九年级数学期中考试试卷含答案
2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测数学试题及答案
注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷）数学3、考试结束后，只收回答题卡.第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是A．B．02342=++xx 0122=--y x C．D．0122=++x ax ()024=-x x 2．如图，将含有30°角的三角尺ABC （∠BAC =30°），以点A 中心，顺时针方向旋转，使得点C ，A ，B ′在同一直线上，则旋转角的大小是A．30°B．60°C．120°D．150°3．方程的两个实数根是x x =2A．x 1=x 2=1B．x 1=1，x 2=-1C．x 1=0，x 2=1D．x 1=0，x 2=-14．将关于x 的方程配方成的形式，则的值是0862=+-x x ()p x =-23p A．1B．28C．17D．445．如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，则k 的取值范围是032=+-k x x A．k≥B．k≤C．k＞D．k＜49494949C′B′CBA6．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单()2122---=x y 位，则所得到的二次函数的解析式是A．B．()1322---=x y ()1122-+-=x y C．D．()3122-+-=x y ()3322---=x y 7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA 病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类和人．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x 只动物，则下面所列方程正确的是A．3x（x+1）=363B．3+3x+3x ²=363C．3（1+x）²=363D．3+3（1+x）+3（1+x）²=3638．已知二次函数（c 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），c x x y +-=42则关于x 的一元二次方程的两个实数根是042=+-c x x A．x 1=1，x 2=-1B．x 1=-1，x 2=2C．x 1=-1，x 2=0D．x 1=1，x 2=39．二次函数的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：c bx ax y ++=2则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A．开口方向向上B．当x＞-2时，y 随x 增大而增大C．函数图象与x 轴没有交点D．函数有最小值是-210．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图bx ax y +=2a bx y +=象可能是x …-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图，在⊙O 中，AC =BC ，半径OC 与AB 交于点D ，若AB =8cm，OB =5cm，则CD =▲cm.13．已知点A （4，y 1）和点B （-1，y 212．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会隆重开幕，北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家.下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成.对于图片中的“雪花图案”，至少旋转▲°能与原雪花图案重合.）是二次函数（m 为常数）()m x y +-=21-215．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若四边形EFGH 是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD 的图象上两点，则y 1和y 2的大小关系是▲.14．2021年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2023年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网.若设2021年到2023年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为▲.的面积的最大值是▲.HG FED CBA⌒⌒三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解方程（每小题5分，共10分）（1）()910-=+x x （2）()12832+=+x x x 17．（本小题5分）如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于点G .求证：EF =FG .18．（本小题8分）在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （5，4），B （1，3），C （3，1）.点P （a，b）是△ABC 内的一点.（1）以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1，C 1的坐标：A 1▲，B 1▲，C 1▲.注：点A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1分别是对应点.（2）点P 的对应点P 1的坐标是▲；（3）若以点O 为中心，把△ABC 逆时针旋转则点P 的对应点P 2的坐标是▲，点P 1与点P 2关于▲对称.（填写“x 轴、y 轴或原点”）⌒⌒19．（本小题8分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：一元二次方程在几何作图中的应用如图1，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4.求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.因为矩形ABCD 的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24.若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14-x.所以，得x（14-x）=24.解得x 1=2，x 2=12.当x=2时，14-x=12；当x=12时，14-x=2.所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12.如图2，在边AB 的延长线取点G ，使得AG =4AB .在AD 上取AE =AD .21以AG 和AE 为邻边作出矩形AGFE .则矩形AGFE 的周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.学习任务：（1）在作出矩形AGFE 的过程中，主要体现的数学思想是▲；（填出序号即可）A.转化思想B.数形结合思想C.分类讨论思想D.归纳思想（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的？21若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由.图1 图2GFEDCBA D CBA20．（本小题9分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA =60米，在水面的跨度BC =80米，桥面距水面的垂直距离OE =7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？21．（本小题10分）下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：“，”现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？解：设….根据题意，所列出方程：.()6080402300-20=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+x x …根据小明所列方程，完成下列任务：（1）填空：数学问题中“”处短缺的条件是▲，小明所列方程中未知数x 的实际意义是▲.（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题.图1图222．（本小题12分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边CD 上一点，将△ADE 以点A 为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF ，连接EF ．过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．试猜想FG 与GE 的数量关系，并证明.（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG ，他们认为DG 平分∠ADC ．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；（3）问题解决：在图2中，若AD +DE =28，则四边形AGED 的面积为▲.（直接写出答案即可）图1 图2AB CDEFGGFEDCBA23．（本小题13分）综合与探究已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 32-2-=x x y 轴交于点C ，点D 是y 轴右侧抛物线上一个动点.（1）求出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图1，当点D 在第四象限时，求出△BCD 面积的最大值，并求出这时点D 坐标；（3）当∠DAB =∠ABC 时，求出点D的坐标.图1 备用图一、选择题：1—10：DDCAB BCDCC二、填空题：11.2；12.60°；13.y 1＜y 2；14.2.9（1+x）²=3.8；15.50.三、解答题：16.解：（1）x 1=-1，x 22023～2024学年第一学期九年级期中质量监测试题数学参考答案=-9；…………………………………………………………5分（2）x 1=，x 2=4.…………………………………………………………………5分23-注：阅卷组自行制定评分细则17.证明：∵AB=AE，∴∠B=∠AEB.……………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，……………………………………………………………………2分∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，……………………………………………………………………3分∴∠GAF=∠FAE，…………………………………………………………………4分∴EF=FG.……………………………………………………………………5分18.解：（1）画图略，画图正确.………………………………………………2分A 1（4，-5），B 1（3，-1），C 1（1，-3）.………………………………………5分（2）（b,-a）.……………………………………………………………………6分（3）（-b,a），原点.………………………………………………………………8分19.解：（1）B；…………………………………………………………………2分（2）不存在.……………………………………………………………………3分理由如下：若存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的，21则所求的矩形周长为7，面积为6.………………………………………………4分设所求的矩形一边长为x，则与其相邻的另一边的长为-x.………………5分27所以，得x（-x）=6.……………………………………………………………6分27整理，得2x ²-7x+12=0.…………………………………………………………7分因为△=（-7）²-4×2×12=49-96＜0.所以该方程无解.…………………………………………………………8分所以，不存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的……9分21⌒⌒20.解：（1）设桥拱所在抛物线的函数关系表达式为y=ax ²+bx.………………1分∵OA=60，∴A 点坐标为（60，0）.∵BC=80，根据对称性可知，点C 坐标为（70，-7）.…………………………2分把A（60，0），B（70，-7）代入y=ax ²+bx，得………3分⎩⎨⎧-=+=+77049000603600b a b a 解得………………………………………………………………4分⎪⎩⎪⎨⎧=-=531001b a ∴桥拱所在抛物线的函数关系表达式是.………………5分x x y 5310012+-=（2）∵x x y 5310012+-=……………………………………………………7分().93010012+--=x ∴该函数的顶点为（30，9）.……………………………………………………8分∵9+7=16.∴桥拱最高点到水面的距离是16米.…………………………………………9分21.解：（1）每件商品的售价每降价2元，每个星期的销售量可增加40件；每件商品的售价降了x 元.………………………………………………………………2分（2）设每件商品的定价为x 元，根据题意可列方程…………………………3分.………………………………………6分()60804026030040=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-x x 整理，得x ²-115x+3304=0.……………………………………………………7分解得x 1=59，x 2=56.……………………………………………………………8分为了让每位顾客得到更大的实惠，所以x=59舍去.…………………………9分答：每件商品的定价为56元，每个星期的利润能达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠.…………………………………………………………………10分22.（1）FG=EG.………………………………………………………………1分证明：∵△ABF 是由△ADE 顺时针方向旋转90°得到的，∴△ABF≌△ADE，………………………………………………………………2分∴AF=AE. (3)分∵AG⊥EF，∴FG=EG.………………………………4分（2）连接CG.……………………………5分∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD，∠FCE=90°.……………………6分由（1）可知，FG=EG，∴CG=EF.………………………………7分21∵∠EAF=90°，∴AG=EF.………………………………8分21∴AG=CG.∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，………………………………………………………………9分∴∠ADG=∠CDG，即DG 平分∠ADC.…………………………………………10分（3）196………………………………………………………………………12分23.解：（1）当y=0时，.032-2=-x x 解得x 1=-1，x 2=3.∴点A（-1，0），B（3，0）.……………………………………………………2分当x=0时，y=-3，∴点C（0，-3）……………………………………………………………………3分（2）如图，过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E，并且交直线BC 于点F.过点C 作CH⊥DE，垂足为H.……………………4分设BC 的解析式为y=kx+b.把点B（3，0），点C（0，-3）代入，得，⎩⎨⎧-==+33b b k 解得k=1，b=-3.∴直线BC 的解析式为y=x-3.……………………5分设点D（m，m ²-2m-3），则点F（m，m-3）.则DF=m-3-（m ²-2m-3）=-m ²+3m.……………6分∵S △BCD =S △CDF +S △BDF =×DF×CH+×DF×BE=×DF（CH+BE）=21212121ACDEFG∴S △BCD =（-m ²+3m）×3=-m ²+m.………………………………7分212329=-（m-）²+.（0＜m＜3）…………………………………………8分2323827∵-＜0，∴当m=时，S △BCD 有最大值，S △BCD 的最大值为.………9分2123827（3）∵点B（3，0），点C（0，-3）.∴OB=OC.∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°.设点D（m，m ²-2m-3）.如图，当点D 在x 轴下方时，过点D 作DP⊥OB，垂足为P.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠APD=90°.∴∠PDA=∠PAD，∴PA=PD.∴m-（-1）=-（m ²-2m-3）.……………………10分解得m=2或m=-1（舍去）.当m=2时，m ²-2m-3=-3.∴点D 坐标为（2，-3）.…………………………11分如图，当点D 在x 轴上方时，过点D 作DQ⊥OB，垂足为Q.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠AQD=90°.∴∠QDA=∠QAD，∴QA=QD.∴m-（-1）=m ²-2m-3.…………………………………………………………12分解得m=4或m=-1（舍去）.当m=4时，m ²-2m-3=5.∴点D 坐标为（4，5）.∴当∠DAB=∠ABC 时，点D（2，-3）或（4，5） (13)分。
湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
武汉市硚口区2024~2025学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是2.已知m，n是一元二次方程x2-4x-2＝0的两个实数根，则m+n的值是A.-4B.-2C.2D.43.如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD可以由△AOB旋转得到，则正确的旋转方式是A.绕点D逆时针旋转135°B.绕点O顺时针旋转45°C.绕点O逆时针旋转90°D.绕点B逆时针旋转135°4.将抛物线y＝-2（x-3）2+1平移后得到抛物线y＝-2x2，正确的平移方式是A.向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度B.向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度C.向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度D.向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度8.关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是A.m＜4B.m≤4C.m＜-4D.m＞46.如图，⊙P经过点O（0，0），交y轴于点B，若P（-5，-3），则点B的纵坐标是A.-10B.-8C.-6D.-47.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载:今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出.问户高、广、邪各几何？译文是:今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺;竖放，竿比门高长出2尺;斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x 尺，则下列正确的方程是A.（x-4）2+（x-2）2＝x 2B.（x+4）2＝x 2+（x-2）2C.（x-4）2＝x 2+（x+2）2D.（x+4）2＝x 2+（x+2）28.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ，在水管的顶端A 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，且最高高度为92m ，水柱落地处离池中心5m ，则水管OA 的长是A.94m B.198m C.52m D.218m 9.如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，得到△ADE ，连接BD ，BE.若∠BED ＝80°，∠ADB ＝60°，则∠CBE 的大小是A.10°B.15°C.20°D.25°10.已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点在抛物线y ＝ax 2-2a 2x 上（常数a ≠0），若对于x 1＝3a ， 3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，则a 的值不可能是A.-92B.-72C.23D.12二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解题过程，请将结果直接填写在答题卡指定位置.11.已知点P （2025，m ）与点Q （n ，-2024）关于原点O 中心对称，则m 的值是.12.将一元二次方程2x 2+1＝5x 化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是.13.点P （4，5）绕点O （0，0）顺时针旋转90°后，得到对应点的坐标是_____.14.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x （元），每天获得利润y （元），则y 与x 的函数关系式是_____15.如图,正方形ABCD 的边长为2,BE ＝AB,BF 平分∠EBC 交AE 的延长线于F ，交CD 于M.当M 为CD 的中点时，AE 的长是_____.16.抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数）经过点（-2，0），且c＜0.下列四个结论:① 4a-2b+c ＝0;② 当x ＜-2时，y ＞0;③ 若点（1，1），（2，t ）均在抛物线上，则t ＞83;④ 不等式t （at+b ）≥a+b 对任意的实数t 都成立，则4a +b +c 4c -5a ＜16.其中正确的结论是______（填写序号）.三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17.（木题满分8分）解方程:x 2+3x+1＝0.18.（本题满分8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点C 的对应点E 落在AB 上.（1）若AC ＝6，BC ＝8，求BE 的长.（2）连接BD ，在△ABC 中，添加与角相关的一个条件，使△ABD 是等边三角形.（不需要说明理由）19.（本题满分8分）如图,在等腰△ABC 中,AB ＝AC,⊙A 交BC 于D,E 两点,半径AF ⊥BC 于H.（1）求证:BD ＝CE;（2）若DE ＝8，FH ＝2，求⊙A 的半径.如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形ABCD花圃，墙长为6米，其中边AD大于或等于墙长，中间用篱笆隔开.设BC的长为x米， AB的长为y米，矩形ABCD花圃的面积为s米2.（1）直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围;（2）当BC的长为多少时，矩形ABCD花圃的面积最大？最大面积为多少？21.（本题满分8分）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.（1）在图1中，D在线段BC上，先画@ABCE，再在AB上画点F，使DF∥AC;（2）在图2中，先画△ABC的高CH，再在射线CH上画点P，使∠APC＝∠ABC.图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载:曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼.如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米.以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x-15）2+k的一部分.（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为9米.①求抛物线的解析式（不用写出x的取值范围）;②石块能否飞越防御墙.（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（不包括端点B，C），直接写出a的取值范围.23.（本题满分10分）问题情境CD是等边△ABC的中线，点P在线段CD上运动（不包括端点C，D），将线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线BC上，探究∠APE的大小.记∠CAP＝α.问题探究（1）如图1，将问题特殊化，当a＝30°时，直接写出∠APE的大小;是定值.（2）如图2，将问题一般化，当0°＜α＜30°时，求证:AC-CECF（3）问题拓展当30°＜α＜60°时，若PC＝23EC，直接写出AP的值.AC图2x2+c交x轴于A（-4，0），B两点，交y轴于点C.如图1，抛物线y＝-14（1）直接写出直线BC和抛物线的解析式;（2）设直线y＝m与抛物线交于D，E两点（D在E左边），与射线CB交于点F，若DF＝3EF，求m的值;（3）如图2，点M在第四象限的抛物线上运动，点N与点M关于y轴对称，直线x＝t（t≠4）分别交直线BM，BN，x轴于P，Q，G三点，若PG-QG＝2，求t的值.。
