毕达哥拉斯学派的发现
从有理数到实数的历史演进
处于当今信息化、大数据时代，我们每天都会迎来铺天盖地的数据，数学更是无时无刻不在服务于人类社会。作为数学最基本元素的数，其是从现实生活中经过多年的实践而来，我们看不见摸不着这些美丽的小精灵，但超越了虚拟世界和物质世界的局限，拥有着无穷无尽的魅力。然而诸如数的本质是什么？如何定义无理数？有理数一样无理数多吗？实数是什么等问题，即使今天回答起来也并非易事。正如英国哲学家、数理逻辑学家罗素（B. Russell，1872-1970）曾说：“人类了解到两只羊中的2和两天中的2是同一个概念，竟花了几千年时间。”同样人类从认识自然数、有理数，再到实数也用了两千多年的时间。
二、毕达哥拉斯学派发现无理数
“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派的基本信条。不过他们所说的“数”仅仅是指有理数。公元前500年左右，毕达哥拉斯学派主要成员之一希帕苏斯（Hippasus，约公元前470）发现了一个惊人事实：边长为1的正方形，其对角线长度不可公度（即不能用整数或整数之比来表示）。那这个数是什么，既不是整数，也非有理数。该发现很快引起了该学派的恐慌，认为其动摇了他们在学术界的统治地位。因毕达哥拉斯学派把抽象数作为万物本原，他们研究数之目的是试图通过揭示数的奥秘来探索宇宙永恒真理。“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的一种信念，是其宗教、哲学和数学思想的基础。而无理数的发现彻底击碎了其基本信念，致使整个学派失去了赖以存在的基础。对毕达哥拉斯学派来说，整数是一切的基础，认为任何事物皆可由整数表示出来。但无理数的发现使整数的原子地位受到了质疑，这就是该学派乃至整个希腊数学最为恐惧的科学事实。
三、戴德金分割
直到文艺复兴时期，如何定义无理数仍在探索之中。数学家斯蒂费尔（Michael Stifel，1486-1567）曾使用各种无理数，甚至还用过[a+bnm]这种在当时来说是新型的无理数。但他承认：“当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，却发现它们无止境地往远处跑，因而没有一个无理数实质上能被我们准确地掌握住。而本身缺乏准确性的东西，就不能称其为真正的数。故正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。”
伽利略数学本体论和毕达哥拉斯
伽利略数学本体论和毕达哥拉斯伽利略数学本体论和毕达哥拉斯学派可以说是数学史上两个重要的学派，分别代表了欧洲科学与数学的推动力量，它们对现代数学的发展产生了深远的影响。
伽利略数学本体论是由意大利科学家伽利略·伽利略在16世纪末至17世纪初提出的一套数学理论，它的核心思想是基于实验观察和数学模型的结合来解决自然科学问题。
伽利略认为，自然界中的现象是有规律可循的，可以通过数学的方法来描述和解释。
他提出了实验可以用来验证理论的观点，这在当时是一种颠覆性的思想。
伽利略数学本体论的精神对于科学方法的形成和科学研究的发展产生了重要的影响。
伽利略的数学思想主要体现在他对运动的研究上。
他通过实验和数学建模，提出了均匀加速直线运动的定律，即“落体定律”和“斜抛运动定律”。
这些定律为后来牛顿的力学建立了基础，并且成为了物理学研究的基础方法之一。
此外，伽利略还对光、音等其他自然现象进行了研究，提出了一系列关于光的反射和折射的定律，并且进行了实验验证。
与伽利略数学本体论相比，毕达哥拉斯学派的数学思想更加注重纯粹的数学思维和抽象推理。
毕达哥拉斯学派起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，以毕达哥拉斯为首的一批哲学家和数学家提出了一系列的数学思想和定理，成为了欧洲数学史上的一座里程碑。
毕达哥拉斯学派最重要的贡献之一是他们对数的研究。
他们相信世界是由数字构成的，认为数字是宇宙的本质，并创立了一套完整的数学体系。
毕达哥拉斯学派首次证明了一个非平方数是不可能表示为两个整数的比例，称为“毕达哥拉斯定理”。
这个定理不仅在几何学中有着广泛的应用，也成为了数论中的基本定理之一。
除了对数的研究，毕达哥拉斯学派还对几何学进行了深入的研究。
他们发现了很多关于三角形的性质和定理，并启发出了对数学推理的一系列思考。
毕达哥拉斯学派的思想对后来的欧几里德几何学的发展产生了重要的影响。
总的来说，伽利略数学本体论和毕达哥拉斯学派都为数学的发展做出了重要的贡献。
毕达哥拉斯理念论
毕达哥拉斯理念论
