高二数学定积分在几何中的应用PPT教学课件
是什么？
y
y＝x－4
4
y 2x
(8,4)
(0,0)
O
4 8x
(4,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？ y
y＝x－4
4 C
y 2x
B
A
O
D4 8 x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表
示？
y
y＝x－4
4 C
y 2x
B
A
O
D4 8 x
8
8
S 2 x d x ( x4 ) d x
0
4
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x－4
4 C
y 2x
B
A
O
D4 8 x
S 23 2x2 3|8 0
2 144
4 0 3
理论迁移
例1 计算由直线y＝2－x，y
1 3
x
和曲线y x 所围成的平面图形的面积.
y
y＝2－x
B
yx1S 13源自236O1
x
－1
A
例2 如图，直线y＝kx将抛物线 y
DA
O
1
y2＝x x
S
1
xdx
1x2 dx
0
0
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x2
y2＝x
1C B
DA
O
1
x
S 2 3x2 3|1 0
1 3x3|1 0
1 3
探究（二）：直线y＝x－4与曲线y 2x 及x轴所围成图形的面积
思考1：直线y＝x－4与曲线 y 2x 及
x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标
3.位于x轴下方的曲边梯形的面积，等
于相应定积分的相反数.一般地，设由直
线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝
f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
b
S |f(x)|dx a
y y＝|f(x)|
Oa
bx
y＝f(x)
＝x－x2与x轴所围成的平面图形分成 面积
相等的两部分，求实数k的值.
k
1
1
3
2
y y＝x－x2 y＝kx
1
O
1－k
x
小结作业
1.定积分在几何中的应用，主要用于 求平面曲边图形的面积.解题时，一般先 要画出草图，再根据图形确定被积函数 以及积分的上、下限.
2.定积分只能用于求曲边梯形的面积， 对于非规则曲边梯形，一般要将其分割 或补形为规则曲边梯形，再利用定积分 的和与差求面积.对于分割或补形中的多 边形的面积，可直接利用相关面积公式 求解.
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
问题提出
t
p
1 2
5730
1.定积分 b f(x)dx 的含义及其几何意 义分别是什么a
b
f(x) d x
a
n lim in 1bn a f(i)
y y＝f(x)
b
f (x)dx
a
Oa
bx
2.微积分基本定理是什么？
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，
思考1：曲线y2＝x与y＝x2所围成的图形 是什么？其交点坐标是什么？
y＝x2
y
y2＝x
1
(1,1)
O
1
x
(0,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？
y
y＝x2
y2＝x
1C B DA
O
1
x
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y＝x2
y
1C B
并且 F(x) f(x)，则
b
b
f ( x ) d x F ( x ) d xF ( b )F ( a ) .
a
a
3.用定积分可以表示曲边梯形的面 积，微积分基本定理为定积分的计算提 供了一种有效的方法，二者强强联合， 可以解决平面几何中曲边图形的面积问 题.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图 形的面积
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高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
高等数学ppt课件：定积分的几何应用
到的旋转体体积为
证 对于任意 x [a, b] ， 用过点 x 且与 x 轴 垂直的平面截该旋转体， 则截面是一个半 径为 f ( x) 的圆盘（见图） ，
因此， A( x) πf 2 ( x) ，故旋转体的体积
V π f 2 ( x)dx
a
b
39-13
推论 6.2.3
将由 y 轴，直线 y c, y d (c d ) 及连续曲线 x ( y )
x [a, a] 且垂直于 x 轴的平面截楔形体的
截面为一直角三角形，其面积为 1 2 1 2 2 2 2 A( x) a x a x tan (a x 2 ) tan 2 2
故由定理 6.2.3，所求体积为
a x 3 a 2a 3 1 2 2 2 tan V A( x)dx tan (a x )dx tan (a x ) 0 a a 3 3 2 a
A
1 2 dA r ( )d ． 2
39-7
例 6.2.4 求双纽线 r 2 a 2 cos 2 所围平 面图形的面积，其中常数 a 0 ．
y o
4
a x
4
解 由对称性，求出第 I 象限内的面积，然后乘以 4 即可．
而双纽线 r 2 a 2 cos 2 在原点处有两条切线，其中位于 π 第 I 象限内部分的切线方程为 (如图)．因此，在第 I 4 π [0, ] ，由定理 6.2.2 可得 象限内， 4
1 2 A r ( )d ． 成曲边扇形的面积为 2 证 运用微元法来证明 .选取θ为积分变量，则
[ , ] ，在 [ , ] 上任取小区间 [ , d ] ，
精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt
第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x
y
cos
x
( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
x(t) ye of Information and Technology
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2
2
[
2x (
2 x )]dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
a
Nanjing College of Information and Technology
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A
1.7.1定积分在几何中的应用PPT课件
y sin x
S1 S2
S S1 S2
O
S1
4 cos x dx
0
4 sin x dx
0
S2
2
sin
x
dx
2
cos
x
dx
4
4
x
42
有其他 方法吗？
S1=S2
练习
练习 1：计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形
的面积.
解: 两曲线的交点
y2 2x
(2,2), (8,4).
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
y
y2 x
B
C y x2
D
o
Ax
1 xdx 1 x2dx
0
1
S 0 (
0
x - x2 )dx
21 3 x2
x3 1
21
1.
3
0
3 0
3
3
3
归纳
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标 （2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 （3）确定被积函数及积分区间 （4）计算定积分，求出面积
)dx
2
b 2
h (
4h 3b2
x
3
)
b
2 0
2 bh 3
1.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
b
f (x)dx
a
b a
F
'
(
x)dx
F
(
x)
|ba
F
(b)
F
(a)
2.定积分的几何意义：
定积分 b f ( x)dx 的几何意义： a 它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图象及两条直线
定积分在几何中的应用 课件
y=x2-3围成平面图形的面积是
S ［3 2x (x2 3)］dx 3 (3 2x x2 )dx
1
1
(3x
x2
1 3
x3
31
(3 3 32 1 33) [1 3 (1)2 1 (1)3]
3
3
9 2 1 32 . 33
【拓展提升】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求 解，得到函数图象的交点的横坐标a,b(a＜b)，确定积分区间 ［a,b］. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积 函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面
积，即 S a［b f1(x) (f其2 (中x)］fd1x(x)＞f2(x)).
类型 二 计算复杂平面图形的面积 【典型例题】 1.由两条曲线y=x2, y 1 x2与直线y=1围成平面区域的面积
4
是_______.
2.求曲线 y x 与直线y=2-x，y 1 x 围成图形的面积.
3
【解题探究】1.题1中怎样确定积分变量的区间？ 2.如何将图形的面积转化为定积分计算？ 探究提示： 1.由直线y=1分别与曲线y=x2y, 1 x联2 立，求出交点坐标，
(2x
1 2
x2
1 6
x2)
13
＝2 3
1 6
(2x
1 3
x2
)
13
＝5 6 1 9 21 1 1＝2 1 .
63
36
【互动探究】若将题2中条件变为如图由直线y=x-2，曲线 y2=x所围成图形，试求其面积S.
【解析】由
y2
x得, x=1或x=4,
y x 2,
故A(1,-1),B(4,2),如图所示:
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
高中数学选修2-2：1.7.1定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
考纲定位
重难突破
1.体会定积分在解决几何问题 重点：利用定积分求平面图形
中的作用．
的面积．
2．会通过定积分求由两条或 难点：准确认识平面图形的面
多条曲线围成的图形的面积. 积与定积分的关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
曲边梯形的面积等于 曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差 的定积分．
三、常见平面图形的面积计算 1．求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
bf(x)dx
图①中，f(x)>0，bf(x)dx>0，因此面积 S＝ a;0，bf(x)dx<0，因此面积 a
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？ 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将 积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在 每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以 选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
图④中，f(x)>g(x)>0，面积 S＝
a
；
bf(x)dx＋b|g(x)|dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积 S＝
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
[双基自测]
1.用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )
A.cf(x)dx a
B.cfxdx
1.7.1 定积分在几何中的应用
考纲定位
重难突破
1.体会定积分在解决几何问题 重点：利用定积分求平面图形
中的作用．
的面积．
2．会通过定积分求由两条或 难点：准确认识平面图形的面
多条曲线围成的图形的面积. 积与定积分的关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
曲边梯形的面积等于 曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差 的定积分．
三、常见平面图形的面积计算 1．求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
bf(x)dx
图①中，f(x)>0，bf(x)dx>0，因此面积 S＝ a;0，bf(x)dx<0，因此面积 a
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？ 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将 积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在 每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以 选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
图④中，f(x)>g(x)>0，面积 S＝
a
；
bf(x)dx＋b|g(x)|dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积 S＝
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
[双基自测]
1.用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )
A.cf(x)dx a
B.cfxdx
定积分在几何中的应用课件(共42张PPT)高二下学期数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用
S=
1
(x
0
x2 )dx
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1. 6
答案: 1
6
【解题策略】 求不分割图形面积的一般方法
【补偿训练】 如图所示,f(x)=1+sin x,则阴影部分的面积是________.
【解析】所求面积为
0
(1 sin
x)dx
(x
cos
x)
0
2.
答案:π+2
类型二 分割型图形面积的求解(直观想象、数学运算) 【典例】计算由直线y=x-4,曲线y= 2x 以及x轴所围图形的面积S. 【思路导引】根据已知方程画出所围图形,选择恰当的分割线,分别计算面积.
的面积为 S 2 1( 3 x x3)dx 0
2( 3 4
4
x3
1 4
x4)
1 0
1.
(4)√.利用定积分可得,阴影部分的面积S=
(ex
ex
)
1 0
e
1 e
2.
1(ex ex )dx 0
2.如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,那么这 个阴影区域的面积是 ( )
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
2.如图所示,求曲线y=x2和直线x=0,x=1及y= 1 所围成的图形(阴影部分)的面
4
积.
【解析】1.选D.由图形以及定积分的意义,得到所求阴影部分面积等价于
5
5
4
(sin
x
cos
x)dx
(cos
x
sin
x)
4
2
2.
4
《高中定积分的应用》课件
总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用
S1
S2
新知探究
选x为积分变量x∈[-2,3]
(1) x [-2, 0], dA1 = (x3 - 6x - x2 )dx
(2) x [0, 3], dA2 = (x2 - x3 + 6x)dx
于是所求面积 A A A
1
2
A = 0 (x3 - 6x - x2 )dx + 3 (x2 - x3 + 6x)dx
S = S1 + S2
4
= 0
2xdx
+
8 4
2xdx -
8 4
x
-
4
dx
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
新知探究
例1 计算两条抛物线
在第一象限所围图形的面积 .
首先根据题意画出曲线
的草图，在图中找出所求面积的区域，图形结合，直观
解题；其次，为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
新知探究
x3
1 0
= 2-1=1 33 3
x x + dx
新知探究