北邮 工程数学(线性代数)综合练习题整理

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《线性代数》部分

一、判断题：

1.四阶行列式 D =

00000000000d

c b a

= abcd. (√ )

2.n 阶行列式D =

1

1

1

1

1

1

00000

00000000

000001

32

1

n

n λλλλλ-

=.21n λλλ

(

)

3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA =

( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(2

2

2

B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0.

(

)

6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1

B A =-

(√ ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[]

)()(111

'='---A B AB .

(

√)

10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵.

(√ )

12.若n 阶可逆矩阵A =⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛n λλλ

2

1,则.112

111

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=----n A λλλ (√ )

13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关.

(

)

14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. (

)

15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关.

( √)

2

16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则),,2,1(m i i =α均可用

r ααα,,,21 线性表示.

(√ ) 17.等价向量组所含向量个数相同.

(

)

18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. (√)

19.若n m ⨯矩阵A 有一个r (r

(√ ) 24若线性方程组AX =0(A 为n 阶矩阵,X 同上)满足0=A ,则此方程组无解. (

)

25.若线性方程组AX=B (A ,X 同24题,B =)),,,(21'n b b b 满足,0=A 此方程组有无穷多解.

(

)

26.若21,γγ都是AX=B (A ,X ,B 同23题)的解,则21γγ+仍是此方程组的解.

(

)

二、填空题：

1. 四阶行列式 101 32

0235 120 26 437

11

7

8

D ---==----_____________________.

2. 五阶矩阵,0021

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=A A A 其中 ,100010103,542321⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=A A 则

=1A _______, =2A ________, =A _____________.

3. 设A ,B 均为n 阶矩阵,且,3,2-==B A 则B A 2=_______________.

4. 设矩阵()33

10132 101 1ij

A a ⨯-⎛⎫

⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

,则12a 的余子式为_________________,12a 的代数余子式为

________________,A 的顺序主子式为__________________________.

3

5. 设三阶矩阵,⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=b a c a c b c b a A 则kA -E =________________(k 为不等于零的常数,E 为三阶单位矩阵),若

,2=A 则kA =________________.此时A 在等价关系下的标准形为____________________.

6. 已知),

3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321===ααα当

321,,a a a 为任意常数时,向量组

)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211a a a ===βββ线性________关(相关还是无关). 3α_______(能还是不能)用21,αα线性表示.

7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321-====βααα则向量β用向量321,,ααα线性表示的表达式为_______________________.向量组βααα,,,321_____________(是或不是)线性相关.

8. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________. 9. 设A 为五阶矩阵,且,3=A 则_,__________,__________1==*-A A 其中*A 为A 的伴随矩阵.

10.设矩阵,0

021

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A 其中,0121,311121⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则11A -= ，1

2

A -= ，1A -= 。 11 .设A 为n 阶正交矩阵,则Rank(A ) =__________________, ==-A A

_______,1

__________________.

12. 设E 为四阶单位矩阵,则初等矩阵E (1,3)=_______________, E (2(3))=________________. 13. 设

A

为四阶矩阵且,2=A B

是由

A

交换

2,3

行得到的等价矩阵,则

______,=B Rank(A )_______Rank(B )(等于,大于或小于).

14. 齐次线性方程组032321=++x x x 的一个基础解系为___________________________,其全部解为____________________________________. 15. 设线性方程组为⎩⎨

⎧=+=-2

1

24321x x x x ,它的导出组的一个基础解系为_________________

_______________________,此方程组的全部解为________________________________. 16.

设

n

m ⨯矩阵A 的秩为)

(,,12121γγγγ≠-n 都是线性方程组

AX=B (X =)),,,(,),,,(2121'='m n b b b B x x x 的解,则它的一个基础解系为___________,全部解为________________________________________________.