第六讲 一次函数动点问题
一次函数的动点问题 优课一等奖课件
归纳解题步骤
①分析题目已知条件、所求问题； ②建立平面直角坐标系，画出图形；
③找出常量、变量，在运动变化过程中 寻找变量间的关系，建立一次函数模型；
④列出函数关系式并求出自变量的取值范围；
你体会到了哪些数学思想方法？
方程
函数
❖转化的思想
面积
高
线段 纵坐标
横坐标
❖ 数形结合的思想
抽象 复杂ห้องสมุดไป่ตู้
直观 简单
华罗庚方程函数线段纵坐标横坐标面积抽象直观复杂简单布置作业是否存在实数使得若存在请写出所有满足条件的的值若不存在请说明理由
探究题目
人教版八年级下册P108综合运用第10题。 已知：点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y）， 且x+y=10，设△OPA的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式； （2）求 x的取值范围； （3）当s=12时，求P点坐标； （4）画出函数S 的图象。
点
P( p, 3 4
p 6) ，是否存在实数 p,使得
SPOB
12？
若存在，请写出所有满足条件的 p的值，若不存在，
请说明理由。
直线AB：y
3
x
6
4
思考以下问题
(1) 坐标象限点的特征； (2) 三角形面积公式； (3)对x+y=10的理解
二元一次方程
一次函数：y=kx+b
y=-x+10
填空
213...已已已知知知AA(A8((，88，0，)0及0)及)在及第在在一第第象一四限象的象限点限的P的(点x，点PyP()2(,2，，3-)3,) ,
设设设△△△OOOPPPAAA的的的面面面积积积为为S为，SS则，，S则=则S_S=_=_________
培优专题六 一次函数与动点问题
1．[201德4·惠一模 ]如图1，点A，B的坐标分别为 (1，0)、(0，1)，
点P是第一象限内直线 y＝－x＋3上的一个动点，当点 P的横坐
标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积 ( D )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先减小后增大
D．不变
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图1
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4．已知，如图 4所示，直线 PA 与x轴交于点 A ，与y轴交于点 C(0， 2)，且S△AOC＝4，直线BD 与x轴交于点 B，与y轴交于点 D，直 线PA 与直线BD 交于点P(2，m)，点P在第一象限，连接 OP. (1)求点 A 的坐标； (2)求直线PA 的解析式； (3)求m 的值； (4)若S △BOP ＝S△DOP，请你直接写出直线 BD 的解析式．
值是 C′D.
连接 CD，在 Rt △DCC′中，
C′D＝ C′C2＋CD2＝2 2， 即 PC＋PD 的最小值为 2 2， ∵OA，AB 的中点分别为 C，D，
第5题答图
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∴CD 是△ OBA 的中位线， ∴ OP ∥ CD， CD＝12OB ＝ 2， ∵C′O＝OC，∴OP 是△C′CD 的中位线， ∴OP＝12CD＝1，∴点 P 的坐标为 (0，1)．
(3)探究：当 P 运动到什么位置时，三角形 OPA 的面积为 287？ 并说明理由．
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图3
解：(1)∵点 E(－8，0)在直线 y＝kx＋6 上， ∴0＝－ 8k＋6，∴k＝34； (2)∵k＝34， ∴直线的解析式为： y＝34x＋6，
一次函数中的动点问题
一次函数中的动点问题一次函数是最基础的函数，也是初中数学中的重要内容之一,是中考中必考内容之一,下面以一次函数动点问题为例进行分析,希望对同学们学习这部分知识有所帮助.一. 动点与最值问题例1 如图1，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为A ．（0，0）B ．（12，－12） C ．（2，－2） D ．（－12，12） 解析:如图2,过点A 向直线y=-x 作垂线段,垂足为点M ，则当点B运动到点M 的位置时,线段AB 最短.再作MN ⊥OA 于点N,正比例函数y=-x 的图象是二、四象限的角平分线，∴△OAM 和△OMN 均为等腰直角三角形.∵OA=1, ∴ON=12,即M 点的横坐标为12，代入y=-x 中，∴y=-12,∴点M 的坐标为(12,-12),∴故选B. 评注：解答本题涉及四个知识点;(1)正比例函数y=-x 的图象是二、四象限夹角平分线；（2）根据“垂线段最短”确定动点B 的位置；（3）利用等腰三角形“三线合一”的性质求得M 点的横坐标；（4）把求得的横坐标代入y=-x 中，求得纵坐标.二. 动点与图形面积例2 如图2，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ） A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 解析:动点从点出发,沿边运动到点的过程中，的值逐渐增大,到达点时,面积最大,当动点在边上由点运动到点时,的值不变,的面积为故选评注:解决本题的关键是找出图象与题中运动过程相对应的阶段,分析对应部分的变化情况,找到解题突破口.同学们在解决此类题中，应培养自己通过特殊点分析函数图象与题中情境的关系的能力.三. 动点与函数图象例3在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。
一次函数中的动点问题
用一次函数解决问题——动点问题中的一次函数图像【学习目标】1、从变换的角度来研究动点问题中的函数图像，渗透空间观念和合情推理，培养解决问题的能力；2、在解决问题的过程中体会数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、转化思想。
