上海市2021年高三数学一模汇编——三角函数(含答案)
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷八答案
参考答案：一、填空题：1．1i-2．03．204、25、216、π187、x e --；8.1049、6π或2π-；10、32π；11、22；12、(1)2n n n a π-=.二、选择题：13、D；14、C；15、B；16、D；三、解答题：17.（1）1283；（2）510.18.（1）()cos f x x =，在[,]2ππ递减；19、解：（1）因为525(25)1065f =>，即函数()f x 不符合条件③所以函数()f x 不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分（2）因为1a ≥，所以函数()g x 满足条件①，……………………………………2分结合函数()g x 满足条件①，由函数()g x满足条件②，得：575≤，所以2a ≤………………………………………………………………4分由函数()g x满足条件③，得：55x -≤对[25,1600]x ∈恒成立即5a ≤+对[25,1600]x ∈恒成立因为25+≥，当且仅当25x =时等号成立……………………………………7分所以2a ≤………………………………………………………………8分综上所述，实数a 的取值范围是[1,2]a ∈……………………………………9分20、（1）由题意，12F MF ∠为直角，当椭圆焦点在x轴上时，a =当椭圆焦点在y 轴上时，24a =；（2）由2221y x m x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()222222120a x a mx a m a +++-=由()222222120a x a mx a m a +++-=，得：22<1m a +设()11,A x y ，()22,B x y ，则22221212222,11a m a m a x x x x a a -+==++，由题意，得0OA OB ⋅= ()()22121212122222222222202201111x x y y x x m x x a m a m a a m m m a a m a a +=+++=--+=+++=+所以a 与m 满足的关系是：()22211m a a +=+且22<1m a +（3）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：()222148440k x kmx m +++-=设()11,A x y ，()22,B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++由14OA OB k k ⋅=-，得22241m k =+，所以12AB x x m =-=原，点O 到直线l的距离d =所以112OAB S AB d ∆=⋅=为定值；21．解：（1）由1235n n a a n ++=-得12233n n a a n +++=-，……………………2分作差得22n n a a d +-==，………………………………………………………3分即数列{}n a 是“间等差数列”，间公差2d =.…………………………………4分（2）由（1）得{}{}212,n n a a -分别以12,33a a a a ==--为首项，公差为2的等差数列，因此，()()21122212221235k k a a k k a a a k k a-=+-=-+⎧⎪⎨=+-=--⎪⎩所以()*121352n n a n k a k N n a n k +- =-⎧=∈⎨-- =⎩，，，，……………………………………6分又1235n n a a n ++=-，所以，当n 为偶数时，()()()2123413323735222n n n n n n n S a a a a a a --+--=+++++=⨯= ，当18n =时，n S 最小值为18153S =-.……………………………7分当n 为奇数，()()()123421n n n nS a a a a a a a --=++++++ 233239135117222n n n n n a a -+---=⨯++-=++，…………8分当17n =时，n S 最小值为17136S a =-+，因为n S 的最小值为153-，因此只需13615317a a -+≥-⇒≥-.………………………10分（3）由11120182n n n c c -+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭得12120182n n n c c ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………………………11分作比得，212n n c c +=，所以数列{}n c 是“间等比数列”.………………13分由212n n c c +=得{}{}212,n n c c -分别以122018,c k c k ==为首项，公比为12的等比数列，又1n n c c +>，所以123c c c >>> ，又因为13524624,24c c c c c c ====== ，所以，由1230k c c c >⎧⎨>>⎩得20182k k k >>，……………………………………16分k <<，即最大的整数．．．．．63k =．…………………………………………………………18分。
2021-2022学年上海市金山区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞2}，B={x|x ＜3}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）函数y=log 2（x-1）的定义域是___ ．3.（填空题，4分）若复数z 满足iz= √3 -i （i 为虚数单位），则|z|=___ ．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x 3的系数为 ___ .（结果用数值表示）5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式 |1sinαsinα1| 的值为 ___ ． 6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ．8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x+ 1y=1，则4x+y 的最小值为 ___ ．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示）10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ．11.（填空题，5分）若数列{a n }满足a n +a n+1+a n+2+…+a n+k =0（n∈N *，k∈N *），则称数列{a n }为“k 阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n }的通项公式为b n =2cosωn ，记T n =b 1b 2…b n ，1≤n≤2021，n∈N *，则当n=___ 时，T n 取得最小值．12.（填空题，5分）已知点O （0，0）、A 0（2，3）和B 0（5，6），记线段A 0B 0的中点为P 1，取线段A 0P 1和P 1B 0中的一条，记其端点为A 1、B 1，使之满足（|OA 1|-5）（|OB 1|-5）＜0，记线段A 1B 1的中点为P 2，取线段A 1P 2和P 2B 1中的一条，记其端点为A 2、B 2，使之满足（|OA 2|-5）（|OB 2|-5）＜0，依次下去，得到点P 1、P 2、…，P n 、…，则 n→∞|A 0P n |=___ ．13.（单选题，5分）已知a 、b∈R ，则“ ba ＞1”是“b ＞a”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √31616.（单选题，5分）已知向量a与b⃗的夹角为120°，且a• b⃗ =-2，向量c满足c=λ a +（1-λ）b⃗（0＜λ＜1），且a• c = b⃗• c，记向量c在向量a与b⃗方向上的投影分别为x、y．现有两个结论：① 若λ= 13，则| a |=2| b⃗ |；② x2+y2+xy的最大值为34．则正确的判断是（）A. ① 成立，② 成立B. ① 成立，② 不成立C. ① 不成立，② 成立D. ① 不成立，② 不成立17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=3x．（1）设y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，若f-1（x1x2）=1，求f-1（x 13）+f -1（x 23）的值；（2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2 ，迎宾区的入口设置在点A 处，出口在点B 处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B 到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B 到达出口（P 为△ABC 内一点）．（1）若△PBC 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟） （2）园区计划将△PBC 区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3 ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点． （1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率； （2）当△AOB 的面积为 32时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n}的各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”．例如，数列a1、a2、a3满足a1＞a3＞a2，则其“序数列”{p n}为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”．（1）若数列3-2x、5x+6、x2的“序数列”为2、3、1，求实数x的取值范围；）•（2）若项数均为2021的数列{x n}、{y n}互为“保序数列”，其通项公式分别为x n=（n+ 12）n，y n=-n2+tn（t为常数），求实数t的取值范围；（23（3）设a n=q n-1+p，其中p、q是实常数，且q＞-1，记数列{a n}的前n项和为S n，若当正整数k≥3时，数列{a n}的前k项与数列{S n}的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p、q满足的条件．2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|2＜x＜3}【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，4分）函数y=log2（x-1）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由函数的解析式知，令真数x-1＞0即可解出函数的定义域．【解答】：解：∵y=log2（x-1），∴x-1＞0，x＞1函数y=log2（x-1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3.（填空题，4分）若复数z满足iz= √3 -i（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可【解答】：解：∵ iz=√3−i，∴-z= √3 i+1，∴z=-1- √3 i，∴|z|= √1+3 =2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x3的系数为 ___ .（结果用数值表示）【正确答案】：[1]160【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】：解：由于（x+2）6的二项展开式的通项公式为 T r+1= C6r•2r•x6-r，令6-r=3，求得 r=3，∴展开式中x3的系数是：23• C63 =160．故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式|1sinαsinα1|的值为 ___ ．【正确答案】：[1] 19【解析】：利用行列式的定义，结合同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】：解：cosα= 13，|1sinαsinα1| =1-sin2α=cos2α= 19．故答案为：19．【点评】：本题考查行列式的定义，同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．【正确答案】：[1]200【解析】：利用分层抽样的性质直接求解．【解答】：解：现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本， 则样本中中年人的人数为： 400× 10002000 =200． 故答案为：200．【点评】：本题考查样本中中年人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ． 【正确答案】：[1]（3，6）【解析】：设出点的坐标，求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】：解：由题意设P （s ，2s ），s ＞0， 双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线x±2y=0， 点P到双曲线 x 24 -y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，5s √5•3s √5=27 ，解得s=3，所以P （3，6）． 故答案为：（3，6）．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题． 8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1，则4x+y 的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]25【解析】：4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4x y +17，然后利用基本不等式可解决此题．【解答】：解：∵x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1， ∴4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4xy +17≥2 √4yx •4xy+17=25， 当且仅当 {4y x =4xy4x+1y =1即x=y=5时等号成立，∴4x+y 的最小值为25．故答案为：25．【点评】：本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示） 【正确答案】：[1] 120【解析】：根据题意，分步计算“6个人进行全排列”和“后排每人都比前排任意一位同学高”的排法，由古典概型公式计算可得答案．【解答】：解：根据题意，将6个人进行全排列，共有A 66=720排法，若后排每人都比前排任意一位同学高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有A 33A 33=36种排法，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率P= 36720 = 120 ； 故答案为： 120．【点评】：本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的性质以及应用，属于基础题． 10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10，由向量的和为零向量，可得x 1+x 2+.....x 10=20，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，可得向量的模的和的值．【解答】：解：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10， 由抛物线的方程y 2=8x 可得准线方程x=-2，因为 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，所以（x 1+x 2+.....x 10-10×2，y 1+y 2+.....+y 10）=（0，0）， 所以x 1+x 2+.....x 10-10×2=0，即x 1+x 2+.....x 10=20，由抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离可得：| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=（x 1+2）+.....（x 10+2）=x 1+x 2+.....x 10+10×2=20+20=40， 故答案为：40．【点评】：本题考查抛物线的性质的应用及向量的运算性质的应用，属于基础题．11.（填空题，5分）若数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2+…+a n+k=0（n∈N*，k∈N*），则称数列{a n}为“k阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n}的通项公式为b n=2cosωn，记T n=b1b2…b n，1≤n≤2021，n∈N*，则当n=___ 时，T n取得最小值．【正确答案】：[1]2020【解析】：由b n+b n+1+b n+2=0可求出{b n}周期，对cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0变形可求得cosω= −12，从而求得cos2ω，cos3ω，得到{b n}的前三项，分析T n的正负情况，可得n=3k+1（k∈N）时T n为负值，对此时的T n的求表达式可得-2k，k最大时T n有最小值．【解答】：解：由已知得b n+b n+1+b n+2=0（n∈N*），故b n+1+b n+2+b n+3=0（n∈N*），故b n=b n+3（n∈N*），{b n}的周期为3，设b n=2c n，其中c n=cosωn，故{c n}的周期为3，由题意有cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0，由和差化积公式有2cos（ωn+ω(n+2)2）cos（w(n+2)−ωn2）+cosω（n+1）=0，故2cos[ω（n+1）]cosω+cos[ω（n+1）]=0，因此（2cosω+1）cos[ω（n+1）]=0，若ω（n+1）= π2+kπ（k∈Z），不存在这样的ω对任意n恒成立，故舍，则cosω= −12，c1=cosω= −12，c2=cos2ω=2cos2ω-1= −12，由三倍角公式有c3=cos3ω=4cos3ω-3cosω=1，故T n=b1b2…b n=2n c1c2…c n，当n=3k+1（k∈N）时T n＜0，当n=3k+2（k∈N）时T n＞0，当n=3k+3（k∈N）时T n＞0，当n=3k+1（k∈N）时，T n=2n（c1c2c3）k c1=2n（14）k（- 12）=-2k，3k+1≤2021，故k≤673，此时T n最小，此时n=2020，故答案为：2020．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.（填空题，5分）已知点O（0，0）、A0（2，3）和B0（5，6），记线段A0B0的中点为P1，取线段A0P1和P1B0中的一条，记其端点为A1、B1，使之满足（|OA1|-5）（|OB1|-5）＜0，记线段A1B1的中点为P2，取线段A1P2和P2B1中的一条，记其端点为A2、B2，使之满足（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，依次下去，得到点P1、P2、…，P n、…，则n→∞|A0P n|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），可得P（3，4），根据已知条件可得A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，再由P1，P2，…P n，…是中点，可得出P1，P2，…P n，…的极限即为P（3，4），即可求解．【解答】：解：由（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，可知|OA2|和|OB2|一个大于5一个小于5，设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），由√x2+y2 =5且y−3x−2=y−6x−5，可得x=3，y=4，所以线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（3，4），若（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，则A1，B1应在点P（3，4）的两侧，所以第一次应取A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，因为P1，P2，…P n，…是中点，所以P1，P2，…P n…的极限为P（3，4），所以n→∞|A0P n|=|A0P|= √2，故答案为：√2．【点评】：本题考查数列极限，考查学生的运算能力，属于难题．13.（单选题，5分）已知a、b∈R，则“ ba＞1”是“b＞a”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：D【解析】：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，然后分别对a＞0，a＜0讨论得出b与a的关系，进而可以求解．【解答】：解：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，当a＞0时，b-a＞0，即b＞a；当a＜0时，b-a＜0，即b＜a，所以ba＞1与b＞a没有关系，故选：D．【点评】：本题考查了四个条件的关系的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x【正确答案】：A【解析】：由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】：解：由于f（x）=|cos2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递增，故A满足条件；由于f（x）=|sin2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除B；由于f（x）=sin4x的周期为2π4 = π2，在区间[ π4，π2]上，4x∈[π，2π]，f（x）没有单调性，故排除C；由于f（x）=cos2x的周期为2π2=π，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除D，故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √316【正确答案】：C【解析】：连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，利用线面垂直的判定定理和性质证明三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由体积公式求解即可．【解答】：解：如图，连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，则RR1 || AC1，PP1 || AC1，QQ1 || AC1，且RR1= 12 AC1，PP1= 12AC1，QQ1= 12AC1，连接AC，可得AC⊥PQ，因为CC1⊥平面ABCD，又PQ⊂平面ABCD，则CC1⊥PQ，又CC1∩AC=C，AC，CC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥平面C1CA，又AC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥AC1，同理可得，AC1⊥PR，又PQ∩PR=P，则AC1⊥平面PQR，所以RR1⊥平面PQR，PP1⊥平面PQR，QQ1⊥平面PQR，则三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由正方体的棱长为1，可得PQ=QR=PR= √22，RR1= √32，故V PQR−P1Q1R1 = √32×12×(√22)2×√32=316．故选：C．【点评】：本题考查了空间中线线、线面位置关系的判断，线面垂直的判定定理和性质的应用，棱柱的体积公式的理解与应用，属于中档题．16.（单选题，5分）已知向量 a 与 b ⃗ 的夹角为120°，且 a • b ⃗ =-2，向量 c 满足 c =λ a +（1-λ） b ⃗ （0＜λ＜1），且 a • c = b ⃗ • c ，记向量 c 在向量 a 与 b⃗ 方向上的投影分别为x 、y ．现有两个结论： ① 若λ= 13 ，则| a |=2| b ⃗ |； ② x 2+y 2+xy 的最大值为 34．则正确的判断是（ ） A. ① 成立， ② 成立 B. ① 成立， ② 不成立 C. ① 不成立， ② 成立 D. ① 不成立， ② 不成立 【正确答案】：C【解析】： ① 根据 a ⋅b ⃗ =−2 及 a 与 b ⃗ 的夹角为120°求出 |a |⋅|b ⃗ |=4 ，假设 |a |=2|b ⃗ | 成立，求出 |b ⃗ |=√2 与 |a |=2√2 ，代入后发现等式不成立，故 ① 错误；② 利用向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，再结合 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 可得：OC⊥AB ，利用投影公式求出 x 2+y 2+xy =34|c |2 ，只需求出| c |最大值，利用面积公式和基本不等式求出| c |最大值为1，进而求出x 2+y 2+xy 最大值．【解答】：解：由 a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b ⃗ |cos120°=−2 ，解得 |a |⋅|b ⃗ |=4 ， 当 λ=13 时， c =13a +23b⃗ ， 由 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 得， a ⋅(13a +23b ⃗ )=b ⃗ ⋅(13a +23b⃗ ) ， 即 13a 2+23a ⋅b ⃗ =13a ⋅b ⃗ +23b ⃗ 2 ， 由 a ⋅b ⃗ =−2 得 13|a |2=23+23|b ⃗ |2 ， 因为 |a |⋅|b⃗ |=4 ， 假设 |a |=2|b ⃗ | ，则可求出 |b ⃗ |=√2，|a |=2√2 ，代入 13|a |2=23+23|b⃗ |2 中，等号不成立，故 ① 错误； 设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ， 因为 c =λa +(1−λ)b⃗ (0＜λ＜1) ， 由向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，如图，设〈a，c〉=α，则〈b⃗，c〉=120°−α，因为a⋅c=b⃗⋅c，所以|a|⋅|c|cosα=|b⃗|⋅|c|cos(120°−α)，即|a|⋅cosα=|b⃗|⋅cos(120°−α)，所以x2+y2+xy=|c|2cos2α+|c|2cos2(120°−α)+|c|2cosαcos(120°−α)=34|c|2，S△ABO=12|a|⋅|b⃗|sin120°=√34×4=√3，而要想保证|c|最大，只需|AB|最小，由余弦定理可得：|AB|2=|a |2+|b⃗|2−2|a||b⃗|cos120°=|a |2+|b⃗|2+4≥2|a||b⃗|+4= 12，当且仅当|a|=|b⃗|时等号成立，所以|AB|最小值为2√3，所以|c|最大值为2S△ABO|AB|=1，故x2+y2+xy=34|c|2的最大值为34，② 正确；故选：C．【点评】：本题考查平面向量基本定理，数量积的综合应用，属于综合题．17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，求出SA=4，由此能求出圆锥的表面积．（2）以O 为原点，OQ 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SO 与PQ 所成角的大小．【解答】：解：（1）∵圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ， 得SA=4，∴圆锥的表面积S=π×22+ 12 ×4π×4=12π．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意可得SO=2 √3 ，则S （0，0，2 √3 ），O （0，0，0），A （0，2，0），Q （2，0，0），P （0，1， √3 ）， SO ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-2 √3 ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-1，- √3 ）， 设异面直线PQ 与SO 所成角的大小为θ， 则cosθ= |SO ⃗⃗⃗⃗⃗ •PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ||SO ⃗⃗⃗⃗⃗||PQ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√6 = √64 ， ∴异面直线SO 与PQ 所成角的大小为arccos √64．【点评】：本题考查圆锥的表面积、异面直线所成角的大小的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=3x ．（1）设y=f -1（x ）是y=f （x ）的反函数，若f -1（x 1x 2）=1，求f -1（x 13）+f -1（x 23）的值； （2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）求得f-1（x）=log3x，再由对数的运算性质可得所求值；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数，由g（0）=0，解方程可得m，检验可得结论；再由单调性的定义证明g（x）的单调性，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤．【解答】：解：（1）由f（x）=3x，y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，可得f-1（x）=log3x，f-1（x1x2）=log3（x1x2）=1，即有x1x2=3，所以f-1（x13）+f-1（x23）=log3x13+log3x23=3（log3x1+log3x2）=3log3（x1x2）=3；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数．由g（x）=1+ m1+3x 为R上的奇函数，可得g（0）=1+ 12m=0，解得m=-2，即有g（x）=1+ −21+3x ，g（-x）+g（x）=1+ −21+3−x+1+ −21+3x=2-2• 1+3x1+3x=0，所以存在m=-2，使得g（x）为奇函数；证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，g（x1）-g（x2）=- 21+3x1 + 21+3x2=2• 3x1−3x2(1+3x1)(1+3x2)，由x1＜x2，可得0＜3x1＜3x2，即3x1-3x2＜0，所以g（x1）-g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的反函数的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）．（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可，进而计算即可得出结果；（2）在三角形PBC中由∠PCB的度数表示出∠PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积，再利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可．【解答】：解：（1）由题设，∠PCA= π4，PC=100 √2米，PB=100 √2米，在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC•PC•cos π4，所以PA=100 √5米．游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为t1= 300+20050=10分钟，游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为t1= 100√5+100√250=2（√5+√2）分钟，所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快10-2（√5+√2）≈3分钟．（2）∵∠BPC= 2π3，设∠PCB=θ则θ∈(0，π3)，在△PBC中∠PBC= π3−θ，由正弦定理得200sin2π3=PBsinθ=PCsin(π3−θ)，得PB= 400√33sinθ，PC= 400√33sin(π3−θ)．所以△PBC面积S= 12•PB•PC•sin2π3= 40000√33•sinθ•sin(π3−θ) = 20000√33•sin(2θ+π6)−10000√33，当 θ=π6∈(0，π3) 时，△PBC 面积的最大值为10000√33平方米．【点评】：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点． （1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率； （2）当△AOB 的面积为 32 时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）先得到直线PQ 的方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解之即可求得Q 点坐标，进而可得OQ 斜率； （2）直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，结合韦达定理求得|x 1-x 2|，再由S △AOB = 12|OP||x 1-x 2|= 32，即可求解； （3）直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，结合韦达定理表示得到y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ，再根据 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到λ= 1−y 1y2−1，μ= y 2−y 13−y 2 = y 2−3+3−y 13−y 2 =-1+ 3−y 13−y 2，即可求解．【解答】：解：（1）因为直线PQ 的倾斜角为 π4 ，且P （0，1）， 所以直线PQ 方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解得Q （2，3），则直线OQ 的斜率为 32 ；（2）已知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=- 8k 3+4k 2 ，x 1x 2=- 83+4k 2， 则|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√96+192k 23+4k 2 = 32，解得k²= 14 ，即k=± 12，所以直线PQ 方程为y= 12 x+1或y=- 12 x+1，由 {y =12x +1y =3 得Q （4，3）；由 {y =−12x +1y =3 得Q （-4，3）； （3）已知直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，得（4+3m²）（y-1）²+8（y-1）-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ， 所以y 1-1+y 2-1=（y 1-1）（y 2-1），因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ= 1−y 1y 2−1 ，μ= y 2−y 13−y 2= y 2−3+3−y 13−y 2=-1+ 3−y 13−y2， 则λ-μ= 1−y 1y 2−1 +1- 3−y 13−y 2= 2[(1−y 1)2+(1−y 1)]2+2(1−y 1)(1−y 1)(y 2−1)(3−y 2) +1=1．【点评】：本考查直线与椭圆的综合，考查直线斜率求解，椭圆中定值问题，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n }的各项均不相等，将{a n }的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n }，称{p n }为{a n }的“序数列”．例如，数列a 1、a 2、a 3满足a 1＞a 3＞a 2，则其“序数列”{p n }为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”． （1）若数列3-2x 、5x+6、x 2的“序数列”为2、3、1，求实数x 的取值范围；（2）若项数均为2021的数列{x n }、{y n }互为“保序数列”，其通项公式分别为x n =（n+ 12 ）•（ 23）n ，y n =-n 2+tn （t 为常数），求实数t 的取值范围；（3）设a n =q n-1+p ，其中p 、q 是实常数，且q ＞-1，记数列{a n }的前n 项和为S n ，若当正整数k≥3时，数列{a n }的前k 项与数列{S n }的前k 项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p 、q 满足的条件．【正确答案】：【解析】：（1）由题意得出不等式即可求出；（2）作差判断{x n}增减，得出序数列即可求解；（3）讨论q=±1或q=0，q＞1，0＜q＜1，-1＜q＜0，根据数列的单调性结合题意可得．【解答】：解：（1）由题意得a2＞a3＞a1，即{5x+6＞x2x2＞3−2x，解得1＜x＜6，即x的取值范围是{x|1＜x＜6}；（2）x n+1−x n=(n+32)(23)n+1−(n+12)(23)n=3−2n6(23)n，当n=1时，x2-x1＞0，即x2＞x1，当n≥2时，x n+1-x n＜0，即x n+1＜x n，故x2＞x1，x2＞x3＞x4＞⋯＞x2021，又x1=1，x3=2827，x4=89，因此{x n}的序数列为2，3，1，4，5，⋯，2021．又因{x n}、{y n}互为“保序数列“，故y2＞y3＞y1＞y4＞y5＞⋯＞y2021，只需满足2＜t2＜52，解得：4＜t＜5．即t的取值范围是{t|4＜t＜5}；（3）① 当q=±1或q=0时，数列{a n}中有相等的项，不满足题意．② 当q＞1时，数列{a n}单调递增，故{S n}也应单调递增，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＞0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递增，故p+q ＞0．③ 当0＜q＜1时，数列{a n}单调递减，故{S n}也应单调递减，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＜0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递减，故p+q＜0．④ 当-1＜q＜0时，数列{a2n-1}单调递减，且a2n-1＞p；{a2n}单调递增，且a2n＜p，于是S2n+1−S2n−1=a2n+a2n+1=q2n−1+q2n+2p＜0对n∈N*且n≤k−12恒成立，即2p＜（-q）2n-1（1+q），从而2p≤0．另一方面，S2n+2−S2n=a2n+1+a2n+2=q2n+q2n+1+2p＞0对n∈N*且n≤k−22恒成立，即2p＞-q2n（1+q），从而2p≥0．综上，2p=0，即p=0．此时S2n−1=1−q2n−11−q =11−q−q2n−11−q＞11−q，S2n=1−q2n1−q=11−q−q2n1−q＜11−q，满足题意．综上，当q＞1时，p、q满足的条件是p+q＞0；当0＜q＜1时，p、q满足的条件是p+q＜0；当-1＜q＜0时，p、q满足的条件是p=0．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列的单调性等知识，属于中等题．。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷六答案
参考答案：一、填空题：1．12n n a -=；2．()()211(1)f x x x -=-≥；3．160；4．43；5、25；6、±；7、3；8、π；9、[3；10、(],1-∞-；11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0；12、①②③；二、选择题：13、A；14、D；15、C；16、A；三、解答题：17、解：（1）作CE E A //'交CD 于E '，因为11AD AA DE'===，所以1AE D E ''==，故∆E AD '1为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60︒…………………6分（2）E 是棱AB 上的中点，则∆ADE 、CBE ∆均为等腰直角三角形，故90DEC ∠=︒，所以DEC ∆为直角三角形.………………………………………9分由1DD ⊥平面ABCD ，DE CE ⊥，知CE ⊥平面1DD E ，故1CE D E ⊥，所以EC D 1∆为直角三角形…………………………………………………………………………13分而显然∆1DD E 、∆1DD C 均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形，为鳖臑.…………………………………………………………………………………14分18、解：（1）由条件知：224a c +=+，:a b = 222c b a +=解得：2,2a b c ===，…………4分所以椭圆C 的方程为22184x y +=………………6分（2）设直线2PF 的方程为：2,x ty =+1122(,),(,)P x y Q x y ；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+ ，所以OP OQ PQ += ，所以OP OQ ⊥,所以12120x x y y +=。
…………9分221842x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒()222440t y ty ++-=12122244,22t y y y y t t --+==++………………………………………11分()()2121212121240x x y y t y y t y y +=++++=解得：212,22t t ==±…………………………………………………………13分所以直线PQ 的方程为0y ±-=…………………………………14分19．[解]（1）分别单独建厂，共需总费用0.70.71253255131.1y =⨯+⨯≈万元…………………………4分（2）联合建厂，共需总费用()0.72535 3.2y =⨯+++020x ≤≤）所以y 与x 的函数关系式为0.72583.2y =⨯+（020x ≤≤）……8分令()h x =+020x ≤≤）()[]2202020,40h x =+=+………10分0.70.7121.5258 3.2258 3.2127.4y ≈⨯+≤≤⨯+≈y 的取值范围为[]121.5,127.4．…………………………14分20、【解】（1）若1=m ，则x x f m sin )(=⋅()()k x k x k x f k x f -++=-++sin sin )()(kx cos sin 2=要使得)(x f 为“可平衡”函数，需使故()0sin cos 21=⋅-x k 对于任意实数x 均成立，只有21cos =k ……3分，此时32ππ±=n k ，Z n ∈，故k 存在，所以x x f sin )(=是“可平衡”函数（2）2)(x x f =及x a x g 2)(+=的定义域均为R根据题意可知，对于任意实数x ，()()2222222k x k x k x mx +=-++=即22222k x mx +=,即()02222=--k x m 对于任意实数x 恒成立只有0,2==k m ，故函数2)(xx f =的“平衡”数对为()0,2对于函数x a x g 2)(+=而言，()()kk x k x k x x a a a a m --++⋅+=+++=+⋅2222222所以()()k k x x a a m -+⋅+=+⋅22222()[]()02222=-⋅++-⋅-m a m k k x ，()⎩⎨⎧=-⋅+=-0222m a m kk ，即⎩⎨⎧=≥22m m ，故2=m ，只有0=k ，……9分，所以函数x a x g 2)(+=的“平衡”数对为()0,2综上可得函数2)(x x f =与x a x g 2)(+=的“平衡”数对相同（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos 2cos cos 2221ππx x x m ，所以x x m 221sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 4cos cos 2222ππx x x m ，所以1cos 22=x m 由于40π≤<x ，所以1cos 212<≤x ，故x m 21tan 2=(]2,0∈,(]2,1sec 22∈=x m 2221m m +=()()1tan 2tan 5tan 4tan 1222422++=++x x x x 5451tan 522+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x ，由于40π≤<x ，所以1tan 02≤<x 时，56tan 51512≤+<x ()832tan 2122≤-+<x ，所以<12221m m +8≤21.（1）由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3n n n a a +-=-，………………1分则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则322113a a q a a -==--，又1(1)3a q -=-，则14a =.…………………………3分当14a =，13q =-时，111(43n n a -=-，*N n ∈，则111111111111()()([(]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意，故所求的a 的值为14.………………………………………4分（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-，21221n n n b b ----=-， ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++-- ，………2分又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--，即224n n b n a =-+-.由1210n n n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-.…………………6分（3）由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n n S n n C λλ+++==.………………………………2分则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=，当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<，即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.………………………4分又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=.当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=，又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<，即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522k k k λλ+++=矛盾.又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-；当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-.综上得λ的所有可能值为1-和2-.…………………………………8分。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷五(word版,含答案)
