专题三：不定方程的整数解问题(含答案)

初中奥林匹克竞赛培优：不定方程的整数解问题

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。

【基础知识】

1．不定方程整数解的常见类型：

（1）求不定方程的整数解；

（2）判定不定方程是否有整数解；

（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程整数解问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；

（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；

（4）枚举法：列举出所有可能的情况；

（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（6）无穷递推法。

【典型例题分析】

一、代数恒等变形

1、因式分解法

【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.

分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=

因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=??-=?，或2122x y -=??-=?，或2221

x y -=-??-=-?，或2122x y -=-??-=-? 解得43x y =??

=?，或34x y =??=?，或01x y =??=?，或10x y =??=? 故22x y +的最大值为25

注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，

可变形为：20a xy abx acy ad +++=

分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.

求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，

转化为解几个方程组#

ax c ay b +=???+=?，（这#bc ad ??=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。

【例2】求方程223720x y x y -+--=的整数解(,)x y .

分析：原方程可化为2244122880x y x y -+--=，配方得22(23)(27)320

x y +-++= 所以(5)(2)8x y x y ++--=-

因为(5)x y ++和(2)x y --的奇偶性不同

得5821x y x y ++=-??--=?，或5128x y x y ++=-?

?--=?，或5821x y x y ++=?

?--=-?，或51

28x y x y ++=?

?--=-?

解得：(,)(5,8),(2,8),(2,1),(5,1)x y =----

2、配方法

【例3】求223320x xy y x y ++-+=的非负整数解(,)x y 的组数为（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

分析：由223320x xy y x y ++-+=，配方得22224(3)()(2)13x x x y y +-++++=

当2x ≥时，左边241613x ≥≥>

当0x <时，左边2(3)1613x ≥-≥>

所以0x =或1

当0x =时，代入原方程得0y =

当1x =时，代入原方程得0y =或3-

因此共有3组非负整数解.

3、分离整数法

【例4】已知,x y 是整数，满足30,0x y ax y a -+=--=，则整数a 的所有可能值有（

）个

A. 4

B. 5

C. 6

D. 8

分析：由30,0x y ax y a -+=--=，得34111a x a a

+==-+--为整数 根据整除性质，可知：11,2,4a -=±±±，即3,1,0,2,3,5a =--共6个值.

【例5】求(1)51x x xy y -++=的正整数解. 解：原方程可化为251(2)(1)4949(2)111

x x x x y x x x x -++-+++===-+++++ 因为x 为正整数，且491

x +是整数，所以17x +=或49，即6x =或48 当6x =时，3y =；当48x =时，450y =-<舍去

故所求正整数解(,)(6,3)x y =

4、换元法

【例6】已知：,x y 为整数，且

y =，求y 的最大值为 .

分析：原方程可化为y =

令a b 则y a b =+

22(2009)(2011)4020a b x x -=+--=

2()()23567a b a b ∴+-=???

因为(),()a b a b +-具有相同的奇偶性，且都是正整数.

故y a b =+的最大值为235672010???=.

二、奇偶分析法

【例7】证明方程2286x y z +-=无整数解.

分析：不妨设原方程有整数解，因为2268x y z +=+为偶数，所以,x y 具有相同的奇偶性.

若,x y 都是偶数，令2,2x a y b ==，代入原方程，化简，得22

2243a b z +-=，左右奇偶数不同，矛盾。

若,x y 都是奇数，令21,21x a y b =+=+，代入原方程，化简，得(1)(1)21a a b b z +++-= 因为(1),(1)a a b b ++都是偶数，所以上式左边为偶数,右边奇数，矛盾.

综上，原方程无整数解。

【例8】求22328x y +=的正整数解.

分析：显然x y ≠，不妨设0x y >>，由于328是偶数，故,x y 的奇偶性相同，而328能被4整除，偶数的平方被4除余0，奇数的平方被4余1，所以,x y 都是偶数.

设2,2x a y b ==，则2282a b +=，由0a b >>，得2

41b <，取21,4,9,16,25,36b =

对应281,78,73,66,57,46a =，故只能取2281,1a b ==，即9,1a b ==

由,x y 的对称性，因此所求正整数解(,)(18,2),(2,18)x y =.

三、构造法

如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质进行讨论，且当方程有整数解时，判别式为完全平方式。

【例9】已知,a b 都是质数，且22130,130a a m b b m -+=-+=，求m 的值.

分析：若2a b ==，则4260m -+=，即22m =；

若a b ≠，则,a b 可看作关于x 的一元二次方程2130x x m -+=的两个根. 由韦达定理，得13,a b ab m +==

而,a b 都是质数，由13a b +=，故,a b 的值只能是2或11，所以22m =

因此，所求m 的值为2或22.

【例10】已知,,a b c 是整数，且满足23,22a b c c ab +=-+=-，求,,a b c 的值。

分析：由23,22a b ab c c +==-+-，可构造以,a b 为根的一元二次程223220t t c c --+-=

根据题意22294(22)4817(22)13c c c c c ?=--+-=-+=-+是一个完全平方式，

因此存在非负整数k ，使得22(22)13c k -+=，即22(22)13k c --=

所以2213221k c k c +-=??-+=?，或2212213k c k c +-=??-+=?，解得74k c =??=?，或72k c =??=-?