【重点、难点】重点：综合运用一次函数图像中的信息和其它知识解决动点问题难点：从变换的角度来研究函数图像一、课前尝试练习：问题：如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，在矩形的边上沿A→B→C→D方向运动至点D处停止.(1)设点P运动的路程为x，△ADP的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则图2中的点N的横坐标为_________.二、尝试探究（基本尝试题的提高）：(2) 如图1，在(1)的条件下，已知点P从A点出发开始以每秒a个单位长度的速度匀速运动，第5秒时点P改变速度，以每秒2个单位长度向D运动．设点P运动的时间为t(s)，△APD的面积为S，S与t的函数图象如图3所示.①a=_________；②点M的坐标为_________，I的坐标为__________；③求t为何值时，△APD的面积为2？(3)点P按（2）中方式运动，若点P从点A出发的同时，点Q从点D出发，在矩形边上沿D→C→B→A 路线向点A匀速运动，到达点A后停止．图3是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程y与时间t(s)之间的函数图象．①请解释图中点H的实际意义；②求Q点的运动速度；③将图4补充完整；三、尝试成功（自我测评）：1.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=7时，点E应运动到（）A.点C处B.点D处C.点B处D.点A处图1 图22、如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则图（2）中点M的纵坐标为（）A.3B.4C.6D.73、如图，一只长方形ABCD中，AB=4，BC=2，正方形DEFG的边长为2，且点G在CD上，动点P从点B出发，以1个单位长度/s的速度沿折线B→C→G→F向终点F运动，设运动时间为xs，△PAB的面积为y，则y与x之间的函数关系用图象可以表示为（）A. B. C. D.4、如图1，从矩形纸片AMEF中剪去矩形BCDM后，动点P从点B出发，沿BC、CD、DE、EF 运动到点F停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则图形ABCDEF的面积是()A.32B.34C.36D.48三、课后作业：如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒d（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）参照图②，求a、b及图②中的c值；（2）求d的值；（3）设点P出发x（秒）后离开点A的路程为y（cm），请写出y与x的函数表达式，并求出点P 与Q相遇时x的值．。
数学人教版八年级下册一次函数动点问题
课题：一次函数图象上动点与坐标轴构成三角形面积问题一、教学目标(1)知识与技能使学生掌握一次函数动点问题的解题方法。
培养学生敏锐的观察力、运算的准确性、思维的灵活性、发散性、独立性、合作性。
(2)过程与方法经历动点问题的探究，掌握确定动点坐标和构成三角形面积的方法。
(3)情感、态度与价值观培养学生探索问题的积极性、主动性。
(4)创新培养学生发现问题的创新意识、探索问题的创新精神以及多层次、多角度思考问题的创新思维。
二、重、难点：重点：掌握求一次函数图象上满足条件动点坐标的方法。
难点：满足条件动点坐标找不全问题。
三、教学准备：多媒体课件四、教学过程：直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E，F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：点P 在直线y=kx+6上运动，当P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为 ，并说明理由．解：（1）把E （-8，0）代入y=kx+6得k=43即：y=43x+6（考查用待定系数法求函数的解析式）（2）连接PA 、PO ，作PC ⊥OA 垂足为C∵点A 的坐标为（-6，0）∴OA=6∵PC=y ，点P （x ，y ）在第二象限内∴PC= y∴ △OPA 的面积S=6y ÷2（考查灵活运用公式求三角形面积）又∵y=43x+6 ∴1849+=x s x 的取值范围是 -8 <x<0（3）∵ △OPA 的底OA=6，PC=y∴42726=÷=y s解之得y=49±（考查不定点的多种情况分析能力）－8－6P ·C P ·△OPA 的面积为 ），的坐标为（点得时，代入当495P 564349-∴-=+==x x y y ），的坐标为（点得时，代入当4911P 1164349--∴-=+=-=x x y y ）时，，）或（，运动到点（当4911495P ---∴。
一次函数动点问题
一次函数动点问题题目描述：已知一次函数 y = kx + b，其中 k 和 b 为常数，画出该函数的图像，并在坐标系上放置一个点 P，使该点具有以下性质：1. 在坐标系中，点 P 的横坐标在 2 和 5 之间。
2. 点 P 的纵坐标的值是在 3 和 7 之间随机生成的。
3. 点 P 在坐标系中的位置是随机生成的。
求：1. 该函数在点 P 处的函数值。
2. 该函数在点 P 处斜率的值。
解题思路：由题目可知，该函数为一次函数，因此可以根据已知的 k 和 b，画出函数的图像。
然后在坐标系中随机生成一个点 P，满足题目所给出的条件。
最后，根据点P 的坐标和已知的函数公式，计算出该函数在点 P 处的函数值和斜率的值。
代码实现：为了方便起见，我们可以将代码分成三个部分，分别是：1. 定义一次函数及绘制函数图像的函数。
2. 生成随机坐标的函数。
3. 计算函数在随机点处的函数值和斜率的函数。
第一部分：定义一次函数及绘制函数图像的函数。
def line(k, b, x):return k*x + bimport matplotlib.pyplot as pltdef plot_line(k, b, x_min, x_max):x = [i for i in range(x_min, x_max+1)]y = [line(k, b, i) for i in x]plt.plot(x, y)plt.show()该代码中，line() 函数用于计算一次函数在某个点 x 处的函数值，plot_line() 函数用于绘制一条一次函数的图像。
