高等代数试题库

《高等代数》试题库

一、 选择题

1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式

B ．零次多项式

C ．本原多项式

D ．不可约多项式

2．设()1g x x =+是6

2

4

2

()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；

B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；

C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；

D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式

4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分

B . 充分必要

C .必要

D ．既不充分也不必要

5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =

B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±

C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f

D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f

6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；

B . 甲不成立, 乙成立；

C .甲, 乙均成立；

D ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；

B . 代数基本定理适用于复数域；

C ．任一数域包含Q ；

D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =?=

8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则

112111222212.....................n n n

n nn

A A A A A A A A A =( ) 。

A . D

B . D -

C ./

D D ． (1)n D -

9.行列式4

10

3

26

5

7

a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。 A ．

40

67

- B ．

4165

C ．4067-

- D ．41

65

-

10．以下乘积中（ ）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。

A .3145122453a a a a a ；

B .4554421233a a a a a ；

C ．2351324514a a a a a ；

D .1332244554a a a a a

11. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。

A .11233344a a a a ；

B .14233142a a a a ；

C ．12233144a a a a ；

D .23413211a a a a

12. 设,A B n 均为阶矩阵，则正确的为（ ）。

A . det()det det A

B A B +=+ B .AB BA =

C ． det()det()AB BA =

D .222()2A B A AB B -=-+

13. 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（ ）

A .133221A A A A A A ---

B .3212

11A A A A A A +++ C ．32

12

1A A A A A -+ D .311

1

32A A A A A +-

14. 设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （ ）

A .4

B .52

C ．52-

D .8

15. 设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=)det(kA （ ）

A .)(det A k

B .A k det

C ．A k n det

D .A k n det

16.设A ，B 为数域F 上的n 阶方阵，下列等式成立的是（ ）。

A .det()det()det()A

B A B +=+；B . det()det()kA k A =；

C ．1det()det()n kA k A -=；

D .det()det()det()AB A B =

17. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵且A 可逆，则结论正确的是（ ）

A . **1()||n A A A -=

B . **1()||n A A A +=

C ．**2()||n A A A -=

D .**2()||n A A A +=

18.如果11AA A A I --==，那么矩阵A 的行列式A 应该有（ ）。

A .0A =；

B .0A ≠；

C ．,1A k k =>；

D .,1A k k =<-

19.设A , B 为n 级方阵, m N ∈, 则“命题甲：A A -=-；命题乙：()m

m

m

AB A B =”中正确的是( ) 。

A . 甲成立, 乙不成立；

B . 甲不成立, 乙成立；

C ．甲, 乙均成立；

D .甲, 乙均不成立 20.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则*

A A =（ ）。

A .2

n A B .n

A C ．2n n

A

- D .21

n n A

-+

21.若矩阵A ，B 满足AB O =，则（ ）。

A .A O =或

B O =；B .A O ≠且B O ≠；

C ．A O =且B O =；

D .以上结论都不正确 22.如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。

A .至多有一个r 阶子式不为零；

B .所有r 阶子式都不为零；

C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；

D .所有低于r 阶子式都不为零

23.设n 阶矩阵A 可逆(2)n ≥，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。

A .()1

n A A

A *

-*=；B .()1

n A A

A *

+*=；C ．()2

n A A

A *

-*=；D .()2

n A A

A *

+*=

24. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则||||*

A A =（ ）

A . 2||n A

B .||n A

C ．2||n n A -

D . 2

1||n n A -+

25.任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( )。

A . A A =-；

B .AX O =与()A X O -=同解；

C .若A 可逆, 则11()(1)n A A ---=-；

D ．A 反对称, -A 反对称

26.如果矩阵rankA r =,则 （ ）

A . 至多有一个r 阶子式不为零；

B .所有r 阶子式都不为零

C ． 所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；

D ．所有低于r 阶子式都不为零

27. 设A 为方阵，满足11AA A A I --==，则A 的行列式||A 应该有 （ ）。

A . ||0A =

B . ||0A ≠

C ． ||,1A k k =>

D . ||,1A k k =<-

28. A 是n 阶矩阵，k 是非零常数，则kA = ( )。

A . k A ；

B . k A ；

C ． n k A

D . ||n k A

29. 设A 、B 为n 阶方阵，则有（ ）.

A .A ，

B 可逆，则A B +可逆 B .A ，B 不可逆，则A B +不可逆

C ．A 可逆，B 不可逆，则A B +不可逆

D .A 可逆，B 不可逆，则AB 不可逆

30. 设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足2

20A A -=，则下列矩阵哪个可逆（ ）。

A .A

B .A I -

C ．A I +

D 2A I -

31. B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且()0R AB =，则（ ）。

A .O

B =； B .()0R B =；

C ．O BA =；

D .()()R A R B n +≤

32. A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC I =，则必有（ ）。

A . AC

B I =； B . BA

C I =； C ．CAB I =

D ． CBA I = 33. 设A 为3阶方阵，且()1R A =，则（ ）。

A .*()3R A =；

B .*()2R A =；

C ．*()1R A =；

D .*()0R A =

34. 设B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且O AB =，则（ ）.

A .O

B = B .0=B 或0=A

C ．O BA =

D .()222

B A B A +=-

35. 设矩阵00400000100000000200A ?? ? ?

?= ? ? ???

，则秩A =（ ）。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 36. 设A 是m n ?矩阵，若（ ），则AX O =有非零解。

A .m n <；

B .()R A n =；

C ．m n >

D .()R A m =

37. A ，B 是n 阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。

A .A

B O A O ≠?≠且B O ≠； B . 0A A O =?=；

C ．0AB A O =?=或B O =；

D . 1||=?=A I A

38. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.

A .必有r 个行向量线性无关

B .任意r 个行向量线性无关

C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组

D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示

39. 设A 为34?矩阵，B 为23?矩阵，C 为43?矩阵，则下列乘法运算不能进行的是

（ ）。

A .T

T

A BC

B .T

ACB C ．BAC D .ABC

40.设A 是n 阶方阵，那么A A '是（ ）

A . 对称矩阵；

B . 反对称矩阵；

C ．可逆矩阵；

D .对角矩阵 41.若由AC AB =必能推出C B =（C B A ,,均为n 阶方阵），则A 满足( )。

A .0A ≠

B .O A =

C ．O A ≠

D .0≠AB

42.设A 为任意阶)3(≥n 可逆矩阵，k 为任意常数，且0≠k ，则必有=-1

)

(kA （ ）

A .1-A k n

B .11--A k n

C ．1-kA

D .

11-A k

43.A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，则（ ）

A . A 相似于

B ； B . A B =；

C ． A 合同于B ；

D .A B =

44. 设)(2

1

I B A +=

，则A A =2的充要条件是（ ） A .B I =； （B ）I B -=；C ．I B =2 D .I B -=2

45. 设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ）

A . 2A I +

B . A I -

C ． A I +

D . A 46. 设n 阶方阵A 满足220A A -=，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） A . 2A I -； B . A I -； C ． A I + D . A 47. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.

A .必有r 个列向量线性无关；

B .任意r 个列向量线性无关；

C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组；

D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 48.设A 是m n ?矩阵，若（ ），则n 元线性方程组0AX =有非零解。 A . m n < B .A 的秩等于n C ．m n > D .A 的秩等于m

49. 设矩阵()

n

m ij

a A ?=，0=AX 仅有零解的充分必要条件是( ).

A . A 的行向量组线性相关

B .A 的行向量组线性无关

C ．A 的列向量组线性相关

D .A 的列向量组线性无关 50. 设A , B 均为P 上矩阵, 则由( ) 不能断言A B ?； A . ()()R A R B =；B .存在可逆阵P 与Q 使A PBQ = C ．A 与B 均为n 级可逆；D .A 可经初等变换变成B

51. 对于非齐次线性方程组AX B =其中11)(,)(,)(n j n i nn ij x X b B a A ===，则以下结论不正确的是（ ）。

A .若方程组无解，则系数行列式0=A ；

B .若方程组有解，则系数行列式0≠A 。

C ．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；

D .系数行列式0≠A 是方程组有惟一解的充分必要条件

52. 设线性方程组的增广矩阵是10721012110242200015????-????---????

，则这个方程组解的情况是（ ）. A .有唯一解 B .无解 C ．有四个解 D .有无穷多个解

53. B A ,为n 阶方阵,O A ≠，且0=AB ，则 （ ）。

A .0≠A ；

B .()R B n <；

C ．齐次线性方程组()BA X O =有非0解；

D .0≠A

54. 当λ=（ ）时，方程组1231231

222x x x x x x λ

++=??

