2018高考山东理科数学试题及答案解析[解析版]

2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
数学(理科)
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得.
(1)【2017年山东,理1,5分】设函数得定义域为,函数得定义域为,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由得,由得,,故选D.
(2)【2017年山东,理2,5分】已知,就是虚数单位,若,,则( )
(A)1或 (B)或 (C) (D)
【答案】A
【解析】由得,所以,故选A.
(3)【2017年山东,理3,5分】已知命题:,;命题:若,则,下列命题为真命题得就是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】由时有意义,知就是真命题,由可知就是假命题,
即,均就是真命题,故选B.
(4)【2017年山东,理4,5分】已知、满足约束条件,则得最大值就是( )
(A)0 (B)2 (C)5 (D)6
【答案】C
【解析】由画出可行域及直线如图所示,平移发现,
当其经过直线与得交点时,最大为
,故选C.
(5)【2017年山东,理5,5分】为了研究某班学生得脚长(单位:厘米)与身高(单位:厘米)得关系,
从该班随机抽取10名学生,根据测量数据得散点图可以瞧出与之间有线性相关关系,设其
回归直线方程为,已知,,,该班某学生得脚长为24,据此估计其身高为( )
(A)160 (B)163 (C)166 (D)170
【答案】C
【解析】,故选C.
(6)【2017年山东,理6,5分】执行两次如图所示得程序框图,若第一次输入得值为7,第
二次输入得值为9,则第一次、第二次输出得值分别为( )
(A)0,0 (B)1,1 (C)0,1 (D)1,0
【答案】D
【解析】第一次;第二次,故选D.
(7)【2017年山东,理7,5分】若,且,则下列不等式成立得就是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】,故选B.
(8)【2017年山东,理8,5分】从分别标有1,2,…,9得9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次
抽取1张,则抽到在2张卡片上得数奇偶性不同得概率就是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】,故选C.
(9)【2017年山东,理9,5分】在中,角、、得对边分别为、、,若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立得就是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】所以,
故选A.
(10)【2017年山东,理10,5分】已知当时,函数得图象与得图象有且只有一个交点,则正实数得取值范围就是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】当时,,单调递减,且,单调递增,且
,此时有且仅有一个交点;当时,,在上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需,故选B.
第II卷(共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分
(11)【2017年山东,理11,5分】已知得展开式中含有得系数就是54,则 .
【答案】4
【解析】,令得:,解得.
(12)【2017年山东,理12,5分】已知、就是互相垂直得单位向量,若与得夹角为,则实数得值就是 . 【答案】
【解析】,
,,
,解得:.
(13)【2017年山东,理13,5分】由一个长方体与两个圆柱体构成得几何体得三视图如
图,则该几何体得体积为 .
【答案】
【解析】该几何体得体积为.
(14)【2017年山东,理14,5分】在平面直角坐标系中,双曲线(,)得右支与焦
点为得抛物线()交于、两点,若,则该双曲线得渐近线方程
为 .
【答案】
【解析】,因为,
所以渐近线方程为.
(15)【2017年山东,理15,5分】若函数(就是自然对数得底数)在得定义域上单调递增,则称函数具有M性质。

下
列函数中所有具有M性质得函数得序号为 .
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】①在上单调递增,故具有性质;
②在上单调递减,故不具有性质;
③,令,则,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,故不具有性质;
④,令,则,
在上单调递增,故具有性质.
三、解答题:本大题共6题,共75分.
(16)【2017年山东,理16,12分】设函数,其中,已知.
(1)求;
(2)将函数得图象上各点得横坐标伸长为原来得2倍(纵坐标不变),再将得到得图象向左平移个单位,得到
函数得图象,求在上得最小值.
解:(1)因为,所以
,由题设知,所以,.
故,,又,所以.
(2)由(1)得,所以.
因为,所以,当,即时,取得最小值.
(17)【2017年山东,理17,12分】如图,几何体就是圆柱得一部分,它就是由矩形(及其内
部)以边所在直线为旋转轴旋转得到得,就是得中点.