其中，k 和 b 为一次函数的系数，x_min 和 x_max 为绘制函数图像的横坐标范围。
第二部分：生成随机坐标的函数。
import randomdef random_point(x_min, x_max, y_min, y_max):x = random.uniform(x_min, x_max)y = random.uniform(y_min, y_max)return (x, y)该代码中，random_point() 函数用于生成一个横坐标在 x_min 和 x_max 之间，纵坐标在 y_min 和 y_max 之间的随机点。
一次函数动点问题精品(难)
B
C
G
【例 10】如图 1，直线 y x 4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意 ，过 M 分别作 MC OA于点C ， MD OB于D ． 一点（ A、B 两点除外） ⑴当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理 由； ⑵当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ ⑶当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x y 轴的正方向移动，设平移的距离为 a 0＜a＜4 ，正方形 OCMD 与 △ AOB 重叠部分的面积为 S ． B D M
O
C 图 1
A
x
【例 11】已知：如图，直线 y 3x 4 3 与 x 轴交于点 A ，与直线 y 3 x 相交于点 P ． ⑴求点 P 的坐标． ⑵请判断 OPA 的形状并说明理由． ⑶动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 O → P → A 的路线向点 A 匀 ，过点 E 分别作 EF x 轴于 F ， EB y 轴于 B ．设 速运动（ E 与点 O 、 A 重合） 运动 t 秒时，矩形 EBOF 与 OPA 重叠部分的面 y 积为 S ．求： ① S 与 t 之间的函数关系式． ②当 t 为何值时， S 最大，并求 S 的最大值．
y B
N
O
M 图①
A
x
【例 4】如图，直角梯形 OABC 中， AB ∥ OC ， O 为坐标原点，点 A 在 y 轴正半轴上， 动 点 C 在 x 轴正半轴上，点 B 坐标为 2 ，2 3 ，BCO 60 ，OH BC 于点 H ． 点 P 从点 H 出发，沿线段 HO 向点 O 运动，动点 Q 从点 O 出发，沿线段 OA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．设点 P 运动的时间为 t 秒． ⑴求 OH 的长； y ． 求 S 与 t 之间的 ⑵若 △OPQ 的面积为 S （平方单位） A B 函数关系式．并求 t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最 大值是多少？ H Q M ⑶设 PQ 与 OB 交于点 M ． P ①当 △OPM 为等腰三角形时，求⑵中 S 的值； x C ②探究线段 OM 长度的最大值是多少，直接写出结论． O
一次函数之动点问题(侧重状态分析、分段)(人教版)(含答案)
一次函数之动点问题（侧重状态分析、分段）（人
教版）
一、单选题(共3道，每道33分)
1.如图，在△AOB中，以点O为原点建立平面直角坐标系，A（16，0），B（8，6）.动点P 从点A出发以每秒3个单位的速度沿AO向终点O运动，同时点Q从点O出发以每秒2个单位的速度沿OB—BA向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒，则△OPQ的面积S与t之间的函数关系式为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数之动点问题
2.如图，长方形AOBC的顶点O在坐标原点，边OB，OA分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，
OB=10，射线（x≥0）交线段AC于点D.动点P从点O出发以每秒2个单位的速度沿
O→A→D→O的路线匀速运动，同时点Q从点O出发以每秒1个单位的速度沿OB向终点B 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，则△OPQ的面积S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数之动点问题
3.如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与直线y=x交于点B．动点D从原点O出发以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动（点D不与点O，A重合），过D作DC⊥x轴，交线段OB 或线段BA于点C，CE⊥y轴于点E．设运动t秒时，矩形ODCE与△OAB重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数之动点问题。
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第九讲 动点问题
1
1、如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运动，设运动的时间为t
（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动时间为 s，在CD上运动的速度为 cm/s，△APD的面积S的最大值为 cm2；
（2）求出点P在CD上运动时S与t的函数解析式；
（3）当t为 s时，△APD的面积为10cm2．
2、如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿
AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动
点运动时间为x秒．（图2、图3备用）
（1）填空：BQ= ，PB= （用含x的代数式表示）；
（2）当x为何值时，PQ∥AC？
