反常积分的几种计算方法
目录
摘要 (1)
关键词 (1)
A b s t r a c t (1)
K e y w o r d s (1)
0前言 (1)
1反常积分的定义 (1)
1.1无穷积分的定义 (1)
1.2瑕积分的定义 (2)
2反常积分的计算方法 (3)
2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分 (3)
2.2利用变量替换法计算反常积分 (3)
2.3利用分部积分法计算反常积分 (5)
2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)
2.5利用方程法计算反常积分 (7)
2.6利用级数法计算反常积分 (9)
2.7利用待定系数法计算反常积分 (10)
结束语 (11)
参考文献 (11)
反常积分的几种计算方法
摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用.
关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法
Several calculation methods of abnormal integral Abstract:This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal
integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various
methods in the calculation.
Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral;
Series method; the method of undetermined coefficient
0前言
反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。本文不仅介绍了常见的三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。但是在解决具体问题时要求我们注意各种方法的灵活性与相互渗透，这样可以简便计算。
1反常积分的定义
1.1无穷积分的定义
定义1设函数f 定义在无穷区间[)+∞,a 上,且在任何有限区间[]u a ,上可积,如果存在极限
?
=+∞→u
a
u J dx x f )(lim
,
)1(
则称此极限J 为函数f 在[)+∞,a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
?+∞
=a dx
x f J )(,
)1('
并称?+∞a
dx x f )(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称?+∞
a
dx x f )(发散.
类似地,可定义f 在(]b ,∞-上的无穷积分：
?
?
-∞→∞
-=b
u
u b
dx x f dx x f )(lim
)(.
)2(
对于f 在()+∞∞-,上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义：
dx
x f dx x f dx x f a
a
??
?
+∞
∞
-+∞
∞
-+=)()()(.
)3(
1.2瑕积分的定义
定义2设函数f 定义在区间(]b a ,上,在点a 的任一右领域上无界,但在任何内闭区间[](]b a b u ,,?上有界且可积.如果存在极限
?
=+→b
u
a u J dx x f )(lim
,
)4(
则称此极限为无界函数f 在(]b a ,上的反常积分,记作
?=b
a dx
x f J )(,
)4('
并称反常积分?b a
dx x f )(收敛.如果极限)4(不存在,这时也说反常积分?b
a
dx x f )(发散.
在定义中,被积函数f 在点a 近旁是无界的,这时点a 称为f 的瑕点,而无界函数反常积分?b
a dx x f )(又称为瑕积分.
类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分：
??
-→=u
a
b
u b
a
dx
x f dx x f )(lim )(.
)5(
其中f 在[)b a ,有定义,在点b 的任一左领域上无界,但在任何[][)b a u a ,,?上可积.
若f 的瑕点()b a c ,?,则定义瑕积分 =
??
+-→→+b
v
c
v u
a
c u dx
x f dx x f )(lim )(lim
.
)6(
其中f 在[)(]b c c a ,,?上有定义,在点c 的任一领域上无界,但在任何[][)c a u a ,,?和
[](]b c b v ,,?上都可积.当且仅当)6(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是
收敛的.
又若b a ,两点都是f 的瑕点,而f 在任何[]()b a v u ,,?上可积,这时定义瑕积分 =??-+→→+v
c
b
v c
u
a
u dx x f dx x f )(lim )(lim , )7(
其中c 为()b a ,上任一实数.同样地,当且仅当)7(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的
瑕积分才是收敛的.
2反常积分的计算方法
在计算反常积分时有三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法.
设dx x f b a
?
)(是反常积分, b 为唯一的奇点(b 为有限数,或∞+),计算dx x f b
a
?)(：
2.1利用Newton —Leibniz 公式计算反常积分
若)(x f 在[)b a ,连续,且)(x F 为)(x f 的原函数,则
)
()0(|)()(0
a F
b F x F dx x f b a b
a
--==-?
.
)8(
例1 计算?
-b
a
p
a x dx
)
(的值. 解： p
a x x f )(1
)(-=在(]b a ,上连续,从而在任何[](]b a b u ,,?上可积, a x =为其
瑕点，故
2.2利用变量替换法计算反常积分
若)(t ?在[)βα,上单调,有连续的导数)(t ?',b a a =-=)0(,)(β??(β为有限数或无穷大),则
??
