数学建模·市场投资的收益和风险模型
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市场投资的收益和风险模型
摘要
本文提出了一个多目标规划的数学模型,解决了市场投资方案的问题,使收益值尽可能大,风险值尽可能小。
为了方便求解,我们把非线性的转化为线性的,并将两个目标函数用加权系数法,引入加权系数,转化为一个目标函数,其中反应的是风险水平。另外,在考虑交易费时,由于有个最小给定值的约束使问题很复杂,为了简化,我们将问题简化为只考虑超过部分的交易费,这样也利于求解。最后,由MATLAB 求解出问题的最佳抉择与收益及其风险表:
001max ()n
i i i i f m r p m r ==-+∑
min g=max{}i i m q
01(1)1.01
n
i i i i m p m s t m =⎧++=⎪⎨⎪≤≤⎩
∑ 再将15n =带入模型,按问题一相同思路得出投资组合方案(具体方案见文中)。
关键词:多目标规划 加权系数法 市场投资
一、问题的重述
市场上有n 种资产(如股票、债券、…)),,1(n i S i 供投资者选择,某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估,估算出这在这一时期内购买i S 的平均收益率为i r ,并预测出购买i S 的风险损失率i q 。考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量。
购买i S 要付交易费,费率为i p ,并且当购买额不超过给定值i u 时,交易费按购买i
u 计算(不买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。(0r =5%)
1、已知n = 4时的由给出的相关数据,试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。
2、试就一般情况对以上问题进行讨论,并利用给出数据进行计算。
二、模型的假设
1、假设确定M 相当大,这一条件可以在交易额很小时,忽略交易费;
2、假设投资越分散,总的风险越小,且总体风险可用所投资的资产当中最大的一个风险来度量;
3、假设交易费按购买计算,在不买的情形下当然无须付费;
4、假设同期银行存款利率保持定值不变,且既无交易费又无风险。
三、符号的约定
:n 市场资产数目;
:i S 市场资产的种类(其中0S 表示投资银行);
:i m 选择投资i S 的资金比例(其中0m 表示投资银行的资金比例); :i r 购买i S 的平均收益率; :i q 购买i S 的风险损失率; :i p 购买i S 的交易费率
:i U 交易费用;
:i u 交易额较低时的交易费用;
:M 总给定的投资资金;
:f 净收益额;
:g 总体风险。
四、模型的建立与求解
(一)问题一的分析、模型的建立与求解
1、问题的分析
该问题为一个多目标规划问题,即要提出一种投资方案,既要收益尽可能大,又要让风险最小。在投资每一种资金的同时,都有着相应的一组数据对应,即收益率i r ,风险损失率i q ,交易费率i p 。对于银行来说,0005%,0,0r q p ===。但在考虑交易费时需要分段考虑:
0 0; ; .
i i i i i i i i Mm U u Mm u Mm Mm u =⎧⎪
=≤⎨⎪>⎩
在考虑总体风险时,我们要求值最小,而风险又是在所有投资项目中最大的一个风
险来度量,即要求在风险的最大值中找到一组最小值解,实际为一极小极大值问题。两者是对立矛盾的,就要我们在两者之间找到一个合适的投资方案让问题求解。 2、模型的建立
建立多目标规划函数:
4
001max ()i i i i i f Mm r U p Mm r ==-+∑
min g=max{}i i Mm q
约束条件:
4
4
01
.0,01
i i i i i i
i Mm U p M s t U m ==⎧+=⎪⎨⎪>≤≤⎩∑∑ 3、模型的求解
对于该模型的求解,是比较复杂的,直接求解几乎找不到方法,我们只好将问题进行化简处理,试探求解。
问题的复杂在于交易费有个最小给定值的约束,我们如果有一部分投资额低于给定值时,问题将十分麻烦,将对4种投资各进行两次判断是否达到最低给定值,那么总共
的情况就有82256=种。在投资额都超过最低给定值的这种情况下的交易费:
4
4
1
1
103*0.01+198*0.02+52*0.045+40*0.065=9.9300i i i i i U U p u =====∑∑
显然数据很小,我们可以忽略掉。在最好的一种方便的情况下,就是4中投资额都超过最低给定值,将使问题清晰,一目了然。然而在假设中M 为相当大,我们就更有理由将交易费低于给定值的情形忽略,将问题简化为只考虑超过部分的交易费。重新列出为:
0 ;
.i i i i i i Mm u U Mm Mm u ≤⎧=⎨
>⎩
此时把M 当作一个单位量,于是,
4
001max ()i i i i f m r p m r ==-+∑
min g=max{}i i m q
4
01
(1)1
.01
i i i i m p m s t m =⎧++=⎪⎨⎪≤≤⎩
∑ 现在问题还是比较复杂,我们将两个目标函数用加权系数法,引入加权系数λ。转
化为一个目标函数:
min (1)()F g f λλ=+-⋅- 01λ≤≤
λ反应的是风险水平,0λ=时投资者只顾收益不顾风险,这样,收益可能达到最大,但是风险也达到最大;1λ=时投资者总是担心风险,不会考虑收益,这样就会把投资全
部放在银行。
对于第二个目标函数,是一个非线性的,解决十分麻烦,但是该式总有一个最大值
5m ,则有5i i m q m ≤,于是可以把该式转化为一个约束条件让问题简便。
4
5001
min (1)(())i i i i F m m r p m r λλ==--⋅-+∑
4
015(1)1.0 1,,401
i i i i i i
m p m s t m q m i m =⎧++=⎪⎪⎪
-≤=⎨⎪≤≤⎪⎪⎩
∑ 上述线性规划模型,容易由MATLAB 优化工具箱的linprog 线性规划函数求出解。我们取0,0.1,0.2,
,1λ=,编程搜索求解得到最佳抉择与收益及其风险见表1: