机械波作业及参考答案
第十四章 机械波
一. 选择题
[C] 1．（基础训练1）图14-10为一平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形图，则平衡位置在P 点的质点的振动方程是
(A)
]31
)2(cos[01.0π+-π=t y P (SI)．
(B) ]31
)2(cos[01.0π++π=t y P (SI)．
(C) ]31
)2(2cos[01.0π+-π=t y P (SI)．
(D) ]3
1
)2(2cos[01.0π--π=t y P (SI)．
【提示】由t=2s 波形，及波向X 轴负向传播，波动方程
}])2[(cos{0
?ω+-+
-=u
x x t A y ，?为P 点初相。以0x x =代入。 [C] 2．（基础训练4）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是（）
(A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零．
(C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零．
【提示】在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，在平衡位置，动能最大，势能最大。
[D] 3．（基础训练7）在长为L ，一端固定，一端自由的悬空细杆上形成驻波，则此驻波的基频波（波长最长的波）的波长为
(A) L ． (B) 2L ． (C) 3L ． (D) 4L ． 【提示】形成驻波，固定端为波节，自由端为波腹。波长最长，
4
L λ
=。
[D] 4．（自测提高3）一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t ＇时波形曲线如图14-24所示．则坐标原点O 的振动方程为
(A)
]2)(cos[π
+'-=t t b u a y ．
(B) ]2)(2cos[π
-'-π=t t b u a y ．
(C) ]2)(cos[π
+'+π=t t b u a y ．
(D) ]2
)(cos[π
-'-π=t t b u a y ．
【提示】由图可知，波长为2b ，周期2=,b T u 频率=u b ωπ，在t = t ＇，o 点的相位为-2π。 坐标原点O 的振动方程为]2
)(cos[π
-'-π=t t b u a y
[D] 5．（自测提高6）如图14-25所示，S 1和S 2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为? 的简谐波，P 点是两列
图14-10
图14-24 图14-25
波相遇区域中的一点，已知 λ21=P S ，λ2.22=P S ，两列波在P 点发生相消干涉．若S 1的振动方程为
)2
12cos(1π+π=t A y ，则S 2的振动方程为
(A) )2
1
2cos(2π-π=t A y ．
(B) )2cos(2π-π=t A y ．
(C) )2
1
2cos(2π+π=t A y ．
(D) 2cos(20.1)y A t =π-π．（辅导书这里写错了）
【提示】P 点两个振动的相位差为()()2010212r r π
???λ
?=
--
-，发生相消干涉的条件为两列波频
率相等、振动方向相同．．．．．．
、振幅相同，相位差恒定并且 ()21,0,1,2,k k ?π?=+=±±L ，有以上条件得到，S 2的振动方程为
[C] 6．（自测提高7）在弦线上有一简谐波，其表达式是
]3
)2002.0(
2cos[100.221π
+-π?=-x t y (SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在x = 0处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：
(A)
]3)2002.0(
2cos[100.222π
++π?=-x t y (SI)． (B) ]32)2002.0(2cos[100.22
2π++π?=-x t y (SI)．
(C) ]34)2002.0(2cos[100.22
2π++π?=-x t y (SI)．
(D) ]3
)2002.0(2cos[100.22
2π-+π?=-x t y (SI)．
【提示】根据驻波的形成条件。
二. 填空题
7．（基础训练10）一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在)(T t +（T 为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是______5 J _____。 【提示】k p E E =
8．（基础训练16）在真空中沿着z 轴负方向传播的平面电磁波，O 点处电场强度为
)3
1
2cos(300π+π=t E x ν (SI)，则O 点处磁场强度为__)3/2cos(796.0π+π-=t H y νA/m
___________．在图14-18上表示出电场强度，磁场强度和传播速度之间的相互关系．
【提示】电磁波特性。H E 和同相。H E 00με=。H E ρ
??为电磁波传播方向。
9．（基础训练17）一列强度为I 的平面简谐波通过一面积为S 的平面，波速u ?与该平面的法线0n ?
