高斯投影坐标反算公式
高斯投影及计算
x y y 2 - 1= y
C
2dδ
ε 2
2dδ
δ21
dξ
B
dδ dσ
DA
Tδ12
1
y
x B′
y A′
B dδ
A dδ
η
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 二、方向改正计算 • 方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影
到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正δ。 • 适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式
2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面， 然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进 行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
高斯投影计算内容
归算
解算
椭球面
大地坐标
高斯投影 坐标公式
两
种
地面观测数据
方
高斯直角 平面坐标
法
归算
椭球面
高斯平面
归算
解算平面三角形
平差计算
高斯投影计பைடு நூலகம்内容
Vy 2 项。
项y，4m
西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件，式中，f代 表任意解析函数。
x iy f (q il)
高斯投影坐标计算
• 高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x， y）
• 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B， L）
高斯投影坐标计算
大地经度L是从起始子午面开始起算的 起始子午线作为投影的中央子午线
上式的计算精度为0.1″。
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 三、距离改正计算
• 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投
影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算.
昆明冶金高等专科学校测绘学院 （4）计算公式
3 2 2 2 4 ( 5 3 t 9 t ) y f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 2 5 (5 2 8t 2 t4 2 2 f 24 f 6 f 8 f t f )y 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
式中：
2 e 2 cos2 B
t 2 tan2 B l （L L0） X为B对应子午线弧长 N为卯酉圈曲率半径 20626 5
昆明冶金高等专科学校测绘学院
2
高斯投影坐标反算公式
（1）高斯投影反算：
已知某点 x, y ，求该点 L, B ，即 x, y ( L, B) 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件
昆明冶金高等专科学校测绘学院
二、高斯投影坐标正反算得实用公式及算例
1 高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算： 已知某点的 L, B ，求该点的 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为 ( L1 , B1 )或（l1 , B1）及 （L2 , B2）或(l2 , B2 ) 式中 l 为椭球面上点的经 度与中央子午线 ( L0 ) 的经度差：l L L0 ,点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1 ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x 2 , y 2 ) 。
高斯投影正反算
高斯投影正、反算及换带程序执行条件※数组投影选择T、换算点个数“Z=0 F≠0”、=0正算0、≠0反算※坐标系选择“54 ≠54”、=54换算为1954年北京坐标系输入54、≠54换算为1988年西安坐标系M、中央子午线经度（°′″）输入※大地坐标I、序列号B、L：大地纬度和经度（地理坐标）（°′″）※高斯平面坐标轴子午线I、序列号X、Y：高斯平面坐标（m） Z、轴子午线（°）输出※大地坐标子午收敛角N、序列号B、L：大地纬度和经度（地理坐标）（°′″） R、子午收敛角（°′″）※高斯平面坐标子午收敛角N、序列号X、Y：高斯平面坐标（m） R、子午收敛角（°′″）注：1、程序执行前必须进行数组定位。
如：Defm 10 T×2=5×2=102、Y坐标值要去掉带号及避免出现负值的500公里；4、本程序运算时，各已知数据、观测变量不会随之变化，可非常方便地进行各数据的核对;5、本程序在进行换带计算时采用的是间接换带计算法。