'=β
α
??dt
t t f dx x f b
a
)())(()(.
(9) 例2 计算?
--b
a
x b a x dx
)
)((2的值.
解：令θθ22sin cos b a x +=则θθθθcos sin 2sin cos 2b a dx +-=,
θθθθθθθ2222222sin )(sin sin sin )1(cos sin cos a b b a b a a b a a x -=+-=+-=-+=-θθθθθθθ2222222cos )(cos cos cos )sin 1(sin cos a b a b a b b a b x b -=-=--=--=-
πθθθθ
θθπ
π24cos sin )(cos sin )(22)
)((22020==--=--???
d a b d a b x b a x dx b
a
.
例 3 证明等式dt ab t f a dx x b ax f ??+∞
+∞
+=+0
20
)4(1)(,其中0,>b a (假设二积分有意
义).
分析:比较该等式的两边,我们必须使得
ab t x
b
ax 42+=+
, 因0,,>x b a ,此即要求ab t x b ax 42
2
+=??
? ?
?
+
,亦即 2
2
t x b ax =??? ?
?-.
因此我们选取的变换如下： 证明：令t x
b
ax =-, 此时ab t x
b
ax 42+=+
成立,因此可得 )4(212ab t t a
x ++=，
dt ab
t a ab t t dx 4242
2+++=
.
于是dt ab
t ab t t ab t f a dx x b ax f 44)4(21)(222000
++++??? ??+=+???
∞+∞-∞
+, 在上式的右边的第一个积分里,令u t -=,
???
?????++++++-++=+???
∞+∞+∞
+00222
2220
44)4(44)4(21)(dt ab t ab u t ab t f du ab u u ab u ab u f a dx x b ax f 再将u 改写成t ,二积分合并,得
dt ab t f a dx x b ax f ??
+∞
+∞
+=+0
20
)4(1)(.
因此该式得证.
2.3利用分部积分法计算反常积分
设)(),(x v v x u u ==在[)b a ,上有连续的导数,则
???
'-=='-b
a
b a b
a
b
a
dx
x u x v x v x u udv dx x v x u )()()()()()(0
.
(10)
例4 计算dx x x ?1
ln 的值.
解： ??=
102
1
ln 2
1ln xdx dx x x 例5 计算积分dx x nx ?20
cos ln 2cos π
.
解：(困难在于被积函数中有对数符号ln"",用分部积分法消去ln"")
原式nx d x n 2sin cos ln 212
?=
π
(我们看到,这里如果被积函数没有分母的x cos ,用积化和差公式,立即可以算出积分值.因此,我们希望设法应用公式 将被积函数拆开).因为
x n x nx x nx )12cos(cos 2cos sin 2sin +-=?,
dx x
x n dx nx n dx x x nx n ???+-=2
02020cos )12cos(2cos 21cos sin 2sin 21π
π
π
, 第一个积分为0，第二个积分令t x -=
2
π
,
n
n 4)1(1
π
--=.
例6 计算?
+∞
∞-++n
x x dx
)22(2.
解：()[]
??+∞∞-+∞
∞-++=++n n
x dx
x x dx 11)22(22 ()
?+∞
∞-+=+=
n
x t t
dt
12
1
()
n n
I t
dt
2120
2
=+=?
+∞,
分部积分可建立n I 的递推公式: ()
()
()
?
?
∞
+++∞∞
++--+=
+=0
1
2
20
2
2
1211n n n
n t
dt
nt t
t
t
dt
I
122+-=n n nI nI , 即n n I n n I 21
21-=
+. 2
1021π=+=?+∞t dt I ,
2
!)!22(!)!32(21425222321π
?--=???--?--=
n n I n n n n I n . 在计算n I 时我们也可以利用变量替换法进行求解,令θtan =t ,
()
()
θθπ
d t
dt
I n n
n ??
-∞
+=+=20
2
20
2
cos 1,再直接引用Walls 公式2
!)!22(!)!32(π
?--=
n n .
利用分部积分法我们常常可以得到递推公式从而简化运算.
除了上述的三种基本方法外，根据具体情况，经常用的还有下列几种方法： 2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分
在这种方法的计算中主要分为两步：第一步：将所需计算的积分区间进行分段；第二步：进行变量替换,通过变量替换可以将分段后的某些积分区间与其中的某些区间相抵消或者合并.
