平面向量知识点梳理

1．向量的有关概念

名称定义

备注

向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a

|a |

平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线

共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律加法

求两个向量和的运

算

(1)交换律：

a ＋

b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋

c ＝a ＋(b ＋c )．

减法

求a 与b 的相反向

量－b 的和的运算叫做a 与b 的差

a －

b ＝a ＋(－b ) 数乘

求实数λ与向量a 的积的运算

(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的方

向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0

(1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；

(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .

4．平面向量基本定理

如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，

λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21

. (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →

|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a 、b 共线?x 1y 2－x 2y 1＝0. 7．向量的夹角

已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 8．平面向量的数量积

9.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ?a ·b ＝0.

(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b

|a ||b |.

(5)|a ·b |≤|a ||b |.

10．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；

(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .

11．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →

|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 12．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

平面几何问题――→设向量

向量问题――→运算

解决向量问题――→还原

解决几何问题． 13．平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．

14．平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．