第十二讲 容斥原理

第十二讲容斥原理

在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。如：A=｛五（1）班全体同学｝。我们称一些事物的全体为一个集合。A=｛五（1）班全体同学｝就是一个集合。

例1 B=｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体的有无限多个元素的集合。

例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝=｛3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。

通常集合用大写的英文字母A、B、C、…表示。构成这个集合的事物称为这个集合的元素。如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素。又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素。像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集。像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集。有限集合所含元素的个数常用符合︱A︱、︱B︱、︱C︱、…表示。

记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。集合A∪B叫做集合A

与集合B的并集。“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。

例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则

A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝。元素2，4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。

记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体。就是上面图中阴影部分所表示的集合。即是由集合A、B的公共元素所组成的集合。它称为集合A、B的交集。符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”。如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。

例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝，A=｛属于集合，但不属于集合A的全体元素｝=｛1，9｝。

我们称属于集合I但不属于集合A的元素的集合为集合A在集合I中的补集（或余集），如下图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I），常记作A。

如例4中A=｛1，9｝就是集合A在集合I中的补集。

显然，A和A没有公共元素，即A∩A=O（O表示空集，即没有元素的集合）。

此外，A∪A=I。

对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有

︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱。

例如，A=｛1，2，…，100｝，B=｛101｝，则

A∪B=｛1，2，…，100，101｝，A∩B=O，

所以︱A∪B︱=101=100＋1=︱A︱＋︱B︱。

如果集合A与B有公共元素，例如

A=｛1，2，…，100｝，B=｛90，91，…，101｝，则A∩B=｛90，91，…，100｝，A∪B=｛1，2，…，100，101｝。此时，︱A∪B︱与︱A︱＋︱B︱有什么关系呢？在这个例中，︱A∪B︱=101，︱A ︱＋︱B︱=100＋12=112，所以︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱－11。

我们注意到，11恰为A∩B的元素个数，这是合理的，因为在求︱A∪B︱时，90，91，…，100这11个数各被计入一次，而在求︱A︱＋︱B︱时，这11个数各被计入两次（即多算了一次），并且

这11个数组成的集合恰为A∩B。因此得到：

︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱－︱A∩︱（1）

这就是

关于两个集合的容斥原理：集合A与B的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交集的元素个数。

（1）是容斥原理的第一个公式，我们还可以用下图来说明。如图我们用N1、N2、N3分别表示A∪B中互不重叠的部分的元素个数。

可见：︱A︱=N1＋N3，︱B︱=N2＋N3，︱A∩B︱=N3，因此︱A∪B︱=N1＋N2＋N3=（N1＋N2）+（N2＋N3）-N3=︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱。

我们知道，当集合A与B没有公共元素时，有

︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱。

实际上这是公式（1）的特殊情形，因为此时

︱A∩B︱=︱O︱=0

例5 桌面上有两张圆纸片A、B。假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米。这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米，则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥

原理的公式（1）可以算出为：︱A∪B︱=30+20-10=40（平方厘米）。

例6 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。

分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除。根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个。因而得到：

解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，

B=｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，

则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。

因为100÷3=33…1，所以︱A︱=33；

因为100÷7=14…2，所以︱B︱=14；

因为100÷21=4…16，所以︱A∩B︱=4。

由容斥原理的公式（1）：︱A∪B︱=33+14-4=43。

答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。

例7 求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。

解：设A=｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝

B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝

则问题就是要求A∪B在集合｛1，2，…，100｝中的补集A B

的元素个数。为此先求︱A∪B︱。

因为100÷5=20，所以︱A︱=20

又因为100÷6=16…4，所以︱B︱=16

因为100÷30=3…10，所以︱A∩B︱=3

︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱20＋16－3=33

所以A B

=100－︱A∪B︱=100－33=67（个）

答：在1～100的自然数中既不是5的倍数又不是6的倍数的数共67个。

我们也可以把公式（1）用于求几何图形的面积。这时，A和B 是平面上的两个点集（即点的集合），都是几何图形，︱A︱，︱B ︱，…分别表示A的面积，B的面积，…

例8 设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。