九年级(下)期中数学试卷附答案
九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．﹣1+2的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2 C．ab2D．3ab3．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．5．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．20 C．8或20 D．106．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算：20=．8．如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是．9．如图，已知AB=CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）10．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．11．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是．12．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）计算：﹣3tan30°+（2）在平行四边形ABCD中，对角线AC于BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，求∠COD的度数．14．解不等式组：．15．先化简，再求值：（1﹣），其中x=3．16．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN=AM；（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．17．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）画树状图，求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）画树状图，求三次传球后，球恰在A手中的概率．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整理．绘制了如图不完整的统计图表．观察分析并回答下列问题．（1）本次被调查的市民共有多少人？（2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图2中区域B所对应的扇形圆心角的度数；（3）若该市有100万人口，请估计持有A、B两组主要成因的市民有多少人？组雾霾天气的主要成因百分比别A工业污染45%B汽车尾气排放mC炉烟气排放15%D其他（滥砍滥伐等）n19．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D （0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．22．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣3，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2017的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．六、解答题（本大题共1小题，共12分）23．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=α时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．﹣1+2的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【考点】19：有理数的加法．【分析】依据有理数的加法法则计算即可．【解答】解：﹣1+2=2﹣1=1．故选：B．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2 C．ab2D．3ab【考点】34：同类项．【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选A．3．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．【分析】根据直角三角形的两锐角互余，求出∠D=40°，再根据平行线的性质即可解答．【解答】解：如图所示，∵FE⊥BD，∴∠FED=90°，∴∠1+∠D=90°，∵∠1=50°，∴∠D=40°，∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故选C．4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．【考点】X4：概率公式；P3：轴对称图形．【分析】由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5=．故选C．5．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．20 C．8或20 D．10【考点】L8：菱形的性质；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】边AB的长是方程y2﹣7y+10=0的一个根，解方程求得y的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵解方程y2﹣7y+10=0得：y=2或5∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；∴菱形的边长为5．∴菱形ABCD的周长为4×5=20．故选B．6．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元【考点】FH：一次函数的应用．【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=﹣x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．【解答】解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，把（0，25），（20，5）代入得：，解得：，∴z=﹣x+25，当x=10时，y=﹣10+25=15，故正确；C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，把（0，100），（24，200）代入得：，解得：，∴y=，当t=12时，y=150，z=﹣12+25=13，∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元），750≠1950，故C错误；D、第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确．故选：C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算：20=1．【考点】6E：零指数幂．【分析】直接根据非0数的0次幂等于1进行解答．【解答】解：∵2≠0，∴20=1．故答案为：1．8．如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是16．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．【分析】根据三角形的中位线定理求出DE=BC，DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵D、E为边AB、AC的中点，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积是16，故答案为：16．9．如图，已知AB=CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是AD=CD．（只需写一个，不添加辅助线）【考点】P3：轴对称图形．【分析】轴对称图形的定义即可得到结论．【解答】解：AD=CD，理由：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴四边形ABCD是一个轴对称图形，故答案为：AD=CD．10．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k＜2且k≠1．【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得：k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．11．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是﹣1．【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质．【分析】先根据正方形的边长，求得CB1=OB1=AC﹣AB1=﹣1，进而得到S△OB1C==，即可得出四边形AB1OD的面积．（﹣1）2，再根据S△ADC【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=，∠OCB1=45°，∴CB1=OB1∵AB1=1，∴CB1=OB1=AC﹣AB1=﹣1，=•OB1•CB1=（﹣1）2，∴S△OB1C=AD•AC=×1×1=，∵S△ADC=S△ADC﹣S△OB1C=﹣（﹣1）2=﹣1，∴S四边形AB1OD故答案为：﹣1．12．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是2，3，4．【考点】M2：垂径定理；KM：等边三角形的判定与性质．【分析】分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上；如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB=180°，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边△MAO的性质来求OC的长度．【解答】解：如图1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，∴∠ACB=∠AOB=60°，∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．∴OC=AO=BO=2；如图2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°，∴四个点A、O、B、C共圆．设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．连接OM、AM、AB、MB．∵∠ACB=60°，∴∠AMB=2∠ACB=120°．∵AO=BO=2，∴∠AMO=∠BMO=60°．又∵MA=MO，∴△AMO是等边三角形，∴MA=AO=2，∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，∴OC可以取整数3和4．综上所述，OC可以取整数2，3，4．故答案是：2，3，4．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）计算：﹣3tan30°+（2）在平行四边形ABCD中，对角线AC于BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，求∠COD的度数．【考点】L5：平行四边形的性质；2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）首先代入30°角的正切值、化简二次根式，即可得出答案；（2）由平行四边形的性质得出∠BCA=∠DAC=42°，再由三角形的外角性质得出∠COD=∠CBD+∠BCA，即可得出结果．【解答】解：（1）﹣3tan30°+=﹣3×+2=﹣+2=（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA=∠DAC=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=42°+23°=65°．14．解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x＞﹣1，由②得，x＞﹣3，所以，不等式组的解集为x＞﹣1．15．先化简，再求值：（1﹣），其中x=3．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=•=，当x=3时，原式=2．16．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN=AM；（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．【考点】N3：作图—复杂作图．【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；（2）连接AC，BD交于点O，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及对顶角相等可证△BMO≌DQO，所以QO=MO，由于∠QOC=∠MOA，CO=AO，所以△COQ≌AOM，则∠QCO=∠MAO，从而可得CQ∥AM．【解答】解：（1）在BA上截取BN=BM，连结CN，则CN为所作，如图1（2）在DA上截取DQ=BM，连结CQ，则CQ为所作，如图2．17．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）画树状图，求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）画树状图，求三次传球后，球恰在A手中的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在B手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在A手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，∴两次传球后，球恰在B手中的概率为：；（2）画树状图得：∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况，∴三次传球后，球恰在A手中的概率为：=．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整理．绘制了如图不完整的统计图表．观察分析并回答下列问题．（1）本次被调查的市民共有多少人？（2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图2中区域B所对应的扇形圆心角的度数；（3）若该市有100万人口，请估计持有A、B两组主要成因的市民有多少人？组雾霾天气的主要成因百分比别A工业污染45%B汽车尾气排放mC炉烟气排放15%D其他（滥砍滥伐等）n【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）根据条形图和扇形图信息，得到A组人数和所占百分比，求出调查的市民的人数；（2）根据B组人数求出B组百分比，得到D组百分比，根据扇形圆心角的度数=百分比×360°求出扇形圆心角的度数，根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图；（3）根据持有A、B两组主要成因的市民百分比之和求出答案．【解答】解：（1）从条形图和扇形图可知，A组人数为90人，占45%，∴本次被调查的市民共有：90÷45%=200人；（2）60÷200=30%，30%×360°=108°，区域B所对应的扇形圆心角的度数为：108°，1﹣45%﹣30%﹣15%=10%，D组人数为：200×10%=20人，（3）100万×（45%+30%）=75万，∴若该市有100万人口，持有A、B两组主要成因的市民有75万人．19．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB 的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．【解答】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i=：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD==10米，∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．20．如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【考点】MD：切线的判定；KO：含30度角的直角三角形；M5：圆周角定理．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【解答】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D （0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐【考点】L5：平行四边形的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式．【分析】（1）由A与B的坐标求出AB的长，根据四边形ABCD为平行四边形，求出DC的长，进而确定出C坐标，设反比例解析式为y=，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为AA′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解析式求出E横坐标，即可确定出E坐标．【解答】解：（1）∵▱ABCD中，A（2，0），B（6，0），D（0，3），∴AB=CD=4，DC∥AB，∴C（4，3），设反比例解析式为y=，把C坐标代入得：k=12，则反比例解析式为y=；（2）∵B（6，0），∴把x=6代入反比例解析式得：y=2，即B′（6，2），∴平行四边形ABCD向上平移2个单位，即AA′=2，∴D′（0，5），把y=5代入反比例解析式得：x=，即E（，5）．22．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣3，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2017的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由函数函数y=﹣x2+3x﹣2的解析式可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，然后依据旋转函数的定义得到﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，然后求得a2，b2，c2的值即可；（2）依据旋转函数的定义列出关于m、n的方程，从而可求得m、n的值，然后代入计算即可；（3）先求得A，B，C三点的坐标，然后再求得A1，B1，C1的坐标，然后可求得经过点A1，B1，C1的二次函数的解析式，最后依据旋转函数的定义进行判断即可．【解答】解：（1）∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，∴a2=1，b2=3，c2=2，∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；（2）解：根据题意得m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，∴（m+n）2017=（﹣3+2）2017=﹣1；（3）证明：当x=0时，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），当y=0时，﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），…设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）代入得a2•（﹣1）•4=﹣2，解得a2=，∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，∵y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，∴a1+a2=﹣+=0，b1=b2=，c1+c2=2﹣2=0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．六、解答题（本大题共1小题，共12分）23．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=α时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC=∠A=∠B=α可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．【解答】（1）证明：如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=α，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=α，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；（3）解：如图3，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3∴DE==4，∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=6﹣t，∴t（6﹣t）=5×1，∴解得：t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．。
