第10课时：函数的奇偶性

Go the distance课题：函数的奇偶性考纲要求：会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.教材复习1.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．4.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法；()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 典例分析：题型一：判断或证明函数的奇偶性问题1．判断下列各函数的奇偶性：()1 ()(f x x =- ()2 2lg(1)()|2|2x f x x -=--；Go the distance()3())f x x =； ()422(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩题型二：函数的奇偶性的应用问题2．()1(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <()2（2013哈九中模拟）奇函数()f x 在()0,+∞上的解析式是()()1f x x x =-， 则在(),0-∞上，函数的解析式是.A ()()1f x x x =-- .B ()()1f x x x =+ .C ()()1f x x x =-+ .D ()()1f x x x =-()3（2011广东）设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -=问题3．()1设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围Go the distance()2（2013江苏）已知()f x 是定义在R 上是奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为()3(06黄岗中学月考)已知函数21()log 1xf x x x-=-++，求1()2005f -1()2004f +- 1()2004f +1()2005f +的值.题型三：抽象函数的奇偶性的证明问题5．()1已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y 总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.()2定义在R 上的增函数()y f x =对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+.①求证：()f x 为奇函数；②若(2)(242)0xxxf k f +--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围.Go the distance课后作业：1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=2.已知1()21xf x m =++为奇函数，则(1)f -的值为3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对5.函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f .A 是奇函数 .B 是偶函数.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数Go the distance6.判断下列函数的奇偶性：()1()f x =； ()2()212()2x xf x +=；()311()212xf x =+-； ()4()3()log 132x xf x -=++；()51()log 1axf x x+=-（其中0a >，1a ≠）7.（03南昌模拟）给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-， 其中是奇函数的是（ ） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④8.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当x ≥0时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时， )(x f 的解析式为_______________Go the distance9.（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =10.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么1()2f 的值为.A3.B.C.D 911.（2012郑州二模）设奇函数2,0()0,0(),0x x f x x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩，则(3)g =.A 8 .B 18 .C 8- .D 18-、12.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x = ， ()g x =13.定义在)1,1(-上的函数1)(2+++=nx x mx x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____Go the distance14.（2013皖南八校联考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2f x x x =+（x ≥0），若2(3)(2)f a f a ->则实数a 的取值范围是走向高考：1. （04全国）已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -= .A b.B b -.C 1b .D 1b-2. (06全国Ⅰ文）已知函数()1,21x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =3.（2013山东）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -= .A 2- .B 0 .C 1 .D 24.（07辽宁文）已知()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=5.（2011广东）设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 .A ()()f x g x +是偶函数 .B ()()f x g x -是奇函数.C ()()f x g x +是偶函数 .D ()()f x g x -是奇函数Go the distance6.（07广东）若函数21()sin 2f x x =-()x R ∈，则()f x 是 .A 最小正周期为π2的奇函数.B 最小正周期为π的奇函数.C 最小正周期为2π的偶函数.D 最小正周期为π的偶函数7.（07海南）设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a =8.（2012重庆）设函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a =9.(07江苏)设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 .A (10)-，.B (01)， .C (0)-∞， .D (0)(1)-∞+∞，，10.（2013辽宁文）已知函数)()ln31f x x =-+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.A 1-.B 0.C 1.D 2Go the distance11.（2013重庆文）已知函数3()sin 4f x ax b x =++（,a b R ∈），()()2l gl o g 105f =，则()()lg lg 2f = .A 5- .B 1- .C 3 .D 412.（2013湖南文）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g = .A 4 .B 3 .C 2 .D 113. （06重庆文）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；Go the distance14.(02全国)设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．()1讨论()f x 的奇偶性； ()2求()f x 的最小值．15.（07上海，本题满分14分）已知函数2()af x x x=+(0x ≠，常数)a R ∈. ()1讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由()2若()f x 在[)2,x ∈+∞上是增函数，求a 的取值范围.Go the distance59不会学会，会的做对. 没有不会做，只有没努力！。