微元法及定积分的几何应用PPT课件
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应用高等数学第3章3.2.3 定积分的应用21页PPT
6
取x为积分变量，在 x[0,6]上任 取一子区间[x, xdx]，当dx很小时， 在该微区间上阀门所受水的微压力是：
dF2gxydx29.8103x(1x3)dx
6
从而所求的压力为
F069.8103(1 3x26x)dx9.810391x33x260 8.23105N
一、微元法的基本思想
如图所示的曲边梯形的面积A是定积分
A
42(y4)y22
dx
-2
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
(
y2
4y
y3 4 )
2
6
2
18
a b 例4
求椭圆
x2 a2
by22
1,(a0,b0) 的面积．
解：如图，先求出椭圆在第一象限内的面积 A1 ，
它是由 yb a2 x2, x0,a与x轴、y轴所围
根据微分的定义有 f(x)dxdA，从而得到曲边梯形的
面积
b
b
AAadAaf(x)dx
一、微元法的基本思想
因此求曲边梯形面积A的方法是：
第一步，在[a，b]上任取一形式子区间[x，x+dx]
（其中dx为x的微元，即无限细分），并求出面
积A的微分dA=f(x)dx，即面积微元；
第二步，以微分表达式f(x)dx为被积表达式，在[a，
成的面积.
a
A1
ab 0a
a2 x2dx
令 x asint, x 0, a,
则 t arcsin x ,
a
dxacostdt.
A1
ab 0a
a2x2dx π 2b
0a
a2a2sin2tacostdt
取x为积分变量，在 x[0,6]上任 取一子区间[x, xdx]，当dx很小时， 在该微区间上阀门所受水的微压力是：
dF2gxydx29.8103x(1x3)dx
6
从而所求的压力为
F069.8103(1 3x26x)dx9.810391x33x260 8.23105N
一、微元法的基本思想
如图所示的曲边梯形的面积A是定积分
A
42(y4)y22
dx
-2
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
(
y2
4y
y3 4 )
2
6
2
18
a b 例4
求椭圆
x2 a2
by22
1,(a0,b0) 的面积．
解：如图，先求出椭圆在第一象限内的面积 A1 ，
它是由 yb a2 x2, x0,a与x轴、y轴所围
根据微分的定义有 f(x)dxdA，从而得到曲边梯形的
面积
b
b
AAadAaf(x)dx
一、微元法的基本思想
因此求曲边梯形面积A的方法是：
第一步，在[a，b]上任取一形式子区间[x，x+dx]
（其中dx为x的微元，即无限细分），并求出面
积A的微分dA=f(x)dx，即面积微元；
第二步，以微分表达式f(x)dx为被积表达式，在[a，
成的面积.
a
A1
ab 0a
a2 x2dx
令 x asint, x 0, a,
则 t arcsin x ,
a
dxacostdt.
A1
ab 0a
a2x2dx π 2b
0a
a2a2sin2tacostdt
微元法及定积分的几何应用
y
y f (x)
dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 o
V b [ f (x)]2 dx a
a
x
x dx
bx
A( x) [ f ( x)]2
例1 连接坐标原点 O 及点P(h, r )的直线、直线
x h及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴
旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体，
3
O
ax
类似地, 如果旋转体是由连续曲线 x ( y)、
直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
旋转一周而成的立体，体积为 y
dd x ( y)
o
c
x
例3 求由抛物线 y 2 x2 ,直线 x 1及 x 轴所围 图形,绕 x 轴及 y 轴旋转而成的旋转体的体积.
o a xi1 i xi b x
Ai ：第i个小曲边梯形面积
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0
i 1
f (i ) xi
1、分割： [a,b] 分成n个小区间
[xi1, xi ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A n Ai i 1
2、平行截面面积为已知的立体的体积
一个立体,夹在平面x a 和x b 之间,被垂直于 x 轴的平面所截的截面积为 A( x) ,则该立体的体积为
A(x)
a
x x+d
x
bx
例1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心, 并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 建立坐标系如图,
第十讲 微元法思想与定积分应用
y
y f2(x)
oa
A
A
y f1( x)
b xoa
bx
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
极坐标情形
r ( )
d
r 1( )
r 2( )
o
x
o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
A
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
dx的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作
dU ，即dU f ( x)dx ；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b ，
即为所求量U ．
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y f (x)
y
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
《定积分的微元法》课件
2 缺点
微元法在处理复杂曲线时可能过于繁琐，需要进行大量的计算。
定积分的性质1：可加性
定积分具有可加性，即对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，如果区间[a, b]可以分解为无穷个不相交的子区间[a, c] 和[c, b]，则有∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx + ∫[c, b] f(x)dx。
微元法的具体步骤
1. 将曲线划分为无穷多个微小区间。 2. 选择一个微小区间，确定微小区间的宽度和高度。 3. 计算微小区间的面积。 4. 将所有微小区间的面积相加，得到曲线下的总面积。
微元法求解示例1
以求解曲线y=x^2在区间[0, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后 计算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
微元法的引入
微元法是一种使用微小的元素来近似计算整体问题的方法。在定积分中，微 元法采用微小的矩形来近似曲线下的面积，从而实现定积分的计算。
微元法的思路
微元法的核心思路是将整体问题分解为无穷多个微小的部分，并通过对每个 微小部分进行计算来得到整体的结果。在定积分中，我们将曲线划分为无穷 多的微小矩形，并计算每个矩形的面积。
微元法求解示例2
以求解曲线y=sin(x)在区间[0, π]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区 间，每个区间的宽度为dx。然后计算每个微小区间的面积，并将其相加得到 总面积。
微元法求解示例3
以求解曲线y=1/x在区间[1, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后计 算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
三角函数积分
三角函数积分是一类涉及三角函数的积分计算。常见的三角函数积分包括正弦、余弦、正切等函数的积分，通 过应用特定的积分公式可以简化计算。
微元法在处理复杂曲线时可能过于繁琐，需要进行大量的计算。
定积分的性质1：可加性
定积分具有可加性，即对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，如果区间[a, b]可以分解为无穷个不相交的子区间[a, c] 和[c, b]，则有∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx + ∫[c, b] f(x)dx。
微元法的具体步骤
1. 将曲线划分为无穷多个微小区间。 2. 选择一个微小区间，确定微小区间的宽度和高度。 3. 计算微小区间的面积。 4. 将所有微小区间的面积相加，得到曲线下的总面积。
微元法求解示例1
以求解曲线y=x^2在区间[0, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后 计算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
微元法的引入
微元法是一种使用微小的元素来近似计算整体问题的方法。在定积分中，微 元法采用微小的矩形来近似曲线下的面积，从而实现定积分的计算。
微元法的思路
微元法的核心思路是将整体问题分解为无穷多个微小的部分，并通过对每个 微小部分进行计算来得到整体的结果。在定积分中，我们将曲线划分为无穷 多的微小矩形，并计算每个矩形的面积。
微元法求解示例2
以求解曲线y=sin(x)在区间[0, π]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区 间，每个区间的宽度为dx。然后计算每个微小区间的面积，并将其相加得到 总面积。
微元法求解示例3
以求解曲线y=1/x在区间[1, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后计 算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
三角函数积分
三角函数积分是一类涉及三角函数的积分计算。常见的三角函数积分包括正弦、余弦、正切等函数的积分，通 过应用特定的积分公式可以简化计算。
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).
第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。
3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。
现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。
复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。
设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。
二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。
高等数学(第二版)上册课件：定积分的几何应用
定积分的几何应用
预备知识：定积分定义的四个步骤，即分割、近似、
求和、取极限；直角坐标与极坐标下常见曲线的图形，
例如椭圆 x2
a2
y2 b2
1，阿基米德螺线
a a 0 等.
5.6.1 定积分的微元法 5.6.2 平面图形的面积 5.6.3 旋转体的体积
5.6.4 平面截面面积已知的立体体积
本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先 来介绍一种分析方法.
