第八讲-组合数学

第八讲 组合数学组合数学是中学数学竞赛的“重头戏”，具有形式多样，内容广泛的特点.本讲主要围绕组合计数，组合恒等式及组合最值展开例1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？解：易见，第k 号点能被染红的充要条件是∃j ∈N *⋃{0}，使得a 0⨯2j ≡k (mod800)，1≤k ≤800 ①这里a 0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a 0=1.即2j ≡k (mod25×52). 当j=0,1,2,3,4时，k 分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶20)2(25=δ，因此，当j ≥5时2j+20-2j =2j (220-1)≡0(mod 800),而对∀k<20,k ∈N *，及j ≥5,j ∈N *，由于25+(2k -1)，所以2j+k -2j =2j (2k -1)不为800的倍数. 所以，共存在5+20=25个k ，满足①式。

注：本题解法不止一种，但利用些同余理论，可使解法简洁许多.例2．集合X 的覆盖是指X 的一族互不相同的非空子集A 1、A 2、…、A k ，它们的并集A 1∪A 2∪…∪A k =X ，现有集合X={1,2,…,n}，若不考虑A 1, A 2,…, A k 的顺序，试求X 的覆盖有多少个？解：首先，X 的非空子集共有2n -1个，它们共组成了n212--1个非空子集族.其次，这些子集族中，不合某一元素i 的非空子集组成的非空子集族有()n 12121---个；不含两个元素的子集组成的族有()n 22121---个；依次类推，则由容斥原理，X 的覆盖共有()() --+--------)12()12()12(1221211221n n n n n=())12()1(121---=-∑n n j nj j 个.注：有些组合计数问题直接计数较难，但从反面考虑简洁明了.例3．已知集合X={1,2,…,n}，映射f ：X →X ，满足对所有的x ∈X ，均有f(f(x))=x ，求这样的映射f 的个数.解：设n 元中有j 个对x 、y 满足f(x)=y 且f(y)=x ，其余的满足f(x)=x ，则 当j=0时，仅一种映射，即恒等映射.当j>0时，每次取两个作为一对，共取j 对有n n 2n 2j 2222--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭种取法.则不考虑j 对的顺序，有n n 2n2j 2n 1!(2j 1)!!2222j j --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此，映射f 的个数为n 2j 1n 1(2j 1)!!2j ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭∑ .注：这些计数问题，以多次在国际竞赛中出现，但对于一般地情况(f (n)(x)=x)下的映射计数，尚无较好的结论.例1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？解：易见，第k 号点能被染红的充要条件是∃j ∈N *⋃{0}，使得a 0⨯2j ≡k (mod800)，1≤k ≤800 ①这里a 0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a 0=1.即2j ≡k (mod25×52). 当j=0,1,2,3,4时，k 分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶20)2(25=δ，因此，当j ≥5时2j+20-2j =2j (220-1)≡0(mod 800),而对∀k<20,k ∈N *，及j ≥5,j ∈N *，由于25+(2k -1)，所以2j+k -2j =2j (2k -1)不为800的倍数. 所以，共存在5+20=25个k ，满足①式。

注：本题解法不止一种，但利用些同余理论，可使解法简洁许多.例4．S 为{1,2,…,n}的一些子集族，且S 中任意两个集合互不包含，求证：S 的元素个数的最大值为n n 2⎛⎫⎪⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(Sperner 定理)解：考虑n 个元素1,2,…,n 的全排列，显然为n!种，另一方面，全排列中前k 个元素恰好组成S 中的某个集S i 的，有k!(n -k)!个，由于S 中任意子集互不包含，所以，这种“头”在S 中的全排列互不同.设S 中有f k 个A i ，满足|A i |=k (k=1,2,…,n)，则nk k 1f k!(n k)!n!=⋅-≤∑,又然知n k ⎛⎫ ⎪⎝⎭在n k 2⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时最大，因此 当S 是由{1,2,…,n}中全部n 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦元子集组成时，等号成立.注：Sperner 定理是1928年发现，证明的方法不止一种.例5．设M={ 1,2,3,…,2m n} (m,n ∈N *)是连续2m n 个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M 的任何k 元子集中都存在m+1个数，a 1,a 2,…a m+1，满足a i |a i+1 (i=1,2,…,m).