++=?，有无穷多解。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

55. 设线性方程组??

?

??=+=+--=-0

322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则（ ）

A .当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解。

B .当0=a 时，方程组无解。

C ．当0=b 时，方程组无解。

D .当0=c 时，方程组无解。

56. 设原方程组为b AX =，且()()r b A R A R ==,，则和原方程组同解的方程组为( )。 A .b X A T =；B .b QAX =（Q 为初等矩阵）

；C ．Pb PAX =（P 为可逆矩阵）； D .原方程组前r 个方程组成的方程组

57. 设线性方程组AX b =及相应的齐次线性方程组0AX =，则下列命题成立的是（ ）。 A .0AX =只有零解时，AX b =有唯一解；B .0AX =有非零解时，AX b =有无穷多个解；C ．AX b =有唯一解时，0AX =只有零解；D . AX b =解时，0AX =也无解 58. 设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要

条件是（ ）。

A .r n =

B .r n <

C ．r n ≥

D .r n >

59. n 维向量组s ααα,,,21 )3(n s ≤≤线性无关的充分必要条件是（ ）

A .存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211≠++s s k k k ααα

B .s ααα,,,21 中任意两个向量组都线性无关

C ．s ααα,,,21 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示

D .s ααα,,,21 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）

A .线性相关；

B . 线性无关；

C ．线性相关或线性无关；

D .不一定 61．设α为任意非零向量，则α（ ）。

A .线性相关；

B .线性无关；

C ． 线性相关或线性无关；

D ．不一定

62.n 维向量组12,,...s ααα线性无关，β为一n 维向量，则（ ）.

A .12,,...,s ααα，β线性相关；

B .β一定能被12,,...,s ααα线性表出；

C ．β一定不能被12,,...,s ααα线性表出；

D .当s n =时，β一定能被12,,...,s ααα线性表出

63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组}{21r ααα，，

， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关；（3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关；（4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，

线性表出；以上说法正确的有（ ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个

64．（1）n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基；（2）设n ααα ，

21,是向量空间V 中的n 个向量，且V 中的每个向量都可由之线性表示，则n ααα ，

21,是V 的一个基；（3）设},{21n ααα ，是向量空间V 的一个基，如果}{21n βββ ，，与},{21n ααα ，等价，则}{21n βββ ，，也是V 的一个基；

（4）n 维向量空间V 的任意1+n 个向量线性相关；以上说法中正确的有（ ）个。

A .1 个

B .2 个

C ．3 个

D .4个

65． 设向量组321,,ααα线性无关。421,,ααα线性相关，则（ ）。 A .4321,,αααα必可由线性表示；B .3214,,αααα必可由线性表示；

C ．3214,,αααα必可由线性表示；

D .3214,,αααα必不可由线性表示

66.设向量组Ⅰ（r ααα ,,21），Ⅱ（s r r ααααα,,,,,121 +）则必须有（ ）。

A .Ⅰ无关?Ⅱ无关；

B . Ⅱ无关?Ⅰ无关；

C .Ⅰ无关?Ⅱ相关；

D .Ⅱ相关?Ⅰ相关

67．向量组A :12,,

,n ααα与B :12,,,m βββ等价的充要条件为（ ）.

A .()()R A R

B =； B .()R A n =且()R B m =；

C ．()()(,)R A R B R A B ==；

D .m n = 68．向量组12,,

,r ααα线性无关?( ) 。

A . 不含零向量；

B . 存在向量不能由其余向量线性表出；

C ．每个向量均不能由其余向量表出；

D ．与单位向量等价

69.已知(,,)(,,)(,,)α---=--51013102231则

A .2(,1,2)3-；

B .2(,1,2)3--；

C ．2(1,,2)3-；

D . 2(1,1,)3

-.

