毕达哥拉斯及其学派
西方美学家或教育家提出的美育思想
一、西方美育思想的由来和发展毕达哥拉斯及其学派提出的音乐净化灵魂的主张，可以说是西方最早的美育思想。
公元前6世纪，毕达哥拉斯派从美是数的比率和谐的美学观念和灵魂不死的宗教理念出发，认为音乐是一种和谐，人的灵魂也是一种和谐，因此可以“凭借医学实现肉体的净化，凭借音乐实现灵魂净化”，并要求其门徒在晚上和早晨听取所规定的音乐，以驱除灵魂在白天受到骚扰和在梦中受到麻痹。
为此，可以认为毕达哥拉斯是“第一个凭借节奏和旋律确立音乐教育的人”。
“净化”在毕达哥拉斯那里，既是心灵性的，又是道德性的，净化的目的也包含着建构一种道德的心灵——“美德”。
尽管毕达哥拉斯由于把道德还原为数，以不正确的方式来讲道德，不能建立起真正的道德理论，但毕竟是“第一个试图讲道德”并与美结合起来。
他提出了“美德乃是一种和谐”，内蕴美育的雅典教育实践为美育思想的发展奠定了基础。
古希腊教育有两种类型，斯巴达教育以严格、野蛮而著称于西方教育史，它崇尚武功，重视军事教育，但也重视音乐教育，并以音乐来鼓舞士气，培养士兵的组织纪律性。
与斯巴达相反，雅典崇尚文治，这与它经济发达、政治民主有关，它不但要求把学生培养成为身强力壮的军人，更要成为具有多种才能和文化修养，善于通商交往的政治家和商人。
因此，雅典教育强调体、智、美、德全面发展，这是一种多彩的、个性自由的教育。
在此基础上，古希腊许多思想家作了初步的理论概括。
如柏拉图在《理想国》中提出教育制度应包括身体的教育和心灵的教育（艺术教育）两个方面。
他讲道，在进行发展智慧的教育之前，先“要用音乐教育心灵，用体育教育身体”，并把两种教育结合起来，共同改善人的心灵。
他分析了人们从形体美开始，经历心灵美、行为美、制度美和知识美，最后观照自身达到理念世界的历程。
他注意到自然美和艺术美能陶冶人的性情，美化人的心灵，强调从小培养青少年爱美的习惯。
古希腊的另一位思想家亚里士多德主张和谐教育，包括阅读与书写、体育锻炼、音乐和绘画以及道德品质的培养等，并把和谐教育的重点放在审美教育（主要是音乐教育）方面。
毕达哥拉斯学派的有关影响及思考
毕达哥拉斯学派的有关影响及思考摘要：毕达哥拉斯学派对人类进步的贡献是不应低估的，它影响了后来希腊思想的发展。
本文通过简单的阐述毕达哥拉斯及其学派，分析他们的观点及其产生的影响，用以思考应如何学习毕达哥拉斯学派及学习毕达哥拉斯学派的哪些方面。
关键词：毕达哥拉斯学派影响一、毕达哥拉斯及毕达哥拉斯学派简介从毕达哥拉斯的记载中可以确定三点：他接受了轮回学；他积极从事在那个时代引起极大影响的科学研究；他建立了一个团体，其成员要遵循一定的约束。
早起围绕他而形成的传说，至少表明他是一个具有很高的造诣的人，并有很大的影响力。
毕达哥拉斯学派的发展大体上经历了三个时期：（一）早起毕达哥拉斯学派从公元前五世界末到公元前四世纪前半叶的毕达哥拉斯学派。
（二）希腊化时期。
作为一个学派，到公元前四世纪毕达哥拉斯学派已经消亡，但他们的影响继续存在，主要在亚历山大里亚科学的发展中发挥作用。
（三）到公元前一世纪，毕达哥拉斯学派重新兴起，直到公元三世纪，信毕达哥拉斯学派融入新柏拉图学派。
二、毕达哥拉斯学派的主要观点及贡献毕达哥拉斯团体的精神、原则和行为举止，及其约束、规定，都来源于轮回学说。
毕达哥拉斯学派接受了某些禁欲主义的戒条，如禁食肉食和豆类，以及大量的戒规，这是一种原始禁忌信仰的残余或象征信仰。
因此，生活是某种极其严肃的事情，其正确的行止，需要一种系统的训练。
出于这一理由，给新的信徒规定长期缄默的禁令，并要求每天做一次严格的自我反省。
对自我进行反省的思想，和中国古时候“吾将三省吾身”的思想，有些许共鸣。
此外，净化的观念后来被毕达哥拉斯学派的人予以修改，它终于不再表示净化肉体对灵魂的影响，而表示以科学和音乐净化灵魂，及以体育和医药净化肉体。
成为毕达哥拉斯团体的基础的四海皆兄弟这个观念，也是来源于轮回学说。
所有的生物和有机物都被看成是相互联系着得，因为他们都是灵魂的体现。
尽管如此，毕达哥拉斯学派绝不认为要到一切人的机械的平等化中找到矫治社会的办法，而是要在秩序中去找到这种矫治办法，社会秩序像自然界一样，本身就有不同的等级。
毕达哥拉斯学派
奥尔弗斯神秘祭 是曾流行于希腊下层民众中的一种宗禁忌
1．禁食豆子。 2．东西落下了，不要拣起来。 3．不要去碰白公鸡。 4．不要擘开面包。 5．不要迈过门闩。 6．不要用铁拨火。 7．不要吃整个的面包。 8．不要招花环。 9．不要坐在斗上。
4.相关理论介绍
雅典学院
《雅典学院》是以古希腊哲学家柏拉图所建的雅典学院为题，以古代七种自由 艺术——即语法、修辞、逻辑、数学、几何、音乐、天文为 基础，以表彰人类 对智慧和真理的追求。
说谎者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼 地斯说的话：“所有克利特人都说谎，他们中 间的一个诗人这么说。” 如果这名诗人说的是 真的，那么，克利特人就是说谎者，这个诗人 也不能排除在外；如果这名诗人说谎，那么克 利特人就不是说谎的群体，这个诗人也应该不 是说谎者，这和诗人说谎矛盾。这就是悖论。
在中国称股股定理。直角三角 形两直角边平方的和等于斜边的平 方。数学公式常写作：x2+y2=z2。
数学和逻辑学之所以成为独立的学科，正是建立在数摆脱形而 独立的基础上。
不可公约数危机
直角三角形的斜边不能表 示成整数或分数，只能表示成 不可通约的无理数。这与毕达 哥拉斯学派“万物皆数”，数 只有两种（即整数和分数）的 信条相悖，从而导致了第一次 数学危机。
10．不要吃心。 11．不要在大路上行走。 12．房里不许有燕子。 13．锅从火上拿下来的时候，不 要把锅的印迹留在灰上，而要把 它抹掉。 14．不要在光亮的旁边照镜子。 15．当你脱下睡衣的时候，要把 它卷起，把身上的印迹摩平。