(1)设就是上得一点,且,求得大小;
(2)当,时,求二面角得大小.
解:(1)因为,,,平面,,所以平面,
又平面,所以,又,因此.
(2)解法一:取得中点,连接,,.因为,所以四边形为
菱形,所以.取中点,连接,,.
,,为所求二面角得平面角.,.
在中,,由余弦定理,
所以,因此为等边三角形,故所求得角为.
解法二:以为坐标原点,分别以,,所在得直线为,,轴,建立如
图所示得空间直角坐标系.由题意得,,,
故,,,设就是平面得一个法
向量.由可得取,得平面得一个法向量.
设就是平面得一个法向量.由可得取,
可得平面得一个法向量.所以.因此所求得角为.
(18)【2017年山东,理18,12分】在心理学研究中,常采用对比试验得方法评价不同心理暗示对人得影响,具体方
法如下:将参加试验得志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比
这两组志愿者接受心理暗示后得结果来评价两种心理暗示得作用,现有6名男志愿者A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6与4
名女志愿者B 1,B 2,B 3,B 4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示得志愿者中包含A 1但不包含B 1得概率;
(2)用表示接受乙种心理暗示得女志愿者人数,求得分布列与数学期望.
解:(1)记接受甲种心理暗示得志愿者中包含但不包含得事件为M,则.
(2)由题意知X 可取得值为:0,1,2,3,4.则
=.
(19)【2017年山东,理19,12分】已知就是各项均为正数得等比数列,且,.
(1)求数列得通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系中,依次连接点,,…,得到折线,求由该折线与直线,,所围成得区域得面积.
解:(1)设数列得公比为,由已知.由题意得,所以,
因为,所以,因此数列得通项公式为
(2)过……向轴作垂线,垂足分别为……,
由(1)得记梯形得面积为.
由题意,
所以……+……+①
又……+② ①-②得
=,.
(20)【2017年山东,理20,13分】已知函数,,其中就是自然对数得底数.
(1)求曲线在点处得切线方程;
(2)令(),讨论得单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
解:(1)由题意,又,所以,因此曲线在点处得切
线方程为,即.
(2)由题意得,
因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--
,令,则,所以在上单调递增.
所以当时,单调递减,当时,
1) 当时,,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以当时取得极小值,极小值就是 ;
2) 当时,,由,得,,
①当时,,当时,,单调递增;
当时,,单调递减; 当时,,单调递增.所以当时取得极大值.
极大值为,
当时取到极小值,极小值就是 ;
②当时,,当时,,函数在上单调递增,无极值;
③当时,所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减;当时,,、单调递增;所以当时取得极大值,极大值就是;
当时取得极小值.极小值就是.
综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增,函数有极小值,
极小值就是;当时,函数在与与上单调递增,
在上单调递减,函数有极大值,也有极小值,极大值就是,极小值就是;当时,函数在上单调递增,无极
值;当时,函数在与上单调递增,
在上单调递减,函数有极大值,也有极小值,极大值就是;
极小值就是.
(21)【2017年山东,理21,14分】在平面直角坐标系中,椭圆()得离心率为,焦距为2.
(1)求椭圆得方程;
(2)如图,动直线:交椭圆于A、B两点,C就是椭圆上得一点,直线OC得斜率为, 且,M就是
线段OC延长线上一点,且,⊙M得半径为,OS、OT就是⊙M得两条切线,切点分别为S、
T,求得最大值,并求取得最大值时直线得斜率.
解:(1)由题意知 ,,所以 ,因此椭圆得方程为.
(2)设,联立方程得,由题意知,
且,所以 .
由题意知,所以,由此直线得方程为.联立方程
得,因此 .
由题意可知 ,而,
令,则,因此 ,
当且仅当,即时等号成立,此时,所以 ,因此,
所以最大值为.
综上所述:得最大值为,取得最大值时直线得斜率为.。