70. 设向量组321,,ααα线性无关。421,,ααα线性相关，则（ ）。

A .4321,,αααα必可由线性表示；

B .3214,,αααα必可由线性表示；

C ．3214,,αααα必可由线性表示；

D .3214,,αααα必不可由线性表示

71．下列集合中，是3

R 的子空间的为（ ），其中'123(,,)x x x α=

A {}30x α≥

B .{}123230x x x α++=

C ．{}31x α=

D .{}123231x x x α++=

72． 下列集合有（ ）个是n

R 的子空间；

}0,|),,({21211=+++∈==n i n x x x R x x x x w α； },|),,({21212n i n x x x R x x x x w ===∈== α； },|),,,,,,({3R b a b a b a b a w ∈== α； }|),,({214为整数i n x x x x w ==α；

73．设,αβ是相互正交的n 维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。

A .2

22

βαβ

α+=+； B .βαβα-=+；

C ．2

22

βαβα+=-；D .βαβα+=+

A .1 个

B .2 个

C ．3 个

D .4个

74.A 是n 阶实方阵，则A 是正交矩阵的充要条件是（ ）。 A .1AA I -=； B ./A A =； C ．/1A A =- ； D .I A =2

75．（1）线性变换σ的特征向量之和仍为σ的特征向量；（2）属于线性变换σ的同一特征值

0λ的特征向量的任一线性组合仍是σ的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；

（4）0)(0=-X A I λ的非零解向量都是A 的属于0λ的特征向量；以上说法正确的有（ ）个。

A .1 个

B .2 个

C ．3 个

D . 4个

75. n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）。

A .充要条件；

B .充分而非必要条件；

C ．必要而非充分条件；

D .既非充分也非必要条件 76. 对于n 阶实对称矩阵A ，以下结论正确的是（ ）。

A .一定有n 个不同的特征根；

B .?正交矩阵P ，使AP P '成对角形；

C ．它的特征根一定是整数；

D .属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交

77. 设321321,,,,βββααα与都是三维向量空间V 的基，且

321321211,,αααβααββ++=+==a ，则矩阵???

?

?

?

?=1110

0101

1P 是由基321,,ααα到（ ）的过渡矩阵。

A .312,,βββ

B .3,21,βββ

C ．132,,βββ

D .123,,βββ

78. 设α，β是相互正交的n 维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。

A .2

22

βαβ

α+=+ B .βαβα-=+

C ．2

22

βαβα+=- D .βαβα+=+

二、 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 。

2．一非空数集P ,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。

3．设f 是实数域上的映射，)(:R x kx x f ∈?→，若(4)12f =，则(5)f -= 。 4．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ??=??=，则(()())f x g x ???= 。 5.求用2x -除4

3

()25f x x x x =+-+的商式为 ，余式为 。 6．设0a ≠，用()g x ax b =-除()f x 所得的余式是函数值 。 7．设,a b 是两个不相等的常数，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式为____ 8．把5)(4

-=x x f 表成1-x 的多项式是 。 9．把532)(2

3-+-=x x x x f 表成1-x 的多项式是 。 10．设()[]f x Q x ∈使得0(())f x ?2≤，且1)1(=f ，(1)f -3=，3)2(=f ，则

=)(x f 。

11．设()[]f x R x ∈使得deg ()3(1)1(-1)3(2)3()f x f ,f ,f ,f x <===且则=____。 12．设()[]f x R x ∈使得deg ()3(1)1(-1)2(2)0()f x f ,f ,f ,f x <===且则=___。 13. 若()(),()()g x f x h x f x ，并且 ，则()()()g x h x f x 。

14. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为 。

15. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 。 16. 设)(x d 为)(x f ，)(x g 的一个最大公因式, 则)(x d 与))(,)((x g x f 的关系 。 17. 多项式1)(143)(2

3

2

3

4

--+=---+=x x x x g x x x x x f 与的最大公因式

((),())f x g x = 。

18. 设4

2

()f x x x ax b =+++。2

()2g x x x =+-，若((),())()f x g x g x =，则

=a ，=b 。

19．在有理数域上将多项式3

2

()22f x x x x =+--分解为不可约因式的乘积 。 20．在实数域上将多项式3

2()22f x x x x =+--分解为不可约因式的乘积 。 21. 当b a ,满足条件 时，多项式b ax x x f ++=3)(3

才能有重因式。 22. 设()p x 是多项式()f x 的一个(1)k k ≥重因式，那么()p x 是()f x 的导数的一个 。 23. 多项式()f x 没有重因式的充要条件是 互素。 24．设123,,ααα为方程3