2.发展起源
毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，很可能还曾去过印度。在 他的游历生活中，他受到当地文化的影响，了解到许多神秘的宗教仪式， 还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系。旅行结束后，他才返回 家乡撒摩斯岛。由于政治的原因。他后来迁往位于南意大利的希腊港口克 罗内居住。在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后来便 发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。毕氏学派认为， 对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐却被看作是净 化灵魂从而达到解脱的手段。
毕达哥拉斯及其学派的数学成就
毕达哥拉斯（Pythagoras ，约公元前580年—公元前500年）出生于小亚细亚萨摩斯（Samos ）岛（今希腊东部小岛）.他自幼聪明好学，曾在名师泰勒斯（Tha⁃les ，约公元前624年—公元前546年）、阿那克西曼德（Anaximander ，约公元前610年—公元前545年）等门下学习过几何学、自然科学和哲学.毕达哥拉斯毕达哥拉斯曾经走过万水千山，游历了当时世界上文化水准极高的文明古国——巴比伦、印度以及埃及（有争议），学习了美索不达米亚文明和印度文明的文化.后来，他到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒们组成了“毕达哥拉斯学派”，学派的成员都有着共同的哲学信仰和政治理想，在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高的声誉，产生过相当大的影响.在毕达哥拉斯逝世后，学派中人在希腊各学术中心继续活动，直至公元前400年.毕达哥拉斯及其学派中人在数学方面作出了颇多贡献.下面我们分两部分介绍.毕达哥拉斯学派一、对数的一般认识毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等.学派中人把宇宙间的一切现象都归结为自然数和自然数之比.自然数有两种：偶数和奇数.偶数能够被平分，即能被分成相等的两部分；奇数不能被平分，只能被分成不相等的两部分.他们还把自然数与用小石子排列的图形相比拟，称其为拟形数，借以把自然数作另一种分类.1.拟形数三角形数：1，3，6，…，各项的结构特点为1，1+2，1+2+3，…，通项是1+2+…+n =12n (1+n ）.正方形数：1，4，9，16，…，n 2.五角形数：1，5，12，22，…，各项的结构特点为1，1+4，1+4+7，…，通项是1+4+7+…+3n －2=12(3n 2-n ).六角形数：1，6，15，28，…，各项的特点结构为1，1+5，1+5+9，…，通项是1+5+9+…+4n -5=2n 2-n ，如图1.数学史话59数学史话图12.完美数图2如果一个数等于它全部真因数的和，那么这个数是完美数.亚历山大时期希腊数学家伊安布利霍斯Iamblichus，约公元前250年—公元前330年）著有九部关于毕达哥拉斯学派的书，其中前四部至今犹存中说，学派中人当年视数6=1+2+3为喜庆、建康和美完美数的定义被收入欧几里得《原本》卷7.3.相亲数若甲数是乙数全部真因数的和，而乙数又是甲数全部真因数的和，则两数互为相亲数.希腊数学家伊安布利霍斯（Iamblichus，约公元前250年—公元前希伯斯正方形一边与其对角线为不可公度量图3在正方形ABCD（如图3）中，图4图5在几何学方面，毕达哥拉斯学派发现了正五角形和相似多边形的作法；还发现了“宇宙体”——正四面。
毕达哥拉斯学派名词解释(一)
毕达哥拉斯学派名词解释(一)毕达哥拉斯学派•毕达哥拉斯主义–毕达哥拉斯主义是古希腊数学家毕达哥拉斯及其学派的思想体系。
该学派认为“万物皆数”，注重数的属性及其关系。
–例：毕达哥拉斯学派强调数的规律性，认为自然界的各种现象都可以用数学进行解释，譬如音乐中的和谐比例，可以用数列和比例来表示。
•素数–素数是只能被1和自身整除的正整数，即除了1和自身外没有其他因数的数。
–例：2、3、5、7是素数，因为除了1和自身外没有其他因数可以整除它们。
•毕氏定理–毕氏定理，又称勾股定理，是三角学中最基本的定理之一，描述直角三角形的边之间的关系。
–例：在一个直角三角形中，边长依次为3、4、5，在满足笛卡尔坐标系中的几何图形中，可以满足a² + b² = c²。
•黄金分割–黄金分割是指将一条线段分割成两个部分，其中较长的部分与整条线段的比例等于较短部分与较长部分的比例。
–例：当线段被黄金分割时，较长部分与整条线段的比例为(a + b) / a = a / b = φ（约等于），其中a为较长部分，b为较短部分。
•毕达哥拉斯数–毕达哥拉斯数是一种特殊的整数，满足a² + b² = c²的条件，其中a、b、c为正整数。
–例：3² + 4² = 5²，这个例子中的3、4、5就是满足毕达哥拉斯数的条件。
•毕达哥拉斯圆–毕达哥拉斯圆是指半径为整数的圆，其面积、周长、直径都是有理数。
–例：半径为3的毕达哥拉斯圆，其面积为9π，周长为6π，直径为6。
•合数–合数是指除了1和自身外还有其他因数的数，即可以被除了1和自身以外的其他整数整除的数。
–例：4、6、8、9都是合数，因为它们可以被其他整数整除，例如4可以被2整除，6可以被2和3整除。
•勾股数–勾股数是指满足毕氏定理的三个正整数，即a² + b² = c²的整数解。
02毕达哥拉斯学派
• 人体12个“黄金矩形”： (1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至 臀底的高度为长； (2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底 间距为长； (3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长； (4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口 角间距为长； (5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取 平均数为长； (7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切 牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径 为宽，齿龈径为长。
• 所谓柏拉图主义的东西倘若加以分析，就 可以发现在本质上不过是毕达哥拉斯主义 罢了。有一个只能显示于理智而不能显示 于感官的永恒世界，全部的这一观念都是 从毕达哥拉斯那里得来的。如果不是他， 基督徒便不会认为基督就是道；如果不是 他，神学家就不会追求上帝存在与灵魂不 朽的逻辑证明。但是在他的身上，这一切 还都不显著。
人体美的标准
• 系数法：身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7 或7.5。 • 两分法：把人体分成大小两部分，大的部分从脚 到脐，小的部分为脐到头顶。 • 标准的面型符合三停五眼：三停是指脸型的长度， 从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际 到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各 称一停共三停；五眼是指脸型的宽度，双耳间正 面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内 此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一 眼裂长度 。
• 他的演讲吸引了各阶层的人士，很多上层 社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗， 妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥 拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。 热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜， 她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经 失传了。
• 毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东成立 了一个秘密结社，这个社团里有男有女，地位一 律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很 严密，甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要 在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一 系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。 • 他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范 和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。 他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一 体，万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过 数来统治宇宙。这是毕达哥拉斯学派和其他教派 的主要区别。
毕达哥拉斯学派
（5）数论
毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、
偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。在毕达 哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状 决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有 几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式 和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上 的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、 土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自数决定 的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。
④这一学派第一次使用了“哲学”（爱智慧）用语。它奠 定了古代哲学一词的含义，对后人产生了深远的影响。
进步之处
毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一 点；因为他容许妇女（当然是贵族妇女而非奴隶女婢） 来听课。他认为妇女也是和男人一样有求知的权利， 因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所 没有的现象。
飞矢不动悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出 的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论中的一个。人们通常 把这些悖论称为芝诺悖论。
芝诺提出，由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个 暂时的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别。中国 古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说 法。 ⑦钱包悖论
第二，毕达哥拉斯学派对净化的观念的修改，使他们 不仅仅是消极的对肉体进行约束，而是开发出了用科学和 音乐来净化灵魂。这种思想仍是可以运用到我们现在生活 的环境中。现代社会复杂的事情太多，各种状况都会发生， 部分人们迷茫、消极，学习毕达哥拉斯学派，从事与自己 有优势的事业中，不管是不是与科学有关，人都会找到心 灵的慰藉。
(2)毕达哥拉斯的黄金分割： 毕达哥拉斯学派认为由太阳、月亮、星辰的轨道和地
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派目录什么是毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派的研究方向毕达哥拉斯的科学影响毕达哥拉斯学派起源毕达哥拉斯学派发展史毕达哥拉斯学派的学术研究历史毕达哥拉斯学派的当代研究Pythagorean[编辑本段]毕达哥拉斯学派亦称“南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。
古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。
产生于公元前6世纪末，公元前5世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学家、音乐家。
它是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。
[编辑本段]毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序；由此他们提出了“美是和谐”的观点，认为音乐的和谐是由高低长短轻重不同的音调按照一定的数量上的比例组成，“音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。
”这是古希腊艺术辩证法思想的萌芽，也包含着艺术中“寓整齐于变化”的普遍原则。
他们认为天体的运行秩序也是一种和谐，各个星球保持着和谐的距离，沿着各自的轨道，以严格固定的速度运行，产生各种和谐的音调和旋律，即所谓“诸天音乐”或“天体音乐”。
他们还认为，外在的艺术的和谐同人的灵魂的内在和谐相合，产生所谓“同声相应”，认为音乐大致有刚柔两种风格，对人的性格和情感产生陶冶和改变，强调音乐的“净化”作用。
他们偏重于美的形式的研究，认为一切平面图形中最美的是圆形，一切立体圆形中最美的是球形。
据说他们最早发现了所谓“黄金分割”规律，而获得关于比例的形式美的规律。
毕达哥拉斯学派的美学观点是客观唯心主义的，对柏拉图、新柏拉图主义及文艺[编辑本段] 复兴时期的艺术家产生了深远影响。
提起“勾股定理”。
人们便很容易与毕达哥拉斯联系起来，西方数学界一般把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。
但据本世纪对于在美索不达米亚出土的楔形文字泥板书所进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前1000多年的古代巴比伦人就已经知道了这个定理。
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实例
金字塔是正四面体,食盐的结晶体是正 六面体，明矾的结晶体是正八面体,硫化铁 结晶体有时会出现接近正十二面体的形状, 疱疹病毒拥有正二十面体的衣壳。
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定义 在我国，把直角三角形的两 直角边的平方和等于斜边的平方这一 特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又 称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。数学 公式中常写作a2+b2=c2
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定义
所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全 等的正多边形，并且各个多面角都是全等 的多面角。例如，正四面体（即正棱锥体） 的四个面都是全等的三角形，每个顶点有 一个三面角，共有四个三面角，可以完全 重合，也就是说它们是全等的。
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种类
• 正多面体的种数很少。多面体可以有无数， 但正多面体只有正四面体、正六面体（正 方体）、正八面体、正十二面体、正二十 面体五种。其中面数最少的是正四面体， 面数最多的是正二十面体。有些化学元素 的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结 晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面 体。
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派亦称 “南意大利学派”，是一 个集政治、学术、宗教三 位于一体的组织。古希腊 哲学家毕达哥拉斯所创立。 产生于公元前6世纪末， 公元前5世纪被迫解散， 其成员大多是数学家、天 文学家、音乐家。它是西 方美学史上最早探讨美的 本质的学派。
主要观点
• 1.人类幸福只能是人格社会的产物；是新人格，是新生态 和谐共进的结果； • 2.幸福不是宗派神学的禁欲体验，也不是礼教理学的享乐 感受，更不是金钱地位的无限欲望，而是信念和向往实现 的人格满足； • 3.重视人的价值，要求提高人的思维能力及创造性潜力， 鼓励积极作为的人生态度，提倡积极开拓的精神； • 4.人人能够信仰真理； • 5.以真诚的民主来反映现代社会人高智慧的社会存在； • 6.提高人在群体公共事物中的智慧能力，在个人、家庭、 团体、组织、国家、乃至联合国的制度中，让人与人相互 之间的关系和谐发展。 • 7.宗教改革、文艺复兴和法制复兴的终极目标是人的归正。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
毕达哥拉斯及其学派
10数一
毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 形与数的联系 各种正方体 数学与音乐 毕达哥拉斯定理 毕达哥拉斯的数学观、哲学观、宇宙观 第一次数学危机
• 毕达哥拉斯简介 • 毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯居住的地方
爱琴海
简介
毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)古希腊数学家、哲学家。无论是解说 外在物质世界，还是描写内在精神世界， 都不能没有数学！最早悟出万事万物背后 都有数的法则在起作用的，是生活在2500 年前的毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯出生在爱 琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛）， 自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、 自然科学和哲学。以后因为向往东方的智 慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃 及（有争议），吸收了阿拉伯文明和印度 文明（公元前480年）。
毕达哥拉斯对数学的成就
• 毕氏派将抽象的数作为万物的本源，研究数的目 的不是为了实际应用，而是揭露数的奥秘来探索 宇宙的永恒真理 • 它们对数做过深入研究，并得到很多结果：将学 问分为四类，即算数、音乐﹝数的应用﹞、几何 ﹝精致的量﹞、天文﹝运动的量﹞ • 根据简单的整数比原理创造一套音乐理论；将自 然数进行分类，如奇数、偶数、完全数、亲和数、 三角数、平方数、五角数、六角数等等 • 勾股定理﹝西方称为毕达哥拉斯定理﹞和勾股数 （西方成为毕达哥拉斯数）；发现五种正多面体； 发现不可通约量 。
毕达哥拉斯是死在 意大利科多拿城里， 在一场城市暴力中， 他被人暗杀掉。他的 坟墓现仍在意大利的 这个古山城中，这个 就像中国的馒头式。 二千多年过去了，这 里还保留下来，可见 人们对这学者的重视。
•发展起源 •主要观点 • 规矩 •伟大成就
发展起源
毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各 地漫游，很可能还曾去过印度。在他的游 历生活中，他受到当地文化的影响，了解 到许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与 数的知识及几何规则之间的联系。旅行结 束后，他才返回家乡撒摩斯岛。由于政治 的原因。他后来迁往位于南意大利的希腊 港口克罗内居住。在这里创办了一个研究 哲学、数学和自然科学的团体，后来便发 展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教 性学派组织。
数形结合思想的形成
毕达哥拉斯的数
“形数”的研究
古希腊人既探索宇宙的奥秘，也研究人生的奥秘．毕达 哥拉斯学派对自然数作了多方面、系统的和深入的考察，他 们不仅把数字看成记数的工具，而且看成神圣、完善、友好、 幸运及邪恶的符号． 例如，他们认为大于1的奇数象征男性，偶数象征女性．5 是第一个男性数与女性数之和，因此象征结婚与结合． 他们还发现了完全数，完全数就是等于它的真因子之和的 数．如 6 的真因子数是1，2，3，而6=1+2+3 ．数 6 就变为完 美的象征，下一个完全数是28 ． 毕达哥拉斯学派还发现了亲和数． 称两个自然数 A , B 为 亲和数，若 A 的真因子之和等于 B ，而B 的真因子之和等于 A ． 如220与284是一对亲和数： 220的真因子：1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110．其和为284 ． 284的真因子：1,2,4,71,142 ．其和为220 ．
