (2)f (4)≤0，所以2a (12＋4a )≤0，即a ∈[－3，0].故选B.高考题型精练1.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.2.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A.f (x 1)＜f (x 2) B.f (x 1)＝f (x 2)C.f (x 1)＞f (x 2)D.f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定答案 A解析 f (x )的对称轴为直线x ＝－1，又∵x 1＋x 2＝1－a ，∴x 1＋x 22＝1－a2，0＜a ＜3.∴1－a2＞－1.∵x 1＜x 2，∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离. 又∵a ＞0，∴f (x 1)＜f (x 2).3.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2.函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ＞0)，－1x(x ＜0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，求h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点，即求f (x )＝g (x )在区间[－5，4]上图象交点的个数，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，由图可知两图象在[－5，4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.4.若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－34，0B.⎝⎛⎦⎤－34，0C.⎝⎛⎭⎫0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34 答案 B解析 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1， ∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1， x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (0)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，∴－34＜k ≤0.5.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③ 答案 B解析 因为图象与x 轴交于两点， 所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下， 所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确.6.已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A.(3，4)B.(2，＋∞)C.(2，5)D.(3，22) 答案 B解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象，如图所示，直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线，当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m ＞0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须有直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x ＞0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1，在x ＞0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2＞0， 且m ＞0，解得m ＞ 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞).7.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是______. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜1解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3. ∴－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0⇒－32＜x ＜1. ∴解集为{x |－32＜x ＜1}. 8.已知奇函数f (x )在定义域[－2，2]上单调递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围是________.答案 [－1，1)解析 由f (1－m )＋f (1－m 2)＜0，得f (1－m )＜－f (1－m 2).又f (x )为奇函数，∴f (1－m )＜f (m 2－1).又∵f (x )在[－2，2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ＜1.1－m ＞m 2－1.∴实数m 的取值范围为[－1，1).9.已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点个数为________.答案 10解析 在同一直角坐标系中，分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图，结合图象知，共有10个交点.10.若关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是____.答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析 因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1＜0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a ＞0，且有4－a ＞0，故0＜a ＜4， 不等式的解集为12＋a ＜x ＜12－a，14＜12＋a ＜12， 则一定有{1，2，3}为所求的整数解集，所以3＜12－a≤4， 解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916.11.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0，即a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2，1).12.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0).(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根.∴b 2－4a (b －1)＞0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a ＞0恒成立，∴有(－4a )2－4(4a )＜0⇒a 2－a ＜0， ∴0＜a ＜1.因此实数a的取值范围是(0，1).。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣6含答案
回扣6 立体几何1.概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.(2)三视图①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样. 2.柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 长方形 S ＝2S 底＋S 侧 V ＝S 底·h 圆柱 长方形 S ＝2πr 2＋2πrl V ＝πr 2·l 棱锥 由若干三角形构成S ＝S 底＋S 侧 V ＝13S 底·h圆锥 扇形 S ＝πr 2＋πrl V ＝13πr 2·h棱台 由若干个梯形构成S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧 V ＝13(S ＋SS ′＋S ′)·h圆台 扇环 S ＝πr ′2＋π(r ＋r ′)l ＋πr 2V ＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)·h球S ＝4πr 2S ＝43πr 3 3.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(3)两个结论①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 4.用向量求空间角(1)直线l 1，l 2夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量). (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量).(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α—l —β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量).1.混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件.5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.6.几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90° 直线与平面所成的角0°≤α≤90° 二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90° 直线的倾斜角0°≤α<180° 两个向量的夹角0°≤α≤180°锐角0°<α<90°7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为2的等腰直角三角形，则这个多面体最长一条棱长为()A. 2B. 3C.2 3D.3 2答案 B解析由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为2的等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是12＋(2)2＝ 3.