八数强化班讲义二 二次根式的加减
八年级数学二次根式的加减
【例题精讲2】根据可以合并的二次根式求字母的值或取值范围
例1.如果最简二次根式 与 在二次根式的加减运算中可以合并，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A、x＜10 B、x＞10 C、x≤10 D、x≥10
【试一试】
1.如果两个最简二次根式 和 可以合并，那么 － ＝。
1、二次根式的加减法法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
例1.已知7＋ 和7－ 的小数部分分别为a、b，试求代数式ab－a＋4b－3的值。
【试一试】
1.若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值。
【例题精讲4】二次根式的规律探索题
例1.先观察下列等式，再回答问题：
① ；② ；③ ；④ ；……
（1）根据以上线索，请你写出第8个等式：；
（2）请根据你找到的规律，写出第n个等式：。（n为正整数）
【试一试】
1.先观察下列等式，再回答问题。
① ＝1＋ ＝ ；② ＝1＋ ＝ ；③ ＝1＋ ＝ 。请你根据上面提供的信息，猜想 的结果为。
1、下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
A、 B、 C、 D、
2、与 不是同类二次根式的是（）
A、 B、 C、 D、
3、下列根式中，是最简二次根式的是（）
A、 B、 C、 D、
7．已知二次根式 与 是同类二次根式，(a＋b)a的值是。
8．观察下列各式： ……请你将猜想到的规律用含n（n为正整
数）的代数式表示出来是。
9．当y＝ 时， 的值是；当a＞0，b＞0时， ＝。
10．若 ＝10，则x的值为。
11．计算
（1） ＋ ＋ － （2）
人教版八年级数学下册《二次根式的加减》二次根式PPT课件
7.5dm
5dm S=18dm2
S=8dm2
8+ 18
探究新知
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中 各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算
的依据）.
解：列式如下：
8+ 18
2 2+3 2 （化成最简二次根式） （2+3） 2 （逆用分配律）
5 2.
在有理数 范围内成立的 运算律，在实 数范围内仍然 成立.
课堂检测
5.计算: (1)5 8 - 2 27 18;
解：(1)5 8 - 2 27 18
10 2-6 3 3 2 13 2 - 6 3 ;
(2) 2 18 - 50 1 45 .
3
(2)2 18 - 50 1 45
3
6 2-5 2 5
2 5.
课堂检测
6.如果最简二次根式 3a 8 与 17 2a 可以合并，那么要
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 a 8 2 2,b 5, c 3 2 ；
(2)能.理由如下： ∵
即a＜c＜b，
又∵
∴a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
课堂检测
拓广探索题
已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b ，求
（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b=
探究新知 考 点Байду номын сангаас2 有关代数式的二次根式运算
已知 x 3 1, y 3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把
代入上式得
原式= （ 3+1）+（ 3 1）2
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式PPT教学课件
积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
c
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，
所以这段路基的土石方为：
1
2
4 2 + 6 2 × 6 × 500 = 2 2 + 3 2 × 6 × 500
= 5 2 × 6 × 500
随堂检测
5．计算：
(1)5 8 − 2 27 + 18
解：(1) 5 8 − 2 27 + 18
(2)2 18 − 50 +
(2) 2 18 − 50
1
3
1
+
3
=10 2 − 6 3 + 3 2
=6 2 − 5 2 + 5
=13 2 − 6 3
= 2+ 5
45
45
随堂检测
6. 已知a，b都是有理数，现定义新运算a*b= + 3 ，
重难点
重点：掌握二次根式的混合运算的运算法则.
难点：会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
新课导入
1. 整式混合运算的顺序是：
先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的(或者先去括号).
2. 二次根式的乘除法法则是：
⋅ = ≥ 0, ≥ 0
=
≥ 0, > 0
步骤
一化，二找，三合并.