2021届高三一模暨春考数学模拟试卷五2020.9.28一､填空题:1.若513sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值是____. 2､函数()cosxsinxf x sinxcosx=的最小正周期是____. 3､函数()2x f x m =+的反函数为()1y f x -=,且()1y f x -=的图像过点()5,2Q ,那么m =____.4､点()1,0到双曲线2214x y -=到渐近线的距离是____. 5.用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器,其容积为____立方米.6.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升,经过x 个小时,酒精含量降为p 毫克/100毫升,且满足关系式0rx p p e =⋅(r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2小时后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过____小时方可驾车.(精确到小时)7､如图,在平行四边形ABCD 中,2AB =,1AD =,则AC BD ⋅的值为____.8､三倍角的正切公式为3tan α=____(用tan α表示).9､设集合A 共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为____.10.已知非零向量a ､b ､c 两两不平行,且()//a b c +,()//b a c +,设c xa yb =+,x,y ∈R ,则2x y +=____.11.已知数列{}n a 满足:11a =,112{,,,}n n n a a a a a +-∈()*,n a n ∈∈N ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对所有满足条件的{}n a ,10S 的最大值为M,最小值为m,则M m +=____.12.曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数()20k k >的点轨迹.给出下列四个结论:①曲线C 过点()1,1-:②曲线C 关于点()1,1-成中心对称;③若点P 在曲线C 上,点A,B 分别在直线12l l 、上,则||||PA PB +不小于2k;④设0P 为曲线C 上任意一点,则点0P 关于直线1:1l x =-､点()1,1-及直线2:1l y =对称的点分别为1P ､2P ､3P ,则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ｡其中,所有正确结论的序号是____.二､选择题13.若空间三条直线a ､b ､c 满足a b ⊥,b c ⊥,则直线a 与c()A.一定平行;B.一定相交;C.一定是异面直线;D.平行､相交､是异面直线都有可能 14.在无穷等比数列{}n a 中,()121lim 2n n a a a →∞+++=,则1α的取值范围是() A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()0,1 D.110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向,且塔顶的仰角为18︒,此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处,此时测得塔底位于北偏西39︒方向,则该塔的高度约为() A ､256米B ､279米C ､292米D ､306米减,且关于16.,已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(),01a a >≠且在R 上单调递减,且关于x 的方程()||2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是()A ､20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.123,{}334⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ D.123,{}334⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭三､解答题:17､已知ABC 中,1AC =,,23ABC π∠=.设BAC x ∠=,记()f x AB BC =⋅. (1)求函数()f x 的解析式及定义域;(2)试写出函数()f x 的单调递增区间,并求出方程()16f x =的解.18､设双曲线22:123x y C -=,1F ,2F 为其左右两个焦点. (1)设O 为坐标原点,M 为双曲线C 右支上任意一点,求1OM F M ⋅的取值范围;(2)若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F ,2F 的距离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19-,求动点P 的轨迹方程.19.如图,某城市有一矩形街心广场ABCD,如图,其中4AB =百米,3BC =百米,现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花,其中点M 在BC 边上,点N 在AB 边上,要求4MDN π∠=.(1)若2AN CM ==百米,判断DMN ∠是否符合要求,并说明理由;(2)设CDM θ∠=,写出DMN ∠面积的S 关于日的表达式,并求S 的最小值.20､由()2n n 个不同的数构成的数列1a ,2a ,…n a 中,若1i j n <时,j i a a <(即后面的项j a 小于前面项i a ,则称i a 与j a 构成一个逆序,一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数.如对于数列3,2,1,由于在第一项3后面比3小的项有2个,在第二项2后面比2小的项有1个,在第三项1后面比1小的项没有,因此,数列3,2,1的逆序数为2103++=;同理,等比数列1,12-,14,18-的逆序数为4. (1)计算数列()*2191100,n n n n N α=-+∈的逆序数;,(2)计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数()*1,n k n N ∈的逆序数;,(3)已知数列1,α2a ,…n α的逆序数为a,求1,n n a a -,…1a 的逆序数.21､已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间上的最大值为4,最小值为1,记()()()||f x g x x R =∈. (1)求实数a,b 的值;(2)若不等式()()22223f x g x log k log k +--对任意x R ∈恒成立,求实数k 的取值范围; (3)对于定义在[],p q 上的函数()m x ,设0,x p =n x q =,用任意的()1,2,...,1i x i n =-将[],p q 划分成n 个小区间,其中11i i i x x x -+<<,,若存在一个常数0M >,,使得()()()()()()01121||||||n n m x m x m x m x m x m x M --+-++-≤恒成立,则称函数()m x 为在[],p q 上的有界变差函数.试证明函数是在上的有界变差函数,并求出M 的最小值.。
三角函数求w类型及三角换元应用归类(学生版)
三角函数求w类型及三角换元应用归类目录题型01平移型求w题型02单调区间及单调性求w题型03对称中心(零点)求w题型04对称轴型求w题型05对称轴及单调性型求w题型06“临轴”型求w题型07“临心”型求w题型08区间内有“心”型求w题型09区间内无“心”型求w题型10区间内最值点型求w题型11多可能性分析型求w题型12三角应用：三角双换元题型13三角应用：无理根号型题型14三角应用：圆代换型题型15三角应用：向量型换元高考练场题型01平移型求w【解题攻略】平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出ω值或者范围。
1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2ωxω>0，将y=f x 的图像向右平移π4个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.2B.4C.6D.82(2022·全国·高三专题练习)将函数f(x)=12sinωx+π6+2(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后与原函数图像重合，则实数ω的最小值是()A.2B.3C.6D.9【变式训练】1(2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试)将函数y=tanωx-1ω>0的图像向左平移2个单位长度后，与函数y=tanωx+3的图象重合，则ω的最小值等于()A.2-π2B.1C.π-2D.22(2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模)将函数f x =sinωx+π6(ω> 0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数g x =cosωx的图象重合，则ω的最小值为() A.1 B.2 C.4 D.53(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)将f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数g(x)=cosωx的图象重合，则ω的最小值为()A.14B.12C.34D.32题型02单调区间及单调性求w【解题攻略】正弦函数在每一个闭区间2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z)上都单调递减余弦函数在每一个闭区间[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上都单调递减1(上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题)设ω>0，若函数f(x)=2sinωx在-π3,π4上单调递增，则ω的取值范围是2(广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，且f 3π8 =1，f x 在区间-3π8,-π4上单调，则ω的值为.【变式训练】1函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0 ,若f x 在区间0,π2上是单调函数,且f -π =f 0 =-f π2则ω的值为()A.23B.23或2 C.13D.1或132若函数f (x )=4sin ωx ⋅sin 2π4+ωx 2+cos2ωx (ω>0)在-π2,2π3 上是增函数，则ω的取值范围是.3(2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C 卷)若函数f x =sin ωx +π3ω>1 在区间π,54π上单调递减，则实数ω的取值范围是.题型03对称中心(零点)求w【解题攻略】正弦函数对称中心(k π，0)(k ∈Z )余弦函数对称中心π2+k π，0 (k ∈Z )正切函数对称中心k π2，0 (k ∈Z )1(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )=2tan ωx -π6(ω>0)的图象的一个对称中心为π6,0 ，则f x 的一个最小正周期是()A.π2B.π13C.2π13D.2π72(2022秋·重庆·高三统考期中)若存在实数φ∈-π2，0 ，使得函数y =sin ωx +π6 (ω>0)的图象的一个对称中心为φ，0 ，则ω的取值范围为()A.13，+∞ B.13，1C.13，+∞D.1，43【变式训练】1(2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)已知f x =2tan ωx +φ ω>0,φ <π2,f 0 =233，周期T ∈π4,3π4 ,π6,0 是f x 的对称中心，则f π3的值为()A.-3B.3C.233D.-2332(2022秋·高三课时练习)已知函数f x =A cos ωx -3sin ωx ω>0 的部分图象如图，f x 的对称中心是k π2+π6,0k ∈Z ，则f π3=()A.23B.-23C.3D.-33(2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习)设函数f x =2tan ωx -π3ω>0 的图象的一个对称中心为π6,0，则f x 的一个最小正周期是()A.π3B.π4C.π5D.2π5题型04对称轴型求w【解题攻略】正弦函数对称轴x =π2+2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =-π2+2k π(k ∈Z )时，y min =-1余弦函数对称轴x =2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =2k π+π(k ∈Z )时，y min =-11(2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函数f (x )=A cos ωx -3sin ωx (ω>0)的部分图象如图，y =f x 的对称轴方程为x =5π12+k π2k ∈Z ，则f 0 =()A.3B.2C.32D.12(2022·全国·高三专题练习)若x =π3是函数f x =cos ωx ω≠0 图象的对称轴，则f x 的最小正周期的最大值是()A.π6B.π3C.π2D.2π3【变式训练】1(2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数y =sin x +a cos x 的图像关于x =π3对称，则函数y =a sin x +cos x 的图像的一条对称轴是()A.x =5π6B.x =2π3C.x =π3D.x =π62(“超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷数学试题)已知向量a=(sin ωx ,cos ωx ),b =(1,-1)，函数f (x )=a ⋅b ，且ω>12,x ∈R ，若f (x )的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是()A.712,1516 ∪1312,1916B.712,1116 ∪1112,1516C.12,712∪1112,1916D.12,1116∪1112,15163已知向量a =sin ωx ,cos ωx ,b =1,-1 ，函数f x =a ⋅b ，且ω>12,ω∈R ，若f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间3π，4π ，则ω的取值范围是A.712,，1516 ∪1312，1916 B.712,，1116 ∪1112，1516C.12，712∪1112，1916D.12，1116∪1112，1516题型05对称轴及单调性型求w1(2021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，对任意的x ∈R ，都有f (x +1)=f (-x )，且f (x )在区间-π4,π12上单调，则ω的值为.2(2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学(二)试题)已知函数y =sin (ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =-π6，且f (x )在π,4π3上单调，则ω的最大值为()A.52B.3C.72D.83【变式训练】1(四川省成都市新都区2020-2021学年高三诊断测试数学试题)已知函数f x =2sin ωx +φ ω>0 满足f π4=2，f π =0，且f x 在区间π4,π3 上单调，则ω的最大值为．2(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin ωx (ω>0)在-π6，π4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x =3π4，则ω的值可能是() A.13B.23C.1D.433(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线x =π4是曲线y =sin ωx -π4(ω>0)的一条对称轴，且函数y =sin ωx -π4 在区间0，π12 上不单调，则ω的最小值为()A.9B.7C.11D.3题型06“临轴”型求w【解题攻略】若f x =A sin ωx +φ A ≠0,ω≠0 的图像关于直线x =x 0对称,则f x 0 =A 或f x 0 =-A .1(2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知函数y =A sin ωx +φ +m A >0,ω>0,φ <π2的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为π2，直线x =π6是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是()A.y =4sin x +π6 B.y =2sin 2x +π6+2C.y =2sin 2x +π3+2 D.y =2sin x +π3+22(2023秋·高三课时练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ ≤π2 ，x =-π8是函数f x 的一个零点，x =π8是函数f x 的一条对称轴，若f x 在区间π5,π4上单调，则ω的最大值是()A.14B.16C.18D.20【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知x =π3，x =π是函数f x =sin ωx +φ ω>0,π2<φ<3π2 图象上两条相邻的对称轴，则φ=()A.πB.3π4C.2π3D.π32(2023春·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =sin ωx +23cos 2ωx2-3ω>0 ，且f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2.若将函数f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )的图象，且当x ∈0,π4时，不等式2m 2-m ≥g x 恒成立，则m 的取值范围为()A.-∞,-1 ∪12,+∞ B.-∞,-12∪1,+∞ C.-∞,1-174 ∪1+174,+∞ D.-∞,0 ∪12,+∞3(2023春·四川成都·高三校联考阶段练习)已知直线x =x 1,x =x 2是函数f x =sin ωx +π6,(ω>0)图象的任意两条对称轴，且x 1-x 2 的最小值为π2，则f x 的单调递增区间是()A.k π+π6,k π+2π3,k ∈Z B.k π-π3,k π+π6,k ∈ZC.2kπ+π3,2kπ+4π3,k∈Z D.2kπ-π12,2kπ+5π12,k∈Z 题型07“临心”型求w【解题攻略】函数y=A sinωx+φ+B(A>0,ω>0)的性质：(1)y max=A+B，y min=A-B.(2)周期T=2πω.(3)由ωx+φ=π2+kπk∈Z求对称轴，由ωx+φ=kπk∈Z求对称中心.(4)由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπk∈Z求增区间；由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπk∈Z求减区间.1(2023春·广东珠海·高三校考)已知函数f x =sinωx+cosωxω>0的图象的一个对称中心的横坐标在区间π4,π2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于π3，则ω的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,32(2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习)函数f x =A sinωx+φ+1，A>0,ω>0,φ <π2的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，且f x 的图象关于直线x=π12对称，则下列判断正确的是()A.函数y=f x 在-π6,π3上单调递减B.将f x 图象向右平移π3个单位与原图象重合C.函数y=f x 图象关于点-π6,0对称D.函数y=f x 的图象关于直线x=-5π12对称【变式训练】1(2023下·河南焦作·高三统考)已知函数f x =sinωx+cosωxω>0的图象的一个对称中心的横坐标在区间π4,π2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于π3，则ω的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,32(2023·云南红河·统考二模)已知函数f x =3tan ωx 2+π3(ω>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π4，则ω=()A.2B.4C.8D.163(2021上·四川雅安·高三统考期末)已知函数f (x )=tan (ωx +φ)ω≠0,φ <π2，点2π3,0 和7π6,0 是其相邻的两个对称中心，且在区间5π6,4π3 内单调递减，则φ=()A.π6B.-π6C.π3D.-π3题型08区间内有“心”型求w【解题攻略】求w 的表达式时，wx +φ=k 1π(k 1∈z )中不要把k 1写成k ,因为后面还有一个k , wx +φ=k 2π(k 2∈z )中不要把k 2写成k ，否则不好研究w 的最小值.它们本身就不一定相等.1(天津市部分区2020届高考二模数学试题)若函数f (x )=cos (2x +φ)(0<φ<π)在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6 上存在零点，则ϕ的取值范围是()A.π6,π2B.2π3，5π6C.π2,2π3D.π3，π22(2021春•商洛)已知函数f (x )=sin ωx 2+π14sin 3π7-ωx2(ω>0)在[0，π)上恰有6个零点，则ω的取值范围是()A.417,487B.347,417C.417,487D.347,417【变式训练】1(2022•湖北模拟)已知函数f (x )=cos ωx -π3 -12(ω>0)在区间[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是．2(云南省2020届高三适应性考试数学试题)若函数f x =2sin ωx +φ ω>0，π2<φ<π 图象过点0,3 ，f x 在0,π 上有且只有两个零点，则ω的最值情况为()A.最小值为13，最大值为43B.无最小值，最大值为43C.无最小值，最大值为73D.最小值为13，最大值为733(2021年全国高考甲卷数学(理)试题变式题16-20题)设函数f x =2sin ωx +φ -1(ω>0)，若对于任意实数φ，f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是．题型09区间内无“心”型求w【解题攻略】无“心”型求w ，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.1已知函数f x =sin2ωx -2cos 2ωx +1ω>0 ,x ∈R ，若函数f x 在区间π2,π内没有零点，则ω的取值范围为.2(天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +π6 sin ωx +2π3(ω>0)，(x ∈R )，若f (x )在区间π2,π内没有零点，则ω的取值范围是.【变式训练】1函数f (x )=sin ωx -12+cos 2ωx 2，且ω>12，x ∈R ，若f (x )的图像在x ∈(3π，4π)内与x 轴无交点，则ω的取值范围是.2(2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)将函数f x =sin x 的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g x 的图象，若函数g x 在π2,3π2 上没有零点，则ω的取值范围是()A.0,29 ∪23,89B.0,89C.0,29 ∪89,1D.0,13(2022·全国·高三专题练习)将函数f x =cos x 的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g x 的图象，若函数g x 在π2,3π2 上没有零点，则ω的取值范围是()A.0,29 ∪23,89B.0,89C.0,29 ∪89,1D.0,1题型10区间内最值点型求w【解题攻略】极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
2023年上海市黄浦区高三上学期高考(等级考)一模数学试卷含详解
