面面垂直的性质
2.3.4面面垂直的性质定理课件
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β a
符号语言：
l
α A
al 作用： 面面垂直线面垂直
l a a
何时用:已知面面垂直时，求线面垂直 关键:在一个平面内作(找)出垂直于交线的直线.
α l α l α l β β β
平行
相交
线在面β 内
【学习目标】 1．知识与技能：探究平面与平面垂直的性质 定理，进一步培养学生的空间想象能力。 2．过程与方法：面面垂直的性质定理得应用， 培养学生的推理能力。 3．情感与价值观：通过平面与平面垂直的性 质定理的学习，培养学生转化的能力。 教学重、难点 重点： 平面与平面垂直的性质定理 难点： 平面与平面垂直性质定理的应用。
S
A
C
B
课堂小结：
空间问题平面化 注意辅助线的作用
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直。 从已知想性质，从求证想判定 1、证题原则： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题 面面垂直 线面垂直 线线垂直
面面垂直的判定：
判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两 个平面垂直
（线面垂直面面垂直）
面垂 直，那么黑板所在的平面里的任意一条 直线是否就一定和地面垂直？
α
β
知识探究：
思考2:如果平面α 与平面β 互相垂直， 直线l在平面α 内，那么直线l与平面β 的位置关系有哪几种可能？
2.3.4平面与平面垂直的性质
温故知新
直线与平面垂直定义：直线与平面垂直判定定理： 如果直线 l 与平面 一条直线与一个平面内 内的任意一条直线都 的两条相交线都垂直， 垂直，我们说直线 l 则该直线与此平面垂 与平面 互相垂直。 直． 线面垂直 线线垂直. 线线垂直 线面垂直.
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直、面面垂直的性质定理
何时用:已知面面垂直时. 关键:在一个平面内作(找)出垂直于交线的直线.
例4：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
C
推论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面。
a
b，a 源自b 平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面相互垂直。
线面垂直则线线垂直.
线线垂直则线面垂直.
例1 已知M是菱形ABCD所在平面外一点，且 MA=MC， 求证：AC⊥平面BDM。
例2 已知AB、CD是两条不在同一个平面内 的线段，且AC=AD，BC=BD，
求证：AB⊥CD。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言： a
, b a / /b
温故知新 直线与平面垂直定义： 如果直线 l 与平面 内 的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直。 直线与平面垂直判定定理： 一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
由定义知: 若l , a 则l a
符号语言: 若l a, l b, a b O, a , b , 则l .
若a , a , 则
面面垂直的性质
, b
又 a , a / / b
a
b
即直线a与平面 平行
a / /
a ,b
探究: 已知平面 ， ，直线a ，且 ，
=AB,a // ,a AB , 试判断 直线a与平面 的位置关系.
思考1：对于三个平面 α ，β ，γ ，若α γ ， β γ ，α β l，那么直线l与平面γ 的位 置关系如何？为什么？
β
l
α b
a
γ
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。 已知平面α ⊥平面β ,α ∩ β ＝l 下列命题
(1)平面α 内的任意一条直线必垂直于平面β （×） (2)垂直于交线l 的直线必垂直于平面β （× ）
3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB， P 垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
E
(1)EF//PD
A
F
D C
作业： p74，第3题
(2)BF⊥平面PAD
B
A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面α 内一定存在直 线平行于平面 β
B如果平面α ⊥平面 β ,那么平面α 内所有直线都垂 直于平面 β C如果平面α 不垂直于平面 β，则平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α与
面面垂直的判定与性质
A
P E D C B
∴ CD⊥平面PAD. （面面垂直的性质定理）
AE 平面ACE ,
∴ 平面ACE⊥平面PCD . （面面垂直的判定定理）
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面相互垂直。
证明：
∵
∴
∴
∴
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α
A
D
B
β C
已知： ， CD， AB ，AB CD，B为垂足， 求证：AB 。
证明： 在内作BE CD，
则ABE是二面角 CD 的平面角。
由 ，可知 AB BE . 又 AB CD ，
AB .
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直 .
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
c .
又 a， b，
b c， c a . 同理可证 a b .