九年级(下)期中数学试卷含答案
九年级（下）期中数学试卷一、选择题1．﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EC⊥EF，垂足为E，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．若a﹣b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．24．如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（）A．4 B．3 C．D．25．如图，△ABO的面积为3，且AO=AB，双曲线y=经过点A，则k的值为（）A．B．3 C．6 D．96．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1二、填空题7．因式分解3x2﹣3y2=．8．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．9．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是．11．小明用S2= [（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10=．12．当﹣1≤x≤2时，二次函数y=（x﹣m）2+m2有最小值3，则实数m的值为．三、解答题13．（1）解方程：=﹣（2）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB，求证：∠A=∠E．14．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a=+1．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠A=30°，AC=2，求图中阴影部分的面积．16．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？17．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y=（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD（1）求k的值和点E的坐标；（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．四、解答题18．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．19．利用直尺画图（先用铅笔画图，然后再用墨水笔将符合条件的图形画出）．（1）利用图1中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线；（2）平移图（2）网格中的三条线段AB、CD、EF，使平移后三条线段首尾顺次相接组成一个三角形；（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于．20．如图，一个书架上的方格中放着四本厚度和长度相同的书，其中左边两边上紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C，E，右侧书角正好靠在方格内侧上，若书架方格长BF=40cm，∠DCE=30°．（1）设一本书的厚度为acm，则EF=cm；（2）若书的长度AB=20cm，求一本书的厚度（结果保留根号）五、解答题21．如图，抛物线C1：y=x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、C两点．（1）求抛物线C2的解析式．（2）点D是抛物线C2在x轴上方的图象上一点，求S△ABD的最大值．（3）直线l过点A，且垂直于x轴，直线l沿x轴正方向向右平移的过程中，交C1于点E交C2于点F，当线段EF=5时，求点E的坐标．22．如图，△AOB是等腰直角三角形，直线BD∥OA，OB=OA=1，P是线段AB上一动点，过P点作MN∥OB，分别交OA、BD于M、N，PC⊥PO，交BD于点C．（1）求证：OP=PC；（2）当点C在射线BN上时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S 与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线BN上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形时的PM的值；如果不可能，请说明理由．六、解答题23．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．参考答案与试题解析一、选择题1．﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．【考点】14：相反数．【分析】由相反数的定义容易得出结果．【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：A．2．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EC⊥EF，垂足为E，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】JA：平行线的性质．【分析】根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．【解答】解：如图，∠3=∠1=60°（对顶角相等），∵AB∥CD，EG⊥EF，∴∠3+90°+∠2=180°，即60°+90°+∠2=180°，解得∠2=30°．故选B．3．若a﹣b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】由a﹣b+c=0求得b=a+c，将其代入方程ax2+bx+c=0中，可得方程的一个根是﹣1．【解答】解：∵a﹣b+c=0，∴b=a+c，①把①代入方程ax2+bx+c=0中，ax2+（a+c）x+c=0，ax2+ax+cx+c=0，ax（x+1）+c（x+1）=0，（x+1）（ax+c）=0，∴x1=﹣1，x2=﹣（非零实数a、b、c）．故选：C．4．如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（）A．4 B．3 C．D．2【考点】KX：三角形中位线定理；KO：含30度角的直角三角形．【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB=4，又∵DE是中位线，∴DE=BC=2．故选D．5．如图，△ABO的面积为3，且AO=AB，双曲线y=经过点A，则k的值为（）A．B．3 C．6 D．9【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；KH：等腰三角形的性质．【分析】过点A作OB的垂线，垂足为点C，根据等腰三角形的性质得OC=BC，再根据三角形的面积公式得到OB•AC=3，易得OC•AC=3，设A点坐标为（x，y），即可得到k=xy=OC•AC=3．【解答】解：过点A作OB的垂线，垂足为点C，如图，∵AO=AB，∴OC=BC=OB，∵△ABO的面积为3，∴OB•AC=3，∴OC•AC=3．设A点坐标为（x，y），而点A在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴k=xy=OC•AC=3．故选B．6．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点；HC：二次函数与不等式（组）．【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c ≥﹣6，故B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．故选C．二、填空题7．因式分解3x2﹣3y2=3（x+y）（x﹣y）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣3y2=3（x2﹣y2）=3（x+y）（x﹣y）．故答案为：3（x+y）（x﹣y）．8．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是5．【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，所以这个几何体的体积是5．故答案为：5．9．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为25．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】根据扇形面积公式：S=•L•R（L是弧长，R是半径），求出弧长BD，根据题意=CD+BC，由此即可解决问题．【解答】解：由题意=CD+BC=10，S扇形ADB=••AB=×10×5=25，故答案为25．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥1．【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．11．小明用S2= [（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10=30．【考点】W7：方差．【分析】根据计算方差的公式能够确定数据的个数和平均数，从而求得所有数据的和．【解答】解：∵S2= [（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，∴平均数为3，共10个数据，∴x1+x2+x3+…+x10=10×3=30，故答案为：30．12．当﹣1≤x≤2时，二次函数y=（x﹣m）2+m2有最小值3，则实数m的值为或．【考点】H7：二次函数的最值．【分析】根据二次函数的最值问题列出方程求出m的值，再根据二次项系数大于0解答．【解答】解：∵二次函数y=（x﹣m）2+m2有最小值3，二次项系数a=1＞0，故图象开口向上，对称轴为x=m，当m＜﹣1时，最小值在x=﹣1取得，此时有（m+1）2+m2=3，求得m=，∵m＜﹣1，∴m=；当﹣1≤m≤2时，最小值在x=m时取得，即有1﹣m2=﹣2求得m=或m=﹣（舍去）当m＞2时，最小值在x=2时取得，即（2﹣m）2+m2=3求得m=（舍去）故答案为：或．三、解答题13．（1）解方程：=﹣（2）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB，求证：∠A=∠E．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；B3：解分式方程．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）由BC与DE平行得到一对同位角相等，利用SAS得到三角形ABC与三角形EDB全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）去分母得：2=2x﹣1﹣3，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解；（2）∵BC∥DE，∴∠ABC=∠D，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB，∴∠A=∠E．14．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a=+1．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•（a+1）=，当a=+1时，原式=．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠A=30°，AC=2，求图中阴影部分的面积．【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连结OC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再利用等腰三角形的性质得∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，则∠A+∠BCO=90°，加上∠BCD=∠A，所以∠BCD+∠BCO=90°，于是根据切线的判定方法可判断DC是⊙O的切线；（2）根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACB中计算出BC=AC=2，AB=2BC=4，再计算出∠AOC=120°，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形AOC ﹣S△AOC进行计算．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OA=OC，OB=OC，∴∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∴∠A+∠BCO=90°，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∴DC是⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，∵∠A=30°，∴BC=AC=2，AB=2BC=4，∵∠AOC=180°﹣∠A﹣∠ACO=120°，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOC ﹣S△AOC=S扇形AOC﹣S△ABC=﹣••2•2=π﹣．16．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【考点】AD：一元二次方程的应用；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．17．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y=（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD（1）求k的值和点E的坐标；（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD=，又∵OA=3，∴D（，3），∵点D在双曲线y=上，∴k=×3=4；∵四边形OABC为矩形，∴AB=OC=4，∴点E的横坐标为4．把x=4代入y=中，得y=1，∴E（4，1）；（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．∵∠APE=90°，∴∠APO+∠EPC=90°，又∵∠APO+∠OAP=90°，∴∠EPC=∠OAP，又∵∠AOP=∠PCE=90°，∴△AOP∽△PCE，∴，∴，解得：m=1或m=3，∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．四、解答题18．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了20名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）由题意可得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；（2）由题意可得：C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；继而可补全条形统计图；（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；故答案为：20；（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2…女A男D男A1男D男A2男D女A男D女D男A1女D男A2女D女A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：=．19．利用直尺画图（先用铅笔画图，然后再用墨水笔将符合条件的图形画出）．（1）利用图1中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线；（2）平移图（2）网格中的三条线段AB、CD、EF，使平移后三条线段首尾顺次相接组成一个三角形；（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于3.5．【考点】Q4：作图﹣平移变换；JA：平行线的性质．【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点以及垂直的格点作出即可；（2）根据网格结构的特点，过点E找出与AB、CD位置相同的线段，过点F找出与AB、CD位置相同的线段，作出即可；（3）根据S△=S正方形﹣三个角上的三角形的面积即可得出结论．【解答】解：（1）、（2）如图所示；=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3（3）S△EFH=9﹣1﹣3﹣=3.5．故答案为：3.5．20．如图，一个书架上的方格中放着四本厚度和长度相同的书，其中左边两边上紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C，E，右侧书角正好靠在方格内侧上，若书架方格长BF=40cm，∠DCE=30°．（1）设一本书的厚度为acm，则EF=a cm；（2）若书的长度AB=20cm，求一本书的厚度（结果保留根号）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠CED=60°，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）设一本书的厚度为acm，根据BF=40cm，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）如图，∵∠DCE=30°，∴∠CED=60°，∴∠GEH=30°，∴EH==a，∴HF=acos30°=a；∴EF=EH+HF=a故答案为：a；（2）设一本书的厚度为acm，则BD=2a，∴DE=CE=10cm，∵BF=40cm，∴2a+10+a=40，解得：a≈7.4．答：一本书的厚度7.4cm．五、解答题21．如图，抛物线C1：y=x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、C两点．（1）求抛物线C2的解析式．（2）点D是抛物线C2在x轴上方的图象上一点，求S△ABD的最大值．（3）直线l过点A，且垂直于x轴，直线l沿x轴正方向向右平移的过程中，交C1于点E交C2于点F，当线段EF=5时，求点E的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先依据配方法求得抛物线C1的顶点坐标，然后令y=0，求得点A、B的坐标，从而可判断出C1平移的方向和距离，于是得到抛物线C2的顶点坐标，从而得到C2的解析式；（2）根据函数图象可知，当点D为C2的顶点时，△ABD的面积最大；（3）设点E的坐标为（x，﹣x2+4x﹣3），则点F的坐标为（x，﹣x2+8x﹣15），然后可求得EF长度的解析式，最后根据EF=5，可列出关于x的方程，从而可求得x的值，于是的得到点E的坐标．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，∴抛物线C1的顶点坐标为（2，1）．令y=0，得﹣（x﹣2）2+1=0，解得：x1=1，x2=3．∵C2经过B，∴C1向右平移了2个单位长度．∵将抛物线向右平移两个单位时，抛物线C2的顶点坐标为（4，1），∴C2的解析式为y2=﹣（x﹣4）2+1，即y=﹣x2+8x﹣15．（2）根据函数图象可知，当点D为C2的顶点时，纵坐标最大，即D（4，1）时，△ABD的面积最大．S△ABD=AB•|y D|=×2×1=1．（3）设点E的坐标为（x，﹣x2+4x﹣3），则点F的坐标为（x，﹣x2+8x﹣15）．EF=|（﹣x2+4x﹣3）﹣（﹣x2+8x﹣15）|=|﹣4x+12|．∵EF=5，∴﹣4x+12=5或﹣4x+12=﹣5．解得：x=或x=．∴点E的坐标为（，）或（，﹣）时，EF=5．22．如图，△AOB是等腰直角三角形，直线BD∥OA，OB=OA=1，P是线段AB上一动点，过P点作MN∥OB，分别交OA、BD于M、N，PC⊥PO，交BD于点C．（1）求证：OP=PC；（2）当点C在射线BN上时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S 与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线BN上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形时的PM的值；如果不可能，请说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）首先利用矩形的判定得出四边形OBNM 为矩形，即可得出∠CPN=∠POM ，进而得出△OPM ≌△PCN ，求出即可；（2）利用S=S △OPB +S △PBC 进而得出S 与m 的函数关系；（3）利用①当点P 与点A 重合时，PC=BC=1，②如图②，当点C 在OB 下方，且PB=CB 时，分别求出即可．【解答】（1）证明：如图①，△AOB 是等腰直角三角形，AO=BO=1，∴∠A=45°，∠AOB=90°，直线BN ∥OA ，MN ∥OB ，∴四边形OBNM 为矩形，∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°而∠AMP=90°，∠A=∠APM=∠BPN=45°，∴OM=BN=PN ，∵∠OPC=90°，∴∠OPM +∠CPN=90°，又∵∠OPM +∠POM=90°，∴∠CPN=∠POM ，在△OPM 和△PCN 中，∴△OPM ≌△PCN （ASA ），∴OP=PC ，（2）解：∵AM=PM=APsin45°=m ， ∴NC=PM=m ，∴BN=OM=PN=1﹣m ；∴BC=BN ﹣NC=1﹣m ﹣m=1﹣m ， S=S △OPB +S △PBC =BO•MO +BC•PN ，=m 2﹣m +1（0≤m ）；（3）解：△PBC可能为等腰三角形，①当点P与点A重合时，PC=BC=1，此时PM=0，②如图②，当点C在OB下方，且PB=CB时，有OM=BN=PN=1﹣m，∴BC=PB=PN=﹣m，∴NC=BN+BC=1﹣m+﹣m，由（2）知：NC=PM=m，∴1﹣m+﹣m=m，∴m=1．∴PM=m=；∴使△PBC为等腰三角形时的PM的值为0或．六、解答题23．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD=；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD=，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD=AP，即：AP+BP=BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE=6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP=2PA，得到2PA+PB=EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．【解答】解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，∴AD==，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD=，∴，∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD=AP，∴AP+BP=BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD==．故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，连接PE、OP，∵OA=3，∴，∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE==13．。