毕达哥拉斯理念论，也叫毕达哥拉斯学派，是源于古希腊的一种哲学思想体系，其创
始人为毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯理念论主张万物皆数，提出了一系列宇宙起源、世界运动、灵魂转世等理论，并在数学上取得了重大成就，深刻影响了后来的哲学和科学。
毕达哥拉斯理念论的核心思想是“数是本原的”，即宇宙万物都是由数构成的。
毕达
哥拉斯认为，数是宇宙中最基本的东西，它是智慧、真理和神圣的体现，数学是对宇宙本
质的探究，只有通过数学，才能了解世界的真相。
毕达哥拉斯还主张，宇宙是一个有序、
和谐的整体，数学是宇宙的语言，通过数学的探究，可以了解世界的秩序和规律。
除此之外，毕达哥拉斯理念论还提出了关于灵魂的转世和不朽的理论。
毕达哥拉斯认为，人的灵魂是不朽的，生命是不断轮回的。
灵魂在死亡后会转世到另一个身体中，而身
体只是灵魂的外壳，灵魂才是人的本质。
因此，人应该追求灵魂的升华和超越。
总之，毕达哥拉斯理念论是古希腊哲学史上的一个重要流派，它主张数是宇宙的本源，宇宙是有序、和谐的整体。
毕达哥拉斯理念论对数学、哲学和科学的发展产生了深远影响，是人类文明史上的一个重要贡献。
毕达哥拉斯证法
勾股定理:
直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
b
c
a2+b2=c2
C
a
B
a a
a
b
a2
b c b
2 3
1
a
c
c2
b
b2
a b
c
b a
如图(1)
如图(2)
a a
a
b a
a2
b c b
c2
a b
b2
b
b
如图(1)
如图(2)
a
∴a2+b2=c2
a
a
a
b a
a2
b c b
c2
a b
b2 c
勾股定理： 形象运动与论证
新余四中 黄小华 2006、12
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
关于根号2的论文
关于根号2的论文古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯，他对数学的研究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。
当时他成立“。
毕达哥拉斯学派”。
其中有这样一个观点：“宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没有什么了”。
毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。
可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。
毕达戈拉斯的一个学生西伯斯他勤奋好学，善于观察分析和思考。
一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2 （当然，当时不会这样表示的），并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。
他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。
毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。
西佰斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，在事实面前，通过长时间的思考，他认为根号2 是客观存在的，知识老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观有问题。
后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。
决定对西伯斯严加惩罚。
西伯斯听到风声后，连夜成船逃走了。
然而，他没想到，就在他所成坐的海船后面追来了几艘小船，他还正憧憬着美好的未来，当他还未醒悟过来的时候，毕达戈拉斯学派的打手已出现在他的面前，他手脚被绑后，投入到了浩瀚无边的大海之中。
他为的诞生献出了自己的宝贵的生命！然而，真理是打不倒的，根号2 的出现，使人类认识了一类新的数—无理数。
简述毕达哥拉斯的数学成就
简述毕达哥拉斯的数学成就毕达哥拉斯啊，那可是数学界的一位了不起的人物呢。
他的数学成就就像一座巨大的宝藏，对后世的影响那是相当深远。
毕达哥拉斯最出名的成就大概就是毕达哥拉斯定理了吧。