所以33722k t ±±=

=，即5,2a b ==-，或2,5a b =-= 故所求正整数(,,)(5,2,4),(2,5,4),(5,2,2),(2,5,2)a b c =------

四、枚举法

【例11】方程2010x y z ++=共有多少个正整数解？

分析：当(1,2,3,,2008)x k k == 时，2010y z k +=-，此时y 可取1到(2009)k -，

一共(2009)k -个解. 又x 可取1到2008， 故原方程一共有2008

120082009(2009)2009200820170362

k k =?-=?-

=∑个正整数解。 注：方程(3)x y z n n N n ++=∈≥且的正整数解个数为：

21(2)(1)(2)(1)(1)(1)(2)22

n k n n n n n k n n -=------=---

=∑ 思考：方程2010x y z ++=的非负整数解共有多少个？

五、不等式分析法 利用整数性或不等关系,确定出方程解的范围.

【例12】 求方程23725350x xy x y +---=的正整数解.

分析： 对于正整数,x y ，由原方程得到2323575

x x y x -++=- 因为1,1x y ≥≥，所以2323575x x x -++≥-，解得 12x ≤≤

分别取1x =和2x =,得到17y =和3y =

即所求的解为(,)(1,17),(2,3)x y =

注：本题也可以通过分离整数法进行讨论.

【例13】求方程5()4xy yz zx xyz ++=的正整数解(,,)x y z 为多少组？

分析：原方程化为11145

x y z ++= ① 设x y z ≤≤, 由1111435x x y z x

<++=<，得14x <<，所以2,3x =. 当2x =时，代入式①，得

11310y z +=， 由1113210y y z y <+=<， 得 37y << ，所以4,5,6y =

将2x =及4,5,6y =分别代入式①，得到所求的解

(,,)(2,4,20),(2,5,10)x y z =

当3x =时，代入式①，同样的方法可以推出,方程①无整数解.

综上，及,,x y z 的对称性，得到原方程有12组正整数解.

六、无穷递推法

【例14】试证明方程：2222x y z xyz ++=无非零整数解.

分析：我们只需考虑,,x y z 都是正整数.

显然,,x y z 不能都是奇数，或一奇二偶，否则左边为奇数，而右边是偶数，矛盾。

若,,x y z 是二奇一偶，不妨设21,21,2x a y b z c =+=+=，

则方程左边＝2222224()2x y z a a b b c ++=+++++不是4的倍数，而右边是4的倍数，矛盾。 因此,,x y z 只能都是偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，

代入原方程，得2221111114x y z x y z ++=.

类似于前面的讨论，可以证明111,,x y z 都是偶数。如此继续下去，……

我们可得到：2,2,2k k k k k k x x y y z z ===

由于上述过程可以无限地进行下去，因而k 将无限地增大，

即正整数,,k k k x y z 将无限地小下去，这是不可能的。

故原命题得证.

【针对性训练题】

A 组

1、已知,x y 满足10xy x y --=，求整数,x y 的值.

2、方程组6323,

xy yz xz yz +=??+=?的正整数解的组数是（ ）

A. 1组

B. 2组

C. 3组

D. 4组

3、已知关于x 的一元二次方程222

2(23)(464)0x a b x a b ++++++=无实数根，求满足条件的正整数,a b 的值.

4、已知,,a b c 都是整数，且2

24,10a b ab c -=+-=，求a b c ++的值.

5、方程1xy x y ++=的有序整数解(,)x y 共有 组.

6、设自然数,x y 满足方程331919x y y x +=+，其中x y <，则x y += .

7、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根.

B 组

8、已知,,a b c 都是正整数，且满足293031366a b c ++=，则a b c ++的值为（ ）

A. 10

B. 12

C. 14

D. 16

9、一直角三角形两直角边,a b 均是整数，且满足24a b m ab m +=+??

=?，试求这个直角三角形的三边长.

10、已知：a 为自然数，且关于x 的方程240x a -+=至少有一个整数根，则a 可能的值为 .

11、已知三个正整数,,x y z 的最大公约数为3，且满足222320230x y z x y z +-=??

-+=?，则x y z ++= .

13、已知,,a b c 均为整数，且恒有()(10)1()()x a x x b x c --+=++，则整数a ＝ .

12、已知,a b 为整数，且满足22563150340

a b a b c a c ?+---+=?+-=?，求abc 的值.

C 组

14、已知正整数,x y 满足

21a x y

+=（a 为正整数），求,x y 的值.

15、方程22320100x xy x y --++=的正整数解(,)x y 的组数为 组.

16、设2010可拆分为四个正整数的平方和，其中，两个数的比为3，另外两个数的比为7，请写出这种拆分的所有方法.

17、已知正整数,,a b c ，且满足22219a b c ab bc ca ++---=，求a b c ++的最小值.

18、方程22208()x y x y +=-的所有正整数解(,)x y 为 .

19、求所有的整数对(,)x y ，使得32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++成立.