新人教版九年级数学下册期中考试卷(参考答案)
新人教版九年级数学下册期中考试卷（参考答案)班级: 姓名:一、选择题（本大题共10小题, 每题3分, 共30分）1. 估计5 ﹣的值应在（）A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题: “一条竿子一条索, 索比竿子长一托．折回索子却量竿, 却比竿子短一托“其大意为: 现有一根竿和一条绳索, 用绳索去量竿, 绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿, 就比竿短5尺．设绳索长x尺, 竿长y尺, 则符合题意的方程组是（）A. B. C. D.3．若点, , 都在反比例函数的图象上, 则, , 的大小关系是（）A. B. C. D.4．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球, 它们除颜色外都相同, 随机从中摸出一个球, 记下颜色后放回袋子中, 充分摇匀后, 再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）A. B. C. D.5．已知关于x的一元二次方程有一个根为, 则a的值为（）A. 0B.C. 1D.6．下列性质中, 菱形具有而矩形不一定具有的是（）A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 邻边互相垂直7．如图, 抛物线与轴交于、两点, 是以点（0,3）为圆心, 2为半径的圆上的动点, 是线段的中点, 连结.则线段的最大值是（）A. B. C. D.8．填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律, 根据这种规律m的值为（）A. 180B. 182C. 184D. 1869．如图, 一把直尺, 的直角三角板和光盘如图摆放, 为角与直尺交点, ,则光盘的直径是（）A. 3B.C.D.10．如图, ABC中, ∠C=90o, BC＝8, AC＝6, 点P在AB上, AP=3.6, 点E从点A出发, 沿AC运动到点C, 连接PE, 作射线PF垂直于PE, 交直线BC于点F, EF的中点为Q, 则在整个运动过程中, 线段PQ扫过的面积为（）A. 8B. 6C.D.二、填空题（本大题共6小题, 每小题3分, 共18分）1. 使有意义的x的取值范围是__________.2. 因式分解: 3x3﹣12x=_______.3. 已知二次函数y＝x2, 当x＞0时, y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）.4. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置, 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A, 且另三个锐角顶点B, C, D在同一直线上. 若AB= , 则CD=__________.5. 如图, 将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD, 若∠AOB=15°,则∠AOD=__________度.6. 如图所示, 在四边形中, , , . 连接, , 若, 则长度是_________.三、解答题（本大题共6小题, 共72分）1. 解分式方程：2. 已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0.（1）当m＝0时, 求方程的实数根.（2）若方程有两个不相等的实数根, 求实数m的取值范围．3. 如图, △ABC中, AB＝AC＝1, ∠BAC＝45°, △AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的, 连接BE, CF相交于点D,（1）求证: BE＝CF ；（2）当四边形ACDE为菱形时, 求BD的长．4. “扬州漆器”名扬天下, 某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒, 成本为30元/件, 每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系, 如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件, 当销售单价为多少元时, 每天获取的利润最大, 最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业, 决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程, 为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元, 试确定该漆器笔筒销售单价的范围.5. 随着科技的进步和网络资源的丰富, 在线学习已成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式: 在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求, 该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查, 并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息, 解答下列问题:（1）求本次调查的学生总人数, 并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有学生人, 请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.6. 某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000, 1月底因突然爆发新冠肺炎疫情, 市场对口罩需求量大增, 为满足市场需求, 工厂决定从2月份起扩大产能, 3月份平均日产量达到24200个.（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率, 预计4月份平均日产量为多少？参考答案一、选择题（本大题共10小题, 每题3分, 共30分）1、C2、A3、B4、A5、D6、C7、C8、C9、D10、B二、填空题（本大题共6小题, 每小题3分, 共18分）x≥-1、12.3x（x+2）（x﹣2）3、增大.415.30°6、10三、解答题（本大题共6小题, 共72分）1.x=32.（1）x1＝, x2＝（2）m＜3.（1）略（2）-14.（1）；（2）单价为46元时, 利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.5、（1）人, 补全条形统计图见解析；.（2）；（3）人.6.（1）10%；（2）26620个。
吉林省长春市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题(含详解)
2024-2025学年度上学期九年级期中数学试卷本试卷包括三道大题，共24小题，共4页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分）1. 一元二次方程的较小的根是（ ）A. B. C. 或 D. 或2. 一元二次方程根判别式的值为（ ）A. B. 14C. 13D. 3. 下列式子中运算正确的是（ ）A. B. C.D.4. 计算的结果为（ ）A.B.C.D. 35. 将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D.6. 如图，和是以点O 为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）A. 12B. 18C. 20D. 50的()()320x x +-=3x =-2x =3x =-2x =3x =2x =-230x x +-=11-3=±25==6=-2tan 60︒1322y x =+21y x =+23y x =+2(1)2y x =-+2(1)2y x =++ABC V DEF :2:3OA AD =ABC V DEF7. 如图，在4×4正方形网格中，点A 、B 、C 为网格交点，AD ⊥BC ，垂足为D ，则sin ∠BAD 的值为（ ）A.B.C.D.8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分）9.__________．10. 抛物线与轴的交点坐标为__________．11. 如图，如图，安装路灯路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m ．的12344535()20y ax bx c a =++≠1x =-(1,0)0abc >2b a =-420a b c ++<930a b c -+=226y x =-+y AB CD PQ 1.2m CP =CP EP 0.4m BC 1.5m AB12. 如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________．13. 现要在一个长为35m ，宽为22m 的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m²，设小道的宽为x m ，则根据题意，可列方程为________．14. 如图，在中，，，是边上的高，点在边上，连结，交于点，过点作于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③若是的中点，在不添加辅助线和其它字母的前提下，与相似的三角形共有6个；④若，则．上述结论中，正确结论序号是__________．三、解答题（本大题10小题，共78分）15.．16. 解方程x2﹣4x +1=0．17. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率．18. 如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建的ABC V 90ABC ∠=︒D BC E AD BE D AC 6DC =BE ABC V 90ACB ∠=︒AC BC =CD AB E BC AE CD G C CF AE ⊥F DF AGD CGF ∽45AFD ∠=︒F EG CEF △1tan 2GAD ∠=2BE CE =+AB CD AB MN ⊥B CD MN ⊥D筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到）（参考数据：，，）19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且．（2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且．（3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为．20. 如图，在中，，为边上的中线，于点．（1）求证：．（2）若，，求线段的长．21. 如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴BD 40m AB 20m A C α25︒CD 1m sin250.42︒≈cos250.91︒≈tan250.47︒≈44⨯ABC V AB AC D E DE ADE ABC △△∽12AD AB =AB BC F G FG BFG BAC △∽△34BF AB =BMN M N AB BC BMN BAC 13ABC V AB AC =AD BC DEAB ⊥E BDE CAD ∽△△13AC =10BC =BE 2y x bx c =-++x ()3,0A -B A B y交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）求与之间的函数关系式．（3）当时，直接写出值．22. 如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D 放在AB 边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E 、F ，且使始终与垂直．【感知】如图①，若点F 与点C 重合，则的长为__________；【探究】如图②，若移动点D ，使，求长；【拓展】如图③，延长交直角三角板的最短边所在的直线于点G ，连接，若，则的最小值为__________．23. 如图，在中，，，．点在边上，过点作交折线于点．点为上一点，且，以为边向其右侧作正方形．的的(0,3)C AC P AC P PE x ⊥E AC D PD h P m h m 12h AB =m Rt ABC △90ACB ∠=︒30A ∠=︒2BC =30︒30︒ABC V AC BC 、DE AB DE EF AB ∥AD BC EG 2BC CG =12EG AE +Rt ABC △90C ∠=︒3AC =4BC =P AB P PQ AB ⊥AC CB -Q D PQ 34DQ PQ =DQ DEFQ（1）当点与点重合时，的长为__________．（2）当点在边上时，求正方形边长．（3）当点是直角边的中点时，求的长．（4）设正边形的边与边的交点为，当点将边分成两部分时，直接写出长的取值范围．24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、．（1）求此抛物线对应的函数解析式．（2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围．（3）当点的纵坐标为1时，求点的坐标．（4）当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差．Q C AP F BC DEFQ Q ABC V AP DEFQ EF BC G G EF 13:AP O 2y x bx c =++()0,2A -1x =P 2m AP AP B B y Q AQ PQ P Q P Q y x m P Q APQ △x A Q A Q2024-2025学年度上学期东师附中新城学校九年级期中数学试卷本试卷包括三道大题，共24小题，共4页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分）1. 一元二次方程的较小的根是（ ）A. B. C.或 D.或【答案】A【详解】解：∵，∴，∴．∴较小的根是．故选：A ．2. 一元二次方程根的判别式的值为（ ）A. B. 14C. 13D. 【答案】C【详解】解：∵，，故选：C ．3. 下列式子中运算正确的是（ ）()()320x x +-=3x =-2x =3x =-2x =3x =2x =-()()320x x +-=3020x x +=-=，1232x x =-=，3-230x x +-=11-1,1,3a b c ===-2141(3)13∴∆=-⨯⨯-=A. B. CD.【答案】B【详解】解：A，原选项运算错误，不符合题意；B 、，原选项运算正确，符合题意；C，不能合并，原选项运算错误，不符合题意；D，原选项运算错误，不符合题意；故选B ．4. 计算的结果为（ ）A.B.C.D. 3【答案】D【详解】，，故选：D ．5. 将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为（ ）A. B.C. D. 【答案】A【详解】解：将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为．故选：A．6. 如图，和是以点O 为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）.3=±25==6=-3=25=6=2tan 60︒13tan 60︒=∴22tan 603︒==22y x =+21y x =+23y x =+2(1)2y x =-+2(1)2y x =++22y x =+21y x =+ABC V DEF :2:3OA AD =ABC V DEFA. 12B. 18C. 20D. 50【答案】C【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，，，，，，，故选：C ．7. 如图，在4×4正方形网格中，点A 、B 、C 为网格交点，AD ⊥BC ，垂足为D ，则sin ∠BAD 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D【详解】解：如图，连接ACABC V DEF O ∴OAC OFD ∽CA OAFD OD∴= :2:3OA AD =2352CA OA OA OA FD OD OA AD OA OA ∴====++∴25ABC DEF C CA C FD == 8ABC C = 20DEF C ∴= 12344535在Rt △BEC 中，BC∵AD ⊥BC ，∴×BC ×AD =8，即， 解得 ，在Rt △ADB 中，，故选：D ．8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ）A. B. C.D.【答案】D5==，121582AD ⨯⨯=165AD =125BD ==1235sin 45BD BAD AB ∴∠===()20y axbx c a =++≠1x =-(1,0)0abc >2b a =-420a b c ++<930a b c -+=【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴，，，二次函数对称轴为直线，，，，故A 、B 结论错误，不符合题意；当时，，，故C 结论错误，不符合题意；二次函数经过点，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点坐标为，当时，，故D 结论正确，符合题意故选D ．二、填空题（每小题3分，共18分）9.__________．故答案．10. 抛物线与轴的交点坐标为__________．【答案】【详解】解：当时，，∴抛物线与轴的交点坐标为．故答案为：11. 如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m ．为 y 0a ∴>0c < 1x =-∴12b a-=-20b a ∴=><0abc ∴ 2x =0y >420a b c ∴++> (1,0)1x =-∴x (3,0)- 3x =-930a b c -+===226y x =-+y ()0,60x =6y =226y x =-+y ()0,6()0,6AB CD PQ 1.2m CP =CP EP 0.4m BC 1.5m AB【答案】【详解】解：由题意得：，，∴，由题意得：，∴，∴，∴，∴，解得：，∴路灯的高度是,故答案为：．12. 如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________．【答案】【详解】∵点在的垂直平分线上，∴，∵，点是的中点，∴故答案为：13. 现要在一个长为35m ，宽为22m 的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种4.5AB CD ⊥CP PQ ⊥90ABC CPE ∠=∠=︒CD PQ ACB CEP ∠=∠ACB CEP ∽AB CB CP EP=1.51.20.4AB = 4.5AB =AB 4.5m 4.5ABC V 90ABC ∠=︒D BC E AD BE D AC 6DC =BE 3D AC 6AD CD ==90ABC ∠=︒E AD 132BE AD ==．3．植花草的面积为625m²，设小道的宽为x m ，则根据题意，可列方程为________．【答案】【详解】解：设小道的宽为x m ，则种植花草的部分可合成长（35-2x ）m ，宽（22-x ）m 的矩形，依题意得：，故答案为．14. 如图，在中，，，是边上的高，点在边上，连结，交于点，过点作于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③若是的中点，在不添加辅助线和其它字母的前提下，与相似的三角形共有6个；④若，则．上述结论中，正确结论的序号是__________．【答案】【详解】∵，∴，所以①正确；取的中点O ，连接，在和中，∴，可得点D ，F 在以为直径的圆上，()()35-222625x x -=()()35-222625x x -=()()35-222625x x -=ABC V 90ACB ∠=︒AC BC =CD AB E BC AE CD G C CF AE ⊥F DF AGD CGF ∽45AFD ∠=︒F EG CEF △1tan 2GAD ∠=2BE CE =①②④90CFG ADG AGD CGF ∠=∠=︒∠=∠，ADG CFG ∽AC ,DO FO Rt ACF △Rt ACD △12DO FO AC ==AC∵，是高线，∴，所以②正确；∵点F 是的中点，，∴是的垂直平分线，∴，∴．∵，∴；∵，∴．∵，∴，；∵，∴．∵，∴．所以与相似的三角形有4个，所以③不正确；在中，，令，∵，∴根据勾股定理，得由上述可知，令，90ACB AC BC ∠=︒=，CD 1452AFD ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒=∠EG CF AE ⊥CF EG CE CG =22.5GCF ECF ∠=∠=︒90CFE CFG ∠=∠=︒CEF CGF ∽90CEF ECF CAE CEA ∠+∠=︒=∠+∠CAE ECF ∠=∠90ACE CFE AFC ∠=∠=︒=∠ACE CFE △∽△AFC CFE ∽90DAG AGD CGF FCG ∠+∠=∠+∠=︒DAG FCG ECF ∠=∠=∠90CFE ADG ∠=∠=︒ADG CFE ∽CEF △Rt ADG 1tan 2GAD ∠=24DG AD ==，4AD CD BD ===2CG =AG ==1tan tan 2FG GAD FCG CF ∠=∠==,2FG a CF a ==根据勾股定理，得，即，解得，∴∴，∴．∵，∴，∴，即，根据勾股定理求出，∴，∴．所以④正确．故答案为：三、解答题（本大题10小题，共78分）15.【详解】解：原式．16. 解方程x 2﹣4x +1=0．