上海市黄浦区2023届高三一模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 函数lg(2)y x 的定义域是______．2. 已知集合2,2A ，3,1,51B ，则A B ______.3. 在5(21)x 的二项展开式中，3x 的系数是________4. 已知向量,1,3a m，2,,1b n，若a b ∥，则mn 的值为______.5. 已知复数z 满足1i 42i z （i 为虚数单位），则复数z 的模等于______.6. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm ）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.7. 在平面直角坐标系xOy 中，若角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与以点O 为圆心的单位圆交于点34,55P，则sin 22 的值为______. 8. 若一个圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .9. 已知ABC 的三边长分别为4、5、7，记ABC 的三个内角的正切值所组成的集合为M ，则集合M 中的最大元素为______.10. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为_________.11. 已知四边形ABCD 是平行四边形，若2AD DE ，BF BE ∥u u ur u u u r ，0AF BE u u u r u u u r ，且60AF AC u u u r u u u r ，则AC 在AF上的数量投影为______.12.已知曲线1:C y与曲线2:C y ，长度为1的线段AB 的两端点A 、B 分别在曲线1C 、2C 上沿顺时针方向运动，若点A 从点1,0 开始运动，点B到达点 时停止运动，则线段AB 所扫过的区域的面积为______.二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，“0m ”是“方程221x my 表示的曲线是双曲线”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要14. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD 平面ABCD ，NB 平面ABCD ，且1MD NB ，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（ ） 的A. MC ANB. 平面//DCM 平面ABNC. 直线GB 与AM 是异面直线D. 直线GB 与平面AMD 无公共点15. 已知 sin 06f x x，且函数 y f x 恰有两个极大值点在0,3，则 的取值范围是（ ） A. 7,13B. 7,13C. 7,10D. 7,1016. 设a 、b 、c 、p 为实数，若同时满足不等式20ax bx c 、20bx cx a 与20cx ax b 的全体实数x 所组成的集合等于 , p .则关于结论：①a 、b 、c 至少有一个为0；②0p .下列判断中正确的是（ ） A. ①和②都正确 B. ①和②都错误 C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17. 已知 n a 是等差数列， n b 是等比数列，且23b ，39b ，11a b ，144a b . （1）求 n a 通项公式； （2）设*1Nnn n n c a b n ，求数列 nc 前2n 项和.18. 如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且直线PA ABCD 平面，又棱2PA AB ，E 为CD 的中点，60.ABC(Ⅰ) 求证：直线AE PAB 平面； (Ⅱ) 求直线AE 与平面PCD 的正切值.19. 某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD 四个顶点A 、B 、C 、D处，现要修建如图中实线所示的步道（宽的的的度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中8AB 百米，6AD 百米，且AE DE BF CF .（1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x ，并求出步道的总长y （单位：百米）关于x 的函数关系式；（2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）.20. 已知椭圆 2222:10x y C a b a b离心率为2，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线1l 、2l 都过点 0,01M m m ，斜率分别为k 、3k ，1l 与椭圆C 交于点A 、P ，2l 与椭圆C 交于点B 、Q ，点P 、Q 分别在第一、四象限且PQ x 轴.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线1l 与x 轴交于点N ，求证：2NP MN ；（3）求直线AB 的斜率的最小值，并求直线AB 的斜率取最小值时的直线1l 的方程.21. 已知集合A 和定义域为R 的函数 y f x ，若对任意t A ，x R ，都有 f x t f x A ，则称f x 是关于A 的同变函数.（1）当 0,A 与 0,1时，分别判断 2xf x 是否为关于A 的同变函数，并说明理由；（2）若 f x 是关于 2的同变函数，且当 0,2x 时，f x f x 在 2,22Z k k k 上的表达式，并比较 f x 与12x的大小； （3）若n 为正整数，且f x 是关于12,2n n 的同变函数，求证： f x 既是关于 2Z n m m 的同变函数，也是关于0, 的同变函数.的上海市黄浦区2023届高三一模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 函数lg(2)y x 的定义域是______． 【答案】(,2)【详解】由题设有20x ，解得2x ，故函数的定义域为 ,2 ，填 ,2 ． 2. 已知集合 2,2A ， 3,1,51B ，则A B ______. 【答案】 3,5【分析】运用数轴法求集合的并运算. 【详解】如图所示，则(3,5)A B . 故答案为：(3,5) .3. 在5(21)x 的二项展开式中，3x 的系数是________ 【答案】80【分析】写出展开式的通项公式，利用公式即可得答案.【详解】由题意得： 5r152rr T C x ，当2r 时， 32335280T C x x∴3x 的系数是80.故答案为：804. 已知向量 ,1,3a m ， 2,,1b n ，若a b ∥，则mn 的值为______.【答案】-2【分析】运用向量平行的坐标运算公式即可.【详解】∵//a b r r， ∴1321m n ，解得：6m ，13n ，∴mn 2 . 故答案为：2 .5. 已知复数z 满足 1i 42i z （i 为虚数单位），则复数z 的模等于______.【分析】利用复数的除法化简可得复数z ，利用复数的模长公式可求得z .【详解】因为 1i 42i z ，则42i 1i 42i 26i13i 1i 1i 1i 2z，z .故答案.6. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm ）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______. 【答案】10.8【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.【详解】数据从小到大排序为： 8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个， 所以1280%=9.6 ，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8. 故答案为：10.87. 在平面直角坐标系xOy 中，若角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与以点O 为圆心的单位圆交于点34,55P ，则sin 22的值为______. 【答案】725##0.28. 【分析】运用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式计算即可. 【详解】由题意知，3cos 5， 所以222π37sin(2)cos 2(2cos 1)12cos 12()2525. 故答案为：725. 8. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.所以该圆锥的体积为3.9. 已知ABC 的三边长分别为4、5、7，记ABC 的三个内角的正切值所组成的集合为M ，则集合M 中的最大元素为______.【答案】5【分析】设ABC 的三边长分别为4,5,7a b c ，根据余弦定理确定三角形最大角角C 为钝角，利用大边对大角及正确函数性质，可知三个内角的正切值最大为tan B ，再利用余弦定理及同角三角关系即可求得tan B 得值. 【详解】不妨设ABC 的三边长分别为4,5,7a b c ，则由大边对大角可得A B C ， 所以最大角为C ，由余弦定理得：2221625491cos 22455a b c C ab +-+-===-创，又 0,πC ，故角C 为钝角， 为所以π0π2A B C， 又函数tan y x 在π0,2上递增，此时tan 0x ，在π,π2上递增，此时tan 0x ，所以三个内角的正切值最大为tan B ，由余弦定理得：2221649255cos 22477a c b B ac ，则sin 7B ==，所以sin tan cos 5B B B.故答案为：5. 10. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为_________. 【答案】【详解】试题分析：由题活动恰好在第4人抽完后结束，包含的情况有；（不中）中中中，中（不中）中中，中中（不中）中．则概率为；232132213221111354325432543210101010P考点：相互独立事件及互斥事件概率算法．11. 已知四边形ABCD 是平行四边形，若2AD DE，BF BE ∥u u u r u u u r ，0AF BE u u u r u u u r ，且60AF AC u u u r u u u r，则AC在AF上的数量投影为______.【答案】10【分析】运用向量共线、向量垂直画图，运用平行线性质及直角三角形性质可得5||||3AC AM、||cos ||AM AF，再运用数量积运算及几何意义即可求得结果.【详解】因为2AD DE，所以A 、D 、E 三点共线，且||2||AD DE ，又因为//AD BC ，所以||||2||||3BC MC AE AM ，所以5||||3AC AM ， 因为//BF BE，所以B 、E 、F 三点共线，又因为0AF BE u u u r u u u r ，所以AF BE ⊥，如图所示，设FAC ，则||cos ||AM AF，所以255||||cos ||||cos ||6033AF AC AF AC AM AF AF，解得：||6AF ，所以AC 在AF 上的数量投影为60||cos 106||AC AF AC AF. 故答案为：10.12.已知曲线1:C y与曲线2:C y，长度为1的线段AB 的两端点A 、B 分别在曲线1C 、2C 上沿顺时针方向运动，若点A 从点 1,0 开始运动，点B到达点时停止运动，则线段AB 所扫过的区域的面积为______. 【答案】3π8##3π8【分析】根据已知条件知，曲线1C 与曲线2C 是两个半圆，分别求出起点、终点处时A 、B 的坐标，可得线段AB 扫过的面积，进而通过三角形面积公式及扇形面积公式计算可得结果.【详解】设1A 、1B 分别为A 、B 点的起点，2A 、2B 分别为A 、B 点运动的终点，则图中阴影部分即为线段AB 扫过的面积.如图所示，则1(1,0)A，2B ，设111(,)B x y ，222(,)A x y ， ∵曲线1C方程：221(0)y x y y ， 曲线2C方程：222(0)y x y y，2211111((1))111y x x y y，即：1(1,1)B ，2222222(122x y x y y，即：2)22A ， 记1C S 为圆221x y 的面积，2C S 为圆222x y 的面积，11A DB S 为 1DB 与1A D 、11A B 围成的面积，22A B F S 为 2A F 与2B F 、22A B 围成的面积，1S 为上半圆环的面积，S 为线段AB 扫过的面积.则211111()(2ππ)π222C C S S S， 因为111A B ，11OA，1OB，所以2221111A B OA OB ，所以111OA A B ，所以1145A OB ，所以11112111π1118242A DB OA BC ODB S S S S △，又因为221A B ，21OA，2 OB ，所以222OA A B ，所以2245A OB ，所以 222212111π112828A B F OA B C A OF S S S S△， 所以112211π11π3ππ242288A DB A B F S S S S. 故答案为：3π8. 二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，“0m ”是“方程221x my 表示的曲线是双曲线”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C【分析】由双曲线方程的特征计算得m 的范围，再由集合的包含关系可得结果. 【详解】∵221x my 表示双曲线， ∴0m .∴0m 是221x my 表示双曲线的充要条件. 故选：C.14. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD 平面ABCD ，NB 平面ABCD ，且1MD NB ，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（ ）A. MC ANB. 平面//DCM 平面ABNC. 直线GB 与AM 是异面直线D. 直线GB 与平面AMD 无公共点【答案】D【分析】根据给定条件，证明//AN DG 判断A ；利用线面、面面平行的判定推理判断B ；取DM 中点O ，证得四边形ABGO 是梯形判断CD 作答.【详解】因为MD 平面ABCD ，NB 平面ABCD ，则//MD NB ，取,,AB CD AN 中点,,F E H ，连接,,,EF EG FH GH ，如图，点G 为MC 的中点，的则//////EG MD NB FH ，且1122EG MD NB FH，于是四边形EFHG 是平行四边形， //,GH EF GH EF ，在正方形ABCD 中，//,EF AD EF AD ，则//,GH AD GH AD ，因此四边形ADGH 为平行四边形，//AN DG ，而1MD CD ，点G 为MC 的中点， 有DG MC ，所以MC AN ，A 正确；因为//MD NB ，MD 平面DCM ，NB 平面DCM ，则//NB 平面DCM ， 又//AB CD ，CD 平面DCM ，AB 平面DCM ，则//AB 平面DCM ， 而,,NB AB B NB AB 平面ABN ，所以平面//DCM 平面ABN ，B 正确； 取DM 中点O ，连接,GO AO ，则有11////,22GO CD AB GO CD AB，即四边形ABGO 为梯形， 因此直线,AO BG 必相交，而AO 平面AMD ，于是直线GB 与平面AMD 有公共点，D 错误；显然点A 平面ABGO ，点M 平面ABGO ，直线BG 平面ABGO ，点A 直线BG ，所以直线GB 与AM 是异面直线，C 正确. 故选：D【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. 15. 已知 sin 06f x x，且函数 y f x 恰有两个极大值点在0,3，则 的取值范围是（ ） A. 7,13 B. 7,13 C. 7,10 D. 7,10【答案】B【分析】运用整体思想法，求得π6x 的范围，再运用正弦函数图象分析即可. 【详解】∵π03x，0 ， ∴ππππ6636x ， 又∵()f x 在π[0,]3恰有2个极大值点，∴由正弦函数图象可知，5πππ9π2362，解得：713 . 故选：B.16. 设a 、b 、c 、p 为实数，若同时满足不等式20ax bx c 、20bx cx a 与20cx ax b 的全体实数x 所组成的集合等于 , p .则关于结论：①a 、b 、c 至少有一个为0；②0p .下列判断中正确的是（ ） A. ①和②都正确 B. ①和②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确【答案】D【分析】分类讨论研究一元二次不等式的解集即可.【详解】对于①假设0a 、0b 、0c =，则三个不等式解集为 ，不符合题意，所以“a 、b 、c 至少有一个为0”是错误的.对于②，由题意知，a 、b 、c 三个都不小于0，当0a ，0b ，0c 时，20ax bx c 解集为R ，20bx cx a 解集为(0,) ，20cx ax b 解集为(,0)(0,) ，所以三个集合交集为(0,) ；当0a ，0b ，0c =时，20ax bx c 解集为(0,) ，20bx cx a 解集为(,0)(0,) ，20cx ax b 解集为R ，所以三个集合交集为(0,) ；当0a ，0b ，0c 时，20ax bx c 解集为(,)c b ，20bx cx a 解集为(,)(0,)c b，20cx ax b 解集为R ，所以三个集合交集为(0,) ；同理可得：当0a ，0b ，0c =时，当0a ，0b ，0c 时，当0a ，0b ，0c =时，三个集合交集也是(0,) ；当0a ，0b ，0c 时，若20ax bx c 有两个不同的根，设20ax bx c 的两根为1x 、2x ，则120b x x a，120cx x a ，所以10x 且20x ，所以20ax bx c 解集为 1|x x x 或2}x x ，20bx cx a 只有一个根时，20bx cx a 解集为(,)(,)22c cb b， 20cx ax b 无根时，20cx ax b 解集为R ，所以集合的交集为(,)(,)m n ，与题意不符，综述： a 、b 、c 中有一个为0且另外两个大于0或a 、b 、c 中有两个为0且另外一个大于0，0p . 故选：D.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17. 已知 n a 是等差数列， n b 是等比数列，且23b ，39b ，11a b ，144a b . （1）求 n a 的通项公式； （2）设*1N nn n n c a b n ，求数列 nc 的前2n 项和.【答案】（1）21n a n（2）291444n n【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可. （2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】设等差数列 n a 的公差为d ，等比数列 n b 的公比为q ， 则323b q b，2111ba b q，144327a b b q ， 又1411311327a a d d ，可得2d ， 所以 1112121n a a n d n n . 【小问2详解】由（1）可得13n n b ，故113n n n b ，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，所以1(21)(3)n n c n ，所以数列 n c 的前2n 项和为：21122133n n a a aL L221(3)214191421344nn n n n.即: 数列 n c 的前2n 项和为291444n n .18. 如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且直线PA ABCD 平面，又棱2PA AB ，E 为CD 的中点，60.ABC(Ⅰ) 求证：直线AE PAB 平面； (Ⅱ) 求直线AE 与平面PCD 的正切值.【答案】（1）见解析（2）3【分析】试题分析：（1）由线面垂直的判定定理证明，EA ⊥，AB EA ⊥P A ，得EA ⊥平面P AB ∠；（2）AEP为直线AE 与平面PCD所成角，所以tan 3PA AEP AE． 试题解析：解：（1）证明：∵∠ADE =∠ABC =60°，ED =1，AD =2，∴△AED 是以∠AED 为直角△Rt ，又∵AB ∥CD ∴, EA ⊥，AB 又P A ⊥平面ABCD ∴，EA ⊥P A ,∴EA ⊥平面P AB ；⊥（2）如图所示，连结PE ，过A 点作AH PE 于H 点.∵CD ⊥EA , CD ⊥，P A ∴CD ⊥平面P AE ,∵⊂∴又AH 平面PAE ，AH ⊥CD ，又AH ⊥⊂⊂平面平面PE,PE∩CD=E,PE PCD,CD PCD,∴AH ⊥平面PCD,∴∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成角.在△Rt P AE 中，∵P A =2，AE∴tan 3PA AEP AE. 【详解】19. 某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中8AB 百米，6AD 百米，且AE DE BF CF .（1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x ，并求出步道的总长y （单位：百米）关于x 的函数关系式；（2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）. 【答案】（1）答案见解析的（2）18.39百米【分析】（1）若设AE x 百米，运用勾股定理表示FN 、ME ，进而写出y 与x 的关系式； 若设MAE x ，运用三角函数表示AE 、FN 、ME ，进而写出y 与x 的关系式； （2）运用导数研究函数的最值即可. 【小问1详解】设直线EF 与AD ，BC 分别交于点M ，N ，若设AE x百米，则FN ME8EF MN FN ME又因为20003090AE x x FN x，所以 4835y x x . 若设MAE x ，则3cos AE x，3tan FN ME x ， 86tan EF MN FN ME x ，则86tan 0x ，解得4tan 3x ，又因为π0,2x， 所以40arctan 3x ， 所以12486tan 0arctan cos 3y x x x）. 【小问2详解】设4835)f x x x ，435f x x ，令 0f x，可得x当3x40f x，当5x 时，()0f x ¢>，所以 fx上单调递减，在上单调递增，故当x 时， f x取得极小值（最小值）818.39f （百米）. 所以步道的最短总长度约为18.39百米. 设 12486tan 0arctan cos 3f x x x x），在212sin 640arctan cos 3x f x x x，令 0f x ，可得π6x ， 当π0,6x时， 0f x ，当π4,arctan 63x 时，()0f x ¢>， 所以 f x 在(0,6π上单调递减，在π4,arctan 63 上单调递增，故当π6x时， f x 取得极小值（最小值）π818.396f（百米）， 所以步道的最短总长度约为18.39百米.20. 已知椭圆 2222:10x y C a b a b 的离心率为2，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线1l 、2l 都过点 0,01M m m ，斜率分别为k 、3k ，1l 与椭圆C 交于点A 、P ，2l 与椭圆C 交于点B 、Q ，点P 、Q 分别在第一、四象限且PQ x 轴.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线1l 与x 轴交于点N ，求证：2NP MN ；（3）求直线AB 的斜率的最小值，并求直线AB 的斜率取最小值时的直线1l 的方程. 【答案】（1）22184x y（2）证明见解析 （3）6，67y x【分析】（1）根据已知条件，分别求出a 、b 、c 的值即可.（2）根据两个斜率的关系式求得02y m ，由两点间距离公式求得NP 、NM 即可.（3）联立直线与椭圆方程解得1x 、2x ，代入直线AB 的斜率公式再应用基本不等式可求得结果. 【小问1详解】设椭圆C 的焦距为2c ，则由2c a，222a b c 且2ab ，可得2b c ，a C 的方程为22184x y.【小问2详解】设00,P x y ， 00,Q x y ，则00y mk x，003y m k x ，可得00003y m y mx x ，解得02y m ，又NP m，NM ，所以2NP NM . 【小问3详解】设 11,A x y ， 22,B x y ，直线1l ，2l 的方程分别为y kx m ，3y kx m ， 由（2）知02y m ，所以0mk x，又m ，0x 均大于0，可知0k ， 由22,28,y kx m x y 可得222(12)4280k x kmx m ， 所以20122812m x x k，即212012812m x x k ，同理可得 2222200128128118123m m x x x k k ， 直线AB 的斜率为2222001212221212220028328121183282812118k m k m k x k x kx m kx m y y m m x x x x k x k x224241161642k k k k k（当且仅当6k 时取等号）.当6k时，0x，此时,2P m 在椭圆C 上，所以2264184m m ，又01m，可得7m， 所以直线AB的斜率的最小值为6，且当直线AB 的斜率取最小值时的直线1l的方程为67y x. 21. 已知集合A 和定义域为R 的函数 y f x ，若对任意t A ，x R ，都有 f x t f x A ，则称f x 是关于A 的同变函数.（1）当 0,A 与 0,1时，分别判断 2xf x 是否为关于A 的同变函数，并说明理由；（2）若 f x 是关于 2的同变函数，且当 0,2x 时，f x f x 在 2,22Z k k k 上的表达式，并比较 f x 与12x的大小； （3）若n 为正整数，且 f x 是关于12,2nn的同变函数，求证： f x 既是关于 2Z nm m 的同变函数，也是关于 0, 的同变函数.【答案】（1）当 0,A 时， 2xf x 是关于 0, 的同变函数；当 0,1A 时， f x 不是关于0,1的同变函数，理由见解析. （2）2f x k，当 12Z 2x k k时， 12f x x ；当 12Z 2x k k 时， 12f x x（3）证明见解析.【分析】（1）当 0,A 时，运用定义证明即可；当 0,1A 时，举反例说明即可.（2）由定义推导出 y f x x 是以2为周期的周期函数，进而可得()f x 在 2,22Z k k k 解析式，再运用作差法后使用换元法研究函数的最值来比较()f x 与12x的大小. （3）运用定义推导出 f x x 是以2n 为周期的周期函数，再用定义分别证明 2Z nt m m 与0,t 两种情况即可. 【小问1详解】当 0,A 时，对任意的t A ，x R ， 221xtf x t f x ，由21t ，可得210t ，又20x ，所以 f x t f x A ， 故 2xf x 是关于 0, 的同变函数；当 0,1A 时，存在12A ，2R ，使得2211f x t f x ，即 f x t f x A ，所以f x 不是关于 0,1的同变函数.【小问2详解】由 f x 是关于 2的同变函数，可知 22f x f x 恒成立，所以 22f x x f x x 恒成立，故 y f x x 是以2为周期的周期函数. 当 2,22Z x k k k 时， 20,2x k ，由 22f x x f x k x k ， 可知222f x f x k k k.（提示： 22f x f x k k 也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证） 对任意的x R ，都存在 k Z ，使得 2,22x k k ，故2f x k .所以11222f x x k xt ，则222t x k ，可得 0,2t ，所以 22111102222t f x x t t（当且仅当1t ，即122x k 时取等号）..所以当 12Z 2x k k 时， 12f x x ；当12Z 2x k k时， 12f x x . 【小问3详解】 因为 f x 是关于12,2nn的同变函数，所以对任意的12,2nnt ，x R ，都有 12,2n nf x t f x ，故 22nnf x f x ，用2n x 代换x ，可得1222nnnf x f x ，所以112222nnnnf x f x f x f x ，即1122nnf x f x ，又1122nnf x f x ，故1122nnf x f x ，且22nnf x f x .所以 22nnf x x f x x ，故 f x x 是以2n为周期的周期函数.对任意的 2Z nt m m ，x R ，由 22n n f x m x m f x x ，可得22nnf x m f x m ，（*） 所以 f x 是关于 2Z nm m 的同变函数.对任意的 0,t ，存在非负整数m ，使 2,12n nt m m ，所以 1122,2nn nt m ，对任意的x R ， f x t f x12121212n n n n f x t m m f x f x t m m f x 21220n n n m m ，即 0,f x t f x ，所以 f x 是关于 0, 的同变函数. 故f x 既是关于2Z nm m 的同变函数，也是关于 0, 的同变函数.。
2020-2021学年上海市高三一模数学汇编-平面向量、复数汇编--学生版
平面向量汇编一、填空题【徐汇2】已知(2,3)a m =--，(1,)b m =-，若a b ，则m =_______【宝山4】设(1,2),(2,1)a b ==，则a 和b 的夹角大小为 ．（结果用反三角函数表示）. 【嘉定9】在ABC △中，2,1==AC AB ，CA CB CE 3261+=，则=⋅BC AE ____________．【浦东新区9】正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为___________.【徐汇10】在ABC 中，45A ︒∠=，M 是AB 的中点，若2AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为___________【长宁10】在ABC ∆中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上. 若1AB AD ⋅=， 53AD AC ⋅=，则AB AC ⋅的值为 .【松江11】已知向量1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为 ．【杨浦11】如图所示，矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作127,,,E E E 自左到右依次记作127,,F F F ，满足*2(,,1,7)i j AE AF i j N i j ≤∈≤≤的有序数对(,)i j 共有_______________对。
【闵行11】已知平面向量a 、b 、c ，对任意实数t ，都有||||b ta b a -≥-、||||b tc b c -≥-成立，若||3a =，||2c =，||7a c -=，则||b =【崇明12】已知点D 为圆O ：224x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为()10，，且1AM AN =则OA OD ⋅的取值范围为_________【青浦12】已知向量e 的模长为1，平面向量,m n 满足：|2|2,||1m e n e -=-=，则m n ⋅的取值范围是_________．【宝山13】直线310x y +-=的一个法向量可以是（ ）A. (3,1)-B. (3,1)C. (1,3)D. (1,3)-二、填空题【长宁14】对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）. 【A 】()22a b a b +=+； 【B 】()()22a b a b a b +⋅-=-； 【C 】a b a b ⋅≤⋅；【D 】a b a b -≤-.【奉贤14】设d 是直线1111:0l a x b y c ++=的一个方向向量，n 是直线2222:0l a x b y c ++=的一个法向量，设向量d 与向量n 的夹角为θ，则cos θ为（ ）【A【B 】222221212121||b a b a b b a a ++- 【C【D【虹口14】在ABC ∆中，若02=+⋅，则ABC ∆的形状一定是（ ） .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰三角形， .D 等腰直角三角形复数汇编一、填空题【杨浦2】设复数12z i =- (i 是虚数单位)，则z =____________【闵行2】已知复数z 满足i 2i z =+（i 为虚数单位），则z =【崇明3】已知复数z 满足(2)1z i -=，ⅈ是虚数单位，则z =____________【松江3】已知复数z 满足(1i)1i z ⋅-=+（i 为虚数单位），则z = ．【嘉定4】已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________．【青浦4】已知复数z 满足40z z+=，则||z = .【浦东新区5】已知复数z 满足()14z i -=（i 为虚数单位），则||z = .二、选择题【长宁13】设复数i z a b =+（其中a b ∈R 、，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）.A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件 ；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件.【徐汇14】若2i -是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根，则a b +等于（ ）A.1B.1-C. 9D.9-。
高考数学复习热点06 三角函数与解三角形(解析版)-2021年高考数学专练(新高考)
热点06 三角函数与解三角形【命题形式】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。
1、题目分布："一大一小",或"三小"，或"二小"("小"指选择题或填空题，"大"指解答题)，解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。
2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。
3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。
4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。
【满分技巧】1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。
要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。
“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、整理，达到举一反三、触类旁通。
2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。
2021-2022学年上海市黄浦区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设m∈R ，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ．2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ．3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ．4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ．5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23c 101c 2) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ．6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ．7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ．8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ．10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示）11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ．12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ．13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ） A.y=x -2 B.y=x -1 C.y=x 2 D. y =x 1314.（单选题，5分）若z 1、z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1-z 2是实数”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.非充分非必要15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C. 1x2+2x+3＜2x+8D. x2+2x+3x+8＞1216.（单选题，5分）设ω为正实数，若存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1，则ω的值可以是（）A.1B.2C.3D.417.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= π2，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为π4，求三棱锥A1-ABC的体积．18.（问答题，14分）已知直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点．（1）当t= π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|关于t的表达式f（t），写出函数y=f（t）的最小正周期，并求其在区间[0，2π]内的零点．19.（问答题，14分）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？20.（问答题，16分）设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：x2+y2=1，点P是Γ上的动点．m2（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的（3）设m= 12距离是定值．21.（问答题，18分）设函数y=f（x）定义在区间（a，b）上，若对任意的x1、x2、x1'、x2'∈（a，b），当x1+x2=x1'+x2'且|x1'-x2'|＜|x1-x2|时，不等式f（x1）+f（x2）＜f（x1'）+f（x2'）成立，就称函数y=f（x）具有M性质．（1）判断函数f（x）=2x，x∈（-3，3）是否具有M性质，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）在区间（a，b）上恒正，且函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性）]2；质，求证：对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x1）•f（x2）＜[f（x1+x22（3）① 已知函数y=f（x），x∈（a，b）具有M性质，证明：对任意的x1、x2、x3∈（a，b），有f（x1）+f（x2）+f（x3）≤3f（x1+x2+x3），其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；3）具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求② 已知函数f（x）=sinx，x∈（0，π2sinA+sinB+sinC的最大值．2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设m∈R，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：结合集合的并集运算及集合元素的互异性即可求解．【解答】：解：因为A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，所以m=2．故答案为：2．【点评】：本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ．【正确答案】：[1]（0，2）【解析】：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】：解：∵|x-1|＜1，∴-1＜x-1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．【点评】：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ．【正确答案】：[1]4π【解析】：由题意结合圆柱的表面积公式即可直接求解．【解答】：解：由题意得，表面积S=2π×1×1+2π×1×1=4π．故答案为：4π．【点评】：本题主要考查了圆柱的表面积公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：结合互为反函数的函数关系，代入即可求解．【解答】：解：由题意得，函数y=a x 的反函数的图像过点（-1，2）， 所以a -1=2， 所以a= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了互为反函数的函数关系，属于基础题． 5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23c 101c 2) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：根据增广矩阵的定义得到 {x =3y =5 ，是方程组 {2x +3y =c 1y =c 2 的解，解方程组即可．【解答】：解：由题意知 {x =3y =5 ，是方程组 {2x +3y =c 1y =c 2 的解，即 {c 1=6+15=21c 2=5 ，则c 1-c 2=21-5=16， 故答案为：16．【点评】：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】：解：∵x 2+y 2-2x-4y+4=0，即（x-1）2+（y-2）2=1， ∴圆心为（1，2），∴圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0的距离d= √32+42=3 ．故答案为：3．【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ．【正确答案】：[1]y 2=12x【解析】：由题意知抛物线的顶点为（0，0），焦点为（3，0），所以抛物线方程．【解答】：解：双曲线x 24−y 25=1 的中心为O （0，0），该双曲线的右焦点为F （3，0）， ∴抛物线的顶点为（0，0）， 焦点为（3，0）， ∴p=6，∴抛物线方程是）y 2=12x ． 答案：y 2=12x ．【点评】：本题考查圆锥曲线的基本性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由向量的线性运算及数量积运算性质即可求解．【解答】：解： OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ） = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．故答案为：0．【点评】：本题主要考查平面向量的线性运算及数量积的性质，考查运算求解能力，属于基础题．9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2（ √2−1 ）【解析】：先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可．【解答】：解：∵{a n }是公比为q 的无穷等比数列， ∴{a n }数列各项的和为 lim n→+∞(q 2+1)(1−q n )1−q=q 2+11−q，其中q∈（-1，0）∪（0，1），又∵-1＜q ＜1且q≠0， ∴0＜1-q ＜2且1-q≠0， ∴ q 2+11−q =[(1−q )−1]2+11−q=（1-q ）+ 21−q -2≥2 √2 -2=2（ √2−1 ），当且仅当1-q= 21−q ，即q=1- √2 时取等号， ∴数列{a n }的各项和的最小值为2（ √2−1 ）， 故答案为：2（ √2−1 ）．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，考查学生的运算能力，属于中档题．10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示） 【正确答案】：[1]120【解析】：利用间接法，从所有9人中任选5人的选法中，去掉5人全是女教师的选法，即为所求的结果．【解答】：解：不按性别，从9人中任选5人的选法数为： C 95=126， 5人全是女教师的选法数为： C 65=6 ，故男、女教师都有选取方式的种数为：126-6=120． 故答案为：120．【点评】：本题考查组合的应用题，本题采用了间接法求解，属于基础题．11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] [−54，54]【解析】：作出曲线对应的图形，联立方程组，求出判别式等于0时b 的值，结合图象，即可得到答案．【解答】：解：曲线y 2=-|x|+1= {−x +1，x ≥0x +1，x ＜0 ，作出图形如图所示，联立方程组 {y 2=−x +1y =−x +b ，可得x 2+（1-2b ）x+b 2-1=0，则Δ=（1-2b ）2-4（b 2-1）=0，解得 b =54， 同理联立y=-x+b 与y 2=x+1，可得 b =−54 ， 曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点， 则b 的取值范围是 [−54，54] ． 故答案为： [−54，54] ．【点评】：本题考查了直线与抛物线位置关系的理解与应用，曲线方程的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：先得到 a 12 =9，且a k 为整数，再利用累加法得到|a 1+a 2+...+a 20|= 16 | a 212 -189|，最后利用|a 1+a 2+...+a 20|为整数求解即可．【解答】：解：∵a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|，∴ a 12 =9，且a k 为整数， ∵|a k |=|a k-1+3|，∴ a k 2 = a k−12 +6a k-1+9， ∴6a k-1= a k 2 - a k−12 -9，∴6（a 1+a 2+...+a 20）= a 212 - a 12 -9×20= a 212 -189， ∴|a 1+a 2+...+a 20|= 16 | a 212 -189|， ∵a 为整数，∴|a +a +...+a |为整数，∴当a212 =225时，|a1+a2+...+a20|取得最小值为16|225-189|=6，故答案为：6．【点评】：本题考查了数列递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D. y=x13【正确答案】：A【解析】：根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】：解：函数y=x-2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x-1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数y=x 13，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选：A．【点评】：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．14.（单选题，5分）若z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1-z2是实数”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：A【解析】：根据复数运算即可解决此题．【解答】：解：∵两个实数的差一定是实数，∴若z1、z2均为实数，那么z1-z2一定是实数；若z1-z2是实数，z1、z2不一定均为实数，例如z1=1+i、z2=2+i．∴“z、z均为实数”是“z-z是实数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查复数运算及充分、必要条件判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C. 1x2+2x+3＜2x+8D. x2+2x+3x+8＞12【正确答案】：B【解析】：根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式x+8x2+2x+3＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】：解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式x+8x2+2x+3＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．16.（单选题，5分）设ω为正实数，若存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1，则ω的值可以是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1等价于存在整数m，n（m＜n）使得ωπ≤2mπ+ π2＜2nπ+ π2≤2ωπ，然后分ω≥4和0＜ω＜4两种情况求出ω的范围．【解答】：解：由π≤a＜b≤2π，可得[ωa，ωb]⊆[ωπ，2ωπ]，存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1等价于存在整数m，n（m＜n）使得ωπ≤2mπ+ π2＜2nπ+ π2≤2ωπ ① ，当ω≥4时，区间[ωπ，2ωπ]的长度不小于4π，故必存在m，n满足① 式；当0＜ω＜4时，注意到[ωπ，2ωπ]⊆（0，8π），故仅需考虑如下几种情况：（i）ωπ≤ π2＜5π2≤2ωπ，此时ω≤ 12且ω≥ 54，无解；（ii）ωπ≤ 5π2＜9π2≤2ωπ，此时94≤ω≤ 52；（iii）ωπ≤ 9π2＜13π2≤2ωπ，此时134≤ω≤ 92，又0＜ω＜4，所以134≤ω＜4，综上，ω的取值范围为[ 94，52]∪[ 134，+∞），结合选项知ω的值可以是4．故选：D．【点评】：本题考查了三角函数的值域和不等式的性质，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．17.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= π2，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为π4，求三棱锥A1-ABC的体积．【正确答案】：【解析】：（1）利用异面直线所成角的定义得到∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC 所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可；（2）先确定∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成的角，求出所需线段的长度，利用锥体的体积公式求解即可．【解答】：解：（1）因为BC || B1C1，则∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC所成的角，因为∠ABC=90°，AB=BC=1，则∠BCA=45°，所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°；（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，则∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成的角，所以∠A1CA=45°，在Rt△ABC中，AB=BC=1，则AC= √2，在Rt△AA1C中，AA1=AC= √2，所以V A1−ABC =13S△ABC•AA1 = 13×12×1×1×√2 = √26．【点评】：本题考查了异面直线所成角的求解和线面角的应用，锥体体积公式的理解与应，属于中档题．18.（问答题，14分）已知直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点．（1）当t= π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|关于t的表达式f（t），写出函数y=f（t）的最小正周期，并求其在区间[0，2π]内的零点．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，把t的值代入函数的解析式，并且函数值相减后取绝对值，可得结论．（2）先利用三角恒等变换化简f（t），再根据正弦函数的零点，得出结论．【解答】：解：（1）∵直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点，∴当t= π4时，|MN|=|sin π2-cos 2π3|= 32．（2）由题意可得，f（t）=|MN|=|sin2t-cos（2t+ π6）|=| 32sin2t- √32cos2t|=| √3 sin（2t- π6）|，故函数y=f（t）的最小正周期为12×2π2= π2．令f（t）=0，求得sin（2t- π6）=0，∴2t- π6=kπ，k∈Z，求得t= kπ2 + π12，k∈Z．