第三章 弹性杆件横截面上的正应力分析

第三章弹性杆横截面上的正应力分析——材料力学教案第三章弹性杆横截面上的正应力分析应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是杆件横截面上连续分布内力的简化结果。

仅仅确定了内力分量并不能确定横截面上各点内力的大小。

这是因为,在一般情形下分布内力在各点的数值是不相等的，因此，只有当内力在横截面上的分布规律确定之后，才能由内力分量确定横截面上内力在各点的数值。

内力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间通过材料的物性关系相联系。

因此，为了确定内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面。

二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。

§3-1 应力、应变及其关系考察图3-1中杆件横截面上的微小面积ΔA 。

假设分布内力在这一面积上的合力为ΔF R 则称ΔF R /ΔA 为这一微小面积上的平均应力。

当所取的面积趋于无穷小时，上述平均应力趋于一极限值。

这一极限值称为横截面上一点处的应力)。

这表明：应力实际上是分布内力在截面上某一点处的强弱程度，简称集度。

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。

1．正应力与切应力若将ΔF R 分解为x 、y 、z 三个方向上的分量ΔF Rx 、ΔF Qy 和ΔF Qz ，则根据应力定义，有A F A F A d d ΔΔNx Nx 0Δlim ==→σ （3-1） A F A F A y d d ΔΔQyQy 0Δlim ==→τ ， A F A F A z d d ΔΔQz Qz 0Δlim ==→τ （3-2）式中，正应力σ垂直于横截面，称为正应力；τ位于横截面内，称为切应力。

应力单位为Pa ，工程上常用Mpa 。

2．正应变与切应变若围绕受力弹性体中的任意点截取一微元体(通常为六面体)，一般情形下微元体的各个面上均有应力作用。

下面考察两种最简单的情形，分别如图3-2a 、b 所示。

不难发现，在正应力作用下，微元沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为线变形。

描写弹性体在各点处线变形程度的量，称为正应变或线应变，用x ε表示：dx du x =ε （3-3）图3-1式中，u 为微元受力后相距dx 的两截面沿正应力方向的相对位移。

x ε的下标表示应变方向。

约定：拉应变为正；压应变为负。

在切应力作用下，微元将发生剪切变形，剪切变形程度用微元直角的改变量度量。

微元直角改变量称为切应变，用γ表示。

在图3-2b 中, βαγ+=。

γ的单位为rad 。

3.线弹性材料的物性关系对于工程中常用材料制成的杆件，实验结果表明：若在弹性范围内加载(应力小于某一极限值)，对于只承受单方向正应力或承受切应力的微元，正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系：x x E εσ= （3-4）γτG = （3-5）E 和G 与材料有关的常数：分别为弹性模量，和切变模量。

式（3-4）和(3-5)即为描述线弹性材料物性关系的方程，均可称为胡克定律。

所谓线弹性材料是指弹性范围内加载时应力-应变满足线性关系的材料。

§3-2杆件横截面上的正应力分析考察杆件横截面上只有轴力F N 、弯矩M y 和M z 作用的情形（为导出横截面上的正应力一般表达式，F N 、M y 和M z 的指向与相应坐标轴正向相同），如图3-3a 所示。

对应于这些内力分量，杆件横截面上将有什么应力？这种应力在截面上又是怎样分布的？不难看出，只有垂直于横截面的分布内力，经过简化才能得到上述内力分量。

这表明此时横截面上只有正应力而没有切应力，并且正应力不会是均匀分布的。

1. 平面假设与变形谐调方程在F Nx 、M y 、M z 的共同作用下，杆件上dx 微段的两截面将发生相对运动，产生位移。

假定杆横截面位移后依然保持平面。

这一假定称为平面假定。

设微段一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生三种位移：在F Nx 作用下沿x 方向平行移动；在M y 和M z 作用下分别绕y 、z 轴转动。

如图3-3b 所示。

三种位移的结果，横截面上任意点(y 、z)的位移可以表示为z d y d du du y z N )()(θθ+-= （3-6）式中第1项由整个截面沿x 方向的位移所引起；第2、3两项分别由绕z 轴和y 铀的转动所引起，如图3-4a 和b 所示。

其中，y d θ和z d θ为dz 微段两截面分别绕y 轴和z 轴相对转过的角度。

方程(3-6)表明:在F Nx 、M y 、M z 作用下,各点的位移不能是任意的，只能从一个平面协调地移动到另一平面，故上述方程又称为变形协调方程。

2. 应变分布与应力分布对于直杆，微段上各处的纵向x 长度在变形前均为dx ，根据式（3－3）以及z y z z d dx d dx θρθρ==、，由方程（3-6）得到横截面上任意点（x ，y ，z ）的正应变为yz N x z y dx du ρρεε+-== （3-7）(a) (b)图3-4其中，dxdu N N =ε——轴向荷载引起的应变； y y d dx θρ=——梁轴线在xz 坐标平面内弯曲时的曲率半径； zz d dx θρ=——梁轴线在xy 坐标平面内弯曲时的曲率半径； 对于确定的截面（x 坐标确定），N ε、y ρ、z ρ均为待定常数。

应用物理关系，根据弹性范围内的胡克定律，由式（3-4）、（3-7），得到横截面上任意点（y 、z ）处的正应力为z E y EE y z N x ρρεσ+-= （3-8）上式表明：在轴力和弯矩作用下，杆件横截面上的正应力对于y 、z 都是线性分布，即在空间形成一应力平面。