【详解】解：移项得，x 2﹣4x=﹣1，222CG FG CF=+224(2)a a =+a =FG CF ==AF AG FG =+==1tan 3CF CAF AF ∠===90ECF ACFACF CAF ∠+∠=︒=∠+∠ECF CAF ∠=∠1tan tan 3EF CAF ECF CF ∠=∠==EF =CE ==BC ==BE =2BE CE =①②④-=-+=配方得，x 2﹣4x +4=﹣1+4，∴（x ﹣2）2=3，∴x ﹣2=±，∴x 1，x 217. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率．【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x ，根据题意得：，解得：（舍去），答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为．18. 如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到）（参考数据：，，）【详解】解：过点A 作，由题意得：四边形是矩形，，()24001576x +=120.220%, 2.2x x ===-20%AB CD AB MN ⊥B CD MN ⊥D BD 40m AB 20m A C α25︒CD 1m sin250.42︒≈cos250.91︒≈tan250.47︒≈AE CD ⊥ABDE 20m,40m AB DE AE BD ∴====，在中，，，答：乙建筑物的高为．19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且．（2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且．（3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，即为所求；25,90CAE AEC ∠=︒∠=︒Q Rt AEC ()tan 2518.8m CE AE =⋅︒≈2018.838.8m 39m CD DE CE ≈∴=+=+=CD 39m 44⨯ABC V AB AC D E DE ADE ABC △△∽12AD AB =AB BC F G FG BFG BAC △∽△34BF AB =BMN M N AB BC BMN BAC 13ADE V BFG【小问3详解】解：如图，即为所求；20. 如图，在中，，为边上的中线，于点．（1）求证：．（2）若，，求线段的长．【小问1详解】证明：∵，为边上的中线，∴，∵，∴，∵，∵，∴；【小问2详解】BMN ABC V AB AC =AD BC DE AB ⊥E BDE CAD ∽△△13AC =10BC =BE AB AC =AD BC AD BC ⊥DE AB ⊥90BED ADC ∠=∠=︒AB AC =B C ∠=∠BDE CAD ∽△△解： ∵为边上的中线，，∵，∵，，∴，即，∴．21. 如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）求与之间的函数关系式．（3）当时，直接写出的值．【小问1详解】解：∵抛物线的图象与轴交于，与轴交于点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】AD BC 10BC =152BD CD BC ===BDE CAD ∽△△13AC =BE BD CD AC=5513BE =2513BE =2y x bx c =-++x ()3,0A -B A B y (0,3)C AC P AC P PE x ⊥E AC D PD h P m h m 12h AB =m 2y x bx c =-++x ()30A -,y (0,3)C 0933b c c =--+⎧⎨=⎩23b c =-⎧⎨=⎩223y x x =--+解：∵，，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵点的横坐标为，∴，，∴；【小问3详解】解：令，则，解得或，∴，∴，∵，∴，整理得，解得（舍去正值），∴．22. 如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D 放在AB 边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E 、F ，且使始终与垂直．()30A -,(0,3)C AC 3y kx =+033k =-+1k =AC 3y x =+P m ()2,23P m mm --+(),3D m m +()222333m h m m m m --+-+--==0y =2x 2x 30--+=3x =-1x =()10B ,()134AB =--=12h AB =232m m --=2320m m +-=m =m Rt ABC △90ACB ∠=︒30A ∠=︒2BC =30︒30︒ABC V AC BC 、DE AB【感知】如图①，若点F 与点C 重合，则的长为__________；【探究】如图②，若移动点D ，使，求的长；【拓展】如图③，延长交直角三角板的最短边所在的直线于点G ，连接，若，则的最小值为__________．【详解】感知：∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形；在中，，∴，，∴，∵，∴设，则，∴ ，解得：，∴探究：∵，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∵DE EF AB ∥AD BC EG 2BC CG =12EG AE +30ED AB EDF ⊥∠=︒，60FDB ∠=︒3090A ACB =︒=︒∠，∠=60B ∠︒BDF V Rt ABC △302A BC ∠=︒=，24AB BC ==2BD BC ==2AD AB BD =-=30DE AB A ⊥∠=︒，DE x =2AE x =()22222x x +=x =DE =EF AB ∥3090CEFA FED EDA ∠=∠=︒∠=∠=︒，11,22CF EF EF DF ==BDF V DF BF BD ==24BF DF EF CF ===52BC BF CFCF =+==∴，，，∴．拓展：∵，．∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴当且仅当三点共线时，取得最小值，即为的长，此时，∵，∴∴，即23. 如图，在中，，，．点在边上，过点作交折线于点．点为上一点，且，以为边向其右侧作正方形．（1）当点与点重合时，的长为__________．25CF =85BF BD ==24AB BC ==812455AD AB BD =-=-=2BC CG =2BC =112CG BC ==3BG BC CG =+=ED AB ⊥，30A ∠=︒，12ED AE =12EG AE EG ED +=+EG ED DG +≥C E G 、、EG ED +DG 9030BGD B ∠=︒-∠=︒DG AB ⊥1322BD BC ==DG ===12EG AE +Rt ABC △90C ∠=︒3AC =4BC =P AB P PQ AB ⊥AC CB -Q D PQ 34DQ PQ =DQ DEFQ Q C AP（2）当点在边上时，求正方形边长．（3）当点是直角边的中点时，求的长．（4）设正边形的边与边的交点为，当点将边分成两部分时，直接写出长的取值范围．【小问1详解】解：∵，，∴，如下图，当点与点重合时，∵，∴，即，解得，∴在中，可有．故答案为：；【小问2详解】如下图，过点作于点，交于点，由（1）可知，，∵四边形为正方形，F BC DEFQ Q ABC V AP DEFQ EF BCG G EF 13:AP 90C ∠=︒3AC =4BC =AB 5===Q C PQ AB ⊥1122ABC S AB PQ AC BC =⋅=⋅ 1153422PQ ⨯⨯=⨯⨯125PQ =Rt APQ △95AP ===95C CH AB ⊥H QF G 125CH =DEFQ∴，，设，则，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得，∴，即正方形边长为；【小问3详解】当点是直角边的中点时，如下图，则，∵，∴；当点是直角边的中点时，如下图，DQ QF EF DE ===90DQF QDE ∠=∠=︒PQ x =34DQ QF x ==90PQG QPH PHG ∠=∠=∠=︒PHGQ GH PQ x ==125CG CH GH x =-=-PQ AB ⊥PQ QF ⊥QF AB ∥CQF CAB ∽QF CG AB CH =123541255x x -=3017x =3304541734DQ =⨯=DEFQ 4534Q AC 1322AQ AC ==3cos 5AP AC A AQ AB ===333955210AP AQ ==⨯=Q BC则，∵，∴，∴．综上所述，的长为或；【小问4详解】当点在上时，如下图，延长交于点，设与交于点，设，则，此时，∵，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，122BQ BC ==4cos 5BP BC B BQ AB ===4482555BP BQ ==⨯=817555AP AB BP =-=-=AP 910175Q AC FE AB K QF BC M PQ x =34DQ QF EF x ===MF QF <90DQF QPK QFE ∠=∠=∠=︒PKFQ FK PQ x ==34PK QF x ==4tan tan 3PQ BC A A AP AC ∠==∠==34AP x =QF AB ∥B GMF ∠=∠3tan tan 4GF AC GMF B MF BC ∠==∠==∴，∴，即，故此时可有，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴；当点在上时，如下图，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即当点在上时，点将边分成两部分，此时．综上所述，长的取值范围为或．24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线34GF MF =34GF QF <34GF EF <:1:3FG EG =13416FG EF x ==1316GK FK GF x =-=3tan tan 4GK AC B B BK BC ∠==∠==1312BK x =5AB AP PK BK =++=331354412x x x ++=6031x =5607543131AP =⨯=Q BC QF AB ∥B GQF ∠=∠3tan tan 4GF AC GQF B QF BC ∠==∠==3344GF QF EF ==14EG EF GF EF =-=:1:3EG FG =Q BC G EF 13:955AP ≤<AP 7531AP =955AP ≤<O 2y x bx c =++()0,2A -1x =P 2m AP AP B B y交此抛物线于点，连接、．（1）求此抛物线对应的函数解析式．（2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围．（3）当点的纵坐标为1时，求点的坐标．（4）当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差．【小问1详解】解：由题意得：，解得：，∴该抛物线对应的函数关系式为；【小问2详解】解：∵点的横坐标为为的中点，∴点的横坐标为，∵过点作轴的平行线交此抛物线于点，∴点的横坐标为，∴点、点都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大；【小问3详解】Q AQ PQ P Q P Q y x m P Q APQ △x A Q A Q 212c b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩22b c =-⎧⎨=-⎩222y x x -=-P 2,m B AP B 022m m +=B y Q Q m P Q 1m ≥P Q P Q y x解：当点的纵坐标为1时，∵点的横坐标为为的中点，点的横坐标为，∴，解得：或，当时，，∴，当时，，∴，综上，或．【小问4详解】解：根据题意可得抛物线的函数关系式为，故顶点坐标为，①当轴时，点关于对称轴直线对称，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是两点，纵坐标是，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是顶点，纵坐标是，故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；②当轴时，点关于对称轴直线对称，∴点的坐标为，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是，故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；P P 2,m B AP Q m ()()212222m m =-⨯-12m =-32m =12x m ==-211322224y ⎛⎫⎛⎫=--⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32x m ==2331122224y ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭311,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭13,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭311,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭222y x x -=-()1,3-AQ x ∥,A Q 1x =A Q A Q ,A Q 2-A Q A Q 3-A Q A Q ()231---=AP x ∥,A P 1x =Q (1,3)-A Q A Q A 2-A Q A Q Q 3-A Q A Q ()231---=③当轴时，点关于对称轴直线对称，点的坐标为，点的坐标为，∴，解得：或0（舍去），∴点的坐标为，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是，故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；综上，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为1或．PQ x ∥,Q P 1x =P ()22,442m m m --Q ()2,22m m m --2244222m m m m --=--23m =Q 226,39⎛⎫-⎪⎝⎭A Q A Q A 2-A Q A Q Q 269-A Q A Q 268299⎛⎫---= ⎪⎝⎭A Q A Q 89。
辽宁省鞍山市铁西区2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试题(含答案)
九年级数学学情调查（十一月）2024（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知关于x 的一元二次方程的一个根是，则m 的值为（ ）A .1B .－2C .－1D .32.在平行四边形ABCD 中，AB ，BC 的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线AC 长的取值范图是（ ）A .AC ＞1B .1＜AC ＜5C .5＜AC ＜19D .AC ＞5或＜93.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.将抛物线平移得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）A .先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B .先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C .先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D .先向右平移1个单位，再向上平移2个单位5.观察表格，估算一元二次方程的近似解：1.4 1.5 1.6 1.7 1.8－0.44－0.25－0.040.190.44由此可确定一元二次方程的一个近似解x 的范围是（ ）A .B .C .D .6.随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）2520x x m +-=1x =27120x x -+=2y ax bx c =++1x =-(,2)M c a b -()24,N b ac a b c --+23y x =-23(1)2y x =---210x x --=x21x x --210x x --=1.4 1.5x << 1.5 1.6x << 1.6 1.7x << 1.7 1.8x <<A .B .C .D .7.如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点D 恰好落在BC 的延长线上，则旋转角的度数为（ ）A .100°B .90°C .80°D .70°8.如图，正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE ，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EF ．连接DF 、BF ，若∠DFE ＝，则∠CBF 一定等于（ ）A .B .C .D.9.如图，△ABC 和△CDE 两个全等的直角三角形，∠B ＝∠CDE ＝90°，连结AD 交CE 于点F ．若，则的值为（ ）A .B .C .D .10.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，延长CD 到点E ，连接BE 交AD 于点G ，点F 为BE 的中点，连接CE ，以点C 为圆心，CF 长为半径的圆弧经过点G ，连接CG ，若BE ＝10，则DG 的长为（ ）α45α- α903a - 12α12AB BC =DF AF13122523A .4B .5C .6D .3第二部分 非选择题二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共15分）11.若a 是一元二次方程的一个根，则的值是 ．12.2023年德尔塔（Delta ）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有169人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒．13.下列命题：①若时，一元二次方程一定有实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③若二次函数，当取时，函数值相等，则当x 取时函数值为0；④若，则二次函数图象与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是 （填序号）14.如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点D 从B 点开始沿BC 向B 点以1cm /s 的速度移动，点E 从C 点开始沿 CA 边向A 点以2cm /s 速度移动，如果D 、E 分别从B 、A 同时出发，那么 秒后，线段DE 将△ABC 分成面积1：2的两部分．15.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝4，将BC 绕点C 顺时针旋转120°得到CD ，则线段AD 的长度是．250x x +-=23310a a +-b a c =+20ax bx c ++=20ax bx c ++=20cx bx a ++=2y ax c =+()1212,x x x x ≠12x x +240b ac ->2y ax bx c =++三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16.（10分）解下列方程：（1）；（2）．17.（8分）如图所示，某市公园有一块长方形绿地长20，宽16，在绿地中开辟三条等宽的道路后，剩余绿地的面积为224，求道路的宽x 是多少米？18.（8分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，∠DAB 的平分线交CD 于E ．F 为BC 的中点，连结AE ，AF ，分别交BD 于点G ， H ．连结EF ．（1）求证：BD ＝2EF ；（2）当EF ＝6时，求GH 的长．19.（8分）“弗里热”（Phryge ）是2024年巴黎奥运会和残奥会吉祥物，是法国传统的弗里古亚帽的拟人化形象，在《蓝精灵》动画片中，蓝精灵戴的便是弗里吉亚帽．吉祥物“弗里热”小钥匙扣广受欢迎，成为热销商品，某商家以每套40元的价格购进一批“弗里热”小钥匙扣．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出200套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．（1）设“弗里热”小钥匙扣每套的售价定为x 元，求该商品销售量y 与x之间的函数关系式．22125x x -+=257311x x x ++=+m m 2m（2）每天销售所获的利润W 能否恰好达到3000元？请说明理由．20.（8分）如图，鞍钢博物馆广场边，有两个高炉模型，小明同学用自制的直角三角形纸板ADE 量高炉的高度BF ．他调整自己的位置，设法使斜边AE 持水平，AE 的延长线交BF 于C ，并且边AD 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边AD ＝40cm ．DE ＝20cm ．测得边AE 离地面的高度AG ＝1.5，CD ＝20．求高炉的高BF ．21.（8分）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5．（1）写出滚动的距离s （单位：）关于滚动的时间t （单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均速度×时间t ，，其中，是开始时的速度，是t 秒时的速度．）（2）如果斜面的长是3，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？22.（12分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，把边CB绕点C 旋转到CF ．（1）若AB ＝．BC ．当点F 落在BC 的垂直平分线上时，请直接写出以A 、B 、C 、F 为顶点的四边形的面积 ．（2）如图1，连接AF ，当点F 在AC 的垂直平分线上时，若BC ＝2AB ＝4，求F 到AC 的距离；（3）如图2，连接FB 交AC 于点D ，当AC ⊥BF 时，BC 的垂直平分线分别交BC 、AC 、CF 于E 、H 、M ，交BF 的延长线于G ．判断：BE 、GM 、MC 三条线段的关系，并给予证明．m m m m s v 02t v v v +=0v t v m图1 图223.（13分）已知y 关于x 的一次函数．当时，我们称一次函数为“原函数”，一次函数“原函数”的“相关函数”，“原函数”的图象记为直线，它的“相关函数”的图象记为直线．例如：“原函数”的“相关函数”为．（1）直接写出“相关函数”的“原函数”表达式；（2）请说明：直线，直线与x 轴的交点是同一个点；（3）若“原函数”的表达式为，点A 在直线上，点B 在直线上，轴，AB ＝2，求点A 的坐标；（4）“原函数”的表达式为．①点在直线上，点在直线上，若，求t 的取值范围；②若直线，直线与y 轴围成的图形面积为12，点E 在直线上，过E 作轴交直线于点F ，过E 作轴交直线于点H ，过F 作轴交直线于点G ，连接GH ．