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD 是正三角形且垂直于底面， 底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （1）求证：平面ACE⊥平面PCD； （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
P
E D O A F B C
PO 3 AO 3a ,
立体几何平行垂直的判定定理与性质定理总结
1线面平行的判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
2线面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
3面面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
4面面平行的性质定理：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
. 5线面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
6线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
7面面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
8面面垂直的性质定理：
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.。
面面垂直判定定理
面面垂直在解析几何中的应用
判定定理的应用
在解析几何中，利用面面垂直的判定定理可以确定两个平面是否垂直，进而解决与垂直相关的问题。
空间角的计算
通过面面垂直的关系，可以计算两个平面之间的夹角，即二面角的大小。
面面垂直的推广与应用前景
推广至一般曲面
在机械工程中的应用
将面面垂直的概念推广至一般曲面， 研究曲面间的垂直关系及其性质。
判定条件的证明
条件一的证明
假设有两个平面α和β，且α∩β=l ，如果直线m⊥α且m⊂β，那么 根据面面垂直的定义，我们可以 得出α⊥β。
条件二的证明
假设有两个平面α和β，且直线 m⊥α，如果m∥β，那么我们可 以过直线m作一个平面γ，使得γ 与β相交于一条直线n。由于m∥n 且m⊥α，根据线面垂直的性质定 理，我们可以得出n⊥α。又因为 n⊂β，所以根据面面垂直的判定 定理，我们可以得出α⊥β。
条件三的证明
假设有两个平面α和β，它们的法 向量分别是n1和n2。如果 n1·n2=0（即n1和n2互相垂直） ，那么根据面面垂直的定义，我 们可以得出α⊥β。
03
面面垂直的性质
面面垂直与线面垂直的关系
01
如果两个平面互相垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面。
02
如果两个平面互相垂直，那么经 过第一个平面内的一点并垂直于 第二个平面的直线在第一个平面 内。
机械制造
在机械制造中，许多零部件需要保持 严格的垂直关系以确保设备的正常运 行。例如，机床的主轴与工作台需要 保持垂直，以确保加工的精度和效率 。
06
面面垂直的拓展与延伸
面面垂直与空间向量的关系
空间向量法
利用空间向量的数量积判断两个平面的法向量是否垂直，从而确定两个平面是否垂直。
面面垂直的判定与性质课件
α
A B
l
E
β
D
C
例4： 已 知 P是ABC所 在 平 面 外 一 点 ， PA＝PB＝PC，BAC＝90 。
0
求证：平面 PBC 平 面ABC。
证明：取 BC中 点O， 连OP
.
A
P
则OA OB OC, PO BC
由PO OA PO OC PA
2 2 2 2
2
练习：
1、判断下面几个命题真假： ①垂直于同一平面的两个平面平行； ②垂直于同一平面的两个平面垂直； ③一个平面的两个半平面分别垂直另一个平面的两个 半平面，则这两个两面角互补； ④若一条直线垂直一个平面，则与这条直线平行的平 面与另一个平面必垂直. ⑤分别与两条相互垂直的直线垂直的两个平面垂直
练习：
P
1． 已 知 P是 菱 形 ABCD所 在 平 面 外 一 点 ， 且PD＝PB， 求 证 ： 面 PAC 面PBD
2．判断： 1）．垂直于同一平面的两平面互相平行 A B
D O C b a
2）．如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那 么这两个平面互相垂直
已知： a , a // 求证：
面面垂直
线面垂直
两个平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直于另一个平面。
性质推论 例2 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面
内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
已知： , P , P a , a （ 如 图 ） . 求证： a
一．复习引入：
1．什么叫二面角的平面角？
1)．O a 2)．OA ，OB 3)．OA a，OB a
232234面面垂直的判定和性质
二面角—l— 或二面角—AB—
平面与平面垂直 定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角， 那么我们称这两个平面互相垂直。
记为： .
两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直 .
α A
D
B β
C
两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
A
∴ CD⊥平面PAD. （面面垂直的性质定理）
∴ CD⊥AE .
∴ AE⊥平面PCD. AE 平面ACE ,
∴ 平面ACE⊥平面PCD . （面面垂直的判定定理）
C B
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面， 底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
o
B
A
ll
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）、角的顶点在棱上。
（2）、角的两边分别在两个面内。
A
（3）、角的边都要垂直于二面角的棱。
o
B
l
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
构成
边—点—边 （顶点）
表示法
∠AOB
二面角
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
γ` P`ι
β
B` A`
γP
B
αA
思考: ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
二面角的大小用它的平面角的大小来度量.
约定：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
面面垂直的性质
例1.在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧面VAD 底面ABCD ，且VAD 是正三角形， (1)证明：AB 面VAD ； ( 2)求面VAD 与VDB 所成二面角的正切值 .
(1)证： 面VAD 面ABCD ， AB AD， AB 面ABCD ， AD 面VAD 面ABCD
又 AB 面VAD ， AB AE
BE VD
AEB是所求二面角的平面角
A
D
C
B
AB 2 3 在RTAEB中 ， tan AEB AE 3
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2BC ， 2 ，侧面PAB是 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
A
D
由 知 AB BE
B
E
C
又 AB CD，BE与CD是内两相交直线
AB
二、两个平面垂直的性质
(1) 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2) 如果两个相交平面同时与第三个平面垂直， 那么它们的交线也垂直于这个平面. (3) 三个两两垂直的平面的交线两两垂直.
V
D
C
B
AB 面VAD
A
例1.在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧面VAD 底面ABCD ，且VAD 是正三角形， (1)证明：AB 面VAD ； ( 2)求面VAD 与VDB 所成二面角的正切值 .
(2)取VD的中点 E，连接 AE，BE
V
3 VAD为 正， AE VD，AE AD E 2