结合t在区间[0，2π]内，故令k=0，1，2，3，可得t= π12，7π12，13π12，19π12，故f（t）在区间[0，2π]内的零点为π12，7π12，13π12，19π12．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性，三角恒等变换，三角函数的零点，属于中档题．19.（问答题，14分）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？【正确答案】：【解析】：（1）设从2020年起每年生活垃圾的总量构成数列{a n}，每年以环保方式处理的垃圾总量构成数列{b n}，由等差数列和等比数列的通项公式可得a n，b n，计算（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4），可得所求值；（2）令b n＞12a n，通过计算n=1，2，...，6，可得结论．【解答】：解：（1）设从2020年起每年生活垃圾的总量构成数列{a n}，每年以环保方式处理的垃圾总量构成数列{b n}，所以数列{a n}是以20为首项，1+5%为公比的等比数列，数列{b n}是以6为首项，1.5为公差的等差数列，则a n=20×1.05n-1，b n=6+1.5（n-1），1≤n≤10；则2021年至2023年，该地区这三年通过填埋方式处理的垃圾总量为（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）=（a2+a3+a4）-（b2+b3+b4）=20（1.05+1.052+1.053）-（18+1.5+3+4.5）=20×（1.05+1.1025+1.157625）-27≈39.2，则该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计39.2万吨；（2）设b n＞12 a n，即6+1.5（n-1）＞12×20×1.05n-1，即为4.5+1.5n＞10×1.05n-1，当n=1时，6＞10不成立；当n=2时，7.5＞10.5不成立；当n=3时，9＞11.025不成立；当n=4时，10.5＞11.57625不成立；当n=5时，12＞12.1550625不成立；当n=6时，13.5＞12.762815625成立．所以该地区在2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%．【点评】：本题考查数列模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的数列模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立数列模型，进行计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.（问答题，16分）设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：x2m2+y2=1，点P是Γ上的动点．（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；（3）设m= 12，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的距离是定值．【正确答案】：【解析】：（1）由点P的坐标求出m的值，即可求出c的值，从而得到焦点坐标；（2）利用两点间距离公式表示出|PA|2，由二次函数的性质求解最值即可；（3）当直线PQ的斜率存在时，设方程为y=kx+t，与椭圆方程联立，得到韦达定理，结合OP⊥OQ，求出k和t的关系，利用点到直线的距离公式分析证明即可，当直线PQ的斜率不存在时，求出直线方程，即可证明结论．【解答】：（1）解：椭圆Γ：x 2m2+y2=1，点P（2，0）是椭圆上的点，所以m=2，则c=√m2−1=√4−1=√3，所以Γ的焦点坐标为(−√3，0)，(√3，0)；（2）解：设P（x，y），其中-3≤x≤3，且A（2，0），则 x 29+y 2=1 ，即 y 2=1−x 29， 所以 |PA|2=(x −2)2+y 2=(x −2)2+1−x 29 = 89(x −94)2+12 ，因为-3≤x≤3，所以当x=-3时，|PA|2取得最大值为25， 当x= 94 时，|PA|2取得最小值为 12 ， 所以|PA|的最大值为5，最小值为 √22 ；（3）证明：当m= 12 时，椭圆的方程为4x 2+y 2=1， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y=kx+t ，联立方程组 {y =kx +t4x 2+y 2=1 ，可得（4+k 2）x 2+2ktx+t 2-1=0， 所以 x 1+x 2=−2kt4+k 2，x 1x 2=t 2−14+k 2 ， 则Δ=（2kt ）2-4（t 2-1）（4+k 2）＞0， 因为OP⊥OQ ，所以 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0 ， 即x 1x 2+（kx 1+t ）（kx 2+t ）=0， 即 (1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0 ， 所以 (1+k 2)•t 2−14+k 2+kt •−2kt 4+k 2+t 2=0 ，化简可得1+k 2=5t 2，满足Δ＞0， 故点O 到直线PQ 的距离d=√1+k 2=√5t2= √55为定值； 当直线PQ 的斜率不存在时，因为OP⊥OQ ， 则直线PQ 的方程为x= ±√55， 所以点O 到直线PQ 的距离d= √55为定值． 综上所述，O 到直线PQ 的距离是定值．【点评】：本题考查了椭圆标准方程的求解与应用、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.（问答题，18分）设函数y=f （x ）定义在区间（a ，b ）上，若对任意的x 1、x 2、x 1'、x 2'∈（a ，b ），当x 1+x 2=x 1'+x 2'且|x 1'-x 2'|＜|x 1-x 2|时，不等式f （x 1）+f （x 2）＜f （x 1'）+f （x 2'）成立，就称函数y=f（x）具有M性质．（1）判断函数f（x）=2x，x∈（-3，3）是否具有M性质，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）在区间（a，b）上恒正，且函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性质，求证：对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x1）•f（x2）＜[f（x1+x22）]2；（3）① 已知函数y=f（x），x∈（a，b）具有M性质，证明：对任意的x1、x2、x3∈（a，b），有f（x1）+f（x2）+f（x3）≤3f（x1+x2+x33），其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；② 已知函数f（x）=sinx，x∈（0，π2）具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求sinA+sinB+sinC的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）取x1=-2，x2=2，x1'=-1，x2'=1，进而检验不满足M性质的定义，进而判断；（2）设x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，令x1′=x2′=x1+x22，进而根据对数函数的单调性与M性质的定义证明即可；（3）① ，对任意的x1，x2，x3∈（a，b），令A=x1+x2+x33，x1'=A，x2'=x2，x3'=x1+x3-A，进而x1+x3=x1'+x3'，且|x1'-x3'|＜|x3-x1|，故f（x1）+f（x2）+f（x3）＜f（x1'）+f（x2'）+f（x3'），又x2'+x3'=A+A，且|x2'-x3'|≥|A-A|，故f（x1'）+f（x2'）+f（x3'）＜f（A）+f（A）+f（A）=3f（A），综合即可证明；② 分△ABC是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形时，结合① 的结论求解即可．【解答】：（1）解：令x1=-2，x2=2，x1'=-1，x2'=1，此时f(x1)+f(x2)=2−2+22=174，f(x1′)+f(x2′)=2−1+21=52，所以f（x1）+f（x2）＞f（x'1）+f（x'2），不满足f（x1）+f（x2）＜f（x'1）+f（x'2），所以函数f（x）=2x，x∈（-3，3）不具有M性质．（2）证明：设x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，令x1′=x2′=x1+x22，显然x1+x22∈(a，b)，且|x1'-x2'|=0＜|x1-x2|，因为函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性质，所以1gf(x1)+lgf(x2)＜f(x′1)+f(x′2)=2lgf(x1+x22)，即lgf(x1)⋅f(x2)＜lg[f(x1+x22)]2，因为函数y=lgx在（0，+∞）上单调递增，所以f(x1)⋅f(x2)＜[f(x1+x22)]2．（3）① 证明：对任意的x1，x2，x3∈（a，b），令A=x1+x2+x33，显然A∈（a，b），令x1'=A，x2'=x2，x3'=x1+x3-A，所以x1+x3=x1'+x3'，且|x1'-x3'|=|A-（x1+x3-A）|=|-（x3-A）+（A-x1）|＜|-（x3-A）|+|A-x1|=x3-A+A-x1=x3-x1=|x3-x1|，所以f（x1）+f（x3）＜f（x1'）+f（x3'），所以f（x1）+f（x2）+f（x3）＜f（x1'）+f（x2'）+f（x3'），又x2'+x3'=x2+（x1+x3-A）=A+A，且|x2'-x3'|=|x2-（x1+x3-A）|≥0=|A-A|，所以f（x2'）+f（x3'）≤f（A）+f（A），所以f（x1'）+f（x2'）+f（x3'）＜f（A）+f（A）+f（A）=3f（A），综上，f(x1)+f(x2)+f(x3)≤3f(x1+x2+x33)，其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；② 解：当△ABC是锐角三角形时，由① 知，sinA+sinB+sinC≤3sin(A+B+C3)=3√32，当且仅当A=B=C时成立；当△ABC是直角三角形时，不妨设C为直角，于是sinA+sinB+sinC=sinA+cosA+1=√2sin(A+π4)+1≤√2+1＜3√32；当△ABC是钝角三角形时，不妨设C为钝角，此时0＜π−C＜π2，于是sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(π−C)≤3sin(A+B+π−C3)=3sin2(π−C)3，由于0＜π−C＜π2，所以0＜2(π−C)3＜π3，所以0＜sin2(π−C)3＜√32，所以0＜3sin2(π−C)3＜3√32，综上，sinA+sinB+sinC的最大值为3√32．【点评】：本题主要考查函数方程及其应用，函数中的新定义问题等知识，属于难题．。
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)3-4-1 三角函数的性质(1)(精练)(含详解)
3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2π的是（ ） A ．sin 2y x =B ．cos 2xy = C ．sin 4y x =D ．tan 3y x =2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )A ．y ＝sin x 2cos x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2x D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x3．（2022·江西景德镇）函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34x π-，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R .7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期： （1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-； （2）66sin cos y x x =+.1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（ ） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽）“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()f x 图象的一个对称题组一 周期题组二 对称性中心为（ ） A ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,04．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（ ）A ．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列结论:∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；∈函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称.其中错误的结论是( ) A ．∈∈B ．∈∈C ．∈D ．∈∈7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是（ ）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．（2022·江西·南昌十五中）若函数()sin (0)3⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭f x x πωω的图象与()2cos()=+g x x a π的图象都关于直线6x π=对称，则||||+a ω的最小值为（ ）A ．56B ．76C ．316D ．3761．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 21y x =+D ．sin 21y x =+2．（2022·全国·高二课时练习）函数3sin(2)y x π=+是（ ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 题组三 奇偶性3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．sin y x =C ．tan2xy = D ．cos 2y x =4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是π的偶函数是（ ） A ．sin y x = B ．sin ||y x = C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为2π的奇函数为（ ）． A ．sin cos 22x x y =B ．2sin y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2cos2y x x =+6．（2022·新疆昌吉）已知函数()sin f x x x =，则下列关于函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述错误的是（ ）A ．奇函数B ．最小正周期为πC ．其图象关于点(,0)π-对称D ．其图象关于直线2x π=对称7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）． A ．2sin y x =B ．sin y x x =C ．sin x y x =D ．πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（ ） A ．()()sin 0f x x x => B ．()()2sin 0f x x x =<C ．()1sinf x x= D ．()f x =9．（2022·河南）“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2022·全国·专题练习）函数f （x ）=21sin cos 1sin x x x +-+是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数11．（2022·上海市）函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件13．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x 的奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．既是奇函数也是偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数14．（2022·全国·高三专题练习）函数∈()sin cos f x x x =+，∈()sin cos f x x x =，∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ） A ．∈∈B ．∈C ．∈D ．∈∈15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ+++为奇函数，且存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02f x =，则ϕ的一个可能值为（ ）A ．56πB ．3πC ．6π-D ．23π-16．（2022·全国·高三专题练习）使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（ ） A ．23πB ．3π C ．3π-D ．56π-17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为2π的偶函数为（ ） A ．2sin 2cos2y x x = B ．22cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2y x x =D ．22cos sin y x x =-19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数()2cos 2cos 42x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．14y f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数B ．14y f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数C ．14y f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．14y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设0a <，若函数()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+的图象关于原点对称，则a 的最大值为（ ） A ．6π-B ．4π-C ．3π-D ．23π-1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·全国·高三专题练习）函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z∈ D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x =4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：∈在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；∈最小正周期为2π的是（ ） A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan2x y = D ．tan y x =-7．（2022·山东·昌乐）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象题组四 单调性的一条对称轴为43x π=，则23f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______. 9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2π的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2x y =C ．sin 4y x =D ．tan 3y x =【答案】C【解析】A 选项：22T ππ==，错误；B 选项：2412T ππ==，错误； C 选项：242T ππ==，正确；D 选项：3T π=，错误.故选：C. 2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x【答案】A【解析】 y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D都不正确，故选A.3．（2022·江西景德镇）函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】函数2ππ2sin tan()1tan()cos 2266y x x x x =+-+=--+，其中函数πtan()6y x =-的最小正周期为π，函数cos 2y x =的最小正周期为2ππ2T ==所以函数πtan()cos 226y x x =--+的最小正周期为π.故选：B.4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 【答案】2π【解析】因为()cos sin f x x x =+，所以22()2cos sin 2sin 224f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ω=，所以函数的最小正周期22T ππω==；故答案为：2π5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx题组一 周期＋3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 【答案】2 【解析】由2T ππω==，又ω>0，故2ω=.故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34x π-，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R .【答案】（1）2π ； （2）π ； （3）6π ； （4）π.【解析】(1)因为3sin(x ＋2π)＝3sinx ，由周期函数的定义知，y ＝3sinx 的周期为2π. (2)因为cos2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos2x 的周期为π.(3)因为()111sin 6sin 2sin 343434x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，由周期函数的定义知，1sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为6π.(4)y ＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x|的周期为π.7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期：（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-； （2）66sin cos y x x =+.【答案】（1）2π；（2）2π【解析】（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-，将各项同时除以cos2x ，结合正切函数和角公式化简可得cos 2sin 21tan 2cos 2sin 21tan 2x x x y x x x ++==--tantan 241tan tan 24x x ππ+=-⋅tan 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∈函数的周期是2T π=. （2）由立方和公式及完全平方公式化简可得66sin cos y x x =+()()224224sin cos sin sin cos cos x x x x x x=+-+()22222231sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x ⎡⎤=⋅+-=-⎢⎥⎣⎦53cos 488x =+.所以函数的周期是242T ππ==.题组二 对称性1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（ ） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令()362x k k Z πππ-=∈，得13()2kx k Z +=∈， 故函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选:D. 2．