规矩
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• • • • • • • • • • • • • • •
1．禁食豆子。 2．东西落下了，不要用手拣起来。 3．不要去碰白公鸡。 4．不要擘开面包。 5．不要迈过门闩。 6．不要用铁拨火。 7．不要吃整个的面包。 8．不要招花环。 9．不要坐在斗上。 10．不要吃心。 11．不要在大路上行走。 12．房里不许有燕子。 13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把 它抹掉。 14．不要在光亮的旁边照镜子。 15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。 所有这些诫命都属于原始的禁忌观念。
证明
• 所以有以下几种情况：
n m 类型 3 3 正四面体 4 3 正六面体 3 4 正八面体 5 3 正十二面体 3 5 正二十面体 由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
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食盐的结构是正几面体？ 金字塔是正几面体？ 硫化铁结晶体是正几面体？ 明矾是正几面体？ 疱疹病毒是正几面体？
历史
另一种意见认为毕达哥拉斯早就知道 正十二面体，还有正四面体和正六面 体．理由是正十二面体的每一个面都是正 五边形，而这个学派对正五边形的作图法 深有所知，并且用五角星来作他们秘密组 织的徽章或联络的标志，称之为“健 康”．有一则故事说这个组织的一个成员 流落异乡，贫病交迫，无力酬谢房主的款 待，临终前要求房主在门前画一个五角 星．若干年后，有同派的人看到这个标志， 询问事情的经过，厚报房主而去
毕达哥拉斯学派对数学的主要贡献
⑴ 证明了勾股定理及其逆定理．
⑵ 给出了平均数的概念．
⑶ 完全数的概念．
⑷ 形数．
数形结合思想 发展简史
什么是数形结合？
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对 应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、 数量关系与直观的几何图形、位置关系结 合起来，通过“以形助数”或“以数解形” 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以 使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从 而起到优化解题途径的目的.
三角形数示意图
N=1+3+5+7+…+(2n-1)=n2
正方形数示意图
N=1+4+7+…(3n-2)=n(3n-1)/2
五边形数示意图
乘法的运算法则
例如1
4x3
4+4+4
axb=b个a相加的和
乘法分配律
例二
4x(3+2)=4x3+4x2 a(b+c)=ab+ac
奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
历史
不管是正五边形或是正十二面体，都 和希帕索斯(Hippasus．约公元前470年， 是梅塔蓬图姆地方的人)这个人物有关．他 原先是学派的成员，后来被开除或被投入 大海中淹死，也有的说是船只出事沉没， 因而丧生．关于原因，至少有三种传说： 1．是政治问题，他违反教规，参与反贵族 的民主运动；2．自夸发现了正十二面体或 不可通约量；3．泄漏了这些秘密．
证明
• 有 • 2E/m+2E/n-E=2 • 整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E. • 由于E是正整数，所以1/E>0。因此 • 1/m+1/n>1/2 -------------- ③ • 说明m,n不能同时大于3，否则1/m+1/n<1/2，即 • ③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体 一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m≥3且n≥3。因 此m和n至少有一个等于3 • 当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以 n只能是3，4，5 • 同理n=3，m也只能是3，4，5
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
公式
顶点数
面数
V+F-E=2
棱数
图片
类型
正4面 体 正6面 体 正8面 体 正12面 体 正20面
面数
4 6
棱数
6 12
顶点数 每面边 每顶点 数 棱数 4 3 3
8 4 3
8
12 20
12
30 30
6
20 12
3
5 3
4
3 5
证明
顶点数V，面数F，棱数E 设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m 条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面 共用一条棱），即 nF=2E -------------- ① 同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即 mV=2E -------------- ② 由①、②，得 F=2E/n, V=2E/m, 代入欧拉公式V+F-E=2，