Prog GSXYDefm 10:TA“Z=0 F≠0”G“54 ≠54”Z:Fixm:I=0:「b」0:I=I+1◢J=2I-1:M=Z[J:L=Z[J+1:A=0=>Prog“3”:B=M:M=L+Z:Prog“3”:L=M:{BL}:M=B:Prog“2”: B=M:M=L:Prog“2”:L=M-Z:≠>X=M:Y=L:{XY}:B=X:L=Y⊿Z[J]=B:Z[J+1]=L:I<T=>Goto 0⊿G=54=>C=6399698.90178271:E=.006738525414684:≠>C=6399596.65198801:E=.006 739501819473⊿I=0:「b」0:I“N”=I+1◢J=2I-1:B=Z[J:L=Z[J+1:A≠0=>X=B:Y=L:Goto 2⊿S=sin B:G=54=>F=111134.8611B-(32 005.7799S+133.9238S∧3+.6973S∧5+.0039S∧7)cos B:≠>F=111133.0047B-(32009.857 S+133.9602S∧3+.6976S∧5+.0039S∧7)cos B⊿U=√Ecos B:V=√(1+U2:N=C÷V:W=tan B: M=cos B(Lπ÷180:X=F+NW(.5M2+1┛24(5-W2+9U2+4U∧4)M∧4+1┛720(61-58W2+W∧4)M∧6◢Y=N(M+1┛6(1-W 2+U 2)M ∧3+1┛120(5-18W 2+W ∧4+14U 2-58U 2W 2)M ∧5◢M=W ┛π(180M+60(1+3U 2+2U ∧4)M ∧3+12(2-W 2)M ∧5:Goto 3:「b 」2:W=E ﹣6X-3:G=54=>F=27.11115372595+9.024********W-.00579740442W 2-4.3532572E ﹣4W ∧3+4.857285E ﹣5W ∧4+2.15727E ﹣6W ∧5-1.9399E ﹣7W ∧6:≠>F=27.11162289465+9.024********W-.00579850656W2-4.3540029E ﹣4W ∧3+4.858357E ﹣5W ∧4+2.15769E ﹣6W ∧5-1.9404E ﹣7W ∧6⊿U=√Ecos F:V=√(1+U 2:Q=YV ÷C:W=tan F:M=F-(1+U 2)W ┛π(90Q 2-7.5(5+3W 2+U 2-9U 2W 2)Q ∧4+.25(61+90W 2+45W ∧4)Q ∧6:Prog “3”:B=M ◢M=Z+1┛(πcos F)(180Q-30(1+2W 2+U 2)Q ∧3+1.5(5+28W 2+24W ∧4)Q ∧5:Prog “3”:L=M ◢M=W ┛π(180Q-60(1+W 2-U 2)Q ∧3+12(2+5W 2+3W ∧4)Q ∧5:「b 」3:Prog “3”:R=M ◢ I<T=>Goto 1⊿“END ”概要说明：我国的经度范围西边自73°起，东边至135°，可分成6°带共11带或3°共22带。
高斯投影坐标计算
l 4
4
)
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y ) 函数式： l 2 ( x, y ) 同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； (2) x 轴上长度投影保持不变； (3) 正形投影条件。
B ) cos
B
N b2 b3 b 4 b5
N
f
y cos B f cos
2
( 0 . 5 0 . 00336975
B f ) sin B f cos B f 0 . 001123 cos
2 2 2 2
0 . 333333 ( 0 . 1666667
高斯投影的特点分析
(1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值 减小；无论B值为正或负，y值不变。这就是说， 椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后， 均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还 对称于中央子午线和赤道。 (2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都 增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投 影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影 曲线互相垂直凹向两极。
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
B f ) cos
2
2
高斯投影坐标计算
B
d B dq
2
dX dq dq
c
(
cos B dV V dB
2
dB dq
sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3
N cos B ( 1
3
3
2
0
l
L
L
0
高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2
一 高斯投影坐标正算公式计算
如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式
最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2
t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f
2 f
9 f t
2
2 f
y
4
t
(整理)高斯投影坐标正反算公式
高斯投影坐标正反算公式未知2010-04-03 10:47:15 本站§高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（ C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
1.1 高斯投影坐标正算公式： B, x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 (8-10) 式中， x 为的偶函数， y 为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。
（ 8-33 ）式中是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。