故选B.2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案 D解析在被截去的四棱锥的三条可见棱中，两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合.3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72 cm 3B.90 cm 3C.108 cm 3D.138 cm 3 答案 B解析 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3).4.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图及三视图如图所示，D 为AC 的中点，则下列命题是假命题的是( )A.AB 1∥平面BDC 1B.A 1C ⊥平面BDC 1C.直三棱柱的体积V ＝4D.直三棱柱的外接球的表面积为43π 答案 D解析 由三视图可知，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面B 1C 1CB 是边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2.连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD .在△CAB 1中，O ，D 分别是B 1C ，AC 的中点，∴OD ∥AB 1，∴AB 1∥平面BDC 1.故A 正确.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BD .又AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .∴BD ⊥A 1C . 又A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， ∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，∴A 1B 1⊥BC 1.∵BC 1⊥B 1C ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面A 1B 1C . ∴BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面BDC 1.故B 正确. V ＝S △ABC ×C 1C ＝12×2×2×2＝4，∴C 正确.此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D 错误.故选D.5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 C解析 由中点M ，N 可知MN ∥AD 1，由△D 1AC 是正三角形可知∠D 1AC ＝60°，所以异面直线AC 和MN 所成的角为60°.6.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B7.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝1，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________. 答案52π3解析由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h，则h·34·12＝3⇒h＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R2＝22＋(33)2＝133，因此球的表面积等于4πR2＝4π·133＝523π.8.已知长方体ABCD—A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条.答案 6解析如图，连接EG，EH，FG，∵EH綊FG，∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，可得平面EFGH与平面AB′D′平行，∴符合条件的共有6条.9.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC 与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.答案①③解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知面EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.10.如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成角为60°. 错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上) 答案 ④解析 ①BD ∥B 1D 1，利用线面平行的判定可推出BD ∥平面CB 1D 1； ②由BD ⊥平面ACC 1可推出AC 1⊥BD ；③AC 1⊥CD 1，AC 1⊥B 1D 1可推出AC 1⊥平面CB 1D 1； ④异面直线AD 与CB 1所成角为45°，错误.11.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为________.答案 π6解析 如图，取AC 中点F ，连接FD ，FB .则DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴DE ∥BF ，∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求的角，∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BB 1C 1C ，作GF ∥AB 交BC 于点G ，则GF ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠FBG 为直线BF 与平面BB 1C 1C 所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.12.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边长都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC ，答案不唯一) 解析 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， 又∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ， 又AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC . ∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .13.在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A ＝AB ＝4，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝ 2.(1)求证：BD ⊥PC ； (2)求证：MN ∥平面PDC ； (3)求二面角A —PC —B 的余弦值.(1)证明 因为△ABC 是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ，又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明 在正三角形ABC 中，BM ＝23， 在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ， 所以AD ＝CD ，又∠CDA ＝120°，所以DM ＝233，所以BM ∶MD ＝3∶1，在等腰直角三角形P AB 中， P A ＝AB ＝4，PB ＝42，所以BN ∶NP ＝3∶1， BN ∶NP ＝BM ∶MD ，所以MN ∥PD ， 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以MN ∥平面PDC .(3)解 因为∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝90°，所以AB ⊥AD ，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B (4，0，0)，C (2，23，0)，D (0，433，0)，P (0，0，4).由(1)可知，DB →＝(4，－433，0)为平面P AC 的一个法向量，PC →＝(2，23，－4)，PB →＝(4，0，－4)， 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋23y －4z ＝0，4x －4z ＝0.令z ＝3，则平面PBC 的一个法向量为n ＝(3，3，3)， 设二面角A —PC —B 的大小为θ， 则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝77.所以二面角A —PC —B 的余弦值为77.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。
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第36练 “排列、组合”常考问题 [题型分析·高考展望] 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用. 体验高考
1.(2015·四川)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案 B 解析 由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A34＝72(个)；若万位是4，则
有2×A34＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个).选B.
2.(2016·课标全国甲)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9 答案 B 解析 从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18(种)，故选B. 3.(2016·四川)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72 答案 D 解析 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有
C13·A44＝72(个).选D. 4.(2015·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答). 答案 1 560 解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560(条)毕业留言.
