平行四边形的判定典型例题与练习

平行四边形

一、知识点复习

1、平行四边形的判定

平行四边形的判定方法

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

④对角线相互平分的四边形是平行四边形。

2、平行线等分线段和三角形中位线定理

（1）平行线等分线段定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

（2）平行线等分线段定理的推论:

经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。

（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

3、三角形的重心 （1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

（2）重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。

二、典型例题讲解 模块1：平行四边形的判定

题型1：平行四边形的判定

例题1：如图所示，在平行四边形ABCD 中，CF AE ,分别是DAB ∠，BCD ∠的平分线，求证：四边形AFCE 是平行四边形。

例题2：如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，以AD 为边向左侧作等边三角形ADE 。

（1）求CAE ∠的度数。 （2）取AB 的中点F ，连接CF 、EF 。试证明四边形CDEF 是平行四边形。

例题3：如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，F E ,是BD 上的点，且DF BE =. 求证：四边形AECF 是平行四边形。

变式练习：

1.如图，在ABC ∆中，中线BD ，CE 相交于点O ,F 、G 分别是OB 、OC 的中点，连接DE GD FG EF ,,,，求证：四边形DEFG 是平行四边形。

2.如图，已知DE AB //，DE AB =，DC AF =，求证：四边形BCEF 是平行四边形。

3.如图，四边形ABCD 中，BC AD //，作DC AE //交BC 于E 。ABE ∆的周长是cm 25，四边形ABCD 的周长是cm 37，那么=AD cm 。

题型2：添加条件证明平行四边形

例题4：如图，在四边形ABCD 中，ACB DAC ∠=∠，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件不能是（ ）

A 、BC AD =

B 、O

C OA = C 、C

D AB = D 、ο

180=∠+∠BCD ABC 例题5：A 、B 、C 、D 在同一平面，从①CD AB //；②CD AB =；③AD BC //；④AD BC =这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有 种。 变式练习

1.(如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，下列哪组条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形（ ）

A 、DO O

B O

C OA ==, B 、C

D AB BCD BAD //,∠=∠

C 、BC A

D BC AD =,// D 、CO AO CD AB ==,

2. 已知在四边形ABCD 中，CD AB //，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）

A 、BC AD =

B 、BD A

C = C 、C A ∠=∠

D 、B A ∠=∠

3.如图所示，平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，连接AE ,AF ,

CE ,CF ,添加 条件，可以判定四边形AECF 是平行四边形。（填一个符合要求的条件即可）

4.四边形ABCD 中，BC AD //，要使四边形ABCD 成为平行四边形还需满足的条件是 （横线上只需填一个你认为合适的条件即可）

题型3：平行四边形的判定与性质的综合应用

例题6：已知：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，E 是BO 的中点，过点B 作AC 的平行线，交CE 的延长线于点F ，连接BF 。

（1）求证：CO FB =；

（2）求证：四边形AOBF 是平行四边形。

例题7：如图所示，O 为等边ABC ∆任意一点，BC OD //，AC OE //，AB OF //，并且D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，求证：BC OF OE OD =++．

例题8:如图所示，BD 是ABC ∆的角平分线，点E ,F 分别在边BC ,AB 上，且AC EF AB DE //,//.

（1）求证：AF BE =；

（2）若6,60==∠BD ABC ο

,求四边形ADEF 的面积。

变式练习

1. 如图，P 是等边三角形ABC 外一点，且AB PD //,BC PE //，AC PF //，若ABC

∆

的周长是36，则PE PF PD -+= 。

2.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ,BD AE ⊥，BD CF ⊥，垂足分别为F E ,，求证：四边形AECF 为平行四边形。

3. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，ο60=∠C ,N M ,分别是BC AD ,的中点，CD BC 2=.

（1）求证四边形MNCD 是平行四边形；

（2）求证MN BD 3=.

题型4：平行四边形中的动点问题

例题18：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC=6cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点的位置同时出发，点P 以1cm/s 的速度由点A 向点D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由点C 出发向点B 运动．试探究：几秒后四边形ABQP 是平行四边形？