由第三个条件知：(8-33) 式分别对和 q 求偏导数并代入上式(8-34)上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即(8-35)(8-35) 是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。
由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X ，即 (8-33) 式第一式中，当时有：(8-36)顾及 ( 对于中央子午线 )得：(8-37,38)(8-39)依次求得并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式(8-42)1.2 高斯投影坐标反算公式x,y B,投影方程：(8-43)满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
①由 x 求底点纬度 ( 垂足纬度 ), 对应的有底点处的等量纬度，求 x,y 与的关系式，仿照 (8-10) 式有，由于 y 和椭球半径相比较小 (1/16.37) ，可将展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影， q必是 y 的偶函数，必是 y 的奇函数。
(8-45)是待定系数，它们都是 x 的函数 .由第三条件知：，， (8-21)(8-45) 式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等，第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。
高斯平面直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（4）反算公式
当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″。 欲使换算精确至0.01″，可对上式简化成：
大测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
平 时 作 业 用编程进行高斯投影正反算。 已知
B 51 3843.9023 L 111 0213.1360
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
即有：
在数学上，F1为 l 的偶函数，F2为 l 的奇函数。 因为在每带中，l/ρ˝不大，是一个微小量，可展成幂级 数。
m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函 数。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
大地测量学基础
4.9 高斯平面 直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
三、高斯投影坐标正反算公式 1、高斯投影坐标正反算的定义 （1）高斯投影正算： 已知椭球面上某点的大地坐标B、L，求其 该点在高斯平面直角坐标系中的坐标x、y的工作 叫高斯投影正算。 （2）高斯投影反算： 已知椭球面上某点在高斯平面直角坐标系中 的坐标x、y，求其该点的大地坐标B、L的工作 叫高斯投影反算。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（3）反算公式推导思路： 和正算公式基本一样，也是根据高斯投影的3个条件来 推导的。 ①由对称条件，同样可得： 把B、l 展成y的幂级数，而φ1为y的偶函数， φ2为y的奇 函数。
式中 n ０ ，ｎ １ ，ｎ ２ … 是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数 ,与y无关。
第四章 7高斯投影坐标正反算
——正形投影的一般条件 ——高斯投影坐标正算 ——高斯投影坐标反算 ——高斯投影几何解释
提前在黑板上写出四个m2
上一讲应掌握的内容
1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和 距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。 x F1 ( L, B) 坐标投影公式： y F2 ( L, B) 2、地图投影变形几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
分别对l 和q 求偏导数
2) 由第三个条件正形投影条件
y x x y 和 l q l q
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m1 3m3 l 5m5 l dq dq l dq l 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 ）
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m
xX N N sin B cos Bl 2 + sin B cos 3 B(5 - t 9 2 4 4 )l 4 + 2 24
N sin B cos 5 B(61 - 58t 2 t 4 )l 6 720
dl tan Adq
2 2 2 2 E ( dq ) 2 F tan A ( dq ) G tan A ( dq ) m2 2 2 2 r2 ( dq ) tan A ( dq )
E 2 F tan A G tan 2 A = r 2 sec 2 A E cos 2 A 2 F sin A cos A G sin 2 A = r2
高斯投影正反算编程一.高斯投影正反算基本公式
高斯投影正反算编程一．高斯投影正反算基本公式（1）高斯正算基本公式（2）高斯反算基本公式以上主要通过大地测量学基础课程得到，这不进行详细的推导，只是列出基本公式指导编程的进行。
二．编程的基本方法和流程图（1）编程的基本方法高斯投影正反算基本上运用了所有的编程基本语句，本文中是利用C++语言进行基本的设计。
高斯正算中对椭球参数和带宽的选择主要运用了选择语句。
而高斯反算中除了选择语句的应用，在利用迭代算法求底点纬度还应用了循环语句。
编程中还应特别注意相关的度分秒和弧度之间的相互转换，这是极其重要的。
（2）相关流程图1）正算2）反算三．编程的相关代码（1）正算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))int i;struct jin{double B;double L;double L0;};struct jin g[100];main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("a.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("b.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].B,&g[i].L,&g[i].L0)!=EOF){double a,b;int zuobiao;printf("\n请输入坐标系：北京54=1，西安80=2，WGS84=3：");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=6378245;b=6356863.0187730473;}if(zuobiao==2){a=6378140;b=6356755.2881575287;}if(zuobiao==3){a=6378137;b=6356752.3142;} //选择坐标系//double f=(a-b)/a;double e,e2;e=sqrt(2*f-f*f);e2=sqrt((a/b)*(a/b)-1);//求椭球的第一，第二曲率//double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;double Bmiao,Lmiao, L0miao;Bmiao=(int)(g[i].B)*3600.0+(int)((g[i].B-(int)(g[i].B))*100.0)*60.0+( g[i].B*100-(int)(g[i].B*100))*100.0;Lmiao=(int)(g[i].L)*3600.0+(int)((g[i].L-(int)(g[i].L))*100.0)*60.0+(g [i].L*100-(int)(g[i].L*100))*100.0;L0miao=(int)(g[i].L0)*3600.0+(int)((g[i].L0-(int)(g[i].L0))*100.0)*60. 0+(g[i].L0*100-(int)(g[i].L0*100))*100.0;double db;db=pi/180.0/3600.0;double B1,L1,l;B1=Bmiao*db;L1= Lmiao*db;l=L1-L0miao*db;//角度转化为弧度//double T=tan(B1)*tan(B1);double n=e2*e2*cos(B1)*cos(B1);double A=l*cos(B1);double X,x,y;X=a0*(B1)-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1)/8;//求弧长//double N=a/sqrt(1-e*e*sin(B1)*sin(B1));int Zonewide;int Zonenumber;printf("\n请输入带宽：3度带或6度带Zonewide=");scanf("%d",&Zonewide);getchar();if(Zonewide==3){Zonenumber=(int)((g[i].L-Zonewide/2)/Zonewide+1);}else if(Zonewide==6){Zonenumber=(int)g[i].L/Zonewide+1;}else{printf("错误");exit(0);}//选择带宽//doubleFE=Zonenumber*1000000+500000;//改写为国家通用坐标//y=FE+N*A+A*A*A*N*(1-T*T+n*n)/6+A*A*A*A*A*N*(5-18*T*T+T *T*T*T+14*n*n-58*n*n*T*T)/120;x=X+tan(B1)*N*A*A/2+tan(B1)*N*A*A*A*A*(5-T*T+9*n*n+4*n*n *n*n)/24+tan(B1)*N*A*A*A*A*A*A*(61-58*T*T+T*T*T*T)/720;printf("\n所选坐标系的转换结果：x=%lf y=%lf\n",x,y);fprintf(w,"%lf %lf\n",x,y);//输出结果到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}（2）反算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))double X,Y,B1,B2,B3,F,t;double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8,a1,b1;double BB,LL,Bf;double e,e1;int d,m,s,i,zuobiao;double sort(double,double);struct jin{double x;double y;double L0;};struct jin g[100];//x,y,L0为输入量：x,y坐标和中央子午线经度// main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("c.