解：记A={1,2,…,n}，任何一个以i 为首项(1≤i ≤n)，2为公比的等比数列与A 的交集记为A.一方面，由于M 中的2m n -n 个元的子集{n+1,n+2,…,2m n}中，若存在满足要求的m+1个数：n+1≤a 1<a 2<…<a m+1≤2m n ，使得a i |a i+1 (1≤i ≤m)，则a i+1≥2a i ，从而a m+1≥2a m ≥…≥2m a 1≥2m (n+1)>2m n ，矛盾，故不存在满足要求的m+1个数，因此所求的k ≥2m n -n+1.另一方面，若k=2m n -n+1时，可证明M 中的任何k 元子集T 中，此有m+1个数a 1,a 2,…a m+1满足a i |a i+1 (i ≤1≤m).反证：假设这样的m+1个数不存在，考虑2i+1为首项n 1i 2-⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，2为公比的等比数列，它与集合M 的交的元素个数为|A 2i+1|+m ，由假设知，它至少有|A 2i+1|个元素不在T 中，再注意到当i ≠j 时，A 2i+1⋂A 2j+1=φ，可知M 中至少有2i n-11i 2|A +1|≤≤∑个元素不在T 中，注意到2i 1n 11i 2A A +-≤≤= 所以 2i n 11i 2|M \S |A +1|A |n -≤≤≥==，从而 |T|≤|M|-n ≤2m n -n ，这与|T|=2m n -n+1矛盾.故假设不成立.综上所述满足要求的最小正整数值k 为2m n -n+1. 注：这种先确定单边界限再证明最值是经常采用的.例6．计算n2k 1n k k =⎛⎫⎪⎝⎭∑.解：nn n 22k 1k 1k 1n n 1n 1n k k n k k k 1k 1k ===--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，作指标变换，令l =k -1，则101-→n nlk ，因此，()()()1111111)1(--=-=---=∑∑∑+==n ln l n l n ln k nk l k k ,=()()∑∑-=--=+1111n l n ln ln k k l ,=()1112--=+∑n n lnk l .再次用n n 1n k k 1k -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()()∑∑-=------=+⋅-⋅=+1121111212n l n n l n n ln l ln l l,=()111212)1(--=--+-∑n n l n l n , =()111212)1(--=--+-∑n n l n l n .作指标变换，令l -1=S ，则，211--→n n s l 所以 ()111212)1(--=--+-∑n n l n l n =()12022)1(--=-+-∑n n s n snn 2n1(n 1)22--=-+.所以n2n 2n 1n2k 1n k n(n 1)2n 2n(n 1)2k ---=⎛⎫=-+⋅=+ ⎪⎝⎭∑.注：用利基本的组合恒等式及指标变换，是证明组合恒等式的重要方法之一.例7．证明：qk 0n m m n k q k q =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ (范德蒙公式)证明：n m ,k k ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭因为的母函数分别为 (1+x)n 和(1+x)m而qk 0n m k q k =⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑是这两个母函数(1+x)m (1+x)n =(1+x)m+n 中x q项的系数，又由于(1+x)m+n 中x q 的系数为m n q +⎛⎫⎪⎝⎭，因此命题成立.注：构造母函数法，是证明组合问题重要方法之一，但如何找到母函数，是需要长时间的体验的.例8．设m ≤n ，证明：nk m mn k m n k (1)(1)k m =⎛⎫⎛⎫-=-δ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑，其中⎩⎨⎧=≠=nm n m mn ,1,0δ.证明：当m=n 时，上面和式仅有一项，所以nk m k m n k (1)(1)k m =⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑.当m<n 时，nn k k k m k m n k n n m (1)(1)k m m k m ==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑， n k n n m k m mk m ⎛-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n k k m n n m (1)m k m =-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑.作指标变换：令l =k -m ，则mn n m l k -→0.所以，原式=()()m n lmn l lm n m--=+∑-0)1(,= ()()m n lmn l lnmm --=∑--0)1()1(=0. nk k 0n (1)0k =⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 注：我们把mn δ称为克朗耐克尔δ，在许多组合恒等证明中，基本的组合恒等式，往往是有力的武器.例9．