设点E 的横坐标为，四边形 EFGH 的周长为C ．直接写出C 关于a的函数表达式．y kx b =+0,0k b >>y kx b =+y kx b =--1l 2l 2y x =+2y x =--213y x =--1l 2l 112y x =+1l 2l AB y ∥2y mx m =+(),C C t y 1l ()2,D D t y -2l 0D C y y <<1l 2l 1l EF y ∥2l EH x ∥2l FG x ∥1l (0)a a >九年级数学质量测试（十一月）2024答案及评分标准说明：1.此答案仅供参考，阅卷之前请做答案．2.如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．3.为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．4.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、单项选择题（每题只有一个选项正确．每小题3分，共30分）1.D2.C3.C4.C5.C6.B7.A8.B9.C 10.D二、填空题（每小题3分，共15分）11.512.12 2197 13.①③ 14.2或4 15.三、解答题（8道题共75分）16.（10分）解：（1）．．…………………………5分（2）．整理，得．．．…………………………5分17.（8分）解：依题意可列…………………………3分……………………………………5分（含）………………………………7分答：道路的宽是2米．…………………………8分18.（8分）（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝2AD，22125x x -+=2(1)25x -=15x -=±126,4x x ==-257311x x x ++=+224x x +=2215x x ++=2(1)5x +=1x +=121,1x x =-=-(202)(16)224x x --=226480x x -+=12224,x x ==∴CD //AB ，AB ＝CD ＝2AD ，AD ＝BC ，∴∠DEA ＝∠BAE∵AE 平分∠DAB∴∠DAE ＝∠BAE ，∴∠DEA ＝∠DAE ，∴DE ＝AD∵CD ＝2AD∴CD ＝2DE ．∴DE ＝CE∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，∴BD ＝2EF ；…………………………………4分（2）解：由（1）知，BD ＝2EF ，∵EF ＝6∴BD ＝12∵AB ＝CD ＝2AD ＝2DE ，AD ＝BC ，F 为BC 的中点，∴．在矩形ABCD 中，CD //AB ，AD //BC ，∴△DEG ∽△BAG ，△FBH ∽△ADH ，，．∴DG ＝4，BH ＝4∴GH ＝BD －DG －BH ＝4……………………………………………………8分19.（8分）解：（1）根据题意：．∴y 与x 之间的函数关系式：；…………………………4分（2）根据题意得：．整理得：．∵．∴方程有两个不相等的实数根，∴每天销售所获的利润W 能达到3000元．………………………………8元20.（8分）…………………………………………8分21.（8分）解：（1）由已知得11,22DE BP AB AD ==11,22DE DG BH BF AB BG DH AD ∴====11,122122DG BH DG BH ∴==--50200423002x y x -=-⨯=-+2300y x =-+(40)(2300)3000x x --+=219075000x x -+=2Δ(190)41750061000=--⨯⨯=>11.5m 00 1.5 1.5t v v at t t=+=+=，即………………………………4分（2）把代入中，得（舍去）即钢球从斜面顶端滚到底端用．答：钢球从斜面顶端滚到底端用．……………………………………8分22.（12分）解：（12分解：（2）如图1，过点F作FG⊥AC于G，∵FA＝FC，∴CG＝AG＝AC∵∠ABC＝90°，∴∴．∵CF＝BC＝4.．∴点F到AC；……………………6分（2）BE＋GM＝MC…………………………7分证明：如图2，延长EG至K．使KG＝AB．连接AK．∵AB⊥BC，EG⊥CB．∴EG∥AB，∴四边形ABKG是平行四边形，∴AK＝BC，∠AKG＝∠ABD．∵FC＝CB∴∠FCD＝∠ACB∵∠ABC＝∠BGE＝90°．∴∠BAC＋∠ACB＝90°．∵∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠EBG＝90°，∴∠BAC＝∠EBG．∵AB＝BE∴△ABC≌△BEG（ASA）∴AC＝BG．1.5t3t224tv vv+∴===233244tv v ts vt t t t+∴==⋅=⋅=234s t=3s=234s t=2t=2t=-2s2s12AC===CG=FG∴===∴AK ＝AC ．∴∠AKC ＝∠ACK同理可得，∠ABD ＝∠ACB∴∠ABD ＝∠FCD∴∠AKG ＝∠FCD ．∴∠AKC －∠AKG ＝∠ACK －∠FCD ．∴∠MKC ＝∠MCK ．∴CM ＝KM ＝CK ＋GM ＝BE ＋GM …………………………………12分图1 图223.解：（1）；……………………………………1分（2）在“原函数”中，令．则．∴直线与x 轴交点为在它的“相关函数”，令，则∴直线与x 轴交点为∴直线，直线与x 轴的交点为同一个点；…………………………4分（3）∵“原函数”的表达式为∴它的“相关函数”表达式为．令∴．∴直线与直线的交点为∵点A 在直线上．213y x =+y kx b =+0kx b +=b x k =-1l ,0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭y kx b =--0kx b --=bx k =-2l ,0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭1l 2l 112y x =+112y x =--111122x x +=--2x =-1l 2l (2,0)-1l∴设，如图1，当时，点A 在点B 上方∵AB ∥y 轴．∴∴点，，当时，点A 在点B 的下方，A （－4，－1）综上所述，点A 的坐标为A （0，1）或A （－4，－1）；………………………………8分（4）①∵“原函数”为．∴它的“相关函数“为．令．．∴直线与直线交点为（－2，0）；如图2，∵点C 在直线上，点D 在直线，且．，且，，．，∴t 的取值范围为．……………………11分1,12A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2a >-A B x x a==1,12B a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1111222a a ∴+++=0a ∴=(0,1),A ∴2a <-2y mx m =+2y mx m =--20mx m +=2x ∴=-1l 2l 1l 2l 0D C y y <<222t t -<-⎧∴⎨>-⎩20t ∴-<<2,(2)2c D y mt m y m t m =+=--- D Cy y <(2)22m t m mt m ∴---<+22mt m ∴>-20m > 1t ∴>-10t -<<②如图3，直线与直线交点为Q （－2，0），∴OQ ＝2，OM ＝ON ＝2m ，∴MN ＝4m ，，∴m ＝3，∴“原函数“表达式为．它的“相关函数”表达式为，轴交于点F ，，∵EH ∥x 轴，，，，．．∵FG ∥x 轴，，．1l 2l 1122MN OQ ∴⋅=142122m ∴⨯⨯=36y x =+36y x =--(,36)E a a ∴+EF y ∥2l (,36),F a a ∴--36(36)612EF a a a ∴=+---=+36E H y y a ∴==+3636a x ∴+=--4x a ∴=--(4,36)H a a ∴--+(4)24EH a a a ∴=---=+36G F y y a ∴==--3636a x ∴--=+4x a ∴=--(4,36)G a a ∴----．又∵轴，轴，∴FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形，． (13)分(4)2 4.FG a a a∴=---=+2 4.FG EH a∴==+//FG x//EH x2()2(61224)1632 C EF FG a a a∴=+=+++=+。
人教版九年级下册数学期中测试卷试题附答案
九年级下册期中测试卷附答案一、选择题(每题3分，共30分)1．若反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点P (－2，3)，则该函数的图象不经过．．．的点是( ) A ．(3，－2)B ．(1，－6)C ．(－1，6)D ．(－1，－6)2．如图，点B 在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上，过点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为A ，C ，则矩形OABC 的面积为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4(第2题) (第5题) (第6题) (第8题) 3．【教材P 34练习T 3变式】要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形框架的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边长为( ) A ．3 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm4．关于反比例函数y ＝2x ，下列说法正确的是( )A ．图象经过点(1，1)B ．图象的两个分支位于第二、四象限C ．图象的两个分支关于x 轴成轴对称D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小5．【教材P 48探究变式】如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为位似中心，将△OAB 缩小到原来的12，得到△OA ′B ′.若点A 的坐标是(－2，4)，则点A ′的坐标是( ) A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(－2，1)6．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在CD 上，AE ，BD 相交于点F ，若DEEC ＝23，且DF ＝4，则BD 的长为( )A．10 B．12 C．14 D．167．【教材P9习题T8改编】在同一直角坐标系中，函数y＝kx和y＝kx－3的图象大致是()8．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(4，2)，C(4，4)．若反比例函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是()A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16 9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB是()A．5 m B．5.5 m C．6 m D．6.5 m(第9题)(第10题)10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为()二、填空题(每题3分，共24分)11．已知y与x＋3成反比例，当x＝2时，y＝3，则y与x的函数关系式为____________．12．【教材P7例4改编】如图所示是反比例函数y＝m－2x的图象的一支，则常数m的取值范围是________．(第12题)(第13题)(第14题)(第15题) 13．如图，B(3，－3)，C(5，0)，以OC，CB为边作▱OABC，则经过点A的反比例函数图象的解析式为__________．14．如图，火焰AC通过纸板EF上的一个小孔O照射到屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝20 cm，则火焰AC的长为__________．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE 的面积为________．16．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，DE交对角线AC于点F.若AB＝4，AD＝3，则CF＝________．(第16题)(第17题)(第18题)17．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1x的图象上．若点B在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为________．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB上任意一点，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.设DE＝x，y为△BDE与△ADF的面积和，则当x＝________时，y取最小值，最小值是________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A.(1)求证△BDC∽△ABC；(2)若BC＝4，AC＝8，求CD的长．20．如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．(1)求反比例函数的解析式；(2)在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝kx(k≠0)的值时，求自变量x的取值范围．21．一辆汽车匀速通过某段高速公路，所需时间t(单位：h)与行驶速度v(单位：km/h)满足函数关系式：t＝kv，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(80，2)，B(m，1)．(1)求k与m的值；(2)受天气影响，若行驶速度不得超过120 km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？22．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E . (1)求证：直线CD 是⊙O 的切线； (2)求证CD ·BE ＝AD ·DE .23．如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点A (1，m )，与x轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM .(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)直线y ＝n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△BMN 的面积最大？24．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过BC上的点D，与AB交于点E，E是AB的中点，连接DE.(1)求D点的坐标；(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求直线BF的解析式．答案一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7．B 8.C9．B 点拨：易证△DEF ∽△DCB ，则DE CD ＝EF BC .∵DE ＝40 cm ＝0.4 m ，CD ＝8 m ，EF ＝20 cm ＝0.2 m ， ∴0.48＝0.2BC ，解得BC ＝4 m. ∴AB ＝BC ＋AC ＝4＋1.5＝5.5(m)． 即树高AB 是5.5 m.10．D 点拨：∵DH 垂直平分AC ，AC ＝4，∴DA ＝DC ，AH ＝HC ＝2.∴∠DAC ＝∠DCH .∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠BAC . ∴∠DAH ＝∠BAC . 又∵∠DHA ＝∠B ＝90°， ∴△DAH ∽△CAB . ∴AD AC ＝AH AB . ∴y 4＝2x .∴y ＝8x .∵0＜AB ＜AC ，∴0<x ＜4. ∴图象是D.二、11.y ＝15x ＋3 12.m ＞2 13.y ＝6x14．6 cm 15.8 16.10317．－4 点拨：过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D .易得△ACO ∽△ODB ，故BD OC ＝OD AC ＝OBOA ＝2.设A 点坐标为(m ，n )， ∴BD ＝2m , OD ＝2n .∵点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上，∴mn ＝1.∵点B 在反比例函数y ＝kx 的图象上，且B 点的坐标是(－2n ，2m )， ∴k ＝－2n ·2m ＝－4mn ＝－4.18．3；12 点拨：根据条件可知，△BED ∽△BCA ，∴DE AC ＝BE BC ，即x 6＝BE8.∴BE ＝43x .∴EC ＝8－43x .∴y ＝12×6×8－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－43x x ＝43x 2－8x ＋24(0＜x ＜6)．整理，得y ＝43(x －3)2＋12. ∵43＞0，∴当x ＝3时，y 有最小值12.三、19.(1)证明：∠DBC ＝∠A ，∠BCD ＝∠ACB ，∴△BDC ∽△ABC . (2)解：∵△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝DC BC . ∵BC ＝4，AC ＝8， ∴CD ＝2.20．解：(1)∵一次函数y ＝－x ＋5的图象过点A (1，n )，∴n ＝－1＋5＝4. ∴点A 的坐标为(1，4)．∵反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象过点A (1，4)， ∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x . (2)联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝4x，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝1，即点B 的坐标为(4，1)．由题图可知，在第一象限内，当一次函数y ＝－x ＋5的值大于反比例函数y ＝kx (k ≠0)的值时，x 的取值范围为1＜x ＜4.21．解：(1)将点A (80，2)的坐标代入t ＝k v ，得2＝k80，解得k ＝160.∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝160v . 当t ＝1时，v ＝160， ∴m ＝160.(2)令v ＝120，得t ＝160120＝43.结合题中函数图象可知，汽车通过该路段最少需要43 h. 22．证明：(1)如图，连接OD .∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝∠BAD . ∵OA ＝OD ， ∴∠BAD ＝∠ADO . ∴∠CAD ＝∠ADO . ∴AC ∥OD .∵CD ⊥AC ，∴CD ⊥OD . ∴直线CD 是⊙O 的切线．(2)如图，连接BD .∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝∠ADB ＝∠BDE ＝90°. ∴∠EAB ＋∠E ＝∠DBE ＋∠E ＝90°. ∴∠EAB ＝∠DBE .又∵∠CAD ＝∠BAD ， ∴∠CAD ＝∠DBE . ∵CD ⊥AC ， ∴∠C ＝∠BDE ＝90°. ∴△ACD ∽△BDE . ∴CD DE ＝AD BE . ∴CD ·BE ＝AD ·DE .23．解：(1)∵直线y ＝2x ＋6经过点A (1，m )，∴m ＝2×1＋6＝8. ∴A (1，8)．∵反比例函数图象经过点A (1，8)， ∴8＝k1，即k ＝8.∴反比例函数的解析式为y ＝8x .(2)由题意知点M ，N 的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8n ，n ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －62，n .∵0<n <6，∴n －62＜0.∴S △BMN ＝12×(|n －62|＋|8n |)×n ＝12×(－n －62＋8n )×n ＝－14(n －3)2＋254. ∴当n ＝3时，△BMN 的面积最大． 24．解：(1)∵四边形OABC 是矩形，∴OA ＝BC ，AB ＝OC . ∵B (2，3)，E 为AB 的中点，∴AB ＝OC ＝3，OA ＝BC ＝2，AE ＝BE ＝12AB ＝32. ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. ∴k ＝2×32＝3.∴双曲线的解析式为y ＝3x .∵点D 在双曲线y ＝3x (x >0)上，∴OC ·CD ＝3.∴CD ＝1.∴点D 的坐标为(1，3)．(2)∵BC ＝2，CD ＝1，∴BD ＝1.分两种情况：①△FBC 和△DEB 相似，当BD 和BC 是对应边时，BD BE ＝BC CF ，即132＝2CF ，∴CF ＝3.∴F (0，0)，即F 与O 重合．此时设直线BF 的解析式为y ＝bx ，把点B (2，3)的坐标代入，得b ＝32，∴直线BF 的解析式为y ＝32x .②△FBC 和△DEB 相似，当BD 与CF 是对应边时，BD BE ＝CF BC ，即132＝CF 2，∴CF ＝43.∴OF ＝3－43＝53.∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53. 此时设直线BF 的解析式为y ＝ax ＋c ，把B (2，3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝3，c ＝53，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝53，∴直线BF 的解析式为y ＝23x ＋53.综上所述，若△FBC 和△DEB 相似，则直线BF 的解析式为y ＝32x 或y ＝23x ＋53.。
河南省新乡市河南师范大学附属中学联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(含答案)