围成，其中 f (x) g(x) (a x b) ，我们来求它的面积 A
取 x 为积分变量，它的 .
变化区间为 a,b ，我们 在 a,b 上任取一小区间
.
x, x dx
与这个小区间对应窄边形的面积 A 近似地等于高为
f (x) g(x) ，底为 dx 的窄矩形的面积，从而得到面积微元：
dA f (x) g(x)dx
0
2
(cos
x
sin
x)dx
4
(sin x cos x) 4 (sin x cos x) 2
0
4
.
2( 2 1).
.
2. 极坐标情形
有些平面图形，尤其是旋转曲线所包围的图形，
用极坐标来计算比较简单.
设曲边扇形是由曲线
及射线
所围成的图形. 该图形的面积同样也可以用微元法分析，
其面积元素为
dA 1 2 d
2 以此作定积分，得所求曲边扇形的面积公式为：
A
1 2
2
d
例5.6.4 计算阿基米德螺线 a a 0 上相应于
从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
分析：先求任取一小区间 , d 的窄曲边扇形的面积.
解 由上面分析，易得面积元素
预备知识：定积分定义的四个步骤，即分割、近似、
求和、取极限；直角坐标与极坐标下常见曲线的图形，
例如椭圆 x2
a2
y2 b2
1，阿基米德螺线
a a 0 等.
5.6.1 定积分的微元法 5.6.2 平面图形的面积 5.6.3 旋转体的体积
5.6.4 平面截面面积已知的立体体积
本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先 来介绍一种分析方法.
围成，其中 f (x) g(x) (a x b) ，我们来求它的面积 A
取 x 为积分变量，它的 .
变化区间为 a,b ，我们 在 a,b 上任取一小区间
.
x, x dx
与这个小区间对应窄边形的面积 A 近似地等于高为
f (x) g(x) ，底为 dx 的窄矩形的面积，从而得到面积微元：
dA f (x) g(x)dx
0
2
(cos
x
sin
x)dx
4
(sin x cos x) 4 (sin x cos x) 2
0
4
.
2( 2 1).
.
2. 极坐标情形
有些平面图形，尤其是旋转曲线所包围的图形，
用极坐标来计算比较简单.
设曲边扇形是由曲线
及射线
所围成的图形. 该图形的面积同样也可以用微元法分析，
其面积元素为
dA 1 2 d
2 以此作定积分，得所求曲边扇形的面积公式为：
A
1 2
2
d
例5.6.4 计算阿基米德螺线 a a 0 上相应于
从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
分析：先求任取一小区间 , d 的窄曲边扇形的面积.
解 由上面分析，易得面积元素
定积分的应用之微元法PPT课件
x2
1 3
x3
1
1 3.
0
9
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
17
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
18
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
20
y
B
y
ds N
Vy
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),
y
(t)
( t )给出，这时弧长微元为
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
1 3
x3
1
1 3.