这定理说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
嘿，这可太神奇了！你看啊，就好像一个房子的墙角，两边的墙和地面构成了直角三角形，这定理就能准确地描述它们边长之间的关系呢。
这就好比是一把万能钥匙，不管这个直角三角形是大是小，是胖是瘦，只要它是直角三角形，这个定理就像定海神针一样稳稳地适用。
要是没有这个定理，咱们在计算很多和直角三角形有关的东西时，那可就像没头的苍蝇一样乱撞了。
他还在数论方面有很多厉害的发现。
他把数分成了奇数和偶数，这听起来好像挺简单的事儿，可在当时那也是了不起的分类呢。
他就像一个数的魔法师，把数按照不同的性质分成了不同的家族。
奇数就像是一群性格独特的家伙，总是特立独行；偶数呢，就像是一群成双成对的小伙伴，规规矩矩的。
而且啊，毕达哥拉斯还研究了质数、合数等概念。
质数就像是数学世界里的孤独侠客，只能被1和它自己整除，谁也不能把它拆分开来。
合数就不一样了，它就像一个热闹的大家庭，可以被拆分成好几个因数相乘。
毕达哥拉斯对音乐和数学之间的联系也有独特的见解。
他发现了音程之间的数学比例关系。
你想啊，音乐多美妙，就像潺潺的流水一样动听。
而这些美妙的声音背后，居然有着数学在起作用。
就好比是音乐是一个美丽的花园，而数学就是这个花园的园丁，默默地打理着一切。
琴弦的长度不同，发出的声音就不一样，而这种不同是可以用精确的数学比例来表示的。
这就像给音乐这个神秘的艺术领域打开了一扇理性的窗户，让人们看到原来艺术和科学之间有着这样奇妙的联系。
在几何方面，毕达哥拉斯学派也有很多建树。
他们研究了多边形的内角和等问题。
多边形就像一个个性格各异的小伙伴，三角形有三角形的内角和，四边形又有四边形的内角和。
毕达哥拉斯学派就像侦探一样，把这些多边形内角和的秘密一个一个地揭开。
毕达哥拉斯
伦理 除了“数是万物之原”的主题外，他还常常谈起有关道德伦理的问题。 毕达哥拉斯 他对议事厅的权贵们说，“一定要公正。不公正，就破坏了秩序，破坏了和 谐，这是最大的恶。 他谈到过自律的问题。他认为人的自律只能在理性和知识的指导下才能培养 起来， 诚然，作为一种唯心主义的世界观，给后来的自然哲学以及科学的发展带来 了很大的消极影响。
毕达哥拉斯 盟会
奇怪的教义教规 毕达哥拉斯盟会在相信灵魂转世，有一个故事： 当毕达哥拉斯看到一只狗被打的时候，特别同情地阻止，说这只狗是他朋友的 灵魂，从犬吠声中认出了他的朋友。 毕达哥拉斯还说自己的前生已经四次灵魂转世。因此毕达哥拉斯盟会禁止杀生 和用有生命的动物祭祀。后人也将他们奉为素食主义的鼻祖。 他们还有很多奇怪的教义： 不能用公鸡献祭，因为公鸡是献给月亮和太阳的； 不要让燕子在屋檐下筑巢； 不要戴戒指； 禁食用豆子
（不肯穿越豆子地逃亡也是传说毕达哥拉斯死亡的原因之一毕达哥拉 斯最奇怪的教规之一是他的追随者们永远不能触碰豆子。他教导说豆 子会带走一部分灵魂。他解释说“它们会导致胀气，当气体出来时， 会带走人的大部分灵气。”
不仅仅如此。据说他相信豆类包含了死者的灵魂，并告诉他的追随者， “吃豆子等同于啃食父母的人头。”
数学文化
乔丹
毕达哥拉斯
数学之父 职业：思想家、哲学家、数学家、科学家、占 星师 主要成就 影响西方乃至世界的人物 第一个注重“数”的人 毕达哥拉斯定理（勾股定理） 证明了正多面体的个数 建设了许多较有影响的社团：毕达哥拉斯学派 术业：数学、自然科学 人物特点：在科学和理性中带有神秘 师承：泰勒斯、阿纳克西曼德 嗣响：巴门尼德、苏格拉底、柏拉图、
抵达埃及后，他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年，毕达哥拉斯学习了象形文字和 埃及神话、历史和宗教，并宣传希腊哲学。
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派亦称“南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织，由古希腊哲学家毕 达哥拉斯所创立。该学派产生于公元前6世纪末，公元前5世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学家、音乐 家。它是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。
毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，在他的游历生活中，他受到当地文化的影响，了解到许多神秘 的宗教仪式，还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的。旅行结束后，他才返回家乡撒摩斯岛。由于政治的原 因。他后来迁往位于南意大利的希腊港口克罗内居住。在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后 来便发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。
毕氏学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐却被看作是净化灵魂从而达到解 脱的手段。
毕达哥拉斯学派的当代研究主题主要集中在人的美学和社会归正，在这方面，当代人学家张荣寰将政治、学 术、宗教回归到人的上升即人格极其生态的上升这一人类命运第一命题中，将一个科学的人类学、一个哲学的人 类学、一个神学的人类学来求出人存在的某一层面“个性和共性”关系的成果，即更高质量人格的人，在生物性 层次、在历史性层次、在社会性层次、在自我性层次予以贯通。
毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。 在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡， 而且也具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了 数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所 以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。
几何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明
⼏何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明⼏何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明 ⼏何学中，有着⽆数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱⼈的⼀个。
毕达哥拉斯定理的历史最悠久、证明⽅法最多、应⽤最⼴泛，它是⼈类科学发现中的⼀条基本定理，对科技进步起了不可估量的作⽤。
中世纪德国数学家、天⽂学家开普勒称赞说：“⼏何学中有两件瑰宝，⼀是毕达哥拉斯定理，⼀是黄⾦分割律。
”毕达哥拉斯的百⽜宴 早在公元前2000多年的巴⽐伦的泥版书中，有⼀块泥版上刻着这样⼀个问题：“⼀根长度为30单位的棍⼦靠墙⾓直⽴，当其上端下滑6个单位时，其下端离开墙⾓有多远？”这表明当时的古巴⽐伦⼈已经发现了直⾓三⾓形三边长之间的关系，距今⾄少有4000多年了。
毕达哥拉斯定理揭⽰了⼀条⾃然界简明⽽⼜基本的科学规律：直⾓三⾓形两条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅。
它最先是如何被发现的，⽆从考证，但其证明的历程依然记录着⼀代⼜⼀代⼈的智慧与⼼⾎。
由于第⼀个给出证明的⼈是古希腊数学家毕达哥拉斯，因此称之为毕达哥拉斯定理。
他于公元前572年出⽣于爱琴海的萨摩斯岛，住在离泰勒斯的故乡⽶利都城不远的地⽅，曾就学于泰勒斯。
毕⽒早年旅⾏于⼩亚细亚⼤陆，⼜到过⾮尼其、埃及。
他⼏乎领略了⼀切希腊及外邦⼈的宗教秘法，并参加过埃及的宗教僧团和教派。
后来定居于意⼤利南部的克罗它岛，在那建⽴了带有神秘性质的著名的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯 毕⽒学派在⼏何学⽅⾯有许多重要的发现，如三⾓形三内⾓和等于两个直⾓、不可通约量（⽆理数）等。
但使毕达哥拉斯最为得意的还是证明毕⽒定理。
当他找到了证明这⼀定理的⽅法以后，欣喜若狂，令⼿下⼈宰了100头⽜来祭神，并⼤摆宴席，以⽰庆贺。
由此，后⼈也将此定理称为“百⽜定理”。
毕达哥拉斯证明这⼀定理的故事，最早是由公元1世纪的希腊学者普鲁塔克讲述的，公元5世纪另⼀位希腊学者普罗克鲁斯⼜把它写在欧⼏⾥得《⼏何原本》评注中。
遗憾的是，毕达哥拉斯是如何证明的，书中却⽆记载。
黄金分割比的历史和数学解释
黄金分割比的历史与数学解释一、历史背景黄金分割比是一个古老的数学概念，可以追溯到古希腊时期。
当时，哲学家和数学家毕达哥拉斯学派发现，当一个矩形的长宽比为1:1.618时，这个矩形看起来非常和谐和平衡。
这一比例被认为是美学和艺术的理想比例，被广泛应用于建筑、艺术和设计等领域。