2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知的半径为，圆心O 到直线l 的距离为，则直线l 与的位置关系是（ ）A ．相离 B ．相交C ．相切D ．无法判断3．一元二次方程经过配方变形为，则k 的值是（ ）A ．B ．C ．1D ．74．如图，A 、B 、C 为圆O 上的三点，，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象的顶点坐标为C ．与x 轴交于点和D ．当时，y 随着x 的增大而减小6．如图，是由绕点O 顺时针旋转后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如果关于x 的一元二次方程有实数根，则a 的取值范围是（）O e 5cm 4cm O e 2430x x -+=2(2)x k -=3-7-78AOB ∠=︒ACB ∠35︒36︒37︒39︒2(1)9y x =+-(1,9)-(2,0)-(4,0)1x <-ODC △OAB △40︒105AOC ∠=︒C ∠55︒45︒42︒40︒20x x a +-=A ．B ．C ．D ．8．如图，已知的半径为5，弦AB 的长为8，P 是AB 的延长线上一点，，则OP 等于（）A ． B ．C．D ．9．已知二次函数（m 为常数），当时，函数值y 的最小值为，则m 的值是（ ）A ．或B ．或C ．2或D ．2或10．如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为（ ）图1图2A ．2 B ．3 C D ．二、填空题（每小题3分，共15分）11．把抛物线先向右平移1个单位再向上平移1个单位，所得到抛物线的解析式为________________．12．某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x ，则可列方程为________________。
2024-2025学年上海市宝山区上学期九年级期中考试数学试卷含详解
2024学年第一学期九年级数学期中试卷（满分150分时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题,共25题．2．答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸,本试卷上答题一律无效．3．除第一,二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一．选择题：（本大题共6题,每小题4分,满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶2,那么它们的对应高之比是（）A.1∶2,B.1∶4,C.1∶6,D.1∶8．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）A.两个等边三角形B.两个矩形C.两个菱形D.两个等腰三角形3.如图,DE ∥AB ,如果CE ∶AE =1∶2,DE =3,那么AB 等于（）A.6,B.9,C.12,D.13．4.已知非零向量a ,b ,且有2a b =- ,下列说法中,不正确的是（）A.2a b=B.a b∥C.a与b 方向相反D.0a b += 5.如图,点D ,E 分别在ABC V 的两边BA ,CA 的延长线上,下列条件能判定ED BC ∥的是（）．A.AD DEAB BC= B.AD AEAC AB= C.AD AEAB AC= D.AD AB DE BC⋅=⋅6.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,点G 在线段AD 上,GE ∥BD ,且交AB 于点E ,GF ∥AC ,且交CD 于点F ,则下列结论一定正确的是（）A.AE CF AB CD =, B.AE DF EB FC=, C.=EG FGBD AC , D.=AE ADAG AB．二．填空题：（本大题共12小题,每小题4分,满分48分）7.如果tan a =α的度数是_______8.如果()230a b b =≠,那么ab=__________________．9.已知在Rt ABC 中,90C ∠=︒,1cot 3B =,2BC =,那么AC =_____________.10.已知线段2AB =,如果点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,那么AP 的值为_____．11.已知向量m 与单位向量e方向相反,且3a =,那么m =______（用向量e的式子表示）12.如图,已知AD ∥BE ∥CF ,它们依次交直线1l ,2l 于点A ,B ,C 和点D ,E ,F ．如果23=AB BC ,DF=15,那么线段DE 的长是__．13.如图,ABC V 的中线AD ,CE 交于点G ,点G 是ABC V 的重心,点F 在边AC 上,GF BC ∥,那么GF BC =∶______．14.如图,ABC V 是边长为3的等边三角形,,D E 分别是边,BC AC 上的点,60ADE ∠= ,如果1BD =,那么CE =_________15.矩形的一条对角线长为26,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513,那么该矩形的面积为___.16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,点E 是AD 的中点,联结OE ．如果3AB =,4AC =,那么cos AOE ∠=_________．17.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰,当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时,称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中,49AD BC AD BC ==∥，，,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,如果EF 是梯形ABCD 的“比例中线”,那么DFDC的值为__________．18.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,tanB=32,点D 是AB 的中点,如果把△BCD 沿直线CD 翻折,使得点B 落在同一平面内的B′处,联结A B′,那么A B′的长为_____．三．解答题：（本大题共7题,满分78分）19.计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒︒︒︒︒++-20.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AD 上,且2AE ED =,联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ,设,,BA a BC b ==．（1）用,a b 表示,,BE DF .（2）先化简,再求作：32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（不要求写作法,但要写明结论）21.如图,在ABC V 中,45B ∠=︒,AD 是边BC 上的中线,3sin 5DAB ∠=,32BD =求：（1）AB 的长.（2）CAB ∠的余切值．22.如图,在ABC V 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且3AD =,6AC =,4AE =,8AB =．（1）如果7BC =,求线段DE 的长.（2）设DEC 的面积为2,求BDC 的面积．23.如图,平行四边形ABCD 中,AFBC ⊥,垂足为点F ,点E 是边AB 中点,连接DE 交线段AF 于点G ,2AE EG ED =⋅,连接EF ．（1）求证：DE EF ⊥.（2）连接DF ,求证：22CD DF BF =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中,放置一个矩形OABC ,使矩形的一个顶点O 和坐标原点重合,点C 和点A 分别在第一和第四象限内,若点C 和点A 的纵坐标满足“C A y y m -=”,则称矩形OABC 具有“条件m ”．如图,矩形OABC 中,15OC =,10BC =．（1）当矩形OABC 具有“条件0”,求此时点C 坐标.（2）当矩形OABC 具有“条件1”,求此时OC 与x 轴正半轴所夹角的正弦值.（3）若矩形OABC 具有“条件m ”,当点B 在第一象限内,连接CB 并延长交x 轴正半轴于点F ,连接AC ,AF ,若OAC 与ABF △相似,直接写出此时m 的值．25.如图1,在ABC V 中,C ∠是锐角,AB AD =交边BC 于点D ,点F 是边AC 上一点,连接BF 且满足FBC C ∠=∠,BF 交边AD 于点E ．（1）如图2,当点E 是边AD 中点时,求证：AF BDFC BC=.（2）当:1:8FE BE =,且ABE 是直角三角形时,求此时ACB ∠的正切值.（3）记AEF △的面积为1S ,ABF △的面积为2S ,ABC V 的面积为3S ,若2S 是1S 和3S 的比例中项,求:BD DC 的值．2024学年第一学期九年级数学期中试卷一．选择题：（本大题共6题,每小题4分,满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶2,那么它们的对应高之比是（）A.1∶2,B.1∶4,C.1∶6,D.1∶8．【答案】A【分析】根据相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比作答即可．【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2.又∵相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比.∴它们的对应高之比是：1∶2.故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）A.两个等边三角形B.两个矩形C.两个菱形D.两个等腰三角形【答案】A【分析】本题考查的是相似图形的判断,掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可．【详解】解：A,两个等边三角形,三个角都是60︒∴它们是相似图形,符合题意.B,两个矩形四个角都是90︒,但对应边的比不一定相等∴它们不是相似图形,不符合题意.C,两个菱形角不一定相等∴它们不是相似图形,不符合题意.D,两个等腰三角形对应边的比不一定相等.∴它们不是相似图形.故选：A．3.如图,DE∥AB,如果CE∶AE=1∶2,DE=3,那么AB等于（）A.6,B.9,C.12,D.13．【答案】B【分析】根据比例的性质得CE ∶CA =1∶3,根据平行线分线段成比例定理的推论,即可求得答案.【详解】∵CE ∶AE =1∶2.∴CE ∶CA =1∶3.∵DE ∥AB .∴13DE CE AB CA ==∵DE =3.∴AB=3DE =9故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质,熟练运用“平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”是解题的关键.4.已知非零向量a ,b ,且有2a b =- ,下列说法中,不正确的是（）A.2a b =B.a b∥ C.a与b 方向相反D.0a b +=【答案】D【分析】本题考查了平面向量的性质,解题的关键是熟练掌握平面向量的性质根据平面向量的性质进行分析判断．【详解】解∶2a b =-.||2||a b ∴= ,a b ∥, 20a b +=.故A ,B ,C 正确,D 错误.故选∶D ．5.如图,点D ,E 分别在ABC V 的两边BA ,CA 的延长线上,下列条件能判定ED BC ∥的是（）．A.AD DE AB BC= B.AD AEAC AB= C.AD AEAB AC= D.AD AB DE BC⋅=⋅【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用,主要考查学生的推理和辨析能力,注意：有两组对应边的比相等,且这两边的夹角相等的两三角形相似．根据选项选出能推出ADE ABC △△∽,推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A,∵AD DEAB BC=,EAD BAC ∠=∠,不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理,无法判断ADE V 与ABC V 相似,即不能推出DE BC ∥,故本选项错误.B,AD AEAC AB=,EAD BAC ∠=∠.ADE ACB ∴ ∽.E B ∴∠=∠,D C ∠=∠.即不能推出DE BC ∥,故本选项错误.C,∵AD AEAB AC=,EAD BAC ∠=∠.DAE BAC ∴△∽△.D B ∴∠=∠.DE BC ∴∥,故本选项正确.D ,由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD=,不能推出DAE BAC △∽△,即不能推出D B ∠=∠,即不能推出两直线平行,故本选项错误.故选：C ．6.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,点G 在线段AD 上,GE ∥BD ,且交AB 于点E ,GF ∥AC ,且交CD 于点F ,则下列结论一定正确的是（）A.AE CFAB CD=, B.AE DFEB FC=, C.=EG FGBD AC, D.=AE ADAG AB．【答案】A【分析】抓住已知条件：GE ∥BD ,GF ∥AC ,利用平行线分线段成比例以及中间比代换,对各选项一一判断即可求解.【详解】∵GE ∥BD ,∴AE AGAB AD=∵GF ∥AC ,∴CF AGCD AD=∴AE CFAB CD=,A 选项正确.∵GE ∥BD ,∴AE AGEB GD =∵GF ∥AC ,∴AG CFGD FD=∴AE CFEB FD=,B 选项错误.∵GE ∥BD ,∴EG AGBD AD =∵GF ∥AC ,∴GF DGAC AD=∴EG GFBD AC≠,C 选项错误.∵GE ∥BD ,∴AE ABAG AD=,D 选项错误.故选：A【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,灵活运用中间比是解题的关键.二．填空题：（本大题共12小题,每小题4分,满分48分）7.如果tan a =α的度数是_______【答案】60︒##60度【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角α的度数．【详解】解：∵tan a =tan 60︒=∴锐角α的度数为60︒．故答案为：60︒．8.如果()230a b b =≠,那么ab=__________________．【答案】32【分析】本题考查比例的性质,根据比例的性质,求解即可．【详解】解：∵()230a b b =≠.∴32a b =．故答案为：32．9.已知在Rt ABC 中,90C ∠=︒,1cot 3B =,2BC =,那么AC =_____________.【答案】6【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵cotB=BCAC,∴AC=13BC BCcotB==3BC=6．故答案是：6．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用,解题关键在于掌握在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边,余切为邻边比对边．10.已知线段2AB =,如果点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,那么AP 的值为_____．1##1-+【分析】本题考查了黄金分割的定义,把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值,则这个比值即为黄金分割,根据黄金分割点的定义求解,即可解题．【详解】解： 点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,2AB =.BP AP AP AB∴=.即AB AP APAP AB -=.∴22AP AP AP -=.整理得1AP =-+1AP =--（不合题意,舍去）1AP ∴=-故答案为：1-+．11.已知向量m 与单位向量e方向相反,且3a =,那么m =______（用向量e的式子表示）【答案】-3e．【详解】试卷分析：由向量a 与单位向量e 方向相反,且|a|＝3,根据单位向量与相反向量的知识,即可求得答案．∵向量a 与单位向量e 方向相反,且|a |＝3.∴a =-3e ．故答案为-3e．考点：平面向量．12.如图,已知AD ∥BE ∥CF ,它们依次交直线1l ,2l 于点A ,B ,C 和点D ,E ,F ．如果23=AB BC ,DF=15,那么线段DE 的长是__．【答案】6【分析】由平行得比例,求出DE 的长即可．【详解】解：////AD BE FC .23AB DE BC EF ∴==.15DF = .2153DE DE ∴=-.解得：DE 6=.故答案为：6.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．13.如图,ABC V 的中线AD ,CE 交于点G ,点G 是ABC V 的重心,点F 在边AC 上,GF BC ∥,那么GF BC =∶______．【答案】13∶##13【分析】本题考查了三角形中线和重心的性质,相似三角形的判定和性质,由三角形中线性质可得2BC CD =,由重心的性质可得23AG AD =,再根据相似三角形的性质可得23GF AG DC AD ==,进而即可求解,掌握重心的性质是解题的关键．【详解】解：∵A 是ABC V 的中线.∴2BC CD =.∵点G 是ABC V 的重心.∴23AG AD =.∵GF BC ∥.∴AFG ACD △∽△.∴23GF AG DC AD ==.∴2613GF BC ==∶∶∶.故答案为：13∶．14.如图,ABC V 是边长为3的等边三角形,,D E 分别是边,BC AC 上的点,60ADE ∠= ,如果1BD =,那么CE =_________【答案】23【分析】由等边三角形的性质得出∠B ＝∠C ＝60°,证明△ABD ∽△DCE ,由相似三角形的性质得出AB BD DC CE=则可求出答案．【详解】解：∵ABC V 是边长为3的等边三角形.∴60,3B C AB BC AC ∠=∠=︒===.∴120BAD BDA ∠+∠=︒.∵60ADE ∠= .∴120BDA EDC ∠+∠=︒.∴BAD EDC ∠=∠.∴ABD DCE ∠ .∴AB BD DC CE=.∵1BD =.∴2CD BC BD =-=.∴31=2CE.∴23CE =.故答案为：23．【点睛】本题考查了等边三角形的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.矩形的一条对角线长为26,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513,那么该矩形的面积为___.【答案】240【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB ,由勾股定理求出AD ,即可得出矩形的面积．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形.∴∠BAD=90°,AC=BD=26.∵5sin 13AB ADB BD ∠==.∴5261013AB =⨯=.∴24AD ===.∴该矩形的面积为：2410240⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,三角函数,熟练掌握矩形的性质,由勾股定理求出AB 和AD 是解决问题的关键．16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,点E 是AD 的中点,联结OE ．如果3AB =,4AC =,那么cos AOE ∠=_________．【答案】23【分析】本题考查了求角的余弦根据O ,E 分别是AC ,A 的中点,知OE 是中位线得AOE ACD ∠=∠,连接BD ,根据菱形的性质知AC 与BD 垂直平分,根据余弦的定义,即可求解.【详解】解：在菱形ABCD 中,O 是AC 的中点.O ∴也是对角线的交点,且AC 与BD 垂直平分.O ,E 分别是AC ,A 的中点.∴ OE CD .∴AOE ACD∠=∠在Rt OCD △中,114222OC AC ==⨯=,3CD AB ==.∴2cos cos 3OC AOE ACD CD ∠∠===故答案为：2317.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰,当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时,称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中,49AD BC AD BC ==∥，，,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,如果EF 是梯形ABCD 的“比例中线”,那么DF DC的值为__________．【答案】25##0.4【分析】先根据EF 是AD BC 、的比例中项可求得EF ,再过点D 作AB 的平行线构造平行四边形,可求得MF NC 、的长度,然后再利用DMF DNC △∽△即可求得DF DC 的值．【详解】如图,过点D 作AB 的平行线,交EF BC 、于点M ,N ．∵,AB EF BC DN AB∥∥∥∴四边形AEMD ,四边形EBNM ,四边形ABND 均为平行四边形．∴4EM BN AD ===.∵EF 是梯形ABCD 的比例中项.∴496EF AD BC =×´=．∴2,945MF EF EM NC BC BN =-==-=-=由EF BC ∥得,,DMF DNC DFM DCN==∠∠∠∠∴DMF DNC△∽△∴25DF MF DC NC ==故答案为：25．【点睛】本题考查了比例中项,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解题的关键是作AB 的平行线构造平行四边形与相似三角形．18.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,tanB=32,点D 是AB 的中点,如果把△BCD 沿直线CD 翻折,使得点B 落在同一平面内的B′处,联结A B′,那么A B′的长为_____．255【详解】分析：如图,作AE ⊥BC 于E,DK ⊥BC 于K ,联结BB′交CD 于H ．只要证明∠AB′B=90°,求出AB,BB′,理由勾股定理即可解决问题.详解：如图,作AE ⊥BC 于E,DK ⊥BC 于K ,联结BB′交CD 于H ．∵AB=AC,AE ⊥BC.∴BE=EC=4.在Rt △ABE 中,∵tanB=3=2AE BE.∴2246+13∵DK ∥AE,BD=AD.∴BK=EK=2.∴DK=12AE=3.在Rt △CDK 中,223635+=.∵B,B′关于CD 对称.∴BB′⊥CD,BH=HB′∵S △BDC =12•BC•DK=12•CD•BH.∴BH=855.∴BB′=1655.∵BD=AD=DB′.∴∠AB′B=90°.∴22255AB BB -'=.故答案为:255点睛：本题考查翻折变换,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型．三．解答题：（本大题共7题,满分78分）19.计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒︒︒︒︒++-【答案】52+【分析】根据特殊角的三角函数值即可代入求解.【详解】解：原式22332331222+⨯⎛=+- ⎪⎝⎭⨯132=+-52=+【点睛】此题主要考查实数的运算,解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.20.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AD 上,且2AE ED =,联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ,设,,BA a BC b ==．（1）用,a b 表示,,BE DF .