20x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则

12

23

31

αααααα++= 。

25．设123,,ααα为方程3

2

0x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则

1

1

1

12

23

31

αα

αα

αα

+

+

= 。

26．设123,,ααα为方程3

2

0x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则

222123ααα++= 。

27．设123,,ααα为方程320x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则111

1

2

3

α

α

α

++ = 。

28. 按自然数从小到大为标准次序，排列2431的反序数为 。 29．按自然数从小到大为标准次序，排列4132的反序数为 。 30．排列451362的反序数为 。 31．排列542163的反序数为 。 32．排列523146879的反序数为 。

33．排列,1,...,2,1n n -的反序数为 。

34. 若9元排列9561274k i 是奇排列，则=i _____,=k _______。 35. 设n 级排列n i i i 21的反数的反序数为k ，则1

21()n n i i i i τ-= 。

36. 设},,2,1{},,,{21n i i i n =,则+)(21n i i i τ=-)(11i i i n n τ 。 37. 当k = ，= 时，5阶行列式D 的项12231453k a a a a a 取“负”号。 38.

32153320537228472184

= 。

39．123

10120230310

20

30

= 。 40．1

11a a a

b b a = 。

41． =b a c a c b

c

b a 。

42. =---3

8

1141

102

_________________。

43． =----2

4312

2

421

________________。

44. 150

500040003000

20000000-=x x x

， =x _________________。

45. x

x x x x f 3211322133

21)(=

, 则=)4(f ______________________。

46. 设n a a a n ,,,,221 ≥两两不同, 则

x

a a a x a a a x

n

n

...

............

(2)

2

1

1的不同根为 。

47. 0

000100

200

1

00

n

n D n -==______________。

48．102013A ??=????,100145B ??

??=??

????

，则

AB = 。 49. 设行列式122

03369

a

中，余子式213A =，则a ＝__________。

50. 设行列式122

03369a

中，余子式223M =，则a ＝__________。 51. 设4

1

2

20

111

21113

1

1

----=

A ，则=+++44342414A A A A 。

52行列式9

4132

11

11 的余子式232221M M M ++的值为 。

53.设111111111A ?? ?=- ? ?

-??，123124051B ?? ?

=-- ? ???,则AB = ____________。

54．设121122111A ?? ?= ? ?

-??，123124311B -??

?

=--- ? ???,则32AB B -____________。

55．设123041101A ?? ?=- ? ???， 043120591B ??

?

= ? ?-??

,则3A B + ____________。

56. 设????? ??=111020101A ，111123102B -?? ?

= ? ?

-??，则()'AB ＝_____________。

57. 设111123102A -?? ?= ? ?-??101020101B ??

?

= ? ???

，则()'AB ＝_____________。

58．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为 。 59．设A 、B 为n 阶方阵，则2

2

2

()2A B A AB B +=++的充要条件是 。 60．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为 。 61. 设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = 。

62. 设122121221143A ?? ? ?

?=-- ? ?--- ???

，则=)(A R 。

63. 设123113153221223A ??-- ? ?

?=-- ? ?- ???

，则=)(A R 。

64. 设矩阵1112312536A λμ-??

?

=- ? ???

，且()2R A =,则(

)()==μλ,。

65. 设A 为n 阶矩阵，且1=A ,则 =)(A R ______________。

66. 2153A ??=

???

,则=-1

A ________________。 67.1225A ??= ???

,则=-1

A ________________。

68. 已知A 01011,001k ?? ?=- ? ???

其中0≠k ，则=-1

A _________________。

69. 若A 为n 级实对称阵，并且O AA =/

，则A = 。

70. 设A 为5阶方阵，且3det =A ，则=-1

det A ，=')det(A A ，A 的伴随矩

阵*A 的行列式=*

)det(A 。

71. 设100220345A ?? ? ?

?= ? ? ???，*A 是A 的伴随矩阵，则1

()A *-= 。

72. 设121342531A ??- ? ?

?=- ? ?- ???

，*A 是A 的伴随矩阵，则1

()A *-= 。

73.=????

? ??=-1

*)(,121210421A A 则 ____________。

74. 设A 为4阶矩阵，且2=A ,则 *2AA =____________。 75. A 为3阶矩阵，0.5A =，则*--A A 5)2(1=（ ）。 76. 设???

?

??-=????

??12643152X ,则X =____________。 77. C B A ,,是同阶矩阵，,0≠A 若AC AB =,必有C B =，则A 应是 _____。 78. 设)(2

1

I B A +=

，则A A =2的充要条件是 。 79.一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。

80.含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。 81.线性方程组有解的充分必要条件是 。

82. 方程组???

