导数系列——零点存在性问题

导数系列——零点存在问题

例1.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间)0,1⎡⎣上，()

2,,x x D

f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩

其中集合D=

1,n x x n N n +⎧⎫-=∈⎨⎬

⎩⎭，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 __________ .

例2．已知函数f （

x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．k ＜0

B ．k ＜1

C ．0＜k ＜1

D ．k ＞1

例4.

例5.已知函数f （x ）= {

函数g （x ）=f ²（x ）+f （x ）+t （t ∈R ）

关于g （x ）的零点，下列判断不正确的是（ ）

A.t=1/4时，有一个零点

B.1/4＞t ＞-2时，有2个零点

C.t=-2时，有3个零点

D.t ＜-2时，有4个零点

log 3

（-x ）

（x ＜0）

3 x

(x ≥0)

例6.已知函数

f(x)=

若关于x 的函数y=f 2（x ）-bf （x ）+1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是_______

例7、设函数f(x)满足f(x)=f(3x),且当x ∈[1,3)时,f(x)=lnx.若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x1,x2,x3，使得f(x1)/x1=f(x2)/x2=f(x3)/x3=t ，则实数t 的取值范围为_______

例8．f(x)=x³+ax²+bx+c 有极值点x ₁,x ₂ 且f(x ₁)= x ₁,则关于x 的方程3[f(x)]²+2a f(x)+b=0的不同实根个数为

例9.设函数f(x)满足f(x)=f(-x),f(x)=f(2-x)；且当x ∈[0,1]时f(x)=x³；又有g(x)=｜xcos(πx)｜则h(x)=f(x)－g(x)在[－1/2，3/2]上的零点个数为

例10.已知函数f （x ）=x-1+a/e x

（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值； （Ⅱ）求函数f （x ）的极值；

（Ⅲ）当a=1时，若直线l ：y=kx-1与曲线y=f （x ）没有公共点，求k 的最大值．

|lg(-x)|，x ＜0 x 3-6x+4，x≥0

例11.函数f （x ）的导函数为f ’（x ）=3x^2-8x-60,求f （x ）零点个数。

例12.有函数f （x ）=x （（2㏑

x

）+1）-a ，当f （x ）有且仅有两个零点时，求两零点间

函数图像与x 轴围成面积（x=0时面积忽略,可用不带对数的待求项表示）。 答案

1.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间)0,1⎡⎣上，()

2,,x x D

f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩

其中集合D=1

,n x x n N n +⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 __________ .

解答：由于

，则需考虑

的情况，在此范围内，

且

时，设

，且互质，若，则由，可设

，且

互质，因此

，则，此时左边为整

数，右边为非整数，矛盾，因此，因此

不可能与每个周期内

对应的

部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点

除外

其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期

的部分，且

处

，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．

解法一：解：分别画出y=与y=kx2的图象如图所示，

当k＜0时，y=kx2的开口向下，此时与y=只有一个交点，显然不符合题意，

当k=0时，此时与y=只有一个交点，显然不符合题意，

当k＞0时，x≥0时，

f（x）=﹣kx2=0，

即kx3+2k2﹣x=0，

即x（kx2+2kx﹣1）=0，即x=0，或kx2+2kx﹣1=0，

此时有唯一的解，即△=4k2+4k=0，解得k=﹣1（舍去），

当k＞0时，x＜0时，

f（x）=﹣kx2=0，

即kx3+2k2+x=0，

kx2+2kx+1=0，

此时有两个解，即△=4k2﹣4k＞0，解得k＞1，

综上所述k＞1

故选：D．

解法二

有四个不同的零点，∴方程有三个不同的根，即方程

有三个不同的根，记函数

，由

题意y=

与y=g （x ）有三个不同的交点，由图知

，∴k>1

4．

例 5.D

例6.（2,17/4】 例7

（ln3/9,1/3e ）

8因为

例

，

所以，

且，是的两个根。

又，

所以或。

当是极大值点时，，为极小值点，且。

此时函数图象如图1所示，有两个实根，有一个实根。当是极小值点时，，为极大值点，且。

此时函数图象如图2所示，有两个实根，有一个实根。所以有个不同的实根。

例9在同一坐标系内画出函数在[- 12, 32]上

图象交点的个数既是h(x)零点的个数

y=f(x)和y=g(x)的图象，在

∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数

∵f(x)=f(2-x)

∴f(-x+2)=f(-x)

∴f(x)=f(x+2)

∴f(x)是周期函数，周期为2

∵当x∈[0,1]时，f（x）=x³

∴当x∈[-1,0]]时，f（x）=-x³

∴x∈[1,3/2]时，f(x)=f(x-2)=-(x-2)³