（2022·安徽）“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由22x k πϕπ+=+，k Z ∈可得22x k πϕπ=-+，k Z ∈，即函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为22x k πϕπ=-+，k Z ∈；若3πϕ=，则23x k ππ=+，k Z ∈，能推出函数()f x 的图象关于3x π=对称；若函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，则223k ππϕπ=-+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈；所以“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】C【解析】由题知()0sin f ϕ==π02ϕ<<，所以π3ϕ=，则()ππsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()ππ23x k k π+=∈Z ，则()223x k k =-∈Z ，当1k =时，43x =，即4,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，可验证其他选项不正确.故选：C.4．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（ ）A ．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】A.将6x π=-代入sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为12，故6x π=-不是sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；B.将6x π=-代入sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为0，故6x π=-不是sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；C.将6x π=-代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6x π=-不是cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；D.将6x π=-代入cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为1，故6x π=-是cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴；故选：D.5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】B 【解析】令2()3x k k Z ππ+=∈,得126x k ππ=-,所以对称点为1,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当1k =,为,03π⎛⎫⎪⎝⎭,故B 正确；令2()32x k k Z πππ+=+∈,则对称轴为212k x ππ=+, 因此直线6x π=和3x π=均不是函数的对称轴.故选B6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列结论:∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；∈函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称.其中错误的结论是( ) A ．∈∈ B ．∈∈ C ．∈ D ．∈∈【答案】C【解析】结论∈：周期2T ππω==，故本结论正确；结论∈：()4sin 24sin 24cos 226266f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本结论正确；结论∈：因为()4sin 2()0663f πππ⎛⎫-=⋅-+= ⎪⎝⎭，所以函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故本结论正确；结论∈：由∈的判断可知，函数函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故本结论不正确，综上，本题选C.7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是（ ）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为：22412T πππω===，故排除A. 将3x π=代入sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：sin 236y ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=1，此时y 取得最大值，所以直线3x π=是函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴．故选D.8．（2022·江西·南昌十五中）若函数()sin (0)3⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭f x x πωω的图象与()2cos()=+g x x a π的图象都关于直线6x π=对称，则||||+a ω的最小值为（ ）A ．56B ．76C ．316D ．376【答案】B【解析】由题意可得(),()6326k k a n n ππππωπππ-=+∈+=∈Z Z ，即165(),()6k k a n n ω=+∈=-+∈Z Z ，故||||+a ω的最小值为17|1|66-+-=；故选：B.1．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2y x = C ．cos 21y x =+ D ．sin 21y x =+【答案】D【解析】选项A: sin 2()sin 2x x -=-，则sin 2y x =为奇函数.排除； 选项B: cos 2()cos 2x x -=，则cos 2y x =为偶函数.排除； 选项C: cos 2()1cos 21x x -+=+，则cos 21y x =+为偶函数.排除；选项D: 令()sin 21f x x =+，ππ()sin 1042f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，ππ()sin 1242f =+=则ππ()()44f f -≠，ππ()()44f f -≠-，则sin 21y x =+既不是奇函数也不是偶函数．可选.故选：D题组三 奇偶性2．（2022·全国·高二课时练习）函数3sin(2)y x π=+是（ ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】C【解析】函数3sin(2)3sin 2y x x π=+=-, 其最小正周期为22T ππ== 由()3sin 23sin 2x x --=，可得函数为奇函数.故选：C3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．sin y x = C ．tan2x y = D ．cos 2y x =【答案】A【解析】A 选项，sin 2y x =的最小正周期是π，且是奇函数，A 正确. B 选项，sin y x =的最小正周期是2π，且是奇函数，B 错误. C 选项，tan2xy =的最小正周期为2π，且是奇函数，C 错误. D 选项，cos y x =的最小正周期是π，且是偶函数，D 错误. 故选：A4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是π的偶函数是（ ） A ．sin y x = B ．sin ||y x = C ．sin y x =- D ．sin 1y x =+【答案】A【解析】对于A ，sin y x =为偶函数,且最小正周期为π,所以A 正确; 对于B ，sin y x =为偶函数,但不具有周期性,所以B 错误; 对于C ，sin y x =-为奇函数，所以C 错误;对于D, sin 1y x =+为非奇非偶函数,所以D 错误.综上可知,正确的为A 故选:A 5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为2π的奇函数为（ ）． A ．sin cos 22x x y =B ．2sin y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2cos2y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，11sin cos 2sin cos sin 222222x x x x y x ==⨯⨯⋅=，则2221T πππω===，且()11sin sin 22x x -=-是奇函数，所以A 选项正确； 对于选项B ，21cos 2sin 2x y x -==，则222T πππω===，且()1cos 21cos 222x x ---=是偶函数，所以B 选项错误；对于选项C ，tan 2y x =，则2ππT ω==，且()tan 2tan 2x x -=-是奇函数，所以C 选项错误；对于选项D ，sin 2cos 22224y x x x x x π⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，则222T πππω===()2244x x ππ⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是非奇非偶函数，所以D 选项错误.故选：A.6．（2022·新疆昌吉）已知函数()sin f x x x =，则下列关于函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述错误的是（ ）A ．奇函数B ．最小正周期为πC ．其图象关于点(,0)π-对称D ．其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】因为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2sin 3f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最小正周期为2π，故B 错误；2sin 3f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭显然为奇函数，其图象关于点(,0)π-对称且关于直线2x π=对称，所以其它选项均正确；故选：B ．7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）． A ．2sin y x = B ．sin y x x = C ．sin xy x=D ．πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A ：2sin y x =的定义域为R ，()()()22sin sin f x x x f x -=-==，所以2sin y x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项A 不正确；对于B ：sin y x x =的定义域为R ，()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==， 所以sin y x x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项B 不正确； 对于C ：sin xy x=的定义域为{}|0x x ≠ 关于原点对称， ()()()sin sin x xf x f x xx--===-，所以sin x y x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项C 不正确；对于D ：πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为R ，πsin cos 2y x x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，图象关于原点对称，故选项D 正确； 故选：D.8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（ ） A ．()()sin 0f x x x => B ．()()2sin 0f x x x =<C ．()1sin f x x= D ．()f x =【答案】C【解析】对A ，函数的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，无奇偶性，故A 错误； 对B ，函数的定义域为(),0-∞，不关于原点对称，无奇偶性；故B 错误；对C ，函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()11sin sin f x f x x x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，故为奇函数，故C 正确；对D ，函数的定义域为{}22,x k x k k πππ≤≤+∈Z ，不关于原点对称，无奇偶性，故D 错误． 故选：C ．9．（2022·河南）“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因函数()2()sin 21cos f x x a x =+-是定义域为R 的奇函数，则R ∀∈，f (x )+f (-x )=0，于是得22(1)cos 0a x -=，而cos x 不恒为0，则有210a -=，解得1a =±，因此，当a =1时，f (x )是奇函数，而f (x )是奇函数时，a 可以为-1，所以“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的必要不充分条件.故选：B10．（2022·全国·专题练习）函数f （x ）=21sin cos 1sin x xx +-+是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】由1+sin x ≠0得sin x ≠-1，所以2,2x k k Z ππ≠-+∈所以函数f （x ）的定义域为|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭，不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以f （x ）是非奇非偶函数.11．（2022·上海市）函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数，周期22T ππ==， 所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】当2ϕπ=时，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∈()()()2cos 22cos2f x x x f x -=-==，∈()f x 为偶函数. 当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A.13．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x 的奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．既是奇函数也是偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数【答案】D【解析】由2sin x -1≥0，即sin x ≥12，得函数定义域为52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．故选：D14．（2022·全国·高三专题练习）函数∈()sin cos f x x x =+，∈()sin cos f x x x =，∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ） A ．∈∈ B ．∈C ．∈D ．∈∈【答案】D【解析】对于∈()sin cos f x x x =+，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，但不是奇函数；对于∈()sin cos f x x x =，1()sin 22f x x =，周期为22T ππ==； 又()()11()sin 2=sin 222f x x x f x =-=---，故()sin cos f x x x =符合题意；对于∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，211()cos cos 2sin 24222f x x =x =x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由∈推导过程可知：21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭周期是π且为奇函数，符合题意.故选：D15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ+++为奇函数，且存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02f x =，则ϕ的一个可能值为（ ） A ．56π B ．3π C ．6π-D ．23π-【答案】C【解析】()()()2cos 22sin 26x x f x x πϕϕϕ⎛⎫+++=++ ⎪⎝=⎭为奇函数，则()6k k Z πϕπ+=∈，可得()6k k ϕπ=π-∈Z ，所以排除BD 选项；对于A ，当56πϕ=时，()()2sin 22sin 2f x x x π=+=-， 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，不合题意；对于C ，当6πϕ=-时，()2sin 2f x x =，2sin 242f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭满足题意.故选：C.16．（2022·全国·高三专题练习）使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（ ） A ．23πB ．3π C ．3π-D ．56π-【答案】D 【解析】()sin())2sin()3f x x x x πϕϕϕ=++=++函数()f x 为偶函数，所以32k ππϕ+=（k 为奇数），当1k =-时，ϕ=56π-．故选：D ． 17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若2ϕπ=，则()sin()cos 2f x A x A x πωω=+=，()cos()cos ()f x A x A x f x ωω-=-==，所以()f x 为偶函数；若()sin()f x A x ωϕ=+为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈，ϕ不一定等于2π. 所以“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的必要不充分条件.故选：B 18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为2π的偶函数为（ ） A ．2sin 2cos2y x x = B ．22cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2y x x = D ．22cos sin y x x =-【答案】B【解析】A.2sin 2cos 2sin 4y x x x ==，函数是奇函数，周期242T ππ==，故A 不正确； B.22cos 2sin 2cos 4y x x x =-=，函数是偶函数，周期242T ππ==，故B 正确； C. 函数sin 2y x x =，满足()()f x f x -=，是偶函数，但不是周期函数，44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3344f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即344f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数的周期不是2π，故C 不正确；D.22cos sin cos 2y x x x =-=，函数是偶函数，函数的周期22T ππ==，故D 不正确. 故选：B19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数()2cos 2cos 42x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．14y f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数B ．14y f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数C ．14y f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．14y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】C【解析】∈()2cos 2cos =cos cos 1422x f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 114x x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，∈124y f x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭为偶函数，故A 错误；1cos 22sin 242y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭既不是奇函数也不是偶函数，故B 错误；12cos 4y f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭为偶函数，故C 正确；12cos 2sin 42y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，故D 错误.故选：C.20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设0a <，若函数()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+的图象关于原点对称，则a 的最大值为（ ） A ．6π-B ．4π-C ．3π-D ．23π-【答案】D【解析】()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+2cos 46x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数的图象关于原点对称，所以当0x =时，62a k πππ+=+，k Z ∈，解得：3a k ππ=+，k Z ∈，因为0a <，所以当1k =-时，a 的最大值23a π=-.故选：D 1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A 选项，当02x π<<时，3365x πππ<+<，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 对于B 选项，当2x ππ<<时，54633x πππ<+<，则()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；对于C 选项，当32x ππ<<时，411336x πππ<+<，则()f x 在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调； 对于D 选项，当322x ππ<<时，117633x πππ<+<，则()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈【答案】C题组四 单调性【解析】令,2242k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得3122,22k x k k Z -+<<+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，故选：C3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x =【答案】CD【解析】cos 2y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；sin 2y x =为奇函数，故B 错误；tan y x =图象如下图：故最小正周期为π，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为偶函数，故C 正确；sin y x =最小正周期为π，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为偶函数，则lg sin y x =也是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，故D 正确.故选：CD4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】因为()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22,12k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =时可得函数的一个单调递增区间为1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 故选：D5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =【答案】A【解析】sin y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，故A 正确；sin y x =不是周期函数，故B 错误；cos 2y x =中，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx ，故cos 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故C 错误；sin 2y x =,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx ，故sin 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故D 错误，故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：∈在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；∈最小正周期为2π的是（ ） A ．tan y x = B ．cos y x =C ．tan2x y = D ．tan y x =-【答案】C【解析】对于选项AD ，结合正切函数图象可知，tan y x =和tan =-y x 的最小正周期都为π，故AD 错误； 对于选项B ，结合余弦函数图象可知，cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于选项C ，结合正切函数图象可知，tan 2x y =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且最小正周期212T ππ==，故C 正确.故选：C.7．（2022·山东·昌乐）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.【答案】3π【解析】x ∈[],a a -，则,333x a a πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，由题可知，[],,033a a πππ⎡⎤---⊆-⎢⎥⎣⎦，则3303a a a ππππ⎧--≥-⎪⎪⇒≤⎨⎪-≤⎪⎩，则a 的最大值为3π.故答案为：3π. 8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象的一条对称轴为43x π=，则23f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______.【答案】【解析】∈f (x )最小正周期为4π，∈2142ππωω=⇒=；∈f (x )图象的一条对称轴为43x π=，∈14,23k k πϕπ⨯+=∈Z ， ∈2,3k k πϕπ=-∈Z ，02πϕ<<，1,.3k πϕ∴==∈()1cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11sin 232f x x π⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭'，∈211sin 32332f πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯'+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．【答案】1，答案不唯一【解析】()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1ω=时，()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， πππ3π,,0,4848x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，符合题意. 故答案为：1，答案不唯一。
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上海市2021年高三数学一模汇编：三角函数长宁19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区. 经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒.（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.杨浦18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数k ∈R , 2()cos 3sin cos f x k x x x =+, x ∈R . （1）若()f x 是奇函数, 求实数k 的值;（2）设1k =, ABC △中, 内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 若()1f A =, 7a =, 3b =,求ABC △的面积S .19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ， 由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF ，矩形有两条边分别落在边AB 和BC 上，设∠POA=α51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭． （1）用α表示矩形PGBF 的面积，并求出当矩形PGBF 为正方形时的面积（精确到21m ）； （2）当α取何值时，矩形PGBF 的面积S PGBF 最大？并求出最大面积（精确到21m ）．松江18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数2()cos cos 1f x x x x =++．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米． （1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．普陀区17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设a 为常数，函数1)22cos(2sin )(+-+=x x a x f π（R ∈x ） （1）设3=a ，求函数)(x f y =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数)(x f y =为偶函数，求此函数的值域.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.闵行18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos 222x x xf x =+ （1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．()f x14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD 和EF ．张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD 的高度，他在点A 测得点D 的仰角为 30， 75=∠CAB ，又选择了相距100米的B 点，测得 60=∠ABC ． （1）请你根据张明的测量数据求出塔CD 高度；（2）在完成（1）的任务后，张明测得 90=∠BAE ，并且又选择性地测量了两个角的大小（设为α、β）．据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF ． 请问：①张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可）②他是如何用α、β表示出DF 的？（写出过程和结论）金山17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，34=a ，6=b ，31cos -=A ． (1) 求c ；(2) 求B 2cos 的值．嘉定18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域； （2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．黄浦18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若A 为钝角，且2sin 0a B =.(1) 求角A 的大小；(2) 记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域.虹口18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数)1()1()1()(22-+-++=a x a x a x f ，其中R a ∈． （1）当)(x f 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数)(x f 在),2[+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围．奉贤区19、在①3=ac ；②3sin =A c ；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且B A sin 3sin =，6π=C ，______________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．崇明18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数21()sin 22f x x x =．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足()f A =，6C π=， 2c =，求ABC △的面积．宝山1. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）最小正周期为2π，且f (x )的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC 中，若＋＝2 f (A )▪f (B )▪f (C )＋，且三边a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C ．试求b ·f (B ＋C )c 的值．答案长宁区19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ∆是等边三角形，所以20BD =又因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分 在BCD ∆中，sin sin BC BDBDC C=∠∠， …………4分 得BC=3620≈16（米） …………6分 （2）设θ=∠ADC ， 则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-， 在BCD ∆中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以3BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………4分 所需板材的长度=40+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3340πθ+⎪⎭⎫⎝⎛-θπ32sin 3340=θsin 334040+， …………6分 答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（米）. …………8分杨浦18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）(1) 解: 由题意()00==k f （2分）检验： ()cos =f x x x 对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()-=----f x x x x x f x （5分）∴()f x 是奇函数 ∴0k =.（6分）(2)解: 2()cos cos 1f A A A A ==, 整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,（8分）A 是三角形的内角∴π3A =（10分） 由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=, 即219726c c+-=整理得2320c c -+=,解得1c =或2c =（12分）1sin 24==S bc A ,或2.（14分）徐汇19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)S ＝（80-60cos α）（80-60sin α），51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，-----------------3分当矩形PGBF 为正方形时，4πα=，此时S PGBF =(280-≈1412（2m ）-------6分(2)S ＝3600sin αcos α－4800(sin α＋cos α)＋6400＝1800sin2α－48002sin(α+4π)＋6400 ＝－1800cos(2α+2π)－48002sin(α+4π)＋6400＝3600 sin 2(α+4π)－48002sin(α+4π)＋4600，51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭-----------10分记t ＝sin(α+4π)∈[2,1],则236004600S t =-+对称轴为t ＝322，∵1－322＜322∴t 即∴α＝12π或512π时， max 1421S ≈（2m ）------------------------------------------------------14分（注意：若令sin cos t αα=+，则相应给分）松江18.已知2()cos cos 1f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求k 的取值范围．解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin(2)2222262x x x x x π+=++=++=++ ………3分 ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， ………5分 值域为 15()[,]22f x ∈ ……………7分 （2）记()f x t = ，则15[,]22t ∈ ，…………………8分由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立， 即22kt t ≥-恒成立，∵0t > ∴ 222t k t t t -≥=- ……………11分 ∵ 2()g t t t =- 在15[,]22t ∈时单调递增max 55417()()22510g t g ==-=∴k 的取值范围是1710k ≥……………14分青浦19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， 同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即arctan3APD ∠=，π3ππtan 3tan 344arc arc θ=--=-，所以3π0tan 34arc θ≤≤-；（2）∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， 因为3π0tan 34arc θ≤≤-，所以当242ππθ+=即30,tan 384atc ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时， S1)= 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米．普陀17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）当3=a 时，1)62sin(212cos 2sin 3)(++=++=πx x x x f ……2分由226222πππππ+≤+≤-k x k ，得63ππππ+≤≤-k x k ，所以此函数的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z k ∈. ……4分 频率f ππ122==.……6分 （2）定义域R =D ，因为函数)(x f y =为偶函数，所以对于任意的R ∈x ，均有)()(x f x f =-成立.……7分即=+-+-1)2cos()2sin(x x a 12cos 2sin ++x x a ……9分也即02sin 2=x a 对于任意实数x 均成立，只有0=a .……11分 此时12cos )(+=x x f ，因为12cos 1≤≤-x ，……12分 所以22cos 10≤+≤x ，故此函数的值域为]2,0[.……14分浦东18．解：（1） 2ω=()f x 的单调递增区间：222262k x k πππππ-≤+≤+即36k x k ππππ-≤≤+()f x 的单调递增区间,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈（2）()sin(2)6f x x π=+，由()12A f =，sin()16A π+=，(0,)A π∈，3A π=由A B C π++=，23B C π+=，23B C π=-23sin sin sin()sin sin )326B C C C C C C ππ+=-+=+=+ 250,3666C C ππππ<<∴<+<，1sin()126C π<+≤ sin sin B C +的取值范围为⎝ 闵行18．[解]（1）()f x x x =+， ………………………2分所以()2sin()4f x x π=+， ………………………4分因为函数在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以当4x π=时，()f x 的最大值为2，当x π=时，()f x的最小值为．所以函数的值域为]2,2[-． ………………………6分 （2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>………………………8分由(f x ω得sin()=42x πω+ 所以2=2=2()4343x k x k k ππππωπωπ++++∈Z 或…………………10分 所以225==()1212k k x x k ππππωωωωω++∈Z 或．由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以只需[]5,0,1212πππωω∈， ………………………12分 解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ………………………14分 静安14．解：（1）在ABC ∆中，45180=∠-∠-=∠CBA CAB ACB ，（1分）由正弦定理，有ACBABCBA AC ∠=∠sin sin ，（3分） ()f x所以，65045sin 60sin 100=⨯=AC 米．（2分） DAC AC CD ∠=tan25030tan 650=⋅= 米．（1分）（2）由（1）有2100=AD 米． 测得α=∠ABF ，β=∠DAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥．所以，ααtan 100tan ==AB AF ．（2分） 在ADF ∆中，由余弦定理，有=DF βcos 222AF AD AF AD ⋅-+（3分）βααcos tan 22tan 21002-+=米．（2分） 【另解1】测得α=∠ABF ，β=∠DBF ．解得，αsec 100=BF ，)13(50+=BC ，32650+=BD ．在BDF ∆中，由余弦定理，有DF βααcos sec 3264sec 4326502+-++=米．（同样给分） 【另解2】测得α=∠ABE ，β=∠EAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 所以，αtan 100=AE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米．（2分） βαtan tan 100=EF 米． （1分） 截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan tan 2(5022+-++-=米． （2分） 【另解3】测得α=∠ABE ，β=∠EBF ．（2分）由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 解得，αsec 100=BE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米． （2分） βαtan sec 100=EF 米． （1分）截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan sec 2(5022+-++-=米． （2分）金山17．解：(1) 在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=，………………………………2分即)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c ， ………………………………………………………………4分整理，得01242=-+c c ，…………………………………………………………………………6分解得2=c ； …………………………………………………………………………………………7分 (2)在ABC△中，由余弦定理得，acb c a B 2cos 222-+=，……………………………………9分得33cos =B ，……………………………………………………………………………………11分311cos 22cos 2-=-=B B . ……………………………………………………………………14分嘉定18、（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ． 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．黄浦18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解 (1)ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，2sin 0a B =，∴ 根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，2sin 0a B =可化为22sin sin 2sin 0(0,sin 0)R A B R B B B π⋅=<<≠．∴ sin A =A 为钝角，即2A ππ<<，34A π∴=. (2)B x =，A BC π++=，344C x x πππ∴=--=-，且04x π<<. ∴()cos cos()3f x x x π=++1cos cos 2x x x =+sin()3x π=-.又04x π<<，可得1263x πππ<-<.考察函数sin y x =的图像，可知sin sin()123x ππ<-<.3sin()1232x ππ<-<. 所以函数()f x的值域是3,)122π. (写成3)2也可以) 虹口19、（14分）解：（1）由条件，得505303PA PB ==, 15,9PA PB ==，……2分 则222159165cos 215927APB +-∠==⨯⨯ ,所以5arccos 27APB ∠=； (6)（2）由条件①，得505303PA PB ==，可设5,3PA t PB t ==，其中28t <<……8分22222(5)(3)1617128cos 25315t t t APB t t t +--∠==⨯⨯ , sin APB ∠=……10分 则=∆PAB S 11165322h t t ⨯⨯=⨯⨯=900)34(440961088162224+--=-+-t t t当t =,PA PB ==时，h 取得最大值15千米. …………13分 即当PA =千米，PB =.…………14分奉贤居民生活区 北崇明18.解：（1）1cos2)()sin 2sin(2)2232x f x x x π+=-=--...........................4分所以函数()y f x =的最小正周期2||T ππω==...........................6分（2）由()f A =1sin(2)=32A π- 因为(0,)2A π∈，所以22(,)333A πππ-∈-，所以2=36A ππ-，4A π=...........................3分所以22224cos 24b c a b A bc b +--===b =...........................6分所以1sin 12ABCSbc A ==...........................8分 宝山19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：（1）依题意，可得 2π ω＝2π，所以ω＝1，故f (x )=sin(x ＋φ)，因为f (x )的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，即 sin φ=0，注意到－π2＜φ＜π2，因此，φ=0．（2） 由（1）得f (x )=sin x ，故由已知，可得2sin 2B ＋3sin 2C ＝2sin A ▪sin B ▪sin C ＋sin 2A ，利用正、余弦定理，并整理得sin A －cos A ＝b 2＋2c 22bc ，因为 b 2＋2c 22bc ≥2，所以 sin A －cos A ≥2，又sin A －cos A ＝≤2，所以sin A －cos A ＝2，且b =2c ，A ＝3π4， 故b ·f (B ＋C )c ＝2c ·sin(B ＋C )c＝2sin A ＝1．。