第一讲：函数的基本概念及其表示方法

函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例．
从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果．
高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大．
预测2012年高考对本节的考察是：
1．题型是一个选择和一个填空；
2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点．
三．要点精讲
1．函数的概念：
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域．
（3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）= ，g（x）= ；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1．
题型三：函数定义域问题
例4．求下述函数的定义域：
（1） ；
（2）
例5．已知函数 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) y = ；
(2) ．
变式题：已知函数f（x）= 的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
课后作业
详细
完成剩余习题
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；
(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．
①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
例9．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为： 为 ，要求清洗完后的清洁度为 ．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为 ．设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 ，用 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 ，其中 是该物体初次清洗后的清洁度．
（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A B”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
课件
填写说明：根据“【教师版本】教学计划”中的安排准备历次课件，完成既定的教学任务；
每次课以两节课计，亦即共计90分钟，课间休息10分钟。
科目数学年级高二任课老师老师日期7月12日
课次
主讲内容/要点
第1课次
第一讲：函数的基本概念及其表示方法
上课内容
详细
第一讲：函数的基本概念及其表示方法
一．课标要求
1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；
A域问题
例5．求下列函数的值域：
（1） ；改：求函数 ， 的值域．
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ．
题型五：函数解析式
例6．（1）已知 ，求 ；
（2）已知 ，求 ；
（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
常转化为型如： 的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
6．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；
5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
二．命题走向
（4）已知 满足 ，求 ．
例7．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x．
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0．求函数f(x)的解析表达式．
题型六：函数应用
例8．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
五．思维总结
“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法．由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围 它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法；
（3）已知 的定义域求 的定义域或已知 的定义域求 的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知 的定义域 ，其复合函数 的定义域应由 解出．
3．求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：
(1)求常见函数值域；
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义．
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题．
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙,当 为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小?并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
题型7：课标创新题
例10．（1）设 ，其中a、b、c、d是常数．
如果 求 ；
（2）若不等式 对满足 的所有m都成立，求x的取值范围．
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．