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("d.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].x,&g[i].y,&g[i].L0)!=EOF)//文件为空，无法打开//{double a1=6378245.0000000000;//克拉索夫斯基椭球参数//double b1=6356863.0187730473;double a75=6378140.0000000000;//1975国际椭球参数//double b75=6356755.2881575287;double a84=6378137.0000000000;//WGS-84系椭球参数//double b84=6356752.3142000000;double M,N;//mouyou圈曲率半径，子午圈曲率半径//double t,n;double A,B,C;double BB,LL,Bf,LL0,BB0;double a,b;printf("\n选择参考椭球：1=克拉索夫斯基椭球，2=1975国际椭球，3=WGS-84系椭球:");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=a1;b=b1;}if(zuobiao==2){a=a75;b=b75;}if(zuobiao==3){a=a84;b=b84;}//选择参考椭球，求解第一偏心率e,第二偏心率e1// Bf=sort(a,b);//调用求解底点纬度的函数//double q=sqrt(1-e*e*sin(Bf)*sin(Bf));double G=cos(Bf);M=a*(1-e*e)/(q*q*q);N=a/q;double H,I;A=g[i].y/N;H=A*A*A;I=A*A*A*A*A;t=tan(Bf);n=e1*cos(Bf);B=t*t;C=n*n;BB0=Bf-g[i].y*t*A/(2*M)+g[i].y*t*H/(24*M)*(5+3*B+C-9*B*C)-g[i] .y*t*I/(720*M)*(61+90*B+45*B*B);LL0=g[i].L0*pi/180.0+A/G-H/(6*G)*(1.0+2*B+C)+I/(120*G)*(5.0+28 *B+24*B*B+6*C+8*B*C);//利用公式求解经纬度//int Bdu,Bfen,Ldu,Lfen;double Bmiao,Lmiao;Ldu=int(LL0/pi*180);Lfen=int((LL0/pi*180)*60-Ldu*60);Lmiao=LL0/pi*180*3600-Ldu*3600-Lfen*60;Bdu=int(BB0/pi*180);Bfen=int((BB0/pi*180)*60-Bdu*60);Bmiao=BB0/pi*180*3600-Bdu*3600-Bfen*60;//将弧度转化为角度//printf("\n所选坐标系的转换结果：%d度%d分%lf秒%d 度%d分%lf秒\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);fprintf(w,"%d°%d’%lf”%d°%d’%lf”\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);//将结果输出到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}double sort(double a,double b){double e,e1;e=sqrt(1-(b/a)*(b/a));e1=sqrt((a/b)*(a/b)-1);double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;B1=g[i].x/a0;do{F=-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1 )/8;B2=(g[i].x-F)/a0;B3=B1;B1=B2;} while(fabs(B3-B2)>10e-10);//利用迭代算法求解底点纬度//return B2; }。
高斯投影坐标反算公式
d B 0
x dx dl l y dy dl l
x dx l tan dy y l
x N sin B cos 3 N N sin B cos Bl (5 t 2 9 2 4 4 )l 3 l 6 N sin B cos 5 B (61 58t 2 t 4 )l 5 120 y cos 2 B cos 4 B 2 2 2 N cos B{1 (1 t )l (5 18t 2 t 4 )l 4 } l 2 24
121212角子午线收敛角方大地方位角坐标方位对于克拉索夫斯基椭球1根据高斯坐标确定带号计算中央子午线经度六度带24114923计算中央子午线经度2迭代法求取大地纬度迭代开始时设以后每次迭代按下式计算为止3计算反算公式中的各符号的值2428cos120掌握子午线收敛角的定义及作用
上节回顾
高斯投影坐标正算要求： 1、掌握公式中各符号的意义，公式不要求记住； 2、每个同学必须会计算，一般计算两遍。
1 sin B cos 4 Bl 5 (2 t 2 ) 15
1 3
说明：⑴ 为 l 的奇函数，而且 l 越大， 越大； ⑵ 有正负，当描写点在中央子午线以东时， 为正， 以西时， 为负； ⑶ 当 l 不变时，则 随纬度增加而增大。 （2）由平面坐标f B Bf y2 2M f N f cos B f 1 1 2 2 l y (1 2t f n f ) y 3 3 N f cos B f 6 N f cos B f
算例：带第38带 3 x 5586514 .369 m y 4374 .724 m X 5586514 .369 m Y 38504374 .724 m