（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？
第九讲 动点问题
2
3、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从A出发沿A→B→C→D的路线移动，设点P移动的路线为x，△PAD
的面积为y．
（1）写出y与x之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．
（2）求当x=4和x=18时的函数值．
（3）当x取何值时，y=20，并说明此时点P在矩形的哪条边上．
4、如图1，在矩形ABCD中，点P从B点出发沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a
秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP的面积S与运动时
间t的函数关系如图2所示．
（1）求矩形ABCD的长和宽；
（2）求m、a、b的值
第九讲 动点问题
3
5、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°．动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动．设
点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，试求当0≤x≤9时y与x的函数
关系式．
6、如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q
从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每
秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P
出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与
x（秒）的函数关系图象．根据图象：
（1）求a、b、c的值；
（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与
出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．
第九讲 动点问题
4
1、解：（1）点P在AB上运动的速度为 6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为 6÷3=2cm/s，
当点P运动到点B时，△APD的面积S最大，最大值是×6×6=18cm2；
（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S=AD•PD=×6×（30﹣2t）=90﹣6t；
（3）当0≤t≤6时，S=3t， 12≤t≤15时，90﹣6t=10，t=，所以当t为（s）、（s）时，△APD的面积为10c
△APD的面积为10cm
2，即S=10时，3t=10，t=，当m2
．
2、解：（1）根据题意，BQ=x，PB=6﹣2x；
（2）若PQ∥AC，有，即， 解之得：x=2；
（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，
∴x=2（6﹣2x），
解之得：x=，
当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x=．
3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，
根据三角形的面积公式可得：y=•AD•AP=×8×x=4x，
当点P在线段BC上运动时，面积不变；
当点P在线段CD上运动时，
DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8
根据三角形的面积公式可得：y=•AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，
∴y与x之间的函数关系式为y=
（2）当x=4时，y=4x=4×4=16，当x=18时，y=80﹣4×18=8；
（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P在线段AB上，
当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P在线段CD上．
4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变
即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位
∴CD=2（8﹣6）=4
∴AB=CD=4（2分）
当t=6时（点P运动到点C），S△ABP=16
第九讲 动点问题
5
∴AB•BC=16
∴×4×BC=16
∴BC=8（4分）
∴长方形的长为8，宽为4．
（2）当t=a时，S△ABP=8=×16
即点P此时在BC的中点处
∴PC=BC=×8=4
∴2（6﹣a）=4
∴a=4（6分）
∵BP=PC=4
∴m=BP÷a=4÷4=1，
当t=b时，S△ABP=AB•AP=4
∴×4×AP=4，AP=2
∴b=13﹣2=11（9分）；
5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3分）
…（5分）
当0≤x≤4时，…（8分）
当4＜x≤9时，…（9分）
6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，
解得a=8（秒）
b==2（厘米/秒）
（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8 解得c=1（厘米/秒）
（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），
即：y1=2x﹣8（x＞8），
y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8） =22﹣x（x＞8）
又据题意，当y1=y2时，P与Q相遇，即 2x﹣8=22﹣x，
解得x=10（秒）
∴出发10秒时，P与Q相遇．