（2）先化简,再求作：32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（不要求写作法,但要写明结论）【答案】（1）23BE a b =+ ,12DF a = ;（2）原式12a b =- ,作图见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行,再根据向量,平行向量的概念,性质及向量的运算进行求解.（2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行,再根据向量的运算进行化简,根据化简结果的运算性质作图.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AB=CD,AB ∥CD,AD=BC,AD ∥BC ∴AB AE DF ED=.∵AE=2ED.∴DF=12AB,AE=23AD.∵,BA a BC b == .∴12DF a =,23AE b =.∴23BEAB AE a b += =+.（2）32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭3222a b a b = -++-.21a b = -;如图,平行四边形ABCD ,取AB 的中点,则12BM a =,CB b =-.∴1122CM CB BM b a a b =+=-+=-.∴12CM a b =-【点睛】本题考查向量的性质及运算,根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键.21.如图,在ABC V 中,45B ∠=︒,AD 是边BC 上的中线,3sin 5DAB ∠=,32BD =求：（1）AB 的长.（2）CAB ∠的余切值．【答案】（1）7（2）16【分析】本题考查的是解直角三角形的应用,勾股定理的应用.（1）过点D 作DE AB ⊥于点E ,先求解3BE DE ==,再求解5AD =,4AE=即可.（2）作CH AB ⊥,垂足为H ．求解62BC =,2262BH CH ===,可得761AH =-=,在Rt CHA △中,利用余切的定义求解即可．【小问1详解】解：过点D 作DE AB ⊥于点E .在Rt BDE △中,DE AB ⊥,BD =45B ∠=︒.232∴===BE DE .在Rt ADE 中,3sin 5DAB ∠=,3DE =.∴35DE AD =,则5AD =.4AE ∴==.437AB AE BE ∴=+=+=．【小问2详解】作CH AB ⊥,垂足为H ．AD 是BC 边上的中线,BD =BC ∴=45ABC ∠=︒ .62BH CH ∴===.761AH ∴=-=.即在Rt CHA △中,1cot 6AH CAB CH Ð==．22.如图,在ABC V 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且3AD =,6AC =,4AE =,8AB =．（1）如果7BC =,求线段DE 的长.（2）设DEC 的面积为2,求BDC 的面积．【答案】（1）72（2）10【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）通过证明ADE ACB ∽,即可得到答案.（2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案．【小问1详解】解：3162AD AC == ,4182AE AB ==.AE AD AB AC ∴=.且DAE BAC ∠=∠ .ADE ACB ∴ ∽.12AD DE AC BC ∴==.1177222DE BC ∴==⨯=.【小问2详解】解：4,6AE AC == .123EC AC ∴==.3326ACD DEC S S ∴==⨯= .3AD = .8AB =.553BD AD ∴==.5561033BDC ADC S S ∴==⨯= ．23.如图,平行四边形ABCD 中,AF BC ⊥,垂足为点F ,点E 是边AB 中点,连接DE 交线段AF 于点G ,2AE EG ED =⋅,连接EF ．（1）求证：DE EF ⊥.（2）连接DF ,求证：22CD DF BF =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EAF EFA ∠=∠,由题意推出AED GEA ∽,以及平行四边形的性质得到90ADE AGD ∠+∠=︒,证明90DEF ∠=︒,即可得到结论.（2）根据题意证明BAF FDE ∽,再根据相似三角形的性质得到对应线段成比例即可证明结论．【小问1详解】证明： AF BC ⊥,点E 是边AB 中点.12EF AB AE BE ∴===.EAF EFA ∴∠=∠.2AE EG ED =⋅.AE ED EG AE∴=.AED AEG∠=∠ AED GEA ∴ ∽.ADE EAF ∴∠=∠.平行四边形ABCD 中.AD BC ∴∥.180DAF AFC ∴∠+∠=︒.90DAF AFC ∴∠=∠=︒90ADE AGD ∴∠+∠=︒.EAF EFA ∠=∠ .ADE EAF ∠=∠ .ADE EFA ∴∠=∠.,ADE EFA AGD EGF ∠=∠∠=∠ .90EGF EFG ∴∠+∠=︒.90DEF ∴∠=︒.DE EF ∴⊥.【小问2详解】证明：由（1）得90DEF ∠=︒.AF BC⊥Q 90AFB ∴∠=︒DEF AFB ∴∠=∠.2AE EG ED =⋅且AE EF =.2EF EG ED ∴=⋅.EF ED EG EF∴=GEF FED∠=∠ GEF FED ∴ ∽.EFG EDF ∴∠=∠.BAF FDE ∴∠=∠.BAF FDE ∴ ∽.AB BF DF EF ∴=,即12BFDF AB AB =.22AB DF BF ∴=⋅.ABCD 是平行四边形.AB CD ∴=.22CD DF BF ∴=⋅.24.在平面直角坐标系xOy 中,放置一个矩形OABC ,使矩形的一个顶点O 和坐标原点重合,点C 和点A 分别在第一和第四象限内,若点C 和点A 的纵坐标满足“C A y y m -=”,则称矩形OABC 具有“条件m ”．如图,矩形OABC 中,15OC =,10BC =．（1）当矩形OABC 具有“条件0”,求此时点C 坐标.（2）当矩形OABC 具有“条件1”,求此时OC 与x 轴正半轴所夹角的正弦值.（3）若矩形OABC 具有“条件m ”,当点B 在第一象限内,连接CB 并延长交x 轴正半轴于点F ,连接AC ,AF ,若OAC 与ABF △相似,直接写出此时m 的值．【答案】（1）1313,1313⎛ ⎝⎭（2）35（3）6m =或20541【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴,过点C 作CD x ⊥轴,可证得△∽△AOE OCD ,得23AE OE OD CD ==,由题意可知0C A y y -=,即CD AE =,则23CD OD =,令3OD k =,2CD k =,由勾股定理即可求解.（2）由题意可得1CD AE -=,即1AE CD =-,则123AE CD OD OD -==,设CD a =,则332a OD -=,由勾股定理可得22233152a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得9a =（9913a =-舍去）,即9CD =,再根据正弦的定义即可求解.（3）由题意可知90AOC ABF ∠=∠=︒,分别两种情况：当OA OC BF AB =时,则,AOC FBA △∽△,当OA OC AB BF=时,则AOC BAF △∽△,分别求出sin CFO ∠即可求解．【小问1详解】解：过点A 作AE x ⊥轴,过点C 作CD x ⊥轴,则90ODC AEO ∠=∠=︒.在矩形OABC 中,15==OC AB ,10OA BC ==,=90AOC ∠︒.则90AOE COD ∠+∠=︒,而90∠∠+=︒COD OCD .∴AOE OCD ∠=∠.∴△∽△AOE OCD .∴OA AE OE OC OD CD ==,即：23AE OE OD CD ==.当矩形OABC 具有“条件0”时,即：0C A y y -=.∴C A y y =,即CD AE =.则23CD OD =,令3OD k =,2CD k =.由勾股定理可得：222OD CD OC +=,即：()()2223215k k +=.解得：13k =（负值舍去）.∴OD =,CD =.则此时点C 的坐标为,1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】当矩形OABC 具有“条件1”时,即：1C A y y -=.∴1CD AE -=,即1AE CD =-,则123AE CD OD OD -==.设CD a =,则332a OD -=.由勾股定理可得：222OD CD OC +=,即：22233152a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.解得：9a =（9913a =-舍去）,即9CD =.∴93sin 155CD COD OC ∠===.则此时OC 与x 轴正半轴所夹角COD ∠的正弦值为35.【小问3详解】由题意可知：90AOC ABF ∠=∠=︒.当OA OC BF AB =时,则,AOC FBA △∽△.此时101515BF =,则10BF BC ==.∴20CF =,则25OF =.∴153sin 255OC CFO OF ∠===,则3sin 20125CD CF CFO =⋅∠=⨯=.∵OA BC ∥.∴AOE CFO ∠=∠,则3sin sin 5AOE CFO ∠=∠=.∴3sin 1065AE OA AOE =⋅∠=⨯=.∴6C A m y y CD AE =-=-=.当OA OC AB BF=时,则AOC BAF △∽△.此时101515BF =,则22545102BF ==.∴652CF BC BF =+=,则52052OF =.∴sin 52052OC CFO OF ∠==,则656205sin 2205CD CF CFO =⋅∠=⨯.∵OA BC ∥.∴AOE CFO ∠=∠,则6205sin sin 205AOE CFO ∠=∠=.∴6205sin 10205AE OA AOE =⋅∠=⨯.∴6545102205205220541C A m y y =-=⨯-⨯=⨯=.综上,当OAC 与ABF △时,6m =或41．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质,解直角三角形,勾股定理,解一元二次方程,添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．25.如图1,在ABC V 中,C ∠是锐角,AB AD =交边BC 于点D ,点F 是边AC 上一点,连接BF 且满足FBC C ∠=∠,BF 交边AD 于点E ．（1）如图2,当点E 是边AD 中点时,求证：AF BD FC BC=.（2）当:1:8FE BE =,且ABE 是直角三角形时,求此时ACB ∠的正切值.（3）记AEF △的面积为1S ,ABF △的面积为2S ,ABC V 的面积为3S ,若2S 是1S 和3S 的比例中项,求:BD DC 的值．【答案】（1）见解析（2）ACB ∠的正切值为22或12（3）512-【分析】（1）过点D 作DG EF ∥,由平行线分线段成比例可得AE AF DE GF =,BD FG CD CG =,利用比例的性质可得FG BD FC BC=,结合题意得AE DE =,则AF GF =,进而可证明结论.（2）先证ABF EAF ∠=∠,BF CF =,即可证明ABF EAF △∽△,得BF AF AB AF EF AE ==,则2AF EF BF =⋅,由:1:8FE BE =,设FE a =,8BE a =,则9BF CF a ==,求得3AF a =,则12AC AF CF a =+=,3AB AE =,再分两种情况：当90AEB ∠=︒时,则90AEF ∠=︒,当90BAE ∠=︒时,分别解直角三角形求解即可.（3）由（2）可知ABF EAF △∽△,BF AF AB AF EF AE ==,BF CF =,可知221S BF S AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭,设BCF V 的面积为4S ,则42S CF BF S AF AF ==,由题意可知,3224412221S S S S S S S S S +===+,令BF t AF=,则21t t =+,21t t -=,求得t 的值,用1S 表示出,221S t S =,431S t S =,211ABE S S S tS =-=△,21ABD ABE S tS t S ==△,则331ADC ABD S S S t S =-=△△,结合ABD ADC S BD DC S =△△即可求解．【小问1详解】证明：过点D 作DG EF ∥.∴AE AF DE GF =,BD FG CD CG =.∴FG CG FG CG FC BD CD BD CD BC +===+∴FG BD FC BC=.∵点E 是AD 的中点.∴AE DE =.∴AF GF =.∴AF BD FC BC=.【小问2详解】解：∵AB AD =.∴ABD ADB ∠=∠,则ABF FBC EAF C ∠+∠=∠+∠.∵FBC C ∠=∠.∴ABF EAF ∠=∠,BF CF =.∵AFB EFA ∠=∠.∴ABF EAF △∽△.∴BF AF AB AF EF AE==,则2AF EF BF =⋅.由:1:8FE BE =,设FE a =,8BE a =,则9BF CF a ==.∴3AF a =,则12AC AF CF a =+=.∴33AB AF a AE EF a===,即：3AB AE =.当90AEB ∠=︒时,则90AEF ∠=︒.∵ABF EAF △∽△.∴90BAF AEF ∠=∠=︒.由勾股定理得：AB ===.∴622tan 122AB ACB AC a ∠===.当90BAE ∠=︒时,过点B 作BH 垂直于CA 的延长线于H .则90ABH BAH BAH EAF ∠+∠=∠+∠=︒.∴ABH EAF ABF α∠=∠=∠=.∵3AB AE =,8BE a =,222AE AB BE +=.∴AE =,AB =.则5sin 810AE BE a α===,5cos 810AB BE a α===.∴12sin 5AH AB a α=⋅=⨯,36cos 5BH AB a α=⋅=⨯.则12721255CH AC AH a a a =+=+=.∴3615tan 7225a BH ACB CH a ∠===.综上,当ABE 是直角三角形时,ACB ∠的正切值为22或12.【小问3详解】由（2）可知ABF EAF △∽△,BF AF AB AF EF AE==,BF CF =.∴221S BF S AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设BCF V 的面积为4S ,则42S CF BF S AF AF ==.由题意可知,3224412221S S S S S S S S S +===+.∴21BF BF AF AF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令BF t AF =,则21t t =+,21t t -=解得：512t +=（负值舍去）,即：BF AF AB t AF EF AE ===.∴223221S S BF t S S AF ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,AB t AE =,则221S t S =,431S t S =.∴()222111111ABE S S S t S S t S tS =-=-=-= .∵AB AD =.∴AD AB t AE AE ==,则ABD ABE S AD t S AE ==△△.∴21ABD ABE S tS t S ==△.则()42223311111ADC ABD S S S t S t S t S t t S =-=-=-= .∴21311512ABD ADC S t S BD DC S t S t -====△△．【点睛】本题考查平行线分线段成比例,相似三角形的判定及性质,解直角三角形,勾股定理等知识点,添加辅助线构造直角三角形,利用线段比转化面积比是解决问题的关键．。
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九年级数学期中考试试卷含答案期中质量检测试题-九年级数学
一、填空题
1.点(-1.2)在反比例函数y = a-1/x的图象上，则a= -
2.
2.一元二次方程(x-1)²=16的解是-3或5.
3.若关于x的方程x²+2x+k=0的一个根是-1，则k=1.
4.若梯形的上底长为x，下底长是上底长的3倍，高为y，面积为20，则y与x的函数关系式为y=40/x。
5.若方程(m-2)x²-2x+5=0是一元二次方程，则m≠2.
6.若x²=y³=z，则(x+2y-z)/4z的值为7/4.
7.如下图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，
DE∥BC。
若AD=3，DB=2，则DE/BC的值为3/5.
8.如上图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD 上一点，且CF=1/4CD，下列结论：①∠BAE=30°；
②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF。
其中正
确的结论是2.3.4.
二、选择题
9.我国资源总量Q一定，我国的人均资源享有量x与人口
数n的函数关系图象是双曲线。
10.对于反比例函数y = -3/x，下列判断不正确的是B.它的
图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
11.下列结论中正确的是C.两个正方形一定相似。
12.若x1.x2是一元二次方程x²-5x+6=0的两个根，则
x1+x2的值是5.
13.一元二次方程-x^2+2x-3=0的根的情况为（B）有两个
不相等的实数根。
214.关于x的一元二次方程x^2-6x+2k=0有两个不相等的
实根，则k的取值范围是(9/2≤k<22)。
215.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x^2-
12x+35=0的根，则该三角形的周长为（12）。
16.某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零
件182万个。
设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么
x满足的方程是（50(1+x)^2=182）。
17.如下图，圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为
1.2m，桌面距地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴
影部分的面积是（0.81πm^2）。
18.如上图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（√3）。
19.
1）x-2x-3=0
化简得x^2-2x-3=0
根据求根公式，得
x=[2±√(2^2-4×1×(-3))]/(2×1)
x=[2±√16]/2
x=1±2
因此，方程的解为x=3或x=-1.
2）2x(x-1)+3(x-1)=2
化简得2x^2-x-1=0
根据求根公式，得
x=[1±√(1^2-4×2×(-1))]/(2×2)
x=[1±√9]/4
x=1或x=-1/2
因此，方程的解为x=1或x=-1/2.
20.
1）由题可知，函数y=kx+b与x轴交于B点，因此b=0.
又因为函数y=kx+b与y轴交于A点，因此A的坐标为(0,b)=(0,0)。
又因为CD垂直于x轴，因此D的坐标为(1,b)=(1,0)。
2）设反比例函数的解析式为y=m/x，由于函数y=kx+b与反比例函数y=m/x在第一象限交于C点，因此有k=m/C。
又因为函数y=kx，与反比例函数y=m/x在x轴上交于B 点，因此有k=m。
因此，解得k=m=1/C，代入函数y=kx+b的解析式中，得y=x/C。
因此，一次函数的解析式为y=x/C，反比例函数的解析式为y=C/x。
21.由题可知，∠XXX=∠SMT，因此∠LMO=∠SMB。
又因为∆LMO与∆SMB相似，因此有LM/SM=MO/MB，即MO=LM×MB/SM=0.3m。
因此，∆LMO与∆SMB的高相等，即LO=SB。
又因为∆LOM与∆SMB相似，因此有LO/SB=OM/MB，
即OM=LO×MB/SB=0.3×25/0.3=25m。
因此，大楼的高度为OM+MK+KS=25+1.5+1.55=28.05m。
即TS=5，KL=7.5．
又∵KT=LM=5，∴△XXX为等腰直角三角形，
∴MT=KT=5。
又∵△MTS∽△KLS，∴TS：LS=MT：KL，即5：LS=5：7.5，即LS=7.5/2=3.75．
故点S的坐标为（5，3.75）．
22、（1）解：根据韦达定理，有D＝484-8m，当方程有
两个相等的实数根时，D＝0，解得m＝60．
2）解：根据XXX定理，有x
1
x
2
22，x
1
x
2
2m，代入m＝60，得x
1
x
2
120，又根据差平方公式，有(x 1
x
2
²=x
1
²+x
2
²+2x
1
x
2
代入已知，得x
1
²+x
2
²=304，所以x
1
x
2
x
1
x
2
22-120/（x
1
x
2
22-120/120=21．
23、（1）解：由平行四边形的性质，有
2）解：由平行线的性质，有∠EAF=∠FCD，又∠AEF=∠CDF，故△AEF与△CDF相似．
3）解：由相似三角形的性质，有S
AEF
1
16
S
ABCD
又由平行四边形的性质，有S
ABCD
24，故S
AEF
1.5．
又由相似三角形的性质，有S
CDF
1
16
S
ABCD
1.5×4=6．
故S
CDF
6．
24、解：设每千克涨价x元，则每千克售价为（10+x）元．
由题意可得方程5000（10+x）=4800（10）。
解得x=0.2．
故每千克应涨价0.2元．
25、（1）解：由勾股定理，有CD
2
AD
2
AC
2
25-16=9。
故CD=3．
又由等腰梯形的性质，有MN＝AB-CD=4。
故矩形MEFN的长为5，宽为4，高为3。
故矩形MEFN的面积为12．
3）解：由矩形面积公式，有5x-2x
2
12，解得x=（5±√17）/2，由于x＜5，故舍去x=（5+√17）/2，得x=（5-√17）/2。
即AE=（5-√17）/2．
故矩形MEFN的面积能够达到12．
解得TS=125m，因此这栋大楼的高度为125米。
22、根据题意，解得m=1.代入方程x-22x+2=0中可得
x1+x2=22，x1x2=2.因此，x1+x2-x1x2=(x1+x2)-3x1x2=8-3×2=2.
23、（1）因为ABCD是平行四边形，所以DC=AB。
因此，AE/DC=AE/AB=1/2，AE/EB=1/3，所以
AE/(AE+EB)=1/(1+2+3)=1/6.
2）因为DC∥AB，所以∠DCF=∠EAF，∠XXX∠XXX。
因此，△AEF∽△CDF。
3）由于△AEF∽△CDF，所以S△AEF/S△CDF=2.因此，S△CDF=5/4×S△AEF=5/4×6=15/2=7.5cm²。
24、设每千克应涨价x元，则有(10+x)(500-20x)=6000.解
得x=5或x=10，因此每千克应涨价5元。
25、（1）在直角三角形ADG中，AG²+DG²=AD²，因此DG=√(AD²-AG²)=√(25-9)=4.因此，梯形ABCD的高为4.
2）易证△MEA∽△DGA。
因此，XXX/AD，即
ME/3=2/5.解得ME=x=6/5.因此，S矩形
MEFN=ME×EF=(6/5)×(7-2x)=42/5-12x/5.因此，S矩形
MEFN=42/5-12x/5=8x/(2x²-7x+9)。
3）假设矩形MEFN的面积为12，则有8x/(2x²-7x+9)=12，解得2x²-7x-3=0.但是，这个方程没有实数解，因此矩形
MEFN的面积不能达到12.。