2018年高考数学一轮复习专题39空间点、直线、平面之间的位置关系押题专练文!
福建专用高考数学一轮复习课时规范练39空间点直线平面之间的位置关系理新人教A版
课时规范练 39 空间点、直线、平面之间的地点关系一、基础稳固组1.若空间中有两条直线, 则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既非充足又非必需条件2. (2017 河南南阳一模 ) 设直线m, n是两条不一样的直线 , α, β是两个不一样的平面 , 以下事件是必定事件的是 ()A.若 m∥α, n∥β, m⊥ n,则α⊥βB.若 m∥α, n⊥β, m∥ n,则α∥βC.若 m⊥α, n∥β, m⊥ n,则α∥βD.若 m⊥α, n⊥β, m∥ n,则α∥β3.已知m, n是两条不一样直线 , α, β , γ是三个不一样平面 , 以下命题正确的选项是 ( )A.若∥, n ∥α, 则∥nm αmB. 若α⊥γ, β⊥γ, 则α∥βC.若∥, ∥β, 则α∥βm αmD.若m⊥α, n⊥α, 则m∥n4. (2017 河南濮阳一模 ) 已知m, n是两条不一样的直线, α , β是两个不重合的平面. 命题 p:若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α;命题q:若m∥α,m?β,α∩β=n,则m∥n.那么以下命题中的真命题是()A.p∧ qB.p∨( q)C.(p)∧ qD.(p)∧(q)5.以下图 , 1111是长方体, O 是 1 1 的中点 ,直线 1 交平面 1 1于点, 则以下结论正确的ABCD-AB CD B D A C ABD M是( )A. A, M, O三点共线B. A, M, O, A不共面1C.A, M, C, O不共面D.,1, , 共面BB OM6.设l 是直线 , α, β是两个不一样的平面 ,( )A. 若l∥α, l∥β, 则α∥βB. 若l∥α, l⊥β, 则α⊥βC.若α⊥β, l⊥α, 则l⊥βD.若α⊥β, l∥α, 则l⊥β? 导学号 21500558?7. (2017 江西宜春二模 , 理 15) 在三棱锥P-ABC中, PA, PB, PC两两相互垂直,且 AB=4, AC=5,则 BC的取值范围是.8.1如图 , 在三棱锥A-BCD中, AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M, N分别为 AD, BC的中点,则异面直线AN, CM所成的角的余弦值是.二、综合提高组9.以下命题错误的选项是()A. 若平面α外的直线a不平行于平面α, 则平面α内不存在与a平行的直线B. 假如平面α⊥平面γ, 平面β⊥平面γ , α∩β=l , 那么直线l⊥平面γC.假如平面α⊥平面β, 那么平面α内全部直线都垂直于平面βD.一条直线与两个平行平面中的一个平面订交, 则必与另一个平面订交10. (2017 福建厦门二模 , 理 11) 过正方体ABCD-A1B1C1D1的极点A作平面α, 使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等 , 则知足条件的平面α的个数是 ()A.1B.4C.6D.8 ? 导学号 21500559?11.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的极点 A,α∥平面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则m, n 所成角的正弦值为()A. B.C. D.12.α, β是两个平面 , m, n是两条直线 , 有以下四个命题 :①假如 m⊥n, m⊥α, n∥β,那么α⊥β.②假如 m⊥α, n∥α,那么 m⊥n.③假如α∥β, m? α, 那么m∥β.④假如 m∥n,α∥β,那么 m与α所成的角和 n 与β所成的角相等 .此中正确的命题有. (填写全部正确命题的编号)三、创新应用组13 . 直三棱柱 1 1 1中,∠90°, , 分别是 1 1, 1 1的中点, 1,则与所成的ABC-AB C BCA=M N A B A C BC=CA=CC BM AN 角的余弦值为 ( )A. B.C. D.14 . (2017 全国Ⅲ,理 16) , b 为空间中两条相互垂直的直线, 等腰直角三角形的直角边所在a ABC AC直线与 a, b 都垂直,斜边 AB以直线 AC为旋转轴旋转,有以下结论:①当直线 AB与 a 成60°角时, AB与 b 成30°角;②当直线与a 成 60°角时 , 与b 成 60°角 ;AB AB③直线 AB与 a 所成角的最小值为45°;④直线与所成角的最大值为60°.AB a此中正确的选项是. (填写全部正确结论的编号) ? 导学号 21500560?课时规范练39空间点、直线、平面之间的地点关系1. A “两条直线为异面直线” ? “两条直线无公共点”.“两直线无公共点” ? “两直线异面或平行” .应选A.2. D若m∥α,n∥ β,m⊥ n,则α,β地点关系不确立, 故不正确 ;若 m∥α,则α中存在直线 c 与 m平行, m∥ n, n⊥β,则 c⊥β,∵c?α,∴α⊥β,不正确;若 m⊥α, n∥β, m⊥ n,则α,β能够订交,不正确;若 m⊥α, m∥ n,则 n⊥α, n⊥β,∴α∥β,正确,应选D.23. D m , n 平行于同一个平面 , m , n 可能订交、平行、异面 , 故 A 错误 ;α , β 垂直于同一个平面 γ, α, β 可能订交 , 可能平行 , 故 B 错误 ;α , β 平行于同一条直线 m , 故 α, β 可能订交 , 可能平行 , 故 C 错误 ; 垂直于同一个平面的两条直线平行 , 故 D 正确 .4 . C 垂直平面内的一条直线 , 不可以确立直线与平面垂直 , 所以命题 p 是假命题 ; 命题 q 知足直线与平面平行的性质定理 , 所以命题 q 是真命题 ,p 是真命题 , 可得 ( p ) ∧q 是真命题 . 5. A 连结11,,则 11∥ ,AC AC AC AC所以 A 1, C 1 , A , C 四点共面 . 所以 A 1C ? 平面 ACC 1A 1.因为 M ∈ A 1C , 所以 M ∈平面 ACC 1A 1. 又 M ∈平面 AB 1D 1,所以 在平面1 1与平面1 1的交线上 .MACCAABD同理 A , O 在平面 ACC 1A 1 与平面 AB 1D 1 的交线上 , 所以 A , M , O 三点共线 . 6 . B 设 α ∩ , 若直线 l ∥ , 且 l ? , l ? β , 则 l ∥ , l ∥ β, 所以 α 不必定平行于 β ,故A 错误; β=a aαα因为 l ∥ α, 故在 α 内存在直线 l' ∥ l , 又因为 l ⊥β, 所以 l' ⊥ β, 故 α⊥ β, 所以 B 正确 ; 若 α⊥ β, 在 β 内作交线的垂线 l , 则 l ⊥ α, 此时 l 在平面 β 内, 所以 C 错误 ; 已知 α ⊥ β, 若 α∩ β=a , l ∥ a , 且 l 不在平面 α, β 内 , 则 l ∥ α 且 l ∥ β, 所以 D 错误 .7 . (3, ) 以下图 , 问题等价于长方体中, 棱长分别为 x , y , z , 且 x 2+y 2=16, x 2+z 2=25, 求的取值范围 , 转变为 y 2+z 2=41- 2x 2,∵ x 2+y 2=16, ∴ 0<x<4,∴ 41 2 2∈ (9,41), 即的取值范围是 (3,).- x BC8 以以下图所示 , 连结 ND , 取 ND 的中点 E , 连结 ME , CE , 则 ME ∥ AN ,则异面直线 AN , CM 所成的角即为∠ E MC.由题可知 CN=1, AN=2,∴ME=又2,2,NE=,CM=DN=∴CE=,则 cos ∠ CME==9. C 关于选项 A, 假如平面 α 外的直线 a 不平行于平面 α, 则 a 与 α 订交 , 则 α 内不存在与 a 平行的直线 , 故 A 正确 ; 关于选项 B, 如图 , α⊥ γ, α∩ γ=a , β⊥ γ, β∩ γ=b , α∩ β=l ,3则 l 在 γ 内取一点 P , 过 P 作 PA ⊥ a 于点 A , 作 PB ⊥ b 于点 B , 由面面垂直的性质可得 PA ⊥ l , PB ⊥l , ⊥ γ , 故 B 正确 ; 关于选项 C,假如平面 α⊥平面 β, 那么平面 α 内的直线与平面 β 有两种位 置关系 : 平行、订交 , 故 C 错误 ; 关于选项 D, 一条直线与两个平行平面中的一个平面订交 , 则必与另 一个平面订交 , 故 D 正确 . 应选 C . 1,, 平行的直线各有 3 条 , , 1 1 是正三棱10. B 在正方体1111中,与1ABCD-AB CDAA AD AB4AA=AD=ABA -BDC锥, AA , AD , AB 与平面 A DB 所成角相等 , ∴知足条件的平面有个, 应选 B .11 A111 1,平面∥平面1111,∩平面 , 平面1 1∩平面. (方法一 )∵α ∥平面αCBDABCDABCDABCD=mCBDA B CD=BD , ∴m ∥ BD.1 1 111 11 1∵α ∥平面 CB 1D 1, 平面 ABB 1A 1∥平面 DCC 1D 1, α∩平面 ABB 1A 1=n , 平面 CB 1D 1∩平面 DCC 1D 1=CD 1, ∴ n ∥ CD 1.∴B 1D 1, CD 1 所成的角等于 m , n 所成的角 , 即∠ B 1D 1C 等于 m , n 所成的角 . ∵△ B 1D 1C 为正三角形 , ∴∠ B 1D 1C=60°, ∴m , n 所成的角的正弦值为( 方法二 ) 由题意画出图形如图 , 将正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 平移 ,补形为两个全等的正方体如图 , 易证平面 AEF ∥平面 CB 1D 1 ,所以平面 即为平面 , 即为, 即为 , 所以 与 所成的角即为与 所成的角 .AEF α m AE nAF AE AFm n因为△ AEF 是正三角形 , 所以∠ EAF=60°,故 m , n 所成角的正弦值为 12. ②③④ 关于 ①, 若 m ⊥ n , m ⊥ α, n ∥β, 则 α, β 的地点关系没法确立 , 故错误 ; 关于 ②, 因为 n ∥α , 所以过直线 n 作平面 γ 与平面 α 订交于直线 c , 则 n ∥c. 因为 m ⊥ α, 所以 m ⊥ c , 所以 m ⊥ n ,故② 正确 ; 关于 ③, 由两个平面平行的性质可知正确 ; 关于 ④, 由线面所成角的定义和等角定理可知其正确 , 故正确命题的编号有 ②③④ .13. C 取 BC 中点 D , 连结 MN ,ND ,AD , 因为 MN BC BD ,1 1所以 ND BM , 则 ND 与 NA 所成角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角 ( 或其补角 ), 设 BC=2, 则BM=ND= , AN= , AD= , 所以 cos ∠ AND=14 . ②③ 由题意 , AB 是以 为轴 , BC 为底面半径的圆锥的母线 , 由⊥ , ⊥ , 得 ⊥圆锥底面 ,ACAC a AC b AC在底面内能够过点 B ,作 BD ∥a , 交底面圆 C 于点 D , 以下图 , 连结 DE , 则 DE ⊥BD ,∥连结, 在等腰三角形中 , 设AB=AD=, 当直线AB 与 a 成 60°角时 , ∠∴DE b.ADABDABD=60°, 故 BD=又在 Rt △BDE 中 , BE=2, ∴DE=, 过点 B 作 BF ∥ DE , 交圆 C 于点 F , 连结AF , 由圆的对称性可知 BF=DE= , ∴△ ABF 为等边三角形 ,∴∠ 60°, 即 与 b 成 60°角 , ② 正确 , ① 错误 . 由最小角定理可知 ③ 正确 ; 很显然 , 能够满ABF=AB足直线 a ⊥平面 ABC ,直线 AB 与 a 所成的最大角为 90°,④错误 . 故正确的说法为 ②③ .4。
2018年高考数学第1轮复习第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件文新人教A版
[证明] ①如图所示．
因为 EF 是△D1B1C1 的中位线，所以 EF∥B1D1. 又在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B1D1∥BD， 所以 EF∥BD. 所以 EF，BD 确定一个平面．
[考情聚焦] 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考 内容，并且常作为某一选项来考查，其中异面直线及平行关系是 考查的重点．
主要有以下几个命题角度： 角度一 两直线位置关系的判定
[典题 2] 已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列
结论：
①若 a⊥b，a⊥c，则 b∥c；
②若 a⊥b，a⊥c，则 b⊥c；
(1)[教材习题改编]已知直线 a 与 b 平行，直线 c 与 b 相交， 则直线 a 与 c 的位置关系是__相__交__或__异__面___．
解析：当直线 c 在直线 a 与 b 确定的平面内时，a 与 c 相交； 当直线 c 与直线 a，b 确定的平面相交时，a 与 c 异面．
(2)[教材习题改编]如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，PQ 是异面直线 A1D 与 AQ 的公垂线，则直线 PQ 与 BD1 的位置关系 为___①_____．(填序号)
∴AD 与 BC 是异面直线． 证法二：(直接证法) ∵a∩c＝P，∴它们确定一个平面，设为 α， 由已知 C∉平面 α，B∈平面 α，BC⊄平面 α，AD⊂平面 α， B∉AD， ∴AD 和 BC 是异面直线．
[点石成金] 异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条 直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发， 经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此 法在异面直线的判定中经常用到．
专题8-2 空间点、直线、平面之间的位置关系练-2018年高考数学一轮复习讲练测江苏版 含解析 精品
【基础巩固】一、填空题1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c的位置关系是________．【答案】相交、平行或异面【解析】当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．2．(2017·苏州期末)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．【答案】相交、平行或异面【解析】依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．3．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．【答案】1或4【解析】若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．【答案】245．(2017·哈尔滨一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．【答案】90°6．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．【答案】4【解析】取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．7．(2017·苏北四市期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(填序号)．【答案】③④【解析】A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．8．(2016·全国Ⅰ卷改编)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________．【答案】3 2二、解答题9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.10．(2017·成都月考)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.(2)【能力提升】11．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 则以上命题正确的是________(填序号)． 【答案】①【解析】①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．12．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为________． 【答案】55【解析】因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角，即为∠P AB .在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55.13．如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．【答案】36【解析】取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF 綊12AD .∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求HF＝2，GF＝GH＝6，∴cos∠HFG＝2＋6－62×2×6＝36.14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，O A⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA 的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．。
2018届高考数学考点突破—空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系【考点梳理】1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.【考点突破】考点一、平面的基本性质【例1】如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[解析]证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.【类题通法】1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．【对点训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解析](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形.(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊12AF，G为F A的中点知BE綊GF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.考点二、空间直线的位置关系【例2】(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④[答案](1)D(2)②④[解析](1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH 与MN异面．【类题通法】1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．【对点训练】1．a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为()A．①④B．②③C．③④D．①②[答案]A[解析]对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．2．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 是异面直线.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) [答案]③④[解析]由题图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1是异面直线，MN 与AC 是异面直线．考点三、异面直线所成的角【例3】(1)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45(2)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13[答案](1)D (2)A[解析](1)连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝4 5.(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n 所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.【类题通法】1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．【对点训练】1．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．[答案]2[解析]取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.2．已知三棱锥A-BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．[解析]如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ， PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角). 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 和MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形， 所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°. 综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。
高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·张家口期中) 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A . 相交B . 平行C . 异面而且垂直D . 异面但不垂直2. （2分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ，则直线EF是平面ACD1与（）A . 平面BDB1的交线B . 平面BDC1的交线C . 平面ACB1的交线D . 平面ACC1的交线3. （2分）正方体ABCD—A1B1C1D1 中，EF是异面直线AC和A1D 的公垂线，则EF和BD1的关系是（）A . 相交但不垂直B . 垂直相交C . 异面D . 平行4. （2分）已知直线,平面,且,给出下列命题:①若，则m⊥；②若，则m∥；③若m⊥，则；④若m∥，则.其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均等于2 ，E，F分别为PD，PB的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A . ﹣B .C .D .6. （2分） (2015高二上·孟津期末) 如图所示，棱长皆相等的四面体S﹣ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·铜陵期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三下·银川模拟) 正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AC= AA1 ，则AB1与CA1所成角的大小为（）A . 60°B . 105°C . 75°D . 90°9. （2分）下面四个命题：①若直线平面，则内任何直线都与a平行；②若直线平面，则内任何直线都与垂直；③若平面平面，则内任何直线都与平行；④若平面平面，则内任何直线都与垂直。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 39 两条直线的位置关系与距离公式
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结39 两条直线的位置关系与距离公式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离一、基础小题1．已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为() A．0或3或－1 B．0或3C．3或－1 D．0或－1答案D解析由题意知1×3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，解得a＝0或a＝－1或a＝3，经验证，当a＝3时，两直线重合．故选D.2．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是() A．[－10,10] B．[－10,5] C．[－5,5] D．[0,10]答案D解析 由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．3．已知直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(t,1)，则n 的值为( )A ．7B ．9 C.11 D ．－7答案 A解析 由直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直得，20－2m ＝0，m ＝10.因为直线4x ＋10y －6＝0过点(t,1)，所以4t ＋10－6＝0，t ＝－1.又点(－1,1)在直线5x －2y ＋n ＝0上，所以－5－2＋n ＝0，n ＝7.4．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B ．175 C.135 D ．115答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 5．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1 C.－2 D ．－1答案 C解析 因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，解得n ＝－4，所以直线l 2的方程为x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2.故选C.6．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0答案 D解析 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎨⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0.故选D.7．已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.45 B ．25 C.255 D ．105答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|12＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.8．在平面直角坐标系xOy (O 为坐标原点)中，不过原点的两直线l 1：x －my ＋2m －1＝0，l 2：mx ＋y －m －2＝0的交点为P ，过点O 分别向直线l 1，l 2引垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形OMPN 面积的最大值为( )A ．3B ．32 C.5 D ．52答案 D解析 将直线l 1的方程变形得(x －1)＋m (2－y )＝0，由⎩⎨⎧ x －1＝0，2－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则直线l 1过定点(1,2)，同理可知，直线l 2过定点(1,2)，所以，直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标为(1,2)，易知，直线l 1⊥l 2，如图所示，易知，四边形OMPN 为矩形，且|OP |＝12＋22＝5，设|OM |＝a ，|ON |＝b ，则a 2＋b 2＝5，四边形OMPN 的面积为S ＝|OM |·|ON |＝ab ≤a 2＋b 22＝52，当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ，a 2＋b 2＝5，即当a ＝b ＝102时，等号成立，因此，四边形OMPN 面积的最大值为52.故选D.9．(多选)已知直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，A (1,2)，B (3,4)，则下列结论正确的是( )A ．存在实数m ，使得直线l 与直线AB 垂直B ．存在实数m ，使得直线l 与直线AB 平行C ．存在实数m ，使得点A 到直线l 的距离为4D ．存在实数m ，使得以线段AB 为直径的圆上的点到直线l 的最大距离为17＋2 答案 ABD解析 ∵直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，A (1,2)，B (3，4)，∴直线l 的斜率为－m ，直线AB 的斜率为1，故当m ＝1时，直线l 与直线AB 垂直；当m ＝－1时，直线l 与直线AB 平行，故A ，B 正确；直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，即m (x －1)＋y ＋1＝0，令⎩⎨⎧x －1＝0，y ＋1＝0，求得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，可得直线经过定点P (1，－1)，由于AP ＝3，故点A 到直线l 的最大距离为3，故C 错误；由于A (1,2)，B (3，4)，AB ＝4＋4＝22，故以AB 为直径的圆的圆心Q (2,3)，且PQ ＝1＋16＝17，圆的半径为2，圆心Q 到直线l 的最大距离为17，故以线段AB 为直径的圆上的点到直线l 的最大距离为17＋2，故D 正确．10．(多选)经过点P (0,1)的直线l 与两直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于P 1，P 2两点，且满足P 1P →＝2PP 2→，则( )A ．点P 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103 B ．|P 1P 2|＝212 C ．点P 2的坐标为(7,1) D ．直线l 的方程为y ＝1答案 BD解析 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 与两直线l 1：x－3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0的交点P 1，P 2的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，则P 1P →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－73，PP 2→＝(0,7)，不满足P 1P →＝2PP 2→，故直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则直线l 与两直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0的交点P 1，P 2的横坐标分别为73k －1，7k ＋2，∵P 1P →＝2PP 2→，∴0－73k －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2－0，解得k ＝0，则P 1，P 2的坐标分别为(－7,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，∴|P 1P 2|＝212，直线l 的方程为y ＝1.故选BD.11．已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________，此时a ＝________，b ＝________.答案 25 5 5解析 由两直线互相平行可得a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a ≥13＋26a b ·6b a ＝25，当且仅当a ＝b＝5时取等号．故2a ＋3b 的最小值为25.12. 如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0，2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．答案 (4，＋∞)解析 从特殊位置考虑．如图，因为点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，所以kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2,1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，所以k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．二、高考小题13．(2022·新高考Ⅱ卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝( )A ．1B ．2 C.22 D ．4答案 B解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．故选B.14．(2022·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( )A ．1B ． 2 C.3 D ．2答案 B解析 由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1，0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大，即为|AP |＝ 2.故选B.15．(2022·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B ．255 C.355 D ．455答案 B解析 由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a ，a )，a ＞0，则圆的半径为a ，圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2.由题意可得(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)．点(1,1)，(5,5)到直线2x －y －3＝0的距离均为d ＝25＝255，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.故选B.16．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析 解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则动点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.解法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的动点到直线x ＋y＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4. 三、模拟小题17．(2022·济南模拟)若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)答案 C解析 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －(5－3x )－1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．18．(2022·河北省实验中学高三开学考试)若直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，则直线l 2一定过定点( )A ．(－3,5)B ．(3，－5)C ．(3,5)D ．(5,3)答案 C解析 直线l 1：y ＝kx －k ＋1可化为y －1＝k (x －1)，故一定经过点(1,1)；点(1,1)关于点(2,3)的对称点的坐标为(3,5)，由于直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，所以直线l 2一定过定点(3,5)．故选C.19．(2022·吉林省梅河口市第五中学月考)已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A.51313 B ．91326 C.41313 D ．71326答案 D解析 ∵直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝4，将直线3x ＋2y －3＝0的方程化为6x ＋4y －6＝0，则两条平行直线之间的距离d ＝|1－(－6)|62＋42＝71326.故选D.20．(多选)(2022·河北省实验中学高三开学考试)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)答案 AD解析 设C (x 1，y 1)，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的欧拉线方程为x －y ＋2＝0，与直线y ＝－x 的交点为M (－1,1)，∴|MC |＝|MA |＝10，∴(x 1＋1)2＋(y 1－1)2＝10①，由A (－4,0)，B (0,4)，得△ABC 的重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－43，y 1＋43，代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x 1－y 1－2＝0 ②，由①②可得x 1＝2，y 1＝0或x 1＝0，y 1＝－2.故选AD.21．(多选)(2022·湖南永州高三复习检测)已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的可能取值为( )A.43 B ．23 C.－43 D ．－23答案 BCD解析 设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的可能取值为－43，－23，23.故选BCD.22．(2022·安徽四校联考(二))已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 23．(2022·山东省历城二中上学期学情检测)已知m ∈R ，动直线l 1：x ＋my －1＝0过定点A ，动直线l 2：mx －y －2m ＋1＝0过定点B ，则B 点坐标为________；若直线l 1与l 2相交于点P (异于点A ，B )，则△P AB 周长的最大值为________．答案 (2,1) 2＋2解析 由条件知直线l 1过定点A (1,0)，直线l 2过定点B (2,1)，所以|AB |＝12＋12＝2，又因为1×m ＋m ×(－1)＝0，所以l 1⊥l 2，即P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝2，|P A |＋|PB |≤2 |P A |2＋|PB |22＝2，当且仅当|P A |＝|PB |＝1时取等号，所以|P A |＋|PB |＋|AB |≤2＋2，故△P AB 周长的最大值为2＋ 2. 24．(2022·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则m ＝________，12a ＋2c 的最小值为________．答案 0 94解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4,0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·陕西榆林质量检测)已知两条不重合的直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0.又因为直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)因为直线l 2的斜率存在，且l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以a b ＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .②联立①②，可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.2．(2022·深圳调研)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413. 所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又因为m ′经过点N (4,3)， 所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为直线l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 所以直线l ′的方程为2x －3y －9＝0.。
2018高考一轮数学(课件)第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
抓
基
础
· 自
主
学 习
第七章 立体几何
课
时
分
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 层
明 考
训 练
向
· 题
型
突
破
上一页
返回首页
下一页
第一页，编辑于星期六：二十二点 三十四分。
高三一轮总复习
1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的_两__点___在一个平面内，那么这条直线在这个平 面内． (2)公理 2：过__不__在_一__条__直__线_上_____的三点，有且只有一个平面． (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_有__且__只__有__一__条____ 过该点的公共直线．
b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α
上一页
返回首页
下一页
第九页，编辑于星期六：二十二点 三十四分。
高三一轮总复习
平面的基本性质
如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分
别是 AB 和 AA1 的中点．求证：
(1)E，C，D1，F 四点共面；
(2)CE，D1F，DA 三线共点． [证明] (1)如图，连接 EF，CD1，A1B.
图 7-3-3
[解] (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，得 GH 綊12AD.4 分
又 BC 綊12AD，
∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形.6 分
上一页
返回首页
下一页
第十三页，编辑于星期六：二十二点 三十四分。
高三一轮总复习
(2)C，D，F，E 四点共面，理由如下： 由 BE 綊12AF，G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF，
高考数学一轮复习题——第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质1,3,9,14 点、线、面的位置关系5,7,10,11截面问题2,4,8异面直线所成的角6,11,12,13基础对点练(建议用时:25分钟)1.平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,且C∉l,C∈β,又AB∩l=R,如图所示,过A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是( C )(A)直线AC(B)直线BC(C)直线CR(D)直线AR解析:由已知条件可知,C∈γ,AB∩l=R,AB⊂γ,所以R∈γ.又因为C,R∈β,故CR=β∩γ.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是( D )(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形解析:如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,所以截面为六边形PQFGRE.3.(2018·鹤壁月考)已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD 不相交,充分性成立;若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行,则A,B,C,D四点共面,必要性不成立,所以甲是乙成立的充分不必要条件.4.(2018·蚌埠模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线( D )(A)不存在(B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有无数条解析:在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.5.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析: 在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.6.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.解析:取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C 1D=AD,所以直线AC 1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC 1与BC所成角的正切值为.答案:7.(2018·厦门模拟)过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作条. 解析:如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD 1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,所以体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.答案:48.如图,在四面体ABCD中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,点E,F,G,H分别在棱AD,BD,BC,AC上,若直线AB,CD都平行于平面EFGH,则四边形EFGH面积的最大值是.解析:因为直线AB平行于平面EFGH,且平面ABC交平面EFGH于HG, 所以HG∥AB;同理:EF∥AB,FG∥CD,EH∥CD,所以FG∥EH,EF∥HG.故四边形EFGH为平行四边形.又因为AD=BD,AC=BC,可知AB⊥CD,所以四边形EFGH为矩形.设BF∶BD=BG∶BC=FG∶CD=x(0≤x≤1),则FG=2x,HG=2(1-x),S四边形EFGH=FG·HG=4x(1-x)=-4(x2-x+-)=-4(x-)2+1.根据二次函数的性质可知四边形EFGH面积的最大值为1.答案:19.(2018·包头月考)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析:取CD的中点H,连接EH,FH(图略).在正四面体CDEF中,由于CD ⊥EH,CD⊥HF,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,则平面EFH与正方体的左右两侧面平行,则EF也与之平行,与其余四个平面相交.答案:4能力提升练(建议用时:25分钟)10.(2018·茂名一模)如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:①AF⊥GC;②BD与GC是异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:将正方体平面展开图还原成正方体,①如图知AF与GC异面垂直,故①正确;②显然BD与GC是异面直线,连接MB,MD.则BM∥GC,在等边△BDM中,BD与BM所成的60°角就是异面直线BD 与GC所成的角,故②正确;③显然BD与MN异面垂直,故③错误;④显然GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角,Rt△BDG不是等腰直角三角形.所以BG与平面ABCD所成的角不是45°,故④错误.故选B.11.(2018·乐山模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F 是线段B1D1上的两个动点,且EF=,则下列结论中错误的是( D )(A)AC⊥BF(B)三棱锥A BEF的体积为定值(C)EF∥平面ABCD(D)直线AE与BF所成的角为定值解析:选项A中,如图,连接BD,所以AC⊥BD,又AC⊥BB1,BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BDD1B1,因为BF⊂平面BDD1B1,所以AC⊥BF,故A正确;选项B中,因为AC⊥平面BDD1B1,所以点A到平面BEF的距离不变,因为EF=,点B到EF的距离为1,所以△BEF的面积不变,所以三棱锥A-BEF的体积为定值,故B正确;选项C中,因为EF∥BD,BD⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,故C正确;选项D中,异面直线AE与BF所成的角不为定值,由图知,当F与B1重合时,令上底面的中心为O,则此时两异面直线所成的角是∠A1AO,当E 与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是∠OBC1,显然∠A1AO与∠OBC1不相等,故异面直线AE与BF所成的角不为定值,故D错误.故选D.12.(2016·浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.解析:设直线AC与BD′所成角为θ.O是AC中点,由已知得AC=,如图,以OB为x轴,OA为y轴,过O与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,,0),B(,0, 0,),C(0,-,0),作DH⊥AC于H,翻折过程中,D′H始终与AC垂直, CH===,则OH=,DH==,因此可设D′(cos α,-, sin α),则=(cos α-,-,sin α),与平行的单位向量为n=(0,1,0),所以cos θ=||=,所以cos α=1时,cos θ取最大值.答案:13.(2018·榆林月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积;(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解:(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PO⊥平面ABCD,所以∠PBO即为PB与平面ABCD所成的角,即∠PBO=60°,在Rt△ABO中,AB=2,∠OAB=30°,所以BO=1.因为PO⊥平面ABCD,OB⊂平面ABCD,所以PO⊥OB.在Rt△POB中,PO=BOtan 60°=,易知底面菱形的面积S=2××22=2,所以四棱锥P-ABCD的体积=×2×=2.(2)取AB的中点F,连接EF,DF,因为E为PB的中点,所以EF∥PA.所以∠DEF即为异面直线DE与PA所成的角(或其补角).在Rt△AOB中,AO==OP,所以PA=,EF=.易知DF=DE=,所以cos∠DEF===,即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.14.已知正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD= P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,E,F四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.证明:(1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面.即D,B,E,F四点共面.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又因为Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又因为A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.好题天天练(建议用时:10分钟)(2017·全国Ⅲ卷)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)解析:AB绕AC旋转得圆锥,AB为母线.因为a,b与AC都垂直,则a,b所在直线可平移到圆C面内,如图.对于①,②,不妨设BP为直线a,则b为BE.若∠ABP=60°,则△ABP为等边三角形,则△ABE为等边三角形,所以AB与b成角为60°,①不对,②对.对于③,④,当a与BB′重合时,AB与a所成角最小为45°,③对.当BP足够小时,∠ABP趋向于90°,④不对.答案:②③。
【推荐】2018高考数学考点突破——立体几何：空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系【考点梳理】1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系α∥βa∩α＝A α∩β＝l，b是异面直线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. 【考点突破】考点一、平面的基本性质【例1】如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．[解析]证明：(1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥BA 1.又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E ，C ，D 1，F 四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.【类题通法】1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．【对点训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解析](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形.(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊12AF，G为F A的中点知BE綊GF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.考点二、空间直线的位置关系【例2】(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④[答案](1)D(2)②④[解析](1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．【类题通法】1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．【对点训练】1．a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为()A．①④B．②③C．③④D．①②[答案]A[解析]对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC是异面直线.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)[答案]③④[解析]由题图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1是异面直线，MN 与AC 是异面直线．考点三、异面直线所成的角【例3】(1)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45(2)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13[答案](1)D (2)A[解析](1)连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角． 连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2， 则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5， 在△A 1BC 1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝4 5.(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n 所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.【类题通法】1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．【对点训练】1．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．[答案]2[解析]取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD . 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形， 所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.2．已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．[解析]如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ， PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角). 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．又因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB和MN所成的角为60°.②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.。
2018版高考数学一轮复习课件：第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
图 7-3-3
上一页
返回首页
下一页
第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十九分。
高三一轮总复习
[解] (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，得 GH 綊12AD.2 分 又 BC 綊12AD， ∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形.5 分
上一页
返回首页
下一页
第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十九分。
A.15 3
C.5
B.25 4
D.5
上一页
返回首页
下一页
图 7-3-5
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
高三一轮总复习
(2)(2016·全国卷Ⅰ)平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1， α∩平面 ABCD＝m，α∩平面 ABB1A1＝n，则 m，n 所成角的正弦值为( )
3 A. 2
2 B. 2
3
1
C. 3
D.3
上一页
返回首页
下一页
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
高三一轮总复习
(1)D (2)A [(1)连接 BC1，易证 BC1∥AD1， 则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角． 连接 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2， 则 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5， 在△A1BC1 中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝2×5＋55－ ×2 5＝45.
如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中 点．求证：
(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
【导学号：01772249】
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- 1 -
专题39 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平
面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面。其中正确的序号是( )
A．① B
．①④
C．②③ D
．③④
A
。
答案：A
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
解析：选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直
线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相
等，所以C正确．
3．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A．a∥b，b⊂α，则a∥α
B．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．a⊥α，b∥α，则a⊥b
D．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b
解析：选C.A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相
交，平面α，β也可能相交；
C正确；D中的直线a，b也可能异面．
4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
- 2 -
C．2 D．3
解析：选A.对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于②，若
a
∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②不正确；对于③，若a∥α，b∥α，则应有
a
∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命
题．
5．已知直线a与平面α、β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：选D.设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，
∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．
6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )
A．垂直 B．相交不垂直
C．平行 D．重合
7．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是( )
- 3 -
A．AE⊥CG
B．AE与CG是异面直线
C．四边形AEC1F是正方形
D．AE∥平面BC1F
面BC1F.
8．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说
明，④正确，可以以三棱柱为例证明．
9．如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，
P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ
＝
________.
解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
- 4 -
∴MN∥PQ.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，
AP
＝a3，
∴CQ＝a3，从而DP＝DQ＝2a3，∴PQ＝223a.
答案：223a
10．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，
过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
解析：根据题意可得到以下如图两种情况：
可求出BD的长分别为245或24.
答案：24或245
11．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，
则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
12．如图E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，
易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，
- 5 -
由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.
13．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，试探究：在AC上是否存
在点F，满足EF∥平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明
理由．
解：法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.
- 6 -
证明如下：在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.
∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1，
又AF∥A1C1且AF＝34A1C1，
∴FG∥AB，又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，
∴FG∥平面A1ABB1.
又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面A1ABB1.
- 7 -
∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.
14．如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.
(3)在(2)的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．
证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD，
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，
又O为BD的中点，所以BE＝DE.
- 8 -
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM⊂平面DMN，
所以DM∥平面BEC.
法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.
- 9 -
所以DM∥平面BEC.
(3)存在点N为AD的中点
取AD的中点N，连接BN，O为BD的中点
由(2)可知∠DCO＝60°，∴∠BDC＝30°，
又∵DBN＝30°，∴BN∥DC.
DC⊂面DEC，∴BN∥面DEC
.