高考数学二轮复习 专题五 立体几何 5.2 空间中的平行与垂直课件 理
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“立体几何”大题的常考题型探究(课件)2023年高考数学二轮复习(全国通用)
因为 平面 ，所以 平面 ，所以 为二面角 的平面角．
因为 ，所以 ．由已知得 ，故 ．又 ，所以 ．因为 , , , , ，所以 ．
提分秘籍 体积问题考查的本质就是点面距离，解题关键是抓住以下几种方法：
（1）等体积法（仅限三棱锥）转换顶点;
（2）顶点不变，延展或缩小底面，如四棱锥的高即同顶点的三棱锥的高，点 到平面 的距离可看作点 到平面 的距离;
设 ，则 , , .设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ，∴平面 的一个法向量为 ， .∵直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，∴直线 与平面 所成角的正弦值等于, ，当且仅当 时取等号.
∴直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .（法二：定义法）如图2， 平面 ， ， 平面 .
大题攻略03 平面与平面所成的角
例3 (2021年全国甲卷)已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， .
（1）证明： .（2）当 为何值时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小?
▶审题微“点”
切入点
（1）常规方法是几何法，不过用几何法较为复杂，根据题目条件建系是最优解法；（2）建系是常规方法，也是最优法
▶审题微“点”
切入点
（1）关键是在平面 内找一条直线与 平行,根据线面平行的判定定理即可证明；（2）将包装盒分割成几个规则的锥体和柱体求解
障碍点
（1）在平面 内找直线与 平行；（2）将不规则的几何体分割或补形成几个规则的几何体
隐蔽点
（1）平面 内与 平行的直线；（2）包装盒的高
[解析] （1）如图1所示，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，因为 ， 为全等的正三角形，所以 ， ， .
因为 ，所以 ．由已知得 ，故 ．又 ，所以 ．因为 , , , , ，所以 ．
提分秘籍 体积问题考查的本质就是点面距离，解题关键是抓住以下几种方法：
（1）等体积法（仅限三棱锥）转换顶点;
（2）顶点不变，延展或缩小底面，如四棱锥的高即同顶点的三棱锥的高，点 到平面 的距离可看作点 到平面 的距离;
设 ，则 , , .设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ，∴平面 的一个法向量为 ， .∵直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，∴直线 与平面 所成角的正弦值等于, ，当且仅当 时取等号.
∴直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .（法二：定义法）如图2， 平面 ， ， 平面 .
大题攻略03 平面与平面所成的角
例3 (2021年全国甲卷)已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， .
（1）证明： .（2）当 为何值时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小?
▶审题微“点”
切入点
（1）常规方法是几何法，不过用几何法较为复杂，根据题目条件建系是最优解法；（2）建系是常规方法，也是最优法
▶审题微“点”
切入点
（1）关键是在平面 内找一条直线与 平行,根据线面平行的判定定理即可证明；（2）将包装盒分割成几个规则的锥体和柱体求解
障碍点
（1）在平面 内找直线与 平行；（2）将不规则的几何体分割或补形成几个规则的几何体
隐蔽点
（1）平面 内与 平行的直线；（2）包装盒的高
[解析] （1）如图1所示，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，因为 ， 为全等的正三角形，所以 ， ， .
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题五立体几何5.4.2空间中的垂直与空间角课件理
取 n=(1,
3,1),故
sin
θ=|cos<������������
·n>|=||������������������������|··|������������||
=
4.
5
因此,直线
EF
与平面
A1BC
所成的角的余弦值为3.
5
-6-
考向一 考向二 考向三
解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通 过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹 的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
2
形,且 OB⊥AC,OB=12AC=2.由 OP2+OB2=PB2 知 PO⊥OB.由 OP⊥ OB,OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC.
-9-
考向一 考向二 考向三
(2)如