一元二次方程与几何图形的面积问题

xm
如图，设路宽为x米， 20m
xm
横向路面为 32x 米
纵，向路面面积2为20x 米2
32m
。耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米
，耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米
相。等关系是：耕地长×耕地宽=540米2
即 32 x20 x 540.
化简得：x2 52 x 100 0, x1 50, x2 2
矩形面积减去道路面积等
于540米2。
20m
解法一、
如图，设道路的宽为x米，
32m
则横向的路面面积为 32x 米2
， 纵向的路面面积为
20x 米
。所列的方程是不是
2
32 20 (32x 20x) 540
？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
图中的道路面积不是 32 x 20 x 米2 ，
求这个长方形框的框边宽。
X
30cm
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400
整理得 x2– 25+100=0 当=20时得,20-x21x==20-,20(x舍2=去5);当x=5时,20-
答:这个长方形2x框=1的0 框边宽为5cm
列一元二次方程解应题
32 2 20 2 22
=100 (米2)
Baidu Nhomakorabea
耕地面积= 32 20 100 = 540（米2）
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动，它 的面积大小不会改变”的道理，把纵、 横两条路移动一下，使列方程容易些（ 目的是求出路面的宽，至于实际施工， 仍可按原图的位置修路）
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2：在一块长80米，宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道，这条 跑道的面积是1500平方米，求这条跑 道的宽度。
3. 如图，在长为40米，宽为22米的 矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂 直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪 的面积为760平方米，道路的宽应为多 少？
32
20
• 3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸 板的四周各剪去一个同样大小的正方形， 再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要 求长方体的底面面积为81平方厘米，那么 剪去的正方形边长为多少?
5、 在长方形钢片上冲去
一个长方形，制成一个四周宽相
X 等的长方形框。已知长方形钢片
的长为30cm，宽为20cm,要使制 成的长方形框的面积为400cm2，
经检验：x2＝19不合题意，舍去． 所以截去的正方形边长为５cm.
例4:建造一个池底为正方形,深度为
2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的 单价是120元/m2,建造池底的单价是 240元/m2,总造价是8640元,求池底的
边分长析.:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm.
根据题意得:240x2 120 2.5x 4 8640
解方程得: x1 9, x2 4
∵池底的边长不能为负数 ,∴取x=4答:池底的边长是4m.
练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水池 深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修改原 方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2 倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来 方案的水池的长与宽各是多少米？
面积问题
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积为
30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 22 x（cm）
根据题意，得 x( 22 x) 30
2
2
整理后，得x2-11x+30=0
解这个方程，得x1=5,x2=6
由x1=5得
22 x 6 2
由x2=6，得
22 x 5 2
答：这个矩形的长是5cm或6cm，宽是6cm或5cm。
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上 ，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下 部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道 路的宽应为多少？
20m
32m
分析：此题的相等关系是
x米
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ? 解:要放x层,则每 一层放(1+x) 支铅 笔.得
40米
22米
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上 ，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一 条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分 成大小相等的六块试验地，要使试验地面积 为570m²，问道路的宽为多少？
SUCCESS
THANK YOU
2019/10/15
例3、求截去的正方形的边长
• 用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片，要 在它的四角截去四个相等的小正方形，折 成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积 为180cm２，为了有效地利用材料，求截去 的小正方形的边长是多少cm？
• 分析 求截去的正方形的边长
• 设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列出 底面（图中阴影部分）长和宽的代数式．结合图 示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数 式．
28-2x
２８cm
20-2x 20cm
求截去的正方形边长
• 解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得
(28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0 解这个方程，得：x1=5,x2=19
而是从其中减去重叠部分，即应是 32 x 20 x x2 米2
所以正确的方程是：32 20 32x 20x x2 540
化简得，x2 52 x 100 0, x1 50, x2 2.
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为：
x
700--x
3
新方案
原方案
x+2x
700-x+2x
x
• 课堂练习:列方程解下列应用题 • 1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽
分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上 一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积 的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确到 0.1厘米） • 2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽的 四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余下 的部分做绿地，要使绿地面积为448平方 米，路 宽为多少？