数学建模-投资的风险和效益

解决组合投资收益最优问题

一、 摘要

本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。 分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投获得的总利润达到最大。

模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。

模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。

二、 关键字：

经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权

三、 问题重述

市场上有n 种资产（如储蓄、保险、国债、股票、基金、期货、外汇、房地产、珠宝、邮票、古玩字画、钱币及拍卖品等）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，将数额1000万的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。现对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。考虑到投资越分散，总的风险越小，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。

购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易按购买i u 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。（0r =5%） 资产 收益率(%) 风险率(%) 交易率(%) 阀值(元) 28 2.5 1 103 21 1.5 2 198

23

5.5

4.5

52

25 2.6 6.5 40

试给一种投资组合方案，即用给定的资金1000万，有选择地购买若干种资产

或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

资产收益率(%)

风险率

(%)

交易率

(%)

阀值(元)

1

S9.6 42 2.1 181

2

S18.5 54 3.2 407

3

S49.4 60 6.0 428

4

S23.9 42 1.5 549

5

S8.1 1.2 7.6 270

6

S14 39 3.4 397

7

S40.7 68 5.6 178

8

S31.2 33.43 3.1 220

9

S33.6 53.5 2.7 475

10

S36.8 40 2.9 248

11

S11.8 31 5.1 195

12

S9 5.5 5.7 320

13

S35 46 2.7. 267

14

S9.4 5.3 4.5 328

15

S15 23 7.6 131

的盈亏数据，以及一般情况的讨论。

这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。

设购买Si （i=0,1…….n;S0表示存入银行，）的金额为xi;所支付的交易费为ci(xi)，则：

对Si 投资的净收益为:（i＝0，1，…，n）

对Si投资的风险为:

对Si 投资所需资金（即购买金额 xi 与所需的手续费 ci(xi) 之和）是

投资方案用 x=（x0，x1，…，xn）表示，那么，

净收益总额为： R(x)=

总风险为：Q(x)=

所需资金为：F(x)=

所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：

min｜F(x)=M,x

但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单的单目标模型。

四、模型的假设与符号说明

1．模型的假设：

（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。

（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。即在买入后就不再卖出。

（3）每种投资是否收益是相互独立的。

（4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。

参数范围说明

Si i=1,2…n 欲购买的第i种资产的种类

M 相当大现有的投资总额

xi i=1,2…n 购买Si烦人金额

ri i=1,2…n 购买Si的平均收益率

qi i=1,2…n 购买Si的平均损失率

pi i=1,2…n 购买Si超过ui时所付的交易费

Ei i=1,2…n 购买资产Si所或得的收益

k 0.1~1 权因子

A 不等式右端的系数矩阵

f 目标向量

五、问题分析

由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，在这里投资Si的平均收益率为xiri，风险损失为xiqi。要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小，第一个解决方法就是进行投资组合，分散风险，以期待获得较高的收益，模型的目的就在于求解最优投资组合，当然最优投资还决定于个人的因素，即投资者对风险，收益的偏好程度，怎样解决二者的相互关系也是模型要解决的一个重要问题。