专题训练：巧作平行线构造相似三角形(含答案)

专训2 巧作平行线构造相似三角形

名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．

巧连线段的中点构造相似三角形

1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD .

过顶点作平行线构造相似三角形

2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF AF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE

EC

的值．

过一边上的点作平行线构造相似三角形

3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P .求证：BP CP ＝BD

EC

.

过一点作平行线构造相似三角形

4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1

4AB ，连接

EM 并延长交BC 的延长线于点D .求证：BC ＝2CD .

参考答案

1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点， ∴BE ＝EF ＝FC .

∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD . ∴DF 是△ACE 的中位线． ∴DF ∥AE ，且DF ＝1

2AE .

∴DF ∥PE . ∴∠BEP ＝∠BFD . 又∵∠EBP 为公共角， ∴△BEP ∽△BFD .∴BE BF ＝BP

BD

.

∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP .∴BP ＝PD .∴DF ＝2PE . ∵DF ∥AE ，

∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠P AQ ＝∠DFQ . ∴△APQ ∽△FDQ .∴PQ QD ＝AP

DF .

设PE ＝a ，则DF ＝2a ， AP ＝3a . ∴PQ QD ＝AP DF ＝3 2. ∴BP PQ QD ＝53 2.

(第1题) (第2题)

2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G . ∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G . 又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝DF .

在△ADF 和△GDC 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠DAF ＝∠G ，∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，

∴△ADF ≌△GDC (AAS )．∴AF ＝CG . ∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.

∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE . ∴△ABE ∽△GCE .

∴

BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52

.

(第3题)

3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ， ∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD . ∴△PCF ∽△PBD .∴BP CP ＝BD

CF .

∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC . ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED .

∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP .∴EC ＝CF . ∴

BP CP ＝BD EC

.

(第4题①)

4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥AB ，交DE 于点F ， ∴∠FCD ＝∠B . 又∵∠D 为公共角， ∴△CDF ∽△BDE . ∴

CF BE ＝CD BD

. ∵点M 为AC 边的中点， ∴AM ＝CM . ∵CF ∥AB ， ∴∠A ＝∠MCF . 又∵∠AME ＝∠CMF ， ∴△AME ≌△CMF . ∴AE ＝CF .

∵AE ＝1

4AB ，BE ＝AB －AE ，

∴BE ＝3AE .∴AE BE ＝1

3

.

∵CF BE ＝CD BD

， ∴

AE BE ＝CD BD ＝1

3

，即BD ＝3CD . 又∵BD ＝BC ＋CD ， ∴BC ＝2CD .

(第4题②)

(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ， ∴

AE AF ＝AM AC

. 又∵点M 为AC 边的中点， ∴AC ＝2AM .

∴2AE ＝AF .∴AE ＝EF . 又∵AE AB ＝14，∴BF EF ＝2.

又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC

CD ＝2.

∴BC ＝2CD .

(第4题③)

(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B . 又∵∠A 为公共角， ∴△AEF ∽△ABC . ∴

EF BC ＝AE AB ＝AF AC

. 由AE ＝1

4AB ，知

EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14， ∴EF ＝14BC ，AF ＝1

4

AC .

由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ， ∴

EF CD ＝MF MC

.

又∵AM ＝MC ，∴MF ＝1

2MC ，

∴EF ＝1

2CD .

∴BC ＝2CD .

(第4题④)

(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ， ∴∠F ＝∠D ，∠F AE ＝∠B . ∴△AEF ∽△BED . ∴

AE BE ＝AF BD

. ∵AE ＝1

4

AB ，

∴AE ＝13BE .∴AF ＝1

3

BD .

由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM . 又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD . ∴CD ＝1

3

BD .∴BC ＝2CD .

点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．