二、定义与公式黄金分割比的定义是，较长的线段与较短线段之比等于较短线段与整体线段之比。
用数学公式表示为：较长的线段/较短的线段= 较短的线段/整体线段。
简化后得到公式：(√5 - 1)/2，近似值为1:1.618。
三、数学性质黄金分割比具有一些特殊的数学性质。
首先，它是一个无理数，即不能表示为两个整数的比值。
其次，它具有递归性质，可以用来构造几何图形和斐波那契数列等复杂的数学结构。
此外，黄金分割比还是一种自相似性结构，可以无限细分下去，从而产生更加复杂和丰富的图案和模式。
四、应用领域黄金分割比在各个领域都有广泛的应用。
在建筑设计领域，许多著名的建筑都采用了黄金分割比来设计，如帕台农神庙、法国的凡尔赛宫等。
在艺术领域，黄金分割比被广泛应用于绘画、雕塑和摄影等艺术形式中，被认为是美学和艺术的理想比例。
在音乐领域，黄金分割比也被用于作曲和音乐理论中，被认为是音乐和谐的比例。
五、文化影响黄金分割比作为一种美学和艺术的理想比例，对人类文化和艺术产生了深远的影响。
它被认为是自然界中普遍存在的比例，如蝴蝶的翅膀、向日葵的花瓣等都呈现出黄金分割比的特点。
在人类文化和艺术中，黄金分割比也常常被用来表现和谐、平衡和美感，成为了许多经典作品的重要组成部分。
总结起来，黄金分割比是一种古老而神奇的数学概念，具有丰富的历史背景和数学性质。
它在各个领域都有广泛的应用，被认为是美学和艺术的理想比例。
同时，黄金分割比也对人类文化和艺术产生了深远的影响，成为了许多经典作品的重要组成部分。
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毕达哥拉斯学派的发现
毕达哥拉斯学派的发现：提起“勾股定理”。
人们便很容易与毕达哥拉斯联系起来，西方数学界一般把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。
但据本世纪对于在美索不达米亚出土的楔形文字泥板书所进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前1000多年的古代巴比伦人就已经知道了这个定理。
而且在中国的《周髀算经》中记述了约公元前1000年时，商高对周公姬旦的回答已明确提出“勾三、股四、弦五”。
不过“勾股定理”的证明，大概还应当归功于毕达哥拉斯。
传说，他在得出此定理时曾宰杀了100头牛来祭缪斯女神，以酬谢神灵的启示。
缪斯是神话中掌管文艺、科学的女神。
毕达哥拉斯是科学史上最重要的人物之一，他的思想不仅影响了柏拉图，而且还一直影响到文艺复兴时期的一些哲学家和科学家。
毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，很可能还曾去过印度。
在他的游历生活中，他受到当地文化的影响，了解到许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系。
旅行结束后，他才返回家乡撒摩斯岛。
由于政治的原因。
他后来迁往位于南意大利的希腊港口克罗内居住。
在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后来便发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。
毕氏学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐却被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。
有许多关于毕达哥拉斯的神奇传说。
如，他在同一时间会出现在两个不同的地方，被不同的人看到；还有传说，当他过河时，河神站起身来向他问候：“你好啊，毕达哥拉斯”；还有人说，他的一条腿肚子是金子做的。
毕达哥拉斯相信人的灵魂可以转生，有人为了嘲弄他的宗教教义而传言，一次当他看到一只狗正遭人打时，他便说：别打了，我从他的声音中已认出，我朋友的灵魂是附在了这条狗身上了。
如果有人要想加入毕氏团体，就必须接受一段时期的考验，经过挑选后才被允许去听坐在帘子后面的毕达哥拉斯的讲授。
只有再过若干年后当他们的灵魂因为受音乐的不断熏陶和经历贞洁的生活而变得更加纯净时，才允许见到毕达哥拉斯本人。
他们认为，经过纯化并进入和谐及数的神秘境界，可以使灵魂趋近神圣而从轮回转生中得到解脱。
毕氏学派企图用数来解释一切，不仅万物都包含数，而且认为万物就是数。
他们发现，数是音乐和谐的基础。