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方
数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
再见
二次根式的加减
第2课时
学习目标
《二次根式的加减法》 讲义
《二次根式的加减法》讲义一、引入同学们，在我们的数学世界中，二次根式是一个非常重要的概念。
而今天，我们要来一起探索二次根式的加减法。
这可是解决很多数学问题的有力工具哦！二、二次根式的基本概念在学习二次根式的加减法之前，咱们先来回顾一下二次根式的基本概念。
形如\（＼sqrt{a}＼）（＼（a\geq 0\））的式子叫做二次根式。
其中，＼（a\）叫做被开方数。
例如，＼（＼sqrt{4}＼）、＼（＼sqrt{9}＼）、＼（＼sqrt{5}＼）都是二次根式。
二次根式有两个重要的性质：（1）＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼），当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
（2）＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））三、同类二次根式要进行二次根式的加减法，首先得了解同类二次根式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
例如，＼（＼sqrt{8}＼）和\（＼sqrt{18}＼），将它们化简：＼（＼sqrt{8} ＝＼sqrt{4\times 2} ＝ 2\sqrt{2}＼）＼（＼sqrt{18} ＝＼sqrt{9\times 2} ＝ 3\sqrt{2}＼）可以看出，它们化简后的被开方数都是\（2\），所以\（＼sqrt{8}＼）和\（＼sqrt{18}＼）是同类二次根式。
四、二次根式的加减法法则那么，如何进行二次根式的加减法呢？二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
合并同类二次根式时，只把系数相加减，根式不变。
例如，计算：＼（＼sqrt{27} ＋＼sqrt{12} ＼sqrt{75}＼）首先，化简各个二次根式：＼（＼sqrt{27} ＝＼sqrt{9\times 3} ＝ 3\sqrt{3}＼）＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4\times 3} ＝ 2\sqrt{3}＼）＼（＼sqrt{75} ＝＼sqrt{25\times 3} ＝ 5\sqrt{3}＼）然后，将同类二次根式合并：＼＼begin{align}＆3\sqrt{3} ＋ 2\sqrt{3} 5\sqrt{3}＼＼＝＆（3 ＋ 2 5)＼sqrt{3}＼＼＝＆0＼end{align}＼再比如，计算：＼（＼sqrt{8} ＼sqrt{18} ＋＼sqrt{32}＼）化简可得：＼（＼sqrt{8} ＝ 2\sqrt{2}＼）＼（＼sqrt{18} ＝ 3\sqrt{2}＼）＼（＼sqrt{32} ＝ 4\sqrt{2}＼）＼＼begin{align}＆2\sqrt{2} 3\sqrt{2} ＋ 4\sqrt{2}＼＼＝＆（2 3 ＋ 4)＼sqrt{2}＼＼＼end{align}＼五、二次根式加减法的步骤为了更清晰地进行二次根式的加减法运算，我们可以按照以下步骤来操作：1、将每个二次根式化为最简二次根式。
第09讲 二次根式的加减(解析版)-八年级数学
第09讲二次根式的加减1.理解同类二次根式的定义；1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算知识点1：同类二次根式1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如)0()(m ≥+=+a a n m a n a 知识点2：二次根式的加减1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）考点一：同类二次根式的判断例1．（2023春•白云区期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B．与是同类二次根式，故本选项符合题意；C．，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D．，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【变式1-1】（2023春•海珠区校级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝3，与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、＝2，与不是同类二次根式，故B不符合题意；C、＝，与是同类二次根式，故C符合题意；D、＝，与不是同类二次根式，故D不符合题意；故选：C．【变式1-2】（2023春•潜江月考）下列二次根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、＝4，故A符合题意；B、﹣＝﹣3，故B不符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、＝，故D不符合题意．故选：A．【变式1-3】（2023•嘉定区二模）下列根式中，与为同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：＝3，所以，与为同类二次根式的是．故选：A ．考点二：求同类二次根式中的参数例2.（2023春•潮阳区校级期中）已知最简二次根式与可以合并，则a的值为（）A ．2B ．5C ．11D ．14【答案】B【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，∴a ﹣2＝3，∴a ＝5，故选：B ．【变式2-1】（2023春•庐阳区校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a 的值为（）A ．0B ．8C ．2D ．2或8【答案】C【解答】解：由题意得：2a ﹣1＝9﹣3a ，2a +3a ＝9+1，5a ＝10，a ＝2，故选：C ．