3. 静力学平衡方程的应用——待定常数的确定作用在微元面积dA 上的内力x σdA(图3-5a)及其对y 、z 轴之矩(x σdA)z 、(x σdA)y 分别在整个横截面上积分，便组成三个内力分量x F N 、y M 、z M （图3-5b ）。

即x A x F A N d =⎰σ (3-9)()y A x M z A =⎰d σ (3-10) ()z A xM y A -=⎰d σ (3-11)将方程（3-8）代入上述各式，经整理后得到x yy z z F ES ES EA N N 11=+ρρε－ （3-12）y y y zyz y M EI EI ES =+ρρε11N － （3-13） z y yz z zz M EI EI ES =-+-ρρε11N （3-14） 其中，⎰⎰==A z A y A y S A z S d d ，， ⎰=AA A d ⎰⎰==Az A y A y I A z I d d 22，， ⎰=A yz yzdA I 分别为横截面对y 、z 轴的静矩(即截面一次矩)；横截面面积；横截面对于Y 、z 轴的惯性矩（即截面二次轴矩）和惯性积。

对于给定的截面，这些量均为已知量。

于是由式(3-12)、(3-13)和(3-14)联立，即可确定式(3一8)中的待定常数N ε、y ρ和z ρ。

4. 正应力的一般表达式不难看出，求解上述联立方程过于繁琐。

但是，如果选择合适的坐标原点和坐标轴，则式(3-15)中的某些量将取零值。

注意到，在此之前，对于坐标系，只规定了坐标原点设在截面形心、x 轴与杆件的轴线重合。

根据本书附录A 中关于截面几何性质的分析，当坐标轴通过截面形心时，截面对这些坐标轴的静矩为零。

于是式(3-15)中的0==z y S S 。

若再将y 、z 取为形心主轴，则式(3-15)中的惯性积0=yz I ，且y I 、z I 皆为截面的形心主惯性矩。

在坐标原点与坐标轴这种特定的选择下，由式(3-12)~(3-14)直接得到EAF x N N ＝ε （3-16） y y yEI M =ρ1 （3-17）zz zEI M =ρ1 （3-18） 将它们代人方程(3-8)，最后得到 yy z z x x I z M I y M A F +-=N σ （3-19） 这就是计算在F Nx 、M y 、M z 作用下，横截面上任意点处正应力的一般表达式。

式中，F Nx 、M y 、M z 可由截面法求得；A 为横截面面积；y I 、z I 分别为横截面对其形心主轴的惯性矩。

除了正应力公式，上述分析还得出关于计算杆件轴向变形和位移的公式(3-16)与dxdu N N =ε和曲率y ρ1和zρ1分别表示在xz 和xy 坐标平面内杆件轴线的弯曲变形程度。

上述各式中EA 称为杆的拉压刚度；y EI 和z EI 分别称为杆在xz 和xy 两个平面内的弯曲刚度。

§3-3正应力公式的应用实验结果表明,对于没有剪力作用的情形，正应力公式计算出的正应力值与实验值吻合得很好。

当横截面上除了轴力和弯矩外，尚有剪力(F Qy 或F Qz )存在时，横截面上除正应力外，还将有切应力存在，由此引起的切应变将使横截面在变形后不再保持平面。

因此，由平面假定导出的正应力表达式(3-19)算出的应力值将与实验值有一定的误差。

但是，对于细长的实心截面杆件，实验结果表明，这种误差是很小的，因而通常可以忽略不计。

因此，对于细长实心截面杆件，应力表达式(3-19)不仅可以用于无剪力作用情形，而且也可以用于有剪力存在的情形，这样便大大拓宽了式(3-19)的适用范围。

1. 轴向载荷作用下杆件横截面上的正应力当杆件承受沿轴线方向的荷载作用时，称为轴向拉压，其横截面上只有轴力F Nx 一个内力分量。

于是，由式（3-19），得到AF x x N =σ （3-20） 这时横截面上的应力分布如图（3-6）所示。

2. 平面弯曲正应力在内力分量M y 、F Qz 或M z 、F Qy 作用下，梁的轴线将在一个主轴平面（弯矩作用面，或者荷载作用面）内弯曲成一条平面曲线。

因此，梁的这种弯曲又称为平面弯曲。

这种情况下，式（3-19）将变为zz x I y M -=σ （3-21） 或 y y x I zM =σ （3-22）在两种平面弯曲情形下，横截面上的正应力分布如图3-7a 和b 所示。

图3-6不难看出，在两种情形下的最大正应力分别为zz x W M -=max σ （3-23）yy x W M =max σ （3-24） 其中， max z I W yy =， m a xy I W z z = （3-25） 分别称为横截面的对于z 轴和y 轴的弯曲截面系数。

表3一1中列出了几种常见截面的弯曲截面系数。

关于轧制的型钢的截面二次轴矩和弯曲截面系数等几何量可由本书附录B 型钢表中查得。

图3一7平面弯曲时梁横截面上的正应力分布(a)(b)3.斜弯曲的正应力当杆件的两个互相垂直的主轴平面内都有荷载作用(无纵向荷载)时，杆将在两个方向同时发生弯曲，这种弯曲称为斜弯曲或双向弯曲。