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l
2
24
tan sin B l 1 (1 t 2 3 2 2 4 ) sin B cos2 Bl3
3 1 (2 4t 2 2t 4 ) sin B cos4 Bl5 15
sin B l 1 sin B cos2 Bl3(1 3 2 2 4 )
3
1 sin B cos4 Bl5 (2 t 2 )
q y
N
cosB M
l x
求导，同次幂系数相等，得：
n1
N
M cosB
dn0 dx
n2
1 2
N
cosB M
dn1 dx
n3
由第二个条件得：
F：底点 底点纬度Bf
y 0，x X
B n0 Bf
dn0 dx
dBf dX
dX M f dBf
dBf 1 dX M f
n1
Mf N f cos Bf
本节主要内容
• 高斯投影坐标反算公式 • 坐标反算公式的几何解释 • 平面子午线收敛角的定义 • 平面子午线收敛角的公式推导 • 实用公式
3. 高斯投影坐标反算公式
(x, y) (L, B)
B 1(x, y) l 2(x, y)
满足3个条件：即 ⑴ x坐标轴投影成中央子午线，即投影的对称轴 ⑵ x轴上的长度投影保持不变 ⑶ 正形投影条件
重复迭代直至
Bi1 f
Bif
为止
3、计算反算公式中的各符号的值
t f tan B f
2 f
e'2
cos2
Bf
Wf 1 e2 sin2 B f
Mf
a(1 e2 )
W
3 f
Nf
a Wf
4、代入反算公式计算经度差、纬度
1
l N f cosBf
1 y 6N 3 cosBf
1
2t
2 f
2 f
y3
②计算中央子午线经度
六度带 L0 6n 3 三度带 L0 3n
11 n 24 23 n 49
2、迭代法求取大地纬度 迭代开始时设 B1f X a0
以后每次迭代按下式计算
F
(
B
i f
)
a2 2
sin 2Bif
a4 4
sin 4Bif
a6 6
sin 6Bif
Bi1 f
(X
F(Bif
))
a0
dn0 dX
Mf N f cos Bf
1 M
f
1 N f cos Bf
n2
n3
B
Bf
tf 2M f N f cosBf
y2
l
Nf
1 c os B f
y
6
N
f
3
1 c
os
B
f
(1 2t f 2
nf 2) y3
算例：3带第38带
x 5586514.369m
y 4374.724m X 5586514.369m Y 38504374.724m
四、平面子午线收敛角公式 1.平面子午线收敛角的定义
p点的子午线收敛角就是 pN在 p点上的切线 pn与坐标
北方向 pt 之间的夹角，用 表示。
x
t
N' n'
p'
dy
Q' q'
dx
o
y
2.公式推导
（1）由大地坐标 (L，B)
x xL, B y yL, B
dB 0
dx
x l
dl
dy
y l
15
说明：⑴ 为 l 的奇函数，而且 l 越大， 越大；
⑵ 有正负，当描写点在中央子午线以东时， 为正， 以西时， 为负；
⑶ 当 l 不变时，则 随纬度增加而增大。
（2）由平面坐标 x，y 计算平面子午线收敛角
(x，y) (l，Bf )
Nf
y tan Bf [1
y2 3N f 3
(1
tan2
作业与思考
1、通过高斯反算，验证上次作业的正确性。 2、高斯反算公式推导思路是什么？中各符号的意义是什么？ 3、子午线收敛角的作用是什么？
B 502434.763 L 1140341.549
x
4.坐标反算公式的几何解释 反算公式：
求l P''(0,B)
P(x,y)
求B
平行圈
B Bf B
y 0，l 0，x X，B Bf
O
y
y 0，l 0，x X，B Bf
以 P'点' 为核心，在中央子午线上P'' 点展开y 的幂级数
Bf
f 2)]
3.实用公式
⑴ 查表
⑵ 电算
对于克拉索夫斯基椭球
{1 [(0.33333 0.00674cos2 B) (0.2cos2 B
0.0067)l2 ]l2 cos2 B}l sin B
对于1975国际椭球
{1 (C3 C5l 2 )l 2 cos2 B}l sin B
C3 0.33332 0.00678 cos2 B C5 0.2cos2 B 0.0667
由第一个条件得：
B 1(x, y)，l 2(x, y)
偶函数
奇函数
B n0 n2 y2 n4 y4 l n1y n3 y3 n5 y5
由第三个条件得： q l , l q
x y x y
dq
MdB N cosB
B x
N cosB M
q x
N cosB M
l y
B y
N
cosB M
计算子午线收敛角的意义： 1、用于大地方位角和高斯平面坐标方位角的转换； 2、高斯正反算检核坐标计算的正确性。。
大地方位角＝坐标方位角－子午线收敛角＋方向改化
A12 12 12
高斯坐标反算实用步骤
1、根据高斯坐标确定带号、计算中央子午 线经度 ①计算带号 n int( y /1000000)
1
120N
5 f
c os B f
5
28t
2 f
24t
4 f
y5
பைடு நூலகம்
B Bf
tf
2M f N f
y2
t
3 f
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
5、中央子午线收敛角和经度
Nf
y
tan
B
f
[1
y2 3N f
3
(1 tan2 Bf
f 2)]
L L0 l
小结
• 了解反算公式的推导思路； • 掌握反算公式保符号的意义； • 用反算公式会进行计算； • 掌握子午线收敛角的定义及作用；
dl
x
tan
dx dy
l y
l
x N sin B cosBl N sin B cos3 N (5 t 2 9 2 4 4 )l3
l
6
N sin B cos5 B (61 58t 2 t 4 )l5 120
y N cosB{1 cos2 B (1 t 2 2 )l 2 cos4 B (5 18t 2 t 4 )l 4}