证明：12n 1k 1k 02n 1(1)k n 1---=⎛⎫-= ⎪+⎝⎭∑.证明 易证：2n 2111n 2n 12n 12n 1k k k 1+⋅=++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此，由于()12211)1(1222-=-∑-++n knk k n n =()()][)1(112112211-++-=-+-∑n k n knk k ,=()()()()()()12121121221123112211221121[][][-+-++-+-+-+-+++++-+n n n n n n n n n =122+-n n, 所以， 12n 1k 1k 02n 1(1)k n 1---=⎛⎫-= ⎪+⎝⎭∑.注：此题关键是要找到恒等式2n 2111n 2n 12n 12n 1k k k 1+⋅=++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这种裂项的想法需要对组合数相当有“感觉”，也.是重要方法之一.例10．设{a n }是一个给定的数列，若 b k =()l k l kl l a ∑=-0)1(，k=0,1,2,…,a n =()k n k kk k b ∑=-0)1(，n=0,1,2,…, 则称{a n }与{b k }为一对组合互逆公式，试证明之.证明：考虑()k n k kk k b ∑=-0)1(，由于 ()knkk k k b ∑=-0)1(=()()lk lkl l n kk k ka ∑∑==--00)1(()1(,=()()l kl n k kk kl l k a ∑∑==+-00)1( ,记()()l kl n k l k kl a x +-=)1(，则由于∑∑∑∑=====n l nl k kl k k kl klx x000,所以()knkkk kb ∑=-0)1(=()()lk ln kkk kl lk a ∑∑==+-00)1(,=()()k ln knlk klkl la ∑∑==--)1()1(0,= n nl l llkl la a a==-⋅-∑∑==0ln ln 0)1()1(δδ.因此，命题成立.注：利用交换求和及克朗耐克尔δ，证明了组合变换的互逆公式，在许多组合恒等证明中，十分有用.例11．在平面上有n(≥3)个点，设其中任意两点的距离的最大值为d ，我们称距离为d 的两点间的线段为该点集的直径，证明：直径的数目至多有n 条.证明：[引理]：平面上n(n ≥3)个点所组成的点集S 中，或者存一点至多能引出一条直径，或者任一点至多能引出两条直径.[引理的证明]：若每一点都至少能引出两条直径，又有一点A 能引出三条直径AB 、AC 、AD ，则不妨设AD 在AB 与AC 之间，且必须∠BAC ≤60o ，因此⊙A(d)、⊙B(d)、·⊙C(d)的公共部分覆盖了整个点集S ，显然与D 能引出两条直径，矛盾!引理得证(如图).下用归纳法证明原体：显然，当n=3时，命题成立， 假设命题对k 个点成立，则当n=k+1时， 如有一点A 至多能引出一条直径，去掉A 点后，至多还有k 条直径，故S 最多有k+1条直径，否则任一点至多能引出两条直径，故S 最多有2(k 1)k 12+=+条直径，从而命题成立.注：组合几何在研究点集的组合性质时，对一般的图形也可定义直径、半径等.本问题还可推广至三维空间.例12．已知：两个非负整数组成的不同集合},,,{1n a a a a 和},,,{21n b b b .求证：集合}1{n j i a a j i ≤<≤+与集合}1{n j i b b j i ≤<≤+相同的充要条件是n 是2的幂次，这里允许集合内，相同的元素重复出现.证明：必要性： 构造母函数n a a a x x x x f +++= 21)(，n b b b x x x x g +++= 21)(. 所以 ∑≤<≤+=-nj i a a ji xx f x f 1222)()(，∑≤<≤+=-nj i b b ji xx g x g 1222)()(所以 )()()()(2222x g x g x f x f -=-，即)()()()(2222x g x f x g x f -=-. 因为 0)1()1(=-g f ，所以)()(1x g x f x --.所以 存在*∈N h ，使得 0)(),()()()1(≠-=-x P x g x f x P x h ， 所以 )()1()()(2222x P x x f x f h -=-，所以 )()1()()1)](()([22x P x x P x x g x f h h -=-+，A · C· B·D所以 )()()1()()(2x P x P x x g x f h +=+.令x=1,则h n 22=，所以，12-=h n ，即n 为2的幂次. 充分性：直接构造如下},,,{1n a a a a 中取()12+k l 个l 2，其中 ]21[,,1,0+=k l ，},,,{21n b b b 中取()112++k l 个 12+l ,其中]2[,,1,0kl =，则这两个集合满足要求.注：运用母函数处理集合问题，是常见的方法，尤其注意这种集合中出现在指数上而不是系数上的母函数方法.练习题1. 空间n 条直线，最多能把空间分成多少块空间区域？2. 证明：2nk 0n 2n k n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑.3. 证明：nk k 0n 111(1)1k 2k n=⎛⎫⎛⎫-+++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑. 4. 证明：在边长为1的等边三角形内有五个点，则这五个点中一定有距离小于12的两点.。