??=-+-=+-+-=-+343224321132122a

x x x a x x x x a x x x 有解的充要条件是 。

83. 方程组???

??=-=-=-313

2321

21a

x x a x x a x x 有解的充要条件是 。

84. A 是n n ?矩阵，对任何1?n b 矩阵，方程b AX =都有解的充要条件是_______。 85．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，

)7,6,5,4(3=α，则向量=-+-4321αααα 。

86.若120s ααα++

+=，则向量组12,,,s ααα必线性 。

87.已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，

)7,6,5,4(3=α，则该向量组的秩是 。

88. 若β可由r ααα,,,21 唯一表示, 则r ααα,,,21 线性 。 89. 单个向量α线性无关的充要条件是_____________。

90. 设m ααα,,,21 为n 维向量组, 且n R m =),,,(21ααα ，则n m 。 91. 1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关） 92.已知向量组),3,1(),3,2,2(),1,0,1(321t ===ααα线性无关，则=t _______。 93. 向量组},,,{21n ααα 的极大无关组的定义是___________。

94. 设s t t t ,,,21 两两不同, 则r i t t t r i i i i ,,2,1,),,,,1(1

2 ==-α线性 。

95.二次型yz xz xy z y x z y x f ++----=2

22),,(的矩阵是____________.

96. A ??

??

??????-=2000101

1k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。

97 . 当t 满足条件 ，使二次型3231212

3222122232x tx x x x x x x x f +-+++=是正定的。

98. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值中有r 个为正值，有r n -为负值，则A 的正惯性指数和负惯性指数是 。

99. A 相似于单位矩阵，则A = _______________。

100. A 相似于单位阵，=A ______________

。 101. 矩阵??

??

?

?

?

?

?=310043000080

0007

A 的特征值是____________。

102. 矩阵??

?

?

?

?

?

??=310064000030

0002A 的特征值是____________。

103. 设A 为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则 =A 。 104.A 满足022

=++I A A ，则A 有特征值______________________。

105. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 。

106. 设矩阵A 是n 阶零矩阵，则A 的n 个特征值是 。 107. 如果A 的特征值为λ，则T

A 的特征值为 。

108. 设1,23(,)x x x ξ=是3R 的任意向量，映射11()(cos ,sin ,0)x x σξ=是否是3R 到自身的线性映射 。

109. 设1,23(,)x x x ξ=是3R 的任意向量，映射222

123()(,,)x x x σξ=是否是3R 到自身的线性

映射 。

110. 若线性变换σ关于基{

}21,αα的矩阵为?

?

?

???d c b a ，那么线性变换σ关于基{}12,3αα的矩阵为 。

111. 对于n 阶矩阵A 与B ，如果存在一个可逆矩阵U,使得 ，则称A 与B 是相似的。 112.实数域R 上的n 阶矩阵Q 满足 ，则称Q 为正交矩阵。

113.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 。

114. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，则=C dim _____，它的一个基为____。 115. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则=C dim ____，它的一个基为_____。 116. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则=C dim ___________。

117. 设V 是数域C 上的3维向量空间，σ是V 的一个线性变换，}{321ααα，，是V 的一

个基，σ关于该基的矩阵是???

?

? ??-321321111，321αααξ++=，则)(ξσ关于}

{321ααα，，的坐标是____________。

118. 设},,{21n ααα 是向量空间V 的一个基，由该基到}{12ααα，，，

n 的过渡矩阵为___________________。

119. 设},{21n ααα，，

是向量空间V 的一个基，由该基到}{11ααα，， -n n 的过渡矩阵为__________。

120. 设V 与W 都是F 上的两个有限维向量空间，则??W V 。 121. 数域F 上任一n 维向量空间都却与n

F 。（不同构，同构）

122. 任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。 123. 令S 是数域F 上一切满足条件A A =/的n 阶矩阵A 所成的向量空间，则

S d im = 。

124. 设σ为变换，V 为欧氏空间，若V ∈?ηξ,都有

ηξησξσ,)(),(=，则

σ为 变换。

125. 在()()===31213,,2,1,0,3,2,1,αααα则中R 。 126. 在欧氏空间]2,2[-C 里x 的长度为__ _ __。 127. 在欧氏空间]2,2[-C 里2

x 的长度为_________。

128. 设(),L V V σ∈是欧氏空间，则σ是正交变换? 。

129. 设()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα，则在βα,,

中n

R = 。

三、计算题

1.把4

3

2

()564f x x x x =-++按1x -的方幂展开.

2．利用综合除法，求用()g x 去除()f x 所得的商及余式。5

3

()258f x x x x =--，

()3g x x =+。

3．利用综合除法，求用()g x 去除()f x 所得的商及余式。5

()31f x x x =--，()2g x x =-。 4.已知13)(,14)(2

34--=--=x x x g x x x f ,求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式。 5.设4

3

2

3

2

()2443,()2543f x x x x x g x x x x =--+-=--+，求(),()

f x gx 的最大公因式

((),())f x g x 。

6．求多项式3

2

()24f x x x x =++-与3

2

()241g x x x x =+-+的最大公因式．

7. 求多项式4

3

2

()421659f x x x x x =--++，3

2

()254g x x x x =--+的最大公因式

()d x ，以及满足等式()()()()()f x u x g x v x d x +=的()u x 和()v x 。

8.求多项式4

3

2

()441f x x x x x =--++，2

()1g x x x =--的最大公因式()d x ，以及满足等式()()()()()f x u x g x v x d x +=的()u x 和()v x 。

9.令F 是有理数域，求出][x F 的多项式4

3

2

()421659f x x x x x =--++，

32()254g x x x x =--+的最大公因式((),())f x g x ，并求出(),()u x v x 使得

()()()()((),())f x u x g x v x f x g x +=。

10. 令F 是有理数域，求][x F 的多项式

3452)(,3442)(23234+--=-+--=x x x x g x x x x x f 的最大公因式。

11. 设4

3

2

()242f x x x x x =+---，4

3

2

()22g x x x x x =+---，求出

(),()u x v x ，使得()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=。

12.已知432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---，求

(),(),()()()()((),())u x v x f x u x g x v x f x g x +=使得。

13.在有理数域上分解多项式1222

3+--x x x 为不可约因式的乘积。 14.b a ,应该满足什么条件，有理系数多项式b ax x ++33

才能有重因式。 15.求多项式4

3

2

()3552f x x x x x =+++-的有理根。 16.求多项式4

2

()4751f x x x x =---的有理根。 17．求多项式3

2

()61514f x x x x =-+-的有理根。 18.求多项式54

3251

()2322

f x x x x x x =--

+--的有理根。 19.求多项式23683)(2

3

4-+++=x x x x x f 的有理根。 20.求多项式3111462

345----+x x x x x 的有理根。

21.求一个二次多项式()f x ，使得：(1)0,(2)3,(3)28f f f ==-=。 22.问λ取何值时，多项式3

()2f x x x λ=-+，2

()2g x x x λ=++有实根。 23.用初等对称多项式表示n 元对称多项式22

12

f x x =∑。

24.用初等对称多项式表示n 元对称多项式312

f x x =∑。

25.请把n 元对称多项式

3

123

x x x

∑表成是初等对称多项式的多项式。

26.求行列式199

4210221

301

13的值。

27.求行列式3214214314324

321=

D 的值。

28.求行列式20104110

6

3

14321111

1=

D 的值。

29.求行列式1222

222222322224D =

的值。

30.求行列式1234234134124123D =

的值。

31.求行列式3

11251342011153

3D ---=

---的值。

32.求行列式

3

643141227251

531

-------的值。

33.求行列式00

000000

x y

y x y x x y 的值。

34.把行列式

01

1

111

101

101

------d c b

a

依第三行展开然后加以计算。

35.求行列式a

a a a a a

b a a D a a a

c a a

a

a

a d

+=

++的值。

36.求行列式3

125

341

74-的值。 37.求行列式1111111111111

1

1

1x

x D y y

+-=

+-的值。

38.求行列式x

y x y D y x y x x y x y

+=

++的值。

39.计算n 阶行列式

1111111

1

1a

a

a

+++ 40.计算n 阶行列式x a

a a a a x a a a D a a x a a a

a

a

x

a

--=

-- 41. 计算n 阶行列式

a x a

a

a a x a a a a

x ---

42. 计算n 阶行列式x

y

y x y x y

x

D n 0

(00)

...000 0

0 (00)

...0=