高斯投影坐标正反算公式
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§8.3高斯投影坐标正反算公式
任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l ⇒ x,y
高斯投影必须满足以下三个条件：
①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330
'≤l ，即20/1/
≈''''ρl ，如展开为l 的级数，收敛。
+++=++++=5
53
316
64
4220l m l m l m y l m l m l m m x （8-33）
式中
,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。
由第三个条件知：
q
y
l x l y q
x ∂∂-=∂∂∂∂=
∂∂,
(8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式
--
-
-
=++++++
=
+++5
53
315
63
424
42
204
523164253l dq
dm l dq
dm l dq
dm l m l m l m l dq dm l dq dm dq
dm l m l m m (8-34)
上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即
dq dm m dq
dm m dq
dm m 2
31
2013121⋅
=⋅
-==
(8-35)
(8-35)是一种递推公式，只要确定了
0m 就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l 时有：
0m X x == (8-36)
顾及(对于中央子午线)
B
V
M
r M
B N dq
dB M dB dX cos cos 2
===
=
得：
B
V
c B N r dq
dB dB
dX dq
dX dq
dm m cos cos 01=
==⋅
=
=
=
(8-37,38)
B
B N
dq dB dB dm dq dm m cos sin 2
2121112=⋅-=⋅-= (8-39)
依次求得
6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式
6
42
56
4
42234
2
2
)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x '
'+-'
'+
'
'++-'
'+
''⋅'
'+=ρηηρρ
5
22
2
4
2
5
5
3
2233
)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N
l t B N l B N
y '
'-++-'
'+
'
'+-'
'+
''⋅'
'=ηηρηρρ (8-42)
8.3.2高斯投影坐标反算公式
x,y ⇒B,l
投影方程：
)
,(),(21y x l y x B ϕϕ== (8-43)
满足以下三个条件：
①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。 ①由x 求底点纬度(垂足纬度)f
B ,对应的有底点处的等量纬度
f
q ，求x,y 与
l
q q f ,-的
关系式，仿照(8-10)式有，
)
,()
,(y x l l y x q q ==
由于y 和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将l
q ,展开为y 的幂级数；又由于是对称投影，q 必是
y 的偶函数，l 必是y 的奇函数。
++=+++=3
314
4220y n y n l y n y n n q (8-45)
,,,210n n n 是待定系数，它们都是x 的函数.
由第三条件知：
y
l x q ∂∂=
∂∂，
y
q x
l ∂∂-
=∂∂， (8-21)
(8-45)式分别对x 和y 求偏导数并代入上式
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+++-=++++++=++
+
553315
63
424
5231442
2064253y dx dn y dx dn y dx dn y n y n y n y n y n n y dx
dn y dx
dn dx
dn
上式相等必要充分条件，是同次幂y 前的系数相等，
,41,31,21,34231201dx
dn n dx
dn n dx
dn n dx
dn n -
==
-
==
第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度f
B ，
也就是x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为
f
q 。也就是在底点展开为y