0
9
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
17
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
18
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
20
y
B
y
ds N
Vy
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),
y
(t)
( t )给出，这时弧长微元为
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
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体积元素:
dV[f(x)2]dx
y
y f(x)
旋转体的体积为 o
V b[f(x)]2dx a
a
x
xdx
bx
A(x)[f(x)2]
例1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线
xh及x轴围成一个直角三角形． 将它绕x轴
旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，
计算圆锥体的体积． y
P
解 直线OP的方程为
Ai
o a xi
1
i
xi
bx
A i ：第i个小曲边梯形面积
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0 i1
f (i )xi
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
[ x i 1 , x i ] xi xi xi1
1、选变量
．
第二步： 写出U 在任一小区间 [x,xdx] 上的微元
dUf(x)dx
2、求微元
第三步： 以所求量U 的微元 f (x)dx 为被积表达式，
b
写出在区间 [ a , b ] 上的定积分，得 Ua f (x)dx
3、列积分
上述方法称为微元法或元素法，也称为微元分析法．
二. 平面图形的面积
yf(x)
Ai
o a xi
1
i
xi
bx
A
o a x x+dxb x
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间 [x, xdx] 区间长度：dx
[ x i 1 , x i ] xi xi n xi1
曲边梯形面积：A Ai
面积总量：AA
i1
2、近 似A i 代替f (：i)任取xi i [xi1, xi] n
[ x i 1 , x i ] xi xi n xi1
曲边梯形面积：A Ai
i1
2、近 似A i 代替f (：i)任取xi i [xi1, xi] n
3、求和：A f (i )xi
i1
n
4、取极限：Alim 0 i1
f (i)xi
y
yf(x)
[x, xdx] 区间长度：dx
面积总量：AA
y
3、求和：A f (i )xi
i1
n
4、取极限：Alim 0 i1
f (i)xi
y
取i x A f (x)dx
dA
面 积
微
元
Af(x)dx
Alimf(x)dx
b
f (x)dx
a
y
yf(x)
yf(x)
通过寻找部分量的近似值
Ai
（A的微元）来构造定积分 的方法
A
o a xi
1
i
xi
bx
o a x x+dxb x
面图形的面积:
y
y f (x)
b
A a f (x) dx
y g(x)
ao
xxdx
b
x
面积微元: dA [f(x)g(x)]dx,
b
A a f (x)dx.
例1 计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
y
解 先求两曲线的交点
y2 x
(0,0) (1,1)
a
n
lim 0 i1
f (i )xi
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
[ x i 1 , x i ] xi xi xi1
2、近似代替：
3、求和： 4、取极限：
y
yf(x)
o a xi1 xi b x
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0 i1
f (i )xi
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
1．直角坐标系下平面图形的面积
(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b
(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积
y
面积微元: Alim f(x)dx
y f(x)
b
面积 A f (x) dx a
a o xxdx b x
(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a<b)所围成的平
曲边梯形面积： A
n
Ai
i1
2、近似代替： 任取i [xi1,xi]
A i f (i)xi
y
yf(x)
n
3、求和：A f (i )xi i1
n
4、取极限：Alim 0 i1
f (i)xi
Ai
o a xi
1
i
xi
bx
A i ：第i个小曲边梯形面积
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
进一步推广 所求量为U，满足下列3个条件：
（1）所求量U与变量 x 的变化区间 [a,b] 有关；
（2）所求量U关于区间具有可加性；
（3）部分量 U 能表示成 f ( x )d x 的形式
用定积分微元法计算某个量U的步骤
第一步： 根据问题的具体情况，选取一个 积分变量（如 x ），
并确定积分区间 [ a , b ] ;
y x2
选x为积分变量, x[0,1]
o
x
1
A ( 0
xx2)dx
(2 3
3
x2
x3 3
)1 0
1 3
.
三. 旋转体 的体积 一 般 地 , 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 yf(x)、 直 线 xa、 xb及 x轴 所 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x
轴 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 ， 体 积 为 多 少 ？
y r x
o
h
r
hx
V
hr (
x)2
dx
1 r2h .
0h
3
( 3 ) 由 曲 线 x ( y ) 0 、 直 线 y c , y d ( c d )
及y轴围成的平面图形的面积为
A
d
( y) dy .
y
c
d
y dy
y
x (y)
f (i )xi
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
[ x i 1 , x i ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A
n
Ai
i1
2、近似代替： 任取i [xi1,xi]
A i f (i)xi
n
n
3、求和：A Ai f (i ) xi
i1
i 1
4、取极限：
y
yf(x)
[ x i 1 , x i ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A
n
Ai
i1
2、近似代替： 任取i [xi1,xi]
A i f (i)xi
y
yf(x)
3、求和：Ai来自4、取极限：o a xi
1
i
xi
bx
A i ：第i个小曲边梯形面积
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0 i1
6.5 定积分的几何应用
b
a f (x)dx
利用定积分解决实际问题的关键： 建立定积分的式子， 即 找出被积函数和积分区间。 建立定积分式子的方法： 微元法（又称元素法）
定积分微元法的实质： 对能够用定积分解决的实际问题，寻找其被积函数和积 分区间的方法。
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx