《1.3.3 最大值与最小值》课件1-优质公开课-苏教选修2-2精品
1.3.3《函数的最大(小)值与导数》课件(人教A版选修2-2)
∴f（2）=22+a=20，解得a=-2. ∴f（x）=-x3+3x2+9x-2. ∴f（-1）=1+3-9-2=-7，即函数f（x）在区间［-2,2］上的 最小值为-7.
1.（5分）已知函数f（x）、g（x）均为［a,b］上的可导函 数，在［a,b］上图象连续不断且f′（x）<g′（x），则f （x）-g（x）的最大值为（ ） （A）f（a）-g（a） （B）f（b）-g（b） （C）f（a）-g（b） （D）f（b）-g（a） 【解析】选A.令u（x）=f（x）-g（x）, 则u′（x）=f′（x）-g′（x）<0, ∴u（x）在［a,b］上为单调递减函数， ∴u（x）的最大值为u（a）=f（a）-g（a）.
5.若函数f（x）=3x-x3+a,- 3 ≤x≤3的最小值为8，则a的值 是_______. 【解析】f′（x）=3-3x2，令f′（x）=0，得x=±1， ∴f（1）=2+a,f（-1）=-2+a. 又f（- ）3 =a,f（3）=-18+a. ∴f（x）min=-18+a.由-18+a=8.得a=26. 答案：26
3.函数y=x·e-x在x∈[2, 4]上的最小值为（ ）
（A）0
（B）1
e
（C） 4
e4
（D） 2
e2
【解析】选C.y′=
ex -xex (ex )2
,=当1ex-xx∈[2,
4]时，y′<0，即函数
y=x·e-x在x∈[2, 4]上单调递减，故当x=4时，函数有最小值，
为. 4
e4
二、填空题（每题5分，共10分） 4.当函数y=x·2x取得最小值时，x=_________. 【解析】y′=2x+x·2xln2=2x（1+xln2）, 令y′=0，得x=-log2e, ∵x<-log2e时y′<0;x>-log2e时y′>0, ∴当x=-log2e时，函数有最小值. 答案：-log2e
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.3.3最大值与最小值
1.3.3 最大值与最小值知识梳理1.函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有____________,但最大(小)值只有____________;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的不一定有最值,有最值的未必有极值;极值可能成为最值.2.在闭区间［a ，b ］上连续的函数f(x)在［a ，b ］上____________最大值与最小值；在(a ，b)上连续的函数或在［a ，b ］上的不连续函数____________最大值与最小值.3.求f(x)在［a ，b ］上的最大值与最小值的步骤是：(1) ________________________________________________;(2) ________________________________________________.知识导学通过前面的学习,我们知道函数的极值是在定义域内的某个区域内的特征,是一局部概念,极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小；在现实生活和社会实践中,为了发挥最大的经济效益,常常会遇到如何使用料最省、产量最高、效益最大、成本最低等问题.解决这些问题常常需转化为求导函数最大值和最小值问题,函数在什么条件下有最大和最小值，它们和函数极值的关系如何等来处理.求函数f(x)在［a,b ］内的最大值与最小值的步骤:(1)首先确定函数f(x)在［a,b ］内连续,在(a,b)内可导;(2)求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值;(3)求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b);(4)将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的是最小值. 疑难突破本节的难点在于搞清函数的最大、最小值与函数极值的关系.函数的最大值、最小值与函数的极值之间有怎样的关系?求最值的过程体现了数学中的哪些数学思想?剖析:函数的极值是在局部范围内讨论问题,是局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是一个整体性概念.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.函数在其定义区间最大值和最小值最多各有一个,而函数的极值则可能有多个,也可能没有.求函数的最值实质上是实现新问题向旧问题、复杂问题向简单问题的转化过程.导数具有丰富多彩的性质和特性,这些特性为我们解决问题提供了“肥沃”的等价转化的“土壤”，只要我们认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化、数形结合的数学思想方法,定能不断提高解题的能力.典题精讲【例1】求下列函数的最值.(1)f(x)=3x-x 3,3-≤x≤3;(2)f(x)=6-12x+x 3,x ∈［31-,1］. 思路分析:利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的准确性.解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x )=0,得x=±1.∴f(1)=2,f(-1)=-2，f(3-)=0,f(3)=-18.∴f(x)max =2,f(x)min =-18.(2)f′(x)=-12+3x 2=0，∴x=±2.当x ∈(-∞,-2)时，f′(x)＞0，∴f(x)为增函数；当x ∈(-2,2)时,f′(x)＜0，∴f(x)为减函数;当x ∈［31-,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(-31)=27269. 绿色通道：函数f(x)在给定区间上连续可导,必有最大值和最小值.因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处的函数值比较即可. 变式训练：求下列函数的最值. (1)f(x)=sin2x-x(-2π≤x≤2π); (2)f(x)=xb x a -+122(0＜x ＜1,a ＞0,b ＞0). 解:(1)f′(x)=2cos2x-1,令f′(x)=0，得x=±6π. ∴f(6π)=623π-,f(-6π)=623π+-. 又f(2π)=-2π,f(-2π)=2π, ∴［f(x)］max =2π,［f(x)］min =2π-. (2)f′(x)=2222222222)1()1()1(x x x a x b x b x a ---=-+-. 令f′(x)=0,即b 2x 2-a 2(1-x)2=0,解得x=b a a +. 当0＜x ＜b a a +时,f′(x)＜0,当ba a +＜x ＜1时,f′(x)＞0. ∴函数f(x)在点x=b a a +处取得极小值,也是最小值为f(ba a +)=(a+b)2,即［f(x)］min =(a+b)2. 【例2】设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x ∈［-1,0)时,f(x)=x 3-ax(a ∈R ).(1)当x ∈(0,1］时，求f(x)的解析式；(2)若a ＞3，试判断f(x)在(0，1］上的单调性，并证明你的结论;(3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1］时,f(x)有最大值1.思路分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.解:(1)∵x ∈(0,1］时,-x ∈［-1,0),∴f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x 3.又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x 3.(2)f′(x)=-3x 2+a.∵x ∈(0,1］,∴x 2∈(0,1］.∴-3x 2≥-3.∵a ＞3,∴-3x 2+a ＞0.故f(x)在(0,1］上为增函数.(3)假设存在a,使得当x ∈(0,1］时,f(x)有最大值1.∴f′(x)=a -3x 2;令f′(x)=0,∴-3x 2+a=0,即a ＞0时,x=±33a .又∵x ∈(0,1］,∴x=33a 且33a ＜1.∴f′(x)在(0, 33a )上大于0，在(33a ,1)上不小于0. ∴f(x)极大值=f(33a )=19329333==-a a a a a a . ∴a=2233时，f(x)有最大值1. 绿色通道：关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.变式训练：求f(x)=322)2(x x -在［-1，3］上的最大值及最小值.解:对f(x)求导得f′(x)=3)2(134--x x x . 在定义域内不可导点为x 1=0,x 2=2.令f′(x)=0，得x=1.又f(-1)=39,f(0)=0, f(1)=1,f(2)=0,f(3)=39,∴在x=-1点和x=3点，y 有最大值f(-1)=f(3)=39.∴在x=0点和x=2点,y 有最小值f(0)=f(2)=0.【例3】 已知x 、y 为正实数,且满足关系式x 2-2x+4y 2=0,求x·y 的最大值.思路分析:题中有两个变量x 和y,首先应选择一下主要变量,将x 、y 表示为某一个变量(x 或y 或其他变量)的函数关系,实现问题的转化.同时根据题设条件确定变量的取值范围,再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值.解:方法一:4y 2=2x-x 2,∵y ＞0,∴y=2221x x -. ∴x·y=21x·22x x -.由⎩⎨⎧≥->,02,02x x x 解得0＜x≤2. 设f(x)=xy=2221x x x -(0＜x≤2). 当0＜x ＜2时,f′(x)=21［222)1(2x x x x x x --+-］=222)23(x x x x --.令f′(x)=0，得x=23或x=0(舍)， ∴f(23)=833.又f(2)=0,∴函数f(x)的最大值为833,即x·y 的最大值为833. 方法二:由x 2-2x+4y 2=0,得(x-1)2+4y 2=1(x ＞0,y ＞0).设x-1=cos α,y=21sin α(0＜α＜π), ∴x·y=21sin α(1+cos α). 设f(α)=21sin α(1+cos α), 则f′(α)=21［-sin 2α+(1+cos α)·cos α］ =21(2cos 2α+cos α-1)=(cos α+1)(cos α-21). 令f′(α)=0,得cos α=-1或cos α=21. ∵0＜α＜π,∴α=3π,此时x=23,y=43. ∴f(3π)=833. ∴［f(3π)］max =833, 即当x=23,y=43时,［x·y ］max =833. 绿色通道：明确解决问题的策略、指向和思考方法需要抓住问题的本质,领悟真谛,巧施转化.在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件以免解题时陷于困境,功亏一篑.变式训练：已知动点M 在抛物线y 2=2px(p ＞0)上,问M 在何位置时到定点P(p,p)的距离最短.解:设M(p y 22,y),则d=|MP|2=(py 22-p)2+(y-p)2, d′=2(p y 22-p)·p y +2(y-p)=23py -2y+2y-2p. 由d′=0,得y=p 32.此时M(p p 332,21)为所求.问题探究问题：怎样理解在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值?导思:主要区分闭区间和开区间上连续函数是否有最值的关系.探究:给定函数的区间必须是闭区间,即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值.在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值.。
第1章 1.3.3 最大值与最小值
1.3.3最大值与最小值1．会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值与导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的最大值与最小值．(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一．2．利用导数求函数的最值求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()【答案】(1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上________．(填序号)①无最值；②有极值；③有最大值；④有最小值．【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．【答案】①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)f(x)＝x3－12x2－2x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝e－x－e x，x∈[0,1]．【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值．【自主解答】(1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：从上表可知，函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′－(e x )′＝－1e x －e x＝－1＋e 2xe x .当x ∈[0,1]时，f ′(x )<0恒成立， 即f (x )在[0,1]上是减函数．故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝1e －e ； 当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0. 求函数最值的四个步骤 (1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表； (4)求极值、端点值，确定最值． [再练一题]1．(2019·盐城质检)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________.【导学号：01580015】【解析】 ∵y ′＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令y ′＝0，得x ＝π6.由于f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，∴函数的最大值为π6＋ 3. 【答案】 π6＋ 3已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．【精彩点拨】首先求出f′(x)．然后讨论a的正负，根据函数f(x)的单调性得出用a，b表示的函数的最值，从而列出关于a，b的方程组，求a，b.【自主解答】由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．[再练一题]2．设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式.【导学号：01580016】【解】f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，当x＝a时，f(x)取得极小值－a32＋b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又因为f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝6 3.故所求函数的解析式是f(x)＝x3－62x2＋1.[探究共研型]如图1-3-6图1-3-6探究1观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．【提示】f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．探究2结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？【提示】存在．f(x)最小值＝f(a)，f(x)最大值＝f(x3)．探究3函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？【提示】不一定．也可能是区间端点的函数值．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．【精彩点拨】(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．【自主解答】(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调递增单调递减∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立⇔a<f(x)最小值；(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]最小值；(3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)最小值＞g(x)最大值；(4)a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)最大值．[再练一题]3．上例(2)若改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？【解】令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调递增单调递减 ∴g (t )在[0,2]上有最小值g (2)＝－3－m ， 存在t ∈[0,2]，使h (t )<－2t ＋m 成立， 等价于g (t )的最小值g (2)<0. ∴－3－m <0，∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)．[构建·体系]1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是________．【解析】 ∵y ′＝1－cos x ≥0，∴y ＝x －sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数，∴y 最大值＝π.【答案】 π2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________.【导学号：01580017】【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2(舍去)． 当x ∈[－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )递增； 当x ∈(0,1]，f ′(x )<0，f (x )递减； ∴x ＝0时，f (x )取最大值2. 【答案】 23．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________ .【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12·e π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π24．已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x ，即m 2<ln xx 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )≥h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e .【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2e5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a )． (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值． 【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12， 此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f(x)在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
高中数学苏教选修2-2课件：1.3.2极大值与极小值
1.3.2极大值与极小值;学习目标导航1.会求函数的极大值与极小值.（重点）2.掌握函数极大（小）值与导数的关系.（难点）3.理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件.（易错点）［基础•初探］教材整理1函数极大（小）值的概念阅读教材P30上半部分，完成下列问题.函数极大（小）值的概念设函数幷）在朋近有定义，且仙）比它附近点的函数值都要大,我们称畑为函数血）的一个极大值；设函数幷）在七附近有定义，且倆比它附近点的函数值都要小，我们称幷2 为函数沧）的一个极小值.函数的极大值、极小值统称为函数的极值•0微体验0判断正误：(1)函朝⑴"+亦r+1必有2个极值.()(2)在可导函数的极值点处，切线与%轴平行或重合.((3)函数幷)』有极值.()A【答案】(1)7 (2)7 (3)X 教材整理2函数的极值与导数的关系阅读教材P30下半部分，完成下列问题.(1)极大值与导数之间的关系-------------- 0微体验0 -------------函数兀）的定义域为开区间仙b）,导函数f⑴在仙0）内的图象如图1・3・2所示，则函数加）在开区间仙0）内有极小值点个.图1-3-2【解析】由图象可知：导函数加）=0有4个，但只有b附近的根满足根的左边为负值，右边为正值，故函数幷）只有一个极值点.【答案】1［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: ________________________________________解惑：________________________________________疑问2：_______________________________________解惑：________________________________________疑问3：求下列函数的极值.(1曲)二 F_2X _1；_X 2 3 X 2 (W)=7_? +厂 °；(3»=W.［小组合作型］求函数的极值【自主解答】(l)f «=2x-2,令f W=0,解得尸1. 因为当*1时，f «<0, 当Q1 时，f (x)>0, 所以函数在处有极小值，且y极小值=_2.(2)f (x) =X~1x-\-X—X(X2_2x + 1)二琼_ 1 )2.W=o,解得Q=O, x2=i.所以当X变化时，f (x)，幷)的变化情况如下表：所以当x=0时，函数取得极小值，且y极小値=一6・(3)f(x)=\x\=r, x<0.显然函S/(x)=kl&二0处不可导，当x>0时，f (x)二+ =1>0, 函规)=1x1在(0, +8)内单调递增; 当x<0时，f (x)=(—x)z = —1<0, 函数/⑴二bd在(一0)内单调递减. 故当兀二0时，函数取得极小值，且y极小值二0.名师區1•讨论函数的性质要注意定义域优先的原则.2.极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点. 点罚是可导函数/⑴在区间(a,切内的极值点的充要条件：®f' (xo)—0；②点罚两侧f⑴的符号不同.(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中点)，也可能不是极值点(如五,在x=0处不可导，在%=0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f⑴二。
2021年高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 1.3 1.3.3 最大值与最小值
1．3.3最|大值与最|小值[对应学生用书P19]1．问题：如何确定你班哪位同学最|高?提示：方法很多,可首|先确定每个学习小组中最|高的同学,再比拟每组的最|高的同学,便可确定班中最|高的同学．2．如图为y＝f(x) ,x∈[a ,b]的图象．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1) ,f(x3)为函数的极大值,f(x2) ,f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x) ,x∈[a ,b]的最|值吗?提示：函数的最|小值是f(a) ,f(x2) ,f(x4)中最|小的,函数的最|大值是f(b) ,f(x1) ,f(x3)中最|大的．3．函数y＝g(x) ,y＝h(x)在闭区间[a ,b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下列图所示)．问题1：两函数的最|大值和最|小值分别是什么?提示：函数y＝g(x)的最|大值为g(a) ,最|小值是其极小值g(c)；函数y＝h(x)的最|大值为h(b) ,最|大值为h(a)．问题2：函数的最|大值和最|小值是否都在区间的端点处取得?提示：不一定．问题3：函数的极值与函数的最|值是同一个问题吗?提示：不是．1．最|大值与最|小值(1)如果在函数定义域I内存在x0 ,使得对任意的x∈I ,总有f(x)≤f(x0) ,那么称f(x0)为函数在定义域上的最|大值．最|大值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最|大值,那么最|大值惟一．(2)如果在函数定义域I内存在x0 ,使得对任意的x∈I ,总有f(x)≥f(x0) ,那么称f(x0)为函数在定义域上的最|小值．最|小值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最|小值,那么最|小值惟一．2．求f(x)在区间[a ,b]上的最|大值与最|小值的步骤(1)求f(x)在区间(a ,b)上的极值；(2)将第(1)步中求得的极值与f(a) ,f(b)比拟,得到f(x)在区间[a ,b]上的最|大值与最|小值．1．函数的最|值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比拟,具有相对性；而函数的最|值那么是表示函数在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比拟．2．函数在一个闭区间上假设存在最|大值或最|小值,那么最|大值或最|小值只能各有一个,具有惟一性,而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．3．极值只能在区间内取得,最|值那么可以在端点处取得,有极值的不一定有最|值,有最|值的也未必有极值；极值有可能成为最|值,最|值只要不在端点处取必定是极值．[对应学生用书P19]求函数的最|大值与最|小值[例1][思路点拨]求f′(x)→令f′(x)＝0得到相应的x的值→列表→确定函数取极值的点→求极值与端点处的函数值→比拟大小确定最|值[精解详析]f′(x)＝－4x3＋4x ,令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0 ,得x＝－1 ,x＝0 ,x＝1.当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x －3(－3 ,－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2) 2 f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5所以当x＝－3时,f(x)取最|小值－60；当x＝－1或x＝1时,f(x)取最|大值4.[一点通]求函数的最|值需要注意的问题：(1)用导数求函数的最|值与求函数的极值方法类似,在给定区间是闭区间时,极值要和区间端点的函数值进行比拟,并且要注意取极值的点是否在区间内；(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时,可考虑用导数的方法求解．1．函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最|大值与最|小值分别为M ,m.那么M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0 ,解得x＝±2.计算f(－3)＝17 ,f(－2)＝24 ,f(2)＝－8 ,f(3)＝－1 ,所以M＝24 ,m＝－8 ,故M－m＝32.答案：322．求函数f(x)＝e x(3－x2)在区间[2,5]上的最|值．解：∵f(x)＝3e x－e x x2 ,∴f′(x)＝3e x－(e x x2＋2e x x)＝－e x(x2＋2x－3)＝－e x(x＋3)(x－1) ,∵在区间[2,5]上,f′(x)＝－e x(x＋3)(x－1)<0 ,即函数f(x)在区间[2,5]上是单调递减函数,∴x＝2时,函数f(x)取得最|大值f(2)＝－e2；x＝5时,函数f(x)取得最|小值f(5)＝－22e5.函数的最|值求参数[例2]函数f(29 ,求a ,b的值．[思路点拨] 根据导数与单调性之间的关系求解 ,由于f (x )既有最|大值 ,又有最|小值 ,因此a ≠0 ,要注意对参数的取值情况进行讨论．[精解详析] 由题设知a ≠0 ,否那么f (x )＝b 为常数函数 ,与题设矛盾． 取导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)． 令f ′(x )＝0 ,得x 1＝0 ,x 2＝4(舍)． (1)∵当a ＞0时 ,如下表：x (－1,0) 0 (0,2) f ′(x ) ＋0 － f (x )最|大值∴当x ＝0时 ,f (x )取得最|大值 ,f (0)＝3 ,∴b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3＞f (2)＝－16a ＋3 , ∴最|小值f (2)＝－16a ＋3＝－29 ,a ＝2. (2)∵当a ＜0时 ,如下表：x (－1,0) 0 (0,2) f ′(x ) －0 ＋ f (x )最|小值∴当x ＝0时 ,f (x )取得最|小值 , ∴b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29＜f (2)＝－16a －29 , ∴最|大值f (2)＝－16a －29＝3 ,a ＝－2.综上 ,⎩⎨⎧ a ＝2 b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－29.[一点通] 解决由函数的最|值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最|值 ,同时由于系数a 的符号对函数的单调性有直接的影响 ,其最|值也受a 的符号的影响 ,因此 ,需要进行分类讨论．此题是运用最|值的定义 ,从逆向出发 ,由向未知转化 ,通过待定系数法 ,列出相应的方程 ,从而得出参数的值．3．函数f (x )＝12x 2－a ln x ,a ∈R .(1)假设a ＝2 ,求函数在点(1 ,f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[1 ,e]上的最|小值． 解：(1)a ＝2时 ,f (x )＝12x 2－2ln x ,f (1)＝12 ,f ′(x )＝x －2x,f ′(1)＝－1 ,故切线方程为y －12＝－(x －1) ,即2x ＋2y －3＝0.(2)依题意 ,x ＞0 ,f ′(x )＝x －a x ＝1x(x 2－a ) ,①a ≤1时 ,因为x ∈[1 ,e] ,1≤x 2≤e 2 ,所以f ′(x )≥0(当且仅当x ＝a ＝1时等号成立) ,所以f (x )在区间[1 ,e]上单调递增 ,最|小值为f (1)＝12.②a ≥e 2时 ,因为1≤x 2≤e 2 ,所以f ′(x )≤0(当且仅当x ＝e ,a ＝e 2时等号成立) ,所以f (x )在区间[1 ,e]上单调递减 ,最|小值为f (e)＝12e 2－a .③1＜a ＜e 2时 ,解f ′(x )＝1x (x 2－a )＝0得x ＝±a (负值舍去) ,f ′(x )的符号和f (x )的单调性如下表：f (x )在区间[1 ,e]上的最|小值为f ()a ＝12a －12a ln a .综上所述 ,a ≤1时 ,f (x )的最|小值为f (1)＝12；1＜a ＜e 2时 ,f (x )的最|小值为f ()a ＝12a －12a ln a ；a ≥e 2时 ,f (x )的最|小值为f (e)＝12e 2－a .4．函数f (x )＝ax 2＋1(a >0) ,g (x )＝x 3＋bx .(1)假设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1 ,c )处具有公共切线 ,求a ,b 的值； (2)当a ＝3 ,b ＝－9时 ,假设函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最|大值为28 ,求k 的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax ,g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1 ,c)处具有公共切线,所以f(1)＝g(1) ,且f′(1)＝g′(1) ,即a＋1＝1＋b ,且2a＝3＋b ,解得a＝3 ,b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x) ,当a＝3 ,b＝－9时,h(x)＝x3＋3x2－9x＋1 ,h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0 ,得x1＝－3 ,x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞ ,2]上的变化情况如下：x (－∞ ,－3)－3(－3,1)1(1,2) 2h′(x)＋0－0＋h(x)28－4 3由此可知：当k≤－3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最|大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最|大值小于28.因此,k的取值范围是(－∞ ,－3]．与最|值有关的恒成立问题[例3]22(1)求f(x)的最|小值h(t)；(2)假设h(t)<－2t＋m ,对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围．[思路点拨](1)可通过配方求函数f(x)的最|小值；(2)h(t)<－2t＋m ,即m>h(t)＋2t恒成立,从而可转化为求h(t)＋2t的最|大值问题解决．[精解详析](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R ,t>0) ,∴当x＝－t时,f(x)取得最|小值f(－t)＝－t3＋t－1 ,即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t3＋3t－1.那么g′(t)＝－3t2＋3＝－3(t－1)(t＋1)．令g ′(t )＝0 ,得t 1＝1 ,t 2＝－1(舍去)． 列表：t (0,1) 1 (1,2) g ′(t ) ＋0 － g (t )极大值1由表可知 ,g (t )在(0,2)内有最|大值1.∵h (t )<－2t ＋m 在(0,2)恒成立等价于m >g (t )在(0,2)内恒成立． ∴mm 的取值范围是(1 ,＋∞)．[一点通] 有关恒成立问题 ,一般是转化为求函数的最|值问题．求解时要确定这个函数 ,看哪一个变量的范围 ,即函数是以范围的变量为自变量的函数．一般地 ,λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .5．g (x )＝ln x －a ,假设g (x )<x 2在(0 ,e]上恒成立 ,求a 的取值范围． 解：g (x )<x 2即ln x －a <x 2 ,所以a >ln x －x 2 ,故g (x )<x 2在(0 ,e]上恒成立也就是a >ln x －x 2在(0 ,e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2 ,那么h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x,由h ′(x )＝0及0<x ≤e 得x ＝22. 当0<x <22时h ′(x )>0 ,当22<x ≤e 时h ′(x )<0 , 即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 22上为增函数 ,在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤22 e 上为减函数 ,所以当x ＝22时h (x )取得最|大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )<x 2在(0 ,e]上恒成立时 , a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22－12 ＋∞.6．设函数f (x )＝e x －ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)假设a ＝1 ,k 为整数 ,且当x >0时 ,(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0 ,求k 的最|大值． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞ ,＋∞) ,f ′(x )＝e x －a . 假设a ≤0 ,那么f ′(x )>0 ,所以f (x )在(－∞ ,＋∞)上单调递增．假设a >0 ,那么当x ∈(－∞ ,ln a )时 ,f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ,＋∞)时 ,f ′(x )>0 , 所以 ,f (x )在(－∞ ,ln a )上单调递减 , 在(ln a ,＋∞)上单调递增． (2)由于a ＝1 ,所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1. 故当x >0时 ,(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于 k <x ＋1e x －1＋x (x >0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ,那么g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)(e x －1)2.由(1)知 ,函数h (x )＝e x －x －2在(0 ,＋∞)上单调递增．而h (1)<0 ,h (2)>0 ,所以h (x )在(0 ,＋∞)上存在惟一的零点．故g ′(x )在(0 ,＋∞)上存在惟一的零点．设此零点为α ,那么α∈(1,2)．当x ∈(0 ,α)时 ,g ′(x )<0；当x ∈(α ,＋∞)时 ,g ′(xg (x )在(0 ,＋∞)上的最|小值为g (α)． 又由g ′(α)＝0 ,可得e α＝α＋2 ,所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α) ,故整数k 的最|大值为2.1．函数的最|大值与最|小值：在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最|大值与最|小值；但在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最|大值与最|小值．例如：函数f (x )＝1x在(0 ,＋∞)上连续 ,但没有最|大值与最|小值．2．设函数f (x )在[a ,b ]上连续 ,在(a ,b )内可导 ,求f (x )在[a ,b ]上的最|大值和最|小值的步骤如下(1)求f (x )在(a ,b ) 内的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a ) ,f (b )比拟 ,确定f (x )的最|大值与最|小值． 3．求实际问题的最|大值(最|小值)的方法在实际问题中 ,如果函数在区间内只有一个极值点 ,那么只要根据实际意义判定是最|大值还是最|小值即可 ,不必再与端点的函数值比拟．[对应课时跟踪训练(八)]一、填空题1．函数f (x )＝x －sin x ,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π的最|大值是________．解析：∵f (x )＝x －sin x ,∴f ′(x )＝1－cos x ≥0.∴函数f (x )＝x －sin x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π上为单调增函数 ,∴当x ＝π时 ,f (x )取最|大值π. 答案：π2. 函数y ＝ln xx 的最|大值为________．解析：y ′＝(ln x )′·x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2 ,令y ′＝0 ,那么x ＝e.因此函数f (x )的最|大值为f (e)＝1e .答案：1e3．函数f (x )＝x ·e －x ,x ∈[0,4]的最|小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x ) , 令f ′(x )＝0 ,得x ＝1.而f (0)＝0 ,f (1)＝1e ,f (4)＝4e 4.因此函数f (x )的最|小值为0. 答案：04．函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最|大值为154 ,那么a ＝________.解析：y ′＝－2x －2 ,令y ′＝0 ,得x ＝－1. 而f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154 ,∴a >－1.而f (2)＝－4－4＋3＝－5 , 因此f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154 ,解得a ＝－32(舍去)或a ＝－12.答案：－125．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4])上的最|大值为3 ,最|小值为－6 ,那么a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0 ,x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0 ,得x ＝0(舍) ,或x ＝3 ,可得x ＝3时 ,f (x )取到最|小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ,f (4)＝b , 因此f (4)为最|大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3 b －27a ＝－6.解得⎩⎨⎧a ＝13 b ＝3.所以a ＋b ＝103.答案：103二、解答题6．函数f (x )＝a ln x ＋1(a ＞0)．(1)假设a ＝2 ,求函数f (x )在(e ,f (e))处的切线方程； (2)当x ＞0时 ,求证：f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . 解：(1)当a ＝2时 ,f (x )＝2ln x ＋1 ,f ′(x )＝2x ,f (e)＝3 ,k ＝f ′(e)＝2e, 所以函数f (x )在(e ,f (e))处的切线方程为y －3＝2e(x －e) , 即2x －e y ＋e ＝0.(2)令g (x )＝f (x )－1－a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝a ln x －a ⎝⎛⎭⎫1－1x (x ＞0) , 那么g ′(x )＝a x －a x 2＝a (x －1)x 2,由g ′(x )＝0 ,得x ＝1. 当0＜x ＜1时 ,g ′(x )＜0 ,g (x )在(0,1)上单调递减；当x ＞1时 ,g ′(x )＞0 ,g (x )在(1 ,＋∞)上单调递增．所以g (x )在x ＝1处取得极小值 ,也是最|小值．因此g (x )≥g (1)＝0 ,即f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . 7．函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)假设f (x )在区间[－2,2]上的最|大值为20 ,求它在该区间上的最|小值．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x 2－2x －3)＝－3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )<0 ,那么－3(x ＋1)(x －3)<0 ,解得x <－1或x >3.∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞ ,－1) ,(3 ,＋∞)．(2)结合(1) ,令f ′(x )＝0 ,得x ＝－1或x ＝3.又∵x ∈[－2,2] ,∴x ＝－1.当－2<x <－1时 ,f ′(x )<0；当－1<x <2时 ,f ′(x )>0.∴x ＝－1是函数f (x )的极小值点 ,该极小值也就是函数f (x )在[－2,2]上的最|小值 , 即f (x )min ＝f (－1)＝a －5.又函数f (x )的区间端点值为f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝a ＋22 ,f (－2)＝8＋12－18＋a ＝a ＋2.∵a ＋22>a ＋2 ,∴f (x )max ＝a ＋22＝20 ,∴a ＝－2.此时f (x )min ＝a －5＝－2－5＝－7.8．函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x ＞0)在x ＝1处取得极值－3－c ,其中a ,b ,c 为常数．假设对任意x ＞0 ,不等式f (x )≥－2c 2恒成立 ,求c 的取值范围．解：由题意知f (1)＝－3－c .因此b －c ＝－3－c ,从而b ＝－3.对f (x )求导 ,得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4×1x＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )． 由题意知f ′(1)＝0 ,得a ＋4b ＝0 ,解得a ＝12.因为f ′(x )＝48x 3ln x (x >0) ,令f ′(x )＝0 ,解得x ＝1.当0<x <1时 ,f ′(x )<0 ,此时f (x )为减函数；当x >1时 ,f ′(x )>0 ,此时f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ,并且此极小值也是最|小值．所以要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立 ,只需－3－c ≥－2c 2即可．整理得2c 2－c －3≥0 ,解得c ≥32或c ≤－1. 所以c 的取值范围为(－∞ ,－1]∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32 ＋∞.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3.3 最大值与最小值》0
导数与函数的单调性、极值、最值复习课公正中学耿晓强错误!1．判断以下结论的正误．正确的打“√〞，错误的打“×〞1f′>0是f为增函数的充要条件．2函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓〞．3函数的极大值不一定比极小值大．4对可导函数f，f′0＝0是0点为极值点的充要条件．5函数的极大值一定是函数的最大值．6开区间上的单调连续函数无最值．2．如下图是函数f的导函数f′的图象，那么以下判断中正确的选项是________．填序号①函数f在区间－3,0上是减函数；②函数f在区间－3,2上是减函数；③函数f在区间0,2上是减函数；④函数f在区间－3,2上是单调函数．3．函数f＝e－的减区间为________．4．f＝3－a在[1，＋∞上是增函数，那么a的最大值是________．5．函数f＝错误!3－4＋4的极大值为________．6．函数＝23－22在区间[－1,2]上的最大值是________．[典题1]设函数f＝错误!3－错误!2＋b＋c，曲线＝f在点0，f0处的切线方程为＝11求b，c的值；2求函数f的单调区间；3设函数g＝f＋2，且g在区间－2，－1内为单调递减函数，求实数a的取值范围．[探究1]在本例3中，假设g的单调减区间为－2，－1，如何求解？[探究2]在本例3中，假设g在区间－2，－1内存在单调递减区间，如何求解？[探究3]在本例3中，假设g在区间－2，－1内不单调，如何求解？[探究4]在本例3中，假设函数g在R上为单调函数，如何求解？函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求函数的极值[典题2]2021·南京模拟节选函数f＝错误!≠0．求函数f的极值．角度二：极值求参数[典题3]12021·金华十校联考函数f＝n －a有两个极值点，那么实数a 的取值范围是________．22021·沈阳模拟设函数f＝n －错误!a2－b，假设＝1是f的极大值点，那么a的取值范围为________．[典题4]2021·新课标全国卷Ⅱ函数f＝n ＋a1－．1讨论f的单调性；2当f有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．变式训练：函数f＝－e1求f的单调区间；2求f在区间[0,1]上的最小值．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3.3 最大值与最小值》03
函数“任意、存在〞型问题详案一、教学目标能够将“任意、存在〞型函数问题转化为求函数的最值问题。
二、教学重点使用别离参数法，构造函数法将“任意、存在〞型函数问题转化为求函数的最值问题。
三、教学重点使用别离参数法，构造函数法将“任意、存在〞型函数问题转化为求函数的最值问题。
四、课前预习1、函数，且恒成立，求实数m的取值范围2、函数在区间的最小值五、教学过程例：函数，，对于任意的有成立，求实数的取值范围。
〔学生答复，教师板书，强调书写标准〕解：对于任意的有成立，就是对于在恒成立，可转化＜在恒成立，得＜〔〕min，设h〔〕=，所以h′〔〕=〔﹣1〕〔2〕，可得＜＜1时，h′〔〕＜0，h〔〕递减；1＜＜2时，h′〔〕＞0，h〔〕递增．即有h〔〕在=1处取得最小值e﹣1，那么＜e﹣1．综上的取值范围是，e﹣1小结：变1：函数，假设使得成立，求的取值范围。
〔学生讨论，学生板书〕解：对于使得成立，得＜在成立，得＜ma，设h〔〕=，所以h′〔〕=〔﹣1〕〔2〕，当1≤≤2时，h〔〕递增．即有h〔〕在=2处取得最大值，那么＜．综上的取值范围是，小结：变2：函数，，假设使得成立，求的取值范围。
〔学生独立完成，学生讲解〕解：假设使得成立，相当于有解即在上成立，所以在成立，设h〔〕=，所以h′〔〕=〔﹣1〕〔2〕，当1＜＜2时，h′〔〕＞0，h〔〕递增．e-1≤h≤，所以的范围是[e-1，]小结：变3：函数，假设对于恒成立，求a的取值范围〔学生讨论解决后，教师分析〕解：于恒成立，相当于，所以f′〔〕=〔﹣1〕〔2a〕，因为时，f′〔〕>0恒成立，f在单调增，所以，，所以，所以，所以a的取值范围小结：总结：方法：1别离参数法，2构造函数法六、当堂训练1、存在实数，使m<成立，那么实数m的取值范围_____________2、设函数且有恒成立，求实数的取值范围．解：由题意得，不等式，对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，设，即，，而，令，解得，所以在上是增函数，在上是减函数，所以，所以≥，课后思考题：，假设使得成立，求t的范围解：假设使得成立，相当于使得成立，即上不单调，设h〔〕=，所以h′〔〕=〔﹣1〕〔2〕，可得当0＜＜1时，h′〔〕＜0，h〔〕递减；当＞1时，h′〔〕＞0，h〔〕递增．所以t＜1＜t1，那么0＜t＜1，又因为t＞0且t1＞0，所以t＞0；综上t的取值范围为0，1小结⑤：在区间上不单调。
苏教版高中数学高一1.3.3最大值与最小值
跟踪训练2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).求f(x)在区间[0,2]上 的最大值.
解答
类型二 由函数的最值求参数 例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为 －29，求a，b的值.
解答
反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数 最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值 点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分 类讨论思想的应用.
(2)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在区间(a，b)上的极值 . ②将第①步中求得的极值 与 f(a)， f(b) 比较，得到f(x)在区间[a，b]上的
最大值与最小值.
[思考辨析 判断正误] 1.定义在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值.( √ ) 2.定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最大值.( × ) 3.函数的所有极小值中最小的一个就是最小值.( × ) 4.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( × )
思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最 小值？若存在，分别为多少？
答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.
梳理 (1)最大值与最小值 ①如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有 f(x)≤f(x0)，那 么f(x0)为函数在定义域上的最大值.最大值是相对函数定义域整体而言的， 如果存在最大值，那么最大值 唯一 . ②如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有 f(x)≥f(x0)，则 称f(x0)为函数在定义域上的最小值.最小值是相对函数定义域整体而言的， 如果存在最小值，那么最小值唯一 .
苏教版选修2-2高中数学1.3.2《极大值与极小值》ppt课件
a＜－ 3或a＞ 3， ⇒－3＜a＜3，
－2＜a＜2.
∴a∈(－2，－ 3)∪( 3，2)．
【例3】 (14分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程
f′(x)－9x＝0的题两型个三根分极别为值1的,4.综合应用
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． 审题指导 (1)可先对函数求导，利用方程思想求解析式； (2)将f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点转化为f′(x)≥0在(－∞， ＋∞)内恒成立求解．
解 (1)y′＝6x2＋12x－18，令y′＝0，
解得x1＝－3，x2＝1. 当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x
(－∞， －3)
－ 3
(－3,1)
1
(1，＋ ∞)
y ′
＋
0－0 ＋
y
↗
57
↘
－ 7
↗
∴当x＝－3时，y有极大值57； 当x＝1时，y有极小值－7. (2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5) ＝5x2(x－3)(x－5)， 令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0， 解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.
值范围．
解 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋ 1，f(x)在(－1,1)上有极大值与
极小值，
即f′(x)＝0在区间(－1,1)
上有两个相异的实根，
∴方程3x2＋2ax＋1＝0在区
间(－1,1)上有两个相异的实根，
Δ＝4a2－4×3＞0， 则－1＜－a3＜1，
f′1＝2a＋4＞0， f′－1＝－2a＋4＞0，
(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求实数a的值； (2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求实数a的取值范围． [思路探索] (1)函数在x＝x0取得极值，也就说明x＝x0是方 程f′(x)＝0的根，要注意把所求参数的值代入检验是否符 合 题 意 ． (2) 在 未 确 定 两 根 大 小 关 系 时 ， 要 进 行 分 类 讨 论．
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
函数的最大值与最小值
【问题导思】 如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
结合图象判断，函数 y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最 大值、最小值？若存在，分别为多少？
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 1.会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项 标 式函数一般不超过三次)(重点)． 解 2．掌握含字母参数的最值问题的讨论(难点)． 读 3．掌握函数的极值与最值的联系与区别(易混点).
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1．3.3
最大值与最小值
• 教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 了解函数在某点取得极值，会利用导数求函数的极大值和 极小值，以及闭区间上函数的最大(小)值，培养学生数形结合、 化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力．
菜 单
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
2．过程与方法 经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的 应用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信 心． 3．情感、态度与价值观 通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相 互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进 而获得成功的体验．
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
【提示】
存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
教 师 备 课 资 源
菜
单
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1．如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 x∈I， 总有 f(x)___ 则称 f(x0)为函数 f(x)在定义域上的最大值． ≤ f(x0)， 2．如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 x∈I， 总有 f(x)____ f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x)在定义域上的最小 ≥ 值． 函数的最大 (小)值是相对于定义域整体而言，如果存在
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
●重点难点 重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值． 难点：理解确定函数最值的方法． 本节课突破难点的关键是理解方程 f′(x)＝0 的解，包含 有指定区间内全部可能的极值点．讲解函数的极值和最值的 区别和联系，使学生不仅要掌握极值和最值的求法，同时也 要更深入的了解它们的实质．
课 时 作 业
课 堂 互 动SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
惟一 ． 最大(小)值，那么函数的最值______
教 师 备 课 资 源
菜
单
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
利用导数求函数的最值
【问题导思】 1．怎样确定函数 f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？ 【提示】 比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
演示结束
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 选修 2-2
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
●教学流程设计
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 选修 2-2
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一 定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的 连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存 在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法 与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只 是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突 破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．