【提示】 能流及波的强度定义。
10．（基础训练18）一列火车以20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz ，一静止观测者在机车前和机车后所听到的声音频率分别为______637.5 Hz _________和_____566.7Hz___________（设空气中声速为340 m/s ）． 【提示】R
R S S
u v u v νν+=
-
11．（自测提高 11）如图14-27所示, 两相干波源S 1与S 2相距3?/4，?为波长．设两波在S 1 S 2连线上传播时，它们的振幅都是A ，并且不随距离变化．已知在该直线上在S 1左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4倍，则两波源应满足的相位条件是_13
+
2
?π__． 【提示】强度与振幅的平方成正比，所以可以判断S 1左侧各点为干涉增强点。根据干涉增强条件，得到213-=
2
??π 12．（自测提高 15）有A 和B 两个汽笛，其频率均为404 Hz ．A 是静止的，B 以3.3 m/s 的速度远离A ．在两个汽笛之间有一位静止的观察者，他听到的声音的拍频是（已知空气中的声速为330 m/s ）____4Hz________．
【提示】R
R S S
u v u v νν+=-，再利用拍频的定义。 三. 计算题
13．（基础训练21）如图14-20所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向上，求 (1) 该波的表达式；
(2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式．
解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向右传播．
原点O 处质点，t = 0 时
02/2cos x A A φ==,
所以 4/π-=φ
O 处振动方程为 )4
1
500cos(0ππ-=t A y (m)
由图可判定波长? = 200 m ，故波动表达式为
]4
1
)200250(2cos[ππ--
=x t A y (m) (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是
)45
500cos(1ππ-
=t A y (m) 或 13
cos(500)4
y A t =+ππ (m/s)
振动速度表达式是
5
v 500sin(500)4A t =--πππ (m/s)
或 3
v 500sin(500)4
A t =-+πππ (m/s)
14．（基础训练22）设1S 和2S 为两个相干波源，相距
41波长，1S 比2S 的位相超前2
π
。若两波在1S 、2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何？又在2S 外侧各点的强度如何？
图14-19 图14-20
图14-27
解：由题目可知211
-=
2
??π， 在1S 外侧任取一点P, P 点的相位为 ()()21212=-S P S P π
???πλ
?=--
-，满足干涉相消条件。所以在1S 、2S 连线上在1S 外侧
各点的合成波的强度为零。
同理，在2S 外侧任取一点Q, Q 点的相位为
()()21212=0S Q S Q π
???λ
?=--
-，满足干涉增强
条件。所以在1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度为41I 。（1I 为单个波的强度）
15．（基础训练23）如图14-21，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s 沿x
轴负方向传播，已知A 点的振动方程为t y π?=-4cos 10
32
(SI)．
(1) 以A 点为坐标原点写出波的表达式；
(2) 以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，写出波的表达式． 解：（1）以A 点为坐标原点，波的表达式为
-2310cos4()20
x
y t π=?+
（SI ） （2）以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，波的表达式为
2310cos[4()]20
x
t ππ-=?+
- （SI ） 16．（基础训练27） 在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为
)2
1
4cos(01.0π-π-=x t y (SI)．若在x = 5.00 m 处有一媒质分界面，且在分界面处反射波相位突变
?，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式．
解：反射波在x 点引起的振动相位为
反射波表达式为
)1021
4cos(01.0π-π+
π+=x t y (SI) 或 1
0.01cos(4)2
y t x ππ=++ (SI)
17．（基础训练28）正在报警的警钟，每隔0.5秒钟响一声，一声接一声地响着。有一个人在以60公里/小时的速度向警钟行驶的火车中，问这个人在5分钟内听到几响。 解：由题目得到1
100
=2,330/,/,6
S R s
u m s v m s ν-==
5分钟内听到560 2.1=630.3??,听到的响声为630响。
18．（自测提高22）在实验室中做驻波实验时，在一根两端固定长3 m 的弦线上以60 Hz 的频率激起横向简谐波．弦线的质量为60×10-
3 kg ．如要在这根弦线上产生有四个波腹的很强的驻波，必须对这根弦线施加多大的张力？
. 解： ∵
m
Tl
l m T T
u =
=
=
/μ ① 又 ∵ νλ=u ②
由题意知 λ214=l ∴l 2
1
=λ ③
图14-21
将③代入②得 l u 2
1
?=ν ，代入①，得 4
2
2l m Tl ν=， 241νml T =16260310604
12
3=????=- N
四．附加题
平面19．（自测提高24）如图14-32，一圆频率为ω，振幅为A 的简谐波沿x 轴正方向传播，设在t=0时该波在原点O 处引起的振动使媒质元由平衡位置向y 轴的负方向运动，M 是垂直于x 轴的波密媒质反射面，已知4
'47'λ
λ==
PO OO ，(λ为该波波长)，设反射波不衰减，求：(1) 入射
波与反射波的波动方程；(2) P 点的振动方程。 解：设O 处振动方程为 )cos(0φω+=t A y 当t = 0时， y 0 = 0，v 0 < 0，∴
π=2
1
φ
∴
)21
cos(0π+=t A y ω
故入射波表达式为 12cos()2y A t x p p
w l
=+-
在O ′处入射波引起的振动方程为
由于M 是波密媒质反射面，所以O ′处反射波振动有一个相位的突变?． ∴ cos()y A t ππ2反w =-+t A ωcos =
反射波表达式
22cos[()]y A t OO x w l ￠=-
-π)]4
7(2cos[x t A -π-=λλω 合成波为 12y y y =+]22cos[π+π-=x t A λω]2
2cos[π
+π++x t A λω
将P 点坐标 λλλ2
3
4147=-=x 代入上述方程得P 点的振动方程
图14-32