例7 计算dx x x
?
+∞
+02
1ln 2的值.
解：dx x x dx x x dx x x ???+∞+∞+++=+1210202
1ln 21ln 21ln 2 =)1
1ln 1ln (212
2102dx x x x dx x x ??∞
++++
=))1(111ln 1ln (212102x
d x
x dx x x ??∞
++++ =))(1ln 1ln (2102102
t d t t dx x x ??+-+ =0
通过上述计算我们可以发现这种方法可以省略很多计算,关键在于对积分区间的分段和变量替换要找到最合适的,否则适得其反. 2.5利用方程法计算反常积分
使用方程法计算反常积分是分为两步：第一步：通过变量替换,将原积分进行变形;第二步：将原积分与变形后的积分相加,通过计算相加后的积分从而求出原积分.
例8 计算积分?=20
sin ln 2π
xdx I .
解：??===40
220
2sin ln 4sin ln 2π
π
tdt xdx I t
x
=?40
cos sin 2ln 4π
tdt t
=)cos ln sin ln 2ln (440
40
40
???++π
π
π
tdt tdt dt
=))2
sin(
ln sin ln (42ln 40
40
??-++?π
π
π
πdt t tdt
=?+20
sin ln 42ln π
πtdt
=I 42ln +π 通过解方程得：32
ln π-
=I . 例9 计算积分dx x I ?+∞+=04
12
.
解：dx x x
x dx x I ??∞+∞++=+=0222041
212
则()dx x x J I I ?
∞+++=+=04
2
1222121 2
2π
=
. 2.6利用级数法计算反常积分
在运用级数法求反常积分时,关键在于积分区间进行分段,使所求的反常积分可以表示成级数的求和运算,从而简化运算.
例10 证明[]???
??--+++=?
?????-∞→∞
+?n n dx x x n ln 11211lim 111 .
证明: (1) 当2>x 时,
[]x
x x x )1(1
11-≤
-,由于dx x x ?+∞-1)1(1积分收敛,故[]dx x x ?
∞
+?
??
???-1
11收敛. (2) [][]dx x x dx x x n n ???
?????-=??????-+∞→∞+1
111lim 11
n n ln 1
1
211--+++
= .
因此：[]???
??--+++=?
?????-∞→∞+?n n dx x x n ln 11211lim 111 .
2.7利用待定系数法计算反常积分
在使用待定系数法时通常先将有理分式化为部分分式,再通过待定系数求解,在使用这种方法时通常结合多种方法求解. 例11 计算积分?
+∞
++=1
)
()1(n x x x dx
I n .
解：(拆为部分分式)设
n
x A k x A x A x A n x x x n k ++++++++=++ 1)()1(1
10(n A A A ,,,10 为待定系数).
将)()1(n x x x ++ 同乘等式两边.然后k x -=,得
!
)1(n C k
n
k
-= ),,2,1,0(n k =,
其中)!
(!!
k n k n C k n
-=于是
∑=∞++-=n k k
n
k k x C n 0
1)ln()1(!1. 注意到∑∑==????????? ?
?+-=+-n
k k
n k n k k
n
k
x k x C k x C 001ln )1()ln()1(
∑=→??? ??+-+-?=n
k k
n k n
x k C x 0
01ln )1()11(ln (当+∞→x 时),
因此 ∑=++-=n k k
n
k n k C n I 0
1)1ln()1(!1. 结束语
反常积分的计算方法灵活多变,对于任一问题都存在多种计算方法,我们在计算时要提取最简便的方法,除了上述的几种计算方法还有很多的计算方法需要我们去探究、归纳、总结,更重要的是我们要学会这些方法的灵活使用.
参考文献:
[1] 费定辉等,基米多继奇数学分析习题[M],山东:山东科技出版社,1990.
[2] 同济大学应用数学系,高等数学[M],北京:高等教育出版社，2002.
[3] 刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.
[4] 周建莹,李正元.高等数学解题指南[M].北京:北京大学出版社,2002.212-214.
[5] 数学分析第四版上册 .华东师范大学数学系编[M].高等教育出版社,2010.
[6] Tom M.Apostol著. Mathematical Analysis[M]. 机械工业出版社,2004.
[7] Zorich,. Mathematical. Analysis.I I[M]. Springer,2004.