高斯投影坐标正算公式

高斯投影坐标正算公式

高斯投影坐标正反算公式

2.2.2. 1高斯投影坐标正算公式： B, x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即

式中，x为的偶函数，y为的奇函数；，即，

如展开为的级数，收敛。

（2-10）

式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。

由第三个条件知：

分别对和q求偏导数并代入上式

(2-11)

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即

(2-12)

(2-12)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。

由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(2-10)式第一式中，当时有：

(2-13)

顾及(对于中央子午线)

得：

(2-14,15)

(2-16)

依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式

(2-17)

2.2.2. 2高斯投影坐标反算公式

x,y B,

投影方程：

(2-18)

高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。

⑴由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与

的关系式，仿照式有，

由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数。

(2-19)

是待定系数，它们都是x的函数.

由第三条件知：

，

， (2-20)

(2-19)式分别对x和y求偏导数并代入上式

上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，

第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。也就是在底点展开为y的幂级数。

由(2-19)1式

依次求得其它各系数

(2-21)

(2-21)1

…………

将代入(2-19)1式得

(2-22)1

(2-22)

将代入(2-19)2式得(2-23)2式。(最后表达式) ⑵求与的关系。

由式知：

(2-23)

(2-24)

按台劳级数在展开

(2-25)

(2-25) 由式可求出各阶导数：

(2-26)

(2-27)1

(2-27)2

…………………

将式(2-22)1(2-22)(2-26)(2-27)入(2-25)并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(2-28)

(2-28)

归纳由求的基本思想：由点得到底点，将底点f作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求关系式，再将

关系式代入关系式得关系式，最后将坐标原点移回到o点,从而求得点。

2.2.2. 3高斯投影坐标正反算公式的几何解释：

（图4：高斯投影坐标正反算公式的几何解释示意图）

⑴当B=0时x=X=0，y则随的变化而变化，这就是说，赤道投影

为一直线且为y轴。当=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。⑵当=

常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y 值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。⑶当B=常数时(纬线)，随着的增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-代替时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，

中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。⑷距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。