当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高8度；比率为3∶2和4∶3时，相对应的是高5度和高4度的和声。
和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。
他们认为，正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么，并显示出彼此之间的关系。
毕氏学派在哲学上与印度古代哲学有相类似之处。
都是把整数看作是人和物的各种性质的起因，整数不仅从量的方面而且在质方面支配着宇宙万物。
他们对数的这种认识和推崇，促使他们热衷于研究和揭示整数的各种复杂性质，以期来左右和改变自己的命运。
他们对整数进行了分类。
如整数中包含有奇数、偶数、质数、亲和数及完全数等等。
他们注意到整数48可以被2、3、4、6、8、12、16、24、整除，这8个数都是48的因
子，这些因子的和是75；奇妙的是75的因子有3、5、15、25，而它们的和又恰好是48。
48与75这一对数叫做“半亲和数”。
不难验算出140与195也是一对半亲和数。
考虑到1是每个整数的因子，把除去整数本身之外的所有因子叫做这个数的“真因子”。
如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数，就构成一对“亲和数”。
220与284是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数，同时也是最小的一对亲和数。
因为220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，而它们的和是284。
284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。
有人曾经把亲和数用于魔术、法术、占星学和占卦上，使它带有迷信和神秘的色彩。
如认为若两个人都佩带上分别写着这两个数的护符，就一定保持良好的友谊，这当然是非常滑稽可笑的。
有趣的是，后来人们总保持着对亲和数研究的兴趣。
1636年，法国数学家费马发现了第二对亲和数，它们是17962与18416。
两年后笛卡儿找出了第三对亲和数。
瑞士的大数学家欧拉曾系统地去寻找亲和数，1747年他一下子找出了30对，3年后他又把亲和数增加到了60对。
令人惊奇的是，除去220与284之外最小的一对亲和数1184与1210竟然被这些数学大师们漏掉了。
它被一个16岁的意大利男孩帕加尼尼在1886年发现。
至今，已经知道的亲和数已有1000对以上。
更有趣的是人们还发现了亲和链：2115324，3317740；3649556，2797612。
由于第一个数的因子之和是第二个数，第二个数的因子之和是第三个数……第四个数的因子之和又恰好是第一个数，它们是一个四环亲和链。
一些构成亲和链的数，只要给出其中的一个，便可以计算出其他的数。
如12496与其他四个数构成一个五环亲和链。
有计算器的读者不妨试算一下，补上其余的四个数。
其他与占卦臆测有联系的是完全数。
完全数的真因子之和是它自己，就好像自己和自己是“一对”亲和数。
最小的完全数是6=1+2+3。
毕氏信徒们认为，数具有象征性的含义。
例如，4是公正或报应的数，表示不偏不倚。
上天创造世界，6就是个完全数。
整个人类是诺亚方舟上的神灵下凡，这一创造是不完善的，因为8不是完全数，它大于它的真因子和：1+2+4。
像4、8这样的数叫做亏数。
相反凡小于其因子和的整数叫做盈数。
最小的三个完全数是6，28，496。
直到1952年人们才发现12个完全数。
欧几里德的《原本》第九卷的最后一个命题是，证明：如果2n-1是一个质数，则2n-1（2n-1）是一个完全数。
由这个公式所给出的完全数都是偶数。
后来大数学家欧拉证明了每一个偶完全数必定是这种形式的。
人们自然会问，是否还有其他的完全数？即有没有奇完全数？但至今还没有人能够回答这个问题。
1952年，借助SWAC数字计算机，又发现了五个完全数：1957年用瑞士的BESK 计算机发现了另外一个；后来有人用IBM7090计算机又发现了两个。
至今为止已知道的完全数已有27个。
毕氏学派是一个带有神秘色彩的宗教性组织，但是他们对于数学的研究确实作出了重大贡献。
由于华达哥拉斯的讲授都是口头的，按照他们的习惯，对于各种发现或发明都不署个人姓名，而是都归功于其尊敬的领导者，所以很难辨别出他们研究的成果究竟是由谁来完成的。
毕氏学派后来在政治斗争中遭到失败，毕达哥拉斯逃到塔林敦后，终于还是被杀害。
他死后，他的学派的影响却仍然很大，其学派又延续了200年之久。