【变式2-2】（2023春•淮北月考）已知二次根式与是同类二次根式，则a 的值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解答】解：，A 、当a ＝2时，，所以与不是同类二次根式；B 、当a ＝3时，，所以与是同类二次根式；C 、当a ＝4时，，所以与不是同类二次根式；D 、当a ＝5时，＝，所以与不是同类二次根式．故选：B ．【变式2-3】（2023春•伊犁州期中）如果最简二次根式与是同类根式，那么a的值是（）A．a＝5B．a＝3C．a＝﹣5D．a＝﹣3【答案】B【解答】解：由题意可知：＝2，3a﹣7＝2a＝3故选：B．考点三：二次根式加减运算例3.计算下列各题：（1）4+3﹣6﹣5；（2）﹣++．【答案】（1）﹣4；（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣4；（2）原式＝3+＝．【变式3-1】（2023春•海淀区校级期中）计算：．【答案】．【解答】解：＝2＝．【变式3-2】（2023春•上海期中）计算：3﹣﹣（）．【答案】．【解答】解：3﹣﹣（）＝3﹣﹣＝．【变式3-3】（2022春•贺州期中）计算：+2．【答案】4+6．【解答】解：+2＝4﹣2+6+2＝4+6．考点四：二次根式的混合运算例4.（2023春•东丽区校级期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）4；（2）﹣1；（3）；（4）6．【解答】解：（1）＝2﹣+3＝4；（2）＝﹣＝2﹣3＝﹣1；（3）＝2﹣+＝；（4）＝16﹣5﹣（9﹣6+2）＝16﹣5﹣9+6﹣2＝6．【变式4-1】（2023春•海淀区校级期中）计算：（1）|﹣|+﹣3；（2）（2+）（2﹣）﹣÷．【答案】（1）2；（2）﹣2．【解答】解：（1）|﹣|+﹣3；＝+2﹣＝2；（2）＝22﹣﹣3＝4﹣3﹣3＝﹣2．【变式4-2】（2023春•东城区期中）计算下列各题：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝．考点五：已知字母的值化简求值例 5.（2023春•朝阳区校级期中）先化简，再求值：，其中：a＝3，b＝2．【答案】a﹣b，1．【解答】解：原式＝﹣•a+a﹣b＝﹣+a﹣b＝a﹣b，当a＝3，b＝2时，原式＝3﹣2＝1．【变式5-1】（2023春•上杭县校级月考）先化简，再求值：，其中a＝2，b＝3．【答案】2，2．【解答】解：原式＝﹣2+3＝2，当a＝2，b＝3时，原式＝2．【变式5-2】（2023春•潜江月考）先化简，再求值：，其中x＝，y＝﹣8．【答案】，20．【解答】解：＝＝，当x＝，y＝﹣8，原式＝＝10×2＝20．考点六：已知条件化简求值例6.（2023春•南昌期中）已知，，求下列各式的值．（1）a+b和ab；（2）a2+ab+b2．【答案】（1）；2；（2）18．【解答】解：（1）a+b＝++﹣＝2；ab＝（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝5﹣3＝2；（2）a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝（2）2﹣2＝20﹣2＝18．【变式6-1】（2023春•拱墅区期中）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣2xy+y2；（2）x2﹣y2．【答案】（1）144；（2）24．【解答】解：（1）∵x＝+6，y＝﹣6，∴x﹣y＝（+6）﹣（﹣6）＝12，x+y＝（+6）+（﹣6）＝2，∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝122＝144；（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×12＝24．【变式6-2】（2022秋•北塔区期末）已知，求的值．【答案】﹣．【解答】解：∵x＝，y＝，∴＝＝＝＝＝﹣．【变式6-3】（2023春•中山市期中）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝+2+﹣2＝2，a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，（1）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．考点七：二次根式的新定义运算例7.（2021春•科左中旗期末）对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b＝，则2※6＝．【答案】2．【解答】解：2※6＝＝＝＝＝2，故答案为：2．【变式7-1】对于任意不相等的两个正实数a，b，新定义一种运算“*”如下：a*b＝，那么2*6＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：2*6＝＝＝2．故答案为：2．【变式7-2】对于实数a、b作新定义：a@b＝ab，a※b＝a b，在此定义下，计算：（﹣）@﹣（﹣4）※2＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（﹣）@﹣（﹣4）※2＝（﹣）×﹣（﹣4）2＝（4﹣3）﹣3＝1﹣3．故答案为：1﹣3．考点八：二次根式的应用例8.（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，∴这两个正方形的边长分别为2dm和3dm，∴原矩形木板的面积为3（2+3）＝45（dm2）；（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：∵2≈3.464，≈1.732，3.46÷1≈3（块），1.73÷1.5≈1（块），3×1＝3（块）．∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．【变式8-1】（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：（cm3），答：长方体盒子的容积为18cm3；（2）长方体盒子的侧面积为：（cm2），答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．【变式8-2】（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t＝，得：t＝＝4，答：落到地面所用时间为4s．【变式8-3】（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【解答】解：（1）（+）×2＝（8+5）×2＝26（米），答：矩形ABCD 的周长为26米；（2）×﹣2×（+1）×（﹣1）＝8×5﹣2×（13﹣1）＝80﹣24＝56（平方米），6×56＝336（元），答：购买地砖需要花费336元．1．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A ．与B ．与C ．与D ．与【答案】D【解答】解：A 、＝2和不是同类二次根式，本选项不合题意；B 、＝2与不是同类二次根式，本选项不合题意；C 、与不是同类二次根式，本选项不合题意；D 、＝5，＝3是同类二次根式，本选项符合题意．故选：D ．2．（2022•宁夏）下列运算正确的是（）A ．﹣2﹣2＝0B ．﹣＝C ．x 3+x 3＝2x 6D ．（﹣x 3）2＝x 6【答案】D【解答】解：A ．﹣2﹣2＝﹣4，故此选项不合题意；B ．﹣＝，故此选项不合题意；C ．x 3+x 3＝2x 3，故此选项不合题意；D ．（﹣x 3）2＝x 6，故此选项符合题意；故选：D ．3．（2020•绥化）化简|﹣3|的结果正确的是（）A ．﹣3B ．﹣﹣3C ．+3D ．3﹣【答案】D 【解答】解：∵，∴|﹣3|＝＝．4．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】B【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B．5．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．6．（2021•包头）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（）A．7B．4C．3D．3﹣2【答案】C【解答】解：∵x＝+1，∴x﹣1＝，∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．故选：C．7．（2022•德州）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝3﹣2＝，故答案为：．8．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．【答案】2．【解答】解：∵1＜＜2，∴1＜3﹣＜2，∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，∴（2+a）•b＝（2+）（2﹣）＝2，故答案为：2．9．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于．【答案】18．【解答】解：原式＝（）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．10．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则的值是．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵y＝++，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，y＝，则原式＝×＝＝，故答案为：11．（2022•陕西）计算：5×（﹣2）+×﹣（）﹣1．【答案】﹣9．【解答】解：原式＝﹣10+﹣3＝﹣10+4﹣3＝﹣9．12．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．【答案】6ab，6．【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2＝6ab，∵a＝﹣，b＝+，＝6×（﹣）（+）＝6．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．【答案】﹣4．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．1．（2023春•上思县月考）下列各式与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：，与不是同类二次根式，故A不符合题意；，与不是同类二次根式，故B不符合题意；，与不是同类二次根式，故C不符合题意；，与是同类二次根式，故D符合题意，故选：D．2．（2022秋•渌口区期末）是经过化简的二次根式，且与是同类二次根式，则x 为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：∵是经过化简的二次根式，且与是同类二次根式，∴7﹣2x＝5，故选：A．3．（2023春•仁化县期中）计算：（1）计算：；（2）计算：．【答案】（1）0；（2）．【解答】解：（1）原式＝＝＝0；（2）原式＝＝＝．4．（2023春•北京期中）计算：．【答案】．【解答】解：＝＝＝．5．（2022•长安区校级开学）计算：（）﹣3（）．【答案】5﹣11．【解答】解：原式＝4﹣10×﹣3（3﹣）＝4﹣2﹣9+＝5﹣11．6．（2023春•拱墅区校级期中）计算：（1）．（2）．【答案】（1）11；（2）﹣1．【解答】解：（1）＝+＝+10（2）＝2﹣4+3﹣＝﹣1．7．（2023春•莱西市期中）已知，，试求代数式2x2﹣5xy+2y2的值．【答案】42．【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，∴x﹣y＝2，xy＝3﹣5＝﹣2，∴2x2﹣5xy+2y2＝2x2﹣4xy+2y2﹣xy＝2（x﹣y）2﹣xy＝2×（2）2﹣（﹣2）＝42．8．（2023春•光泽县月考）先化简，再求值：，其中．【答案】2x2﹣x﹣2，22﹣．【解答】解：＝x2﹣2+x2﹣x＝2x2﹣x﹣2，当x＝时，原式＝＝24﹣﹣2＝22﹣．9．（2022秋•道县期末）已知，．（1）求ab的值；（2）求a2﹣b2的值．【答案】（1）1；（2）．【解答】（解：（1）∵，，∴；（2）解：∵，，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝＝．10.方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；。