高考必会题型
题型一 排列问题 例1 (1)在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为( ) A.150 B.200 C.600 D.1 200 (2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________. 答案 (1)D (2)480 解析 (1)由已知，第一颗棋子有5×5＝25(种)放法，由于放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，所以第二颗棋子有4×4＝16(种)放法，第三颗棋子有3×3＝9(种)放法，第四颗棋子有2×2＝4(种)放法，第五颗棋子有1种放法，又由于黑子、白子分
别相同，所以不同的排列方法种数为25×16×9×4×13×2×1×2×1＝1 200，选D. (2)方法一 (位置分析法) 先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A44种站法.由分步乘法计数原理，知共有A25A44＝480(种)
不同的站法. 方法二 (元素分析法) 先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最 右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A55种站法.
由分步乘法计数原理，知共有A14A55＝480(种)不同的站法.
方法三 (反面求解法) 6人没有限制的排队有A66种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A55种站法，因此符合条件的不同站法共有A66－2A55＝480(种).
点评 求解排列问题的常用方法 (1)特殊元素(特殊位置)优先法； (2)相邻问题捆绑法； (3)不相邻问题插空法； (4)定序问题缩倍法； (5)多排问题一排法. 变式训练1 (1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 (2)有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： ①5位同学站成一排，有________种不同的方法； ②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有________种不同的方法. 答案 (1)D (2)①120 ②24 解析 (1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.
(2)①A55＝120. ②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，故有A22A22A23＝24种不同的排法.
题型二 组合问题 例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法. (1)至少有2名外籍搜救队队员； (2)至多有3名外籍搜救队队员. 解 (1)方法一 (直接法) 由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类： ①有2名外籍队员，共有C37·C24种组队方法； ②有3名外籍队员，共有C27·C34种组队方法；
③有4名外籍队员，共有C17·C44种组队方法.
根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C37·C24＋C27·C34＋C17·C44＝301(种)
不同的组队方法. 方法二 (间接法) 由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类： ①只有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种组队方法；
②没有外籍搜救队队员，共有C57C04种组队方法.
所以至少有2名外籍搜救队队员共有C511－C47C14－C57C04＝301(种)不同的组队方法.
(2)方法一 (直接法) 由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类： ①有3名外籍搜救队队员，共有C27C34种方法；
②有2名外籍搜救队队员，共有C37C24种方法；
③有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种方法；
④没有外籍搜救队队员，共有C57种方法.
由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C27C34＋C37C24＋C47C14＋C57＝455(种)
不同的组队方法. 方法二 (间接法) 由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C17C44种组队方法，所以至多有3名外籍搜救队队员
共有C511－C17C44＝455(种)不同组队方法.
点评 (1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题. (2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准. (3)判断是否为“分组”问题，避免重复. 变式训练2 (1)从不同号码的三双靴子中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为( ) A.12 B.24 C.36 D.72 (2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________.(用数字作答) 答案 (1)A (2)590 解析 (1)恰好有一双的取法种数为C13C12C12＝12.
(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＝360(种). ②选2名骨科医生，则有C23(C14C25＋C24C15)＝210(种).
③选3名骨科医生，则有C33C14C15＝20(种).
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590. 题型三 排列与组合的综合应用问题 例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内. (1)恰有1个盒子不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒子内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒子不放球，共有几种放法？ 解 (1)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13A22＝144(种).
(2)“恰有1个盒子内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒子内有2个球”与“恰有1个盒子不放球”是同一件事，所以共有144种放法. (3)确定2个空盒有C24种方法. 4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22·A22种方法.故共有C24(C34C11A22＋C24C22
A22
·A22)＝84(种).
点评 (1)排列、组合混合问题一般“先选后排”. (2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”. (3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解. 变式训练3 (1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答) (2)把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且A、B两件