初三数学分类讨论
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用【摘要】本文讨论了分类讨论思想在解初中数学题中的应用。
在整数、几何、代数、概率和数列问题中，通过分类讨论不同情况，能够有效解决复杂的数学难题。
通过分类讨论思想，学生可以更清晰地理解问题，准确分类，有针对性地解决问题，提高解题效率。
文章强调了分类讨论思想对学生解题能力的提升作用，希望学生能够加强练习，掌握分类讨论思想的运用技巧，提高自身解题水平。
最终目的是培养学生综合运用分类讨论思想的能力，让他们在数学学习中拥有更广阔的视野和更灵活的思维方式。
通过分类讨论思想，学生可以更好地理解并解决复杂问题，从而在数学学科中取得更好的成绩。
【关键词】分类讨论思想、初中数学题、整数问题、几何问题、代数问题、概率问题、数列问题、解题思路、解题能力、综合运用、学生、应用、提升、培养、展望、结论1. 引言1.1 介绍分类讨论思想分类讨论思想是一种解决问题的思维方法，通过将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐一进行讨论和分类，最终得出整体的解决方案。
在数学领域，分类讨论思想常常被应用于解决复杂的问题，尤其在初中数学题中发挥着重要作用。
分类讨论思想能够帮助学生将复杂的问题简化，并将其分解成易于处理的部分，从而更好地理解问题的本质和特点。
通过分类讨论，学生可以更清晰地认识到问题的不同情况和条件，有利于他们找出解决问题的方法和思路。
分类讨论思想还能激发学生的思维活力和创造力，培养他们解决问题的能力和技巧。
1.2 说明初中数学题的解题思路在解初中数学题时，正确的解题思路是非常重要的。
通常情况下，初中数学题可以通过分类讨论思想来进行解答。
分类讨论思想是指将问题分为若干种情况进行讨论，然后再将各种情况的结果合并，得到最终的解答。
通过分类讨论思想，我们可以更清晰地理清问题，找到其中的规律，从而更好地解决数学题。
分类讨论思想在解初中数学题中的应用非常广泛，涉及整数问题、几何问题、代数问题、概率问题和数列问题等多个方面。
分类讨论数学思想
(3)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()
A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4
解析设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．
(6)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)
解析分三类：①选1名骨科医生，则有C (C C ＋C C ＋C C )＝360(种)．
②选2名骨科医生，则有C (C C ＋C C )＝210(种)；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1<a<0时，f(x)在 上单调递增，
解∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得 解得a＝1.
(2)当B A时，又可分为两种情况．
①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
(8)排列、组合、概率中的分类计数问题．
(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．
分类讨论的原则
(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例1 (1)(2014·浙江)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
初中数学分类讨论方法篇
90° P1 Ｏ P2 M
2、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的两顶点构成等腰三角形！
C
110° 20° 50°
A
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论 A C
20° 20°
110°
20° 50°
B
A C
20° 20°
B 2、对∠B进行讨论 C
65°
3、对∠C进行讨论
C
110° 35° 50°
4、已知一次函数y=kx+b，当－３≤ｘ≤１时，对应ｙ的值 为１≤ｙ≤９.则ｋ· ｂ的值（ ） （Ａ）１４ （Ｂ）－６ （Ｃ） －６或２１ （Ｄ） －６或１４
1 3k b k 2 解：k＞0时， k b 14 9 k b b 7 1 k b k 2 k＜0时, k b 6 9 3k b b 3 选D
y
(-1,2)
(3,2)
(7,2)
o
(0,0) (1,-2)
(4,0)
x
3、如图，在 △ABC中，AB=12， AC=15，点 D在AB上，且AD=8，在 AC上取一点E,使得以A、 D、E为顶点的三角形与△ABC相似，求AE的长. A A D
B (1)
E
E
D
C B (2) C
ห้องสมุดไป่ตู้
△ADE∽△ABC 或 △ADE∽△ACB AD AE AD AE AB AC AC AB
数学思想数学思想和方法和方法数学一般方法数学一般方法逻辑学中的方逻辑学中的方法法或思维方法或思维方法数学思想方法数学思想方法配方法换元法配方法换元法待定系数法判别待定系数法判别分析法综合法分析法综合法归纳法反证法等归纳法反证法等函数和方程思想函数和方程思想分分类讨论思想类讨论思想数形结合思想化归思想等合思想化归思想等在解答某些数学问题时因为存在一些不确定的因素解答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表述对这类问题依情况加以分类并逐类求解然后综合求解这种解题的方法叫分类讨论法
初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨
初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨初中数学分类讨论思想是指将问题按照不同的情况进行分类，从而得出解题思路的方法。
在初中数学中，分类讨论思想是一种经典的解题思路，被广泛用于各种数学问题的解答中，能够帮助学生应对各种复杂的数学问题，提高数学思维能力和解题技巧。
一、应用场景1、这种思想在解决一些复杂的问题时非常有效。
因为较为复杂的问题在一般情况下没有办法直接求解，使我们的研究很困难。
但是，如果我们将这种问题的特点进行分类、讨论、分析，则极有可能得出相对简单的解法。
只有通过分类、讨论、分析，才能更客观、全面地研究问题。
2、问题的分类讨论是一种有系统、有条理的解题思路，能够增强学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
通过分类讨论，能够更清晰地认识问题。
当同学在遇到问题时，不但能把问题拆分成不同的简单问题，而且还能够认识问题的不同特性、角度、本质和性质，从而引导同学更加深入地探究问题，拓展思维视野。
3、分类讨论思想是一种模式化的解题方法。
无论何种数学问题，都可以通过分类讨论进行求解。
在实际应用解题时，这种思想具有很强的普遍性和灵活性，能够应用于各种数学知识及其应用领域。
在对于数学问题的分析中，分类讨论能够使问题本身变得更实际，使解决问题所需的思考方式更值得信任。
二、解题步骤1、了解问题在解题过程中，我们首先要认真读题，把握问题的重点和难点。
弄清楚问题是在哪一个领域，需要用到哪些数学知识来解决。
这有助于我们把问题拆分成不同的情况。
2、分类讨论将问题分为两个或多个不同的情况或类别，了解各个的特点及其解决方法。
通过这个过程可以加深我们对问题的理解，进而更好地确定解题思路。
建议分类尽可能的完整，并且多重叠加一些特殊情况，包括边界问题等等。
在分类讨论后，我们可以对每个情况进行单独解决，这样问题就会变得更易处理。
尤其是在一些复杂的问题中，这种思路可以使我们分而治之，化繁为简。
4、回归问题在完成每种情况的解决后，要将解决方案结合起来，得出问题的最终解答。
分类讨论思想在初中数学解题中的应用
当 ｂ ０时， ＋ １ ＞ １ ｂ＞ ；
・
解题 研究 ・
简解
中‘ ７ （ｌ 第 期・ 中 ） ？ 擞・ ２ｏ 初 版 ｏ年 ４
２ ３
Hale Waihona Puke 为 ３和 ４ 则第三边的长为 ， 当 ４是斜边 时 ， 则一直角边 的长是 ３ 第三边 ，
的长为 ； ４是一 直角边 时 ， 另一 直角边 的长是 ３ 当 则 ，
助于学生 总结归纳 ， 使所 学知识 条理化 ， 高思维 的条 提
理性 和概 括 性 ．
进行分类 讨论 时要遵循的原则是 ：
分 类 的 对 象 是确 定 的 ， 准 是 统 一 的 ， 遗 漏 、 重 标 不 不
例 ３ （０ ９年 牡丹 江） ２０ 若关于 的分 式方 程
一
复， 科学地划分 ， 分清 主次 ， 不越级讨论． 解答分类 讨论 问题时的解题策略是 ： 首先 ， 要确定讨论对象 以及所讨论对 象的全体 的范
所 以（ ｍ＋ｎ 可能的值 是 ４ ） ９或 １ ．
点评 绝对值概 念是一个 需要分类讨论 的概 念 ， 只
函数或二次 函数． 所以要分为两类．
简解 （） １ 当此函数 为一次 函数 时， ０ 求得 与 ｎ＝ ，
有通过分类讨论后 ， 得到的结论才是完整 的、 正确 的 ， 如 不分类讨论 ， 就很容 易出现错误．
围；
三 ：１ 无解
，
贝 。： ０
简解
方程两边 同乘以 （ 一１ ， ） 得
（ ｏ 一 （ — ） ３ 一１ （ ）＝ 一１ ， ）
其次 ， 确定分类标准 ， 正确进行合 理分类 ， 即标准统
一
整理 ， （ 得 Ⅱ＋２ ＝３ ） ．
人教版中考数学备考专题复习 -等腰三角形中的分类讨论
我们再用几何法验证代数法，并进行比较，如图
3-3，在直线PQ平移的过程中，根据“两直线平行，同位 角相等”，可知∠QPO的大小是不变的，因此△PQA也符
合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠P，点P在
点A的右侧，暂时不画y轴（如图3-4） ①如果AP=AQ，以A为圆心、AP为半径画圆，得
到点Q（如图3-5），因为点Q在y轴上，于是“奇迹”出
【解析】
点P（0，m）在运动的过程中，△APD的三个角 都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件， 我们用代数法来解。 因为PC∥DB，M是BC的中点，所以BD=CP=2-m，所以D （2，4-m） 于是我们可以罗列出△APD的三边长（的平方）： AD2=(4-m)2，AP2=m2+4,PD2=22+(4-2m)2
例5
如图5-1，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是
BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B，设BD 的长为X，如果△ADE为等腰三角形，求X的值。
【解析】
在△ADE中，∠ADE=∠B大小确定，但是夹 ∠ADE的两条边DA、DE用含有x的式子表示太麻烦了。 本题的已知条件∠ADE=∠B=∠C非常典型，由 于∠ADC=∠ADE+∠1，∠ADC=∠B+∠2，∠ADE=∠B， 所以∠1=∠2，于是得到典型结论△DCE∽△ABD
所以点P的坐标为（6，0）（如图1-2）
上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画 图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就 知道答案了，只需要对③进行计算。 代数法先设点P的坐标为（X，0），其中X＞0，然 后罗列△DOP的三边长（的平方）。 DO2=52，OP2=X2，PD2=(X-3)2+42
初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨
初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨
初中数学分类讨论思想是指在解决问题时，将问题的条件、要求以及可能的情况进行
分类，并分别讨论每种情况下的解法。
这种思想在初中数学的解题中有着广泛的应用。
下
面我们就来探讨一下初中数学分类讨论思想在解题中的应用。
首先，分类讨论思想常常应用于解决几何问题。
几何问题涉及到图形的性质、形状、
尺寸等方面，因此常常需要根据问题的具体条件对图形进行分类讨论。
例如，在解决平面
内多边形的问题时，经常要分类讨论多边形的边数、角的性质等情况。
在解决判断图形是
否相似的问题时，也需要分类讨论图形的特点，如边长比、角度等。
分类讨论思想的应用
可以帮助学生更系统、更全面地理解和解决几何问题。
综上所述，初中数学分类讨论思想在解题中有着广泛的应用。
它可以帮助学生更系统、更全面地理解和解决问题，提高数学思维能力和解题能力。
因此，在初中数学的教学中，
教师应该注重培养学生的分类讨论思想，引导学生在解题中灵活运用分类讨论思想，提高
解题的效率和质量。
初中数学学习中的分类讨论探究
２１ 年第 １ 期 ０１ ６
圈
初 数 学 中 分 讨 探 中学习的类论究
严菊 花
（ 华东师范大学张江实验中学 ， １１） ２ ２０ ０
ｃ ‘
．
当 口 ０时， ＞ 所求 的定义域为 ＞ ． 也是一种数学思想 ， 这种思想在简化研究对象 ， 发展 思维方面起着重要作用 ， 因此 ， 有关分类讨论思想的 当 口 ０时 ， ＜ 所求 的定义域为 ＜ Ⅱ ． 数学命题在中考试题 中占有重要地位 所谓分类讨 当 ｔ＝ ／ ０时 ， ， 所求 的定 义域 为一 切实 数． 论 ， 是 在研 究 和解 决数 学 问题 时 ， 就 当问题所 给对 象 例 ３ 已知 一次 函数 Ｙ＝ ＋ｂ 当 一 ≤ ， ３ ≤１ 不能进行统一研究 ， 我们就需要根据数学对象 的本 对应 Ｙ的值为 １ ， ９ 则 ｋ・ 的值是 （ ） ≤） ， ≤ ｂ Ｄ 质属性的相同点和不 同点 ， 将对象区分为不同种类 ， 时， （ １ Ａ）４ （ ）一 Ｂ ６ 然后逐类进行研究和解决 ， 最后综合各类结果得到 （ ） ６ ２ Ｃ 一 或 １ （ ） ６ １ Ｄ 一 或 ４ 整个问题 的解决 ， 这一思想方法 ， 我们称之 为“ 分为 解： 由于题 中一次 函数系数 ｋ 可以大于 ０也可 讨论 的思 想 ” 利 用 分 类 讨 论 思 想 解 决 数 学 问 题 时 ． 以小 于 ０， 因此解题 时要 分两 种情 况 进 行 讨论 ， 结果 需要对 问题进行科 学地合理分类 ， 然后再逐类进行 选（ ． Ｄ） 讨 论 ， 而使 问题 简化 ． 从 运用分类讨论的思想解题 的基 本步骤 ： １ 确 （） ２ 几何 中基于 图形的类型 定讨论对象和确定研究 的全域 ；２ 对所讨论 的问 （） 题进行合理 的分类 （ 分类时需要 做到不重复、 遗 ２ １ 在 等 腰 三 角形 中 不 ． 漏 、 准统 一 、 层 不 越 级 ） （ ） 类 讨 论 ： 标 分 ；３ 逐 即对 各 在 等 腰 三 角形 中求 角 和边 时 ， 没 有 给 出具 体 若 类 问题 详 细 讨 论 ， 步 解 决 ；４） 纳 总 结 ， 合 得 的边 （ 或 底 ） 逐 （ 归 整 腰 和角 （ 顶角 或 底 角 ） 时就 要 根 据 需 要 出结论 ． 对 边和 角 进行讨 论． 本文拟从代数和几何两个方面对初中数学学习 例 ４ 等腰三角形的一个内角为 ５ 。另外 两个 Ｏ， 角的度数为 ． ‘ 中涉及到的分类讨论思想进行探究． 分析 ： 此题 要 分 有两 种 情况 讨 论 ： 当顶 角 为 ５ 。 Ｏ １ 代 数 中的类型 时结 果 为 ６ 。６ 。当底角 为 ５ 。 ５ 、５ ； Ｏ 时结 果为 ５ 。８ 。 Ｏ 、Ｏ． 例 ５ 等腰三角形的两边为 ３４ 求周长． ，， １ １ 概 念 型 ． 分析 ： 此题 分有 两种情 况 讨论 ： 当腰 长 为 ３时周 数学 中的有些概念 的定义本 身是分类 给出的， 长为 ｌ ， ０ 或当底边长为 ３ 时周长为 １． １ 如绝对值、 平方根、 有理数、 方程 、 不等式、 函数等， ２ ２ 在 直 角三 角形 中 因 ． 而在 解题 时 就 要从 所 给 定义 的概念 来 进行 分 类 在直角三角形 中由于没有给 出具体 的边（ 直角 讨论 ． 边或斜边） 和具体的直角时就要依情况进行讨论 例 ｌ 化简 ： ７ 一 ５ Ｉ ＋ ． ＋ Ｉ 例 ６ 一个直角三角形的两边长为 ６和 ８ 那这 ， 分析 ： 此题去掉绝对值符号是关键 ， 根据绝对值 个三角形 的第三边是 ， 并求 出这个三角形 的 而 引发 分类 讨论 外接 圆半 径 ． 解： 当 ≥ 一 ７时 ， 原式 ＝ ７一 ５＝１ ， ＋ ＋ ２ 分析 ： 可分当两直角边分别 ６和 ８ 或一条直角 当 ＜一 时， ７ 原式 ＝一 ＋ ） ＋ ＝一 ｘ一 ． （ ７一 ５ ２ ２ 边 为 ６ 斜 边为 ８两 种情 况进 行 讨 论 ， ， 这个 三 角 形 的 １ ２ 性 质 型 ． 第三边 ２ 或 １ ， 个 三角形 的外 接 圆半径 为 ４ Ｏ这 由运算性质 的不确定性 引起 的讨论 ， 如一次 函 或５ ． 数、 二次 函数中 ｋ的不确定性 ； 不等式中不等号方 向 ２ ３ 在 相似 三 角形 中 ． 改变的性质． 一元二次方程配方后方程求解 时针对 在相似三角形 中如果没有明确对应顶点 ， 就需 判别式的讨论等， 这些性质 的不确定性决定 了我们 要分类讨论． 解题时要进行分类讨论 例 ７ 如 图， Ｐ是 Ｒ ＡＡ Ｃ的斜 边 Ｂ ｔ Ｂ Ｃ上》
中考数学如何做好分类讨论题
第1页/共5页 中考数学如何做好分类讨论题 文章：分类讨论在数学题中经常出现，也是满分率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。所以，这种题很容易不小心丢分。分类讨论在数学题中经常出现，也是满分率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。所以，这种题很容易不小心丢分。跟老师和学生们交流之后发现，就算是学习成绩很好的同学在这种题上都会多多少少的出现问题，因此我们在考试当中一定要养成以下几个好习惯。 首先我们要有分类讨论的意识。很多知识点是分类讨论的常客，对于这些知识点，同学们在考试时要保持高度的敏感，时刻紧绷分类讨论的弦，以免掉进出题老师的陷阱。 其次，分类讨论是要有一定原则，不要东一榔头西一棒子的的试，要具备一定的条理。 分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级有序进行。 以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说，如果给定两个点A、B，需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形，这个时候同学们可以线段来分类讨论：AB为斜边时，AC为斜边或时BC为斜边时点C第2页/共5页
的坐标。这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性，并且效率较高。当然也可以按照角来讨论，但是注意不要两种分类方法穿插进行。有些时候有可能会进行二次讨论，这个时候对于同学们的条理性要求就更大了，例如探讨含有30°角的直角三角形时，要先讨论那个角是直角，在讨论哪个角是30°或60°。 第三，在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的，最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复，需要进行合并。例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标，如果按照一定的原则分类讨论后，有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况，这种情况下就要进行合并。也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。 以下几点是需要大家注意分类讨论的 1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。 2、讨论点的位置，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。 第3页/共5页
初中数学分类讨论思想例题分析
分类讨论头脑例题分析之相礼和热创作[线段中分类讨头脑的使用]——线段及端点地位的不确定性引发讨论.例1已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为_3：2_或_3：4____.练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm ，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm ，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.解析：(1)点C 在线段AB 上： (2)点C 在线段AB 的延伸线上例2下列说法正确的是（ ）A 、 两条线段相交有且只要一个交点.B 、假如线段AB=AC 那么点A 是BC 的中点.C 、两条射线不服行就相交.D 、不在同不停线上的三条线段两两相交必有三个交点.[与角有关的分类讨论头脑的使用]——角的一边不确定性引发讨论.例3在同一立体上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM 中分∠AOB ，ON 中分∠BOC ，求∠MON 的大小.（20°或50°）[练习] 已知o AOB 60∠=,过O 作一条射线OC ，射线OE 中分AOC ∠，射线OD 中分BOC ∠，求DOE ∠的大小.（1）射线OC 在AOB ∠内（2）射线OC 在AOB ∠外A B C1 C2这两种状况下，都有o o AOB 60DOE=3022∠∠== 小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相反？虽然AOC ∠的大小不确定，但是所求的DOE ∠与AOC ∠的大小有关.我们虽然分了两类，但是结果是相反的！这也表现了分类讨论的末了一个环节——总结的紧张性.[三角形中分类讨论头脑的使用]一样平常有以下四品种型：一是由于一样平常三角形的外形不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于类似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类.1、三角形的外形不定必要分类讨论例4、 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，而且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________.解析：因未指明三角形的外形，故需分类讨论. 如图1，当△ABC的高在形内时，由AD BD DC 2=·， 得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形.由 ∠B ＝25°.可知∠BAD ＝65°.以是∠BCA ＝∠BAD ＝65°. 如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形. 由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD 以是∠B ＝∠CAD ＝25°∠BCA ＝∠CAD ＋∠ADC ＝25°＋90°＝115°2、等腰三角形的分类讨论：a 、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，以是我们要进行分类讨论.例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因而，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,1221,921y x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.921,1221y x x x 解得⎩⎨⎧==,9,6y x 或⎩⎨⎧==.5,8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm时，底边长是5cm.b 、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，以是必须分状况讨论.例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数.简析：依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为45°，图2中顶角为135°.2、在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________.3、直角三角形中，直角边和斜边不明白时必要分类讨论 例7、 已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足x y y 224560-+-+=，则第三边的长为_____________.解析：由x y y 224560-+-+=，可得x 240-=且y y 2560-+= 分别解这两个方程，可得满足条件的解x y 1122==⎧⎨⎩，或x y 2223==⎧⎨⎩由于x ，y 是直角边长还是斜边长没有明白，因而必要分类讨论.当两直角边长分别为2，2时，斜边长为222222+=； 当直角边长为2，斜边长为3时，另不停角边的长为5； 当不停角边长为2，另不停角边长为3时，斜边长为13.综上，第三边的长为22或5或13. 4、类似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类.例8、如图所示，在ABC △中，64AB AC P ==，，是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A P Q 、、为顶点的三角形和以A B C 、、为顶点的三角形类似，则AQ 的长为（ ）(A)3(B)3或43(C)3或34(D)43析解：A B C 、、为顶点方法，过点P 的直线PQ 应有两种作法：一是过点P 作PQ ∥BC ，这样根据类似三角形的性子可得AQ AP AB AC =，即264AQ =，解得3AQ =；二是过点P作APQ ABC ∠=∠，交边AB 于点Q ，这时APQ ABC ，于是有AQ AP AC AB =，即246AQ =，解得43AQ =. 以是AQ 的长为3或43，故应选(B).四、本节小结分类讨论头脑是在处理成绩出现不确定性时的无效方法.线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形外形不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；类似三角形对应角（边）不确定等，都必要我们正确地运用分类讨论的头脑进行处理.分类讨论头脑不但可以使我们无效地处理一些成绩，同时还可以培育我们的观察才能和片面考虑成绩的才能. C B。
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初三数学 分类讨论
1．如果2a，4b，那么ba=_____________．
2．一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么它的第三边长为 ．
3．已知一次函数y=（k-2）x+k的图象不经过第三象限，则k的取值范围是 ．
4．已知⊙O的半径为4，如果直线l上有一点P到圆心O的距离为4，那么直线l与⊙O的位置关系
是 ．
5．两圆相切，一圆半径为10，圆心距为13，则另一个圆的半径为_________．
6．已知半径分别为3和4的两个圆没有公共点，那么两圆圆心距d的变化范围是_________．
7．如果等腰三角形腰上的高等于腰的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________度．
8．已知⊙O的半径为2，在⊙O中的两条弦AB、BC的长分别为32、2，那么ABC_____________．
9．若26xmx在整数范围内可以分解因式，那么满足条件的整数m的值为___ __．
10．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的三边是6、8、9，另一个三角形中较短的一条边长是
3，则此三角形最长的一条边长是__________．
11．若一组数据3，4，4，x的中位数与平均数相等，那么x的值为_________．
12．数据1，2，3，4，5，6，a（a是自然数）的中位数是_________．