八年级数学二次根式的加减法
12.7二次根式的加减法(第1课时)教学目标：1．类比同类项概念，了解同类二次根式的意义，学会识别同类二次根式(难点)2．能熟练进行简单二次根式的运算(重点)教学重点：⒈同类二次根式的概念⒉二次根式加减运算的方法本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点．教学难点：二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了．整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触二次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握二次根式的加减法运算是本节的难点．教学过程：一、情景导入与练习：1．同类项的特点？如何合并同类项？2．计算：a +a = ，a +2a = ，a +2b －b +2a = ， 类似地：33+= ，323+= ，223+－32+= ，3．思考并尝试说明：你对以上加减法的理解？二、探究与训练：活动1：例题探究，计算：3233-，a a 23+学生根据前面的经验体验，讨论尝试，交流互助，达成共识教师引导学生归纳所感要点：①同类二次根式：根号和根号内的部分完全相同的根式就是同二次根式(分类区别标志，只需看根号内是否相同)②同类二次根式的合并方法：合并同类二次根式时，根号部分(视为一个整体)不变，只需将根号的系数相加减。
③利用整体思想和类比方法，合并同类项与合并二次根式实际上是同一种变形。
活动2：例题探究，计算：a b b a 4223-+-3223-，a b b a 2323-+-学生练习研究、分歧及争论教师引导学生叙述所思所得：非同类二次根式不能合并活动3：同类二次根式的识别：指出下列各组二次根式是否同类二次根式：2与22 2 与 －2 a b 与 b a ab b 与 ba a－8与22 b a b 2 与 2ab a (其中a 、b 是正数)8、50 与 －18 b a b 3 与 3ab a (其中a 、b 是正数)讨论：还能简单地认为“只有根号内完全相同的二次根式才是同类二次根式”吗？究竟怎样的式子才是同类二次根式？教师点评：同类二次根式是化简后被开方数相同的根式。
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八数强化班讲义二 二次根式的加减
上节课回顾
1.二次根式的有关概念：
（1）形如 的 式子叫做二次根式.
（即一个 的算术平方根叫做二次根式
二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
(3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质：
（1） 非负性 ：
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
1、
二次根式的加减：
1）、 下列根式中，哪些是最简二次根式？
2）、下列各组中是同类二次根式的是( )
0()aa
2
(2))(0)aa
a2(3)
(4)(0,0)abab
(5)(00)aabb
(0,0)abab
(0,0)aabb
3）探究：二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？
（1） （2） (3) (4)
小结：二次根式加减法计算步骤：
二次根式加减时，第一 将每个二次根式化成最简二次根式；第二 找出其中的同类二次根式；
第三 合并同类二次根式． 简记：一化，二找，三合并
小练习：
1、计算（1） （2）
2、计算（1） (2)
提高练习1、
课堂巩固：
1. 若，则的值等于（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
2. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
3. 下列式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在中，与是同类二次根式的是 。
5.若最简二次根式与是同类二次根式，则。
6. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。
7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。
8. 已知，则。
9. 已知，则。
10. 。
11、计算(1) (2)
（3） (4)
12、思考探究： 已知：4x2+y2-4x-6y+10=0
求（+y2）-（x2-5x）的值．
13. 已知：，求的值。
题组练习
一、选择题
1．若m3为二次根式，则m的取值为 （ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3
2．下列式子中二次根式的个数有 （ ）
⑴31；⑵3；⑶12x；⑷38；⑸231)(；⑹)(11xx；⑺
322xx
.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．当22aa有意义时，a的取值范围是 （ ）
A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2
4．下列计算正确的是 （ ）
①69494))((；②69494))((；
③145454522；④145452222；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．化简二次根式352)(得 （ ）
A．35 B．35 C．35 D．30
6．对于二次根式92x，以下说法不正确的是 （ ）
A．它是一个正数 B．是一个无理数C．是最简二次根式 D．它的最小值是3
7．把aba123分母有理化后得 （ ）
A．b4 B．b2 C．b21 D． bb2
8．ybxa的有理化因式是 （ ）
A．yx B．yx C．ybxa D．ybxa
9．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ）
A．23a B．31 C．153 D．143
10．计算：ababba1等于 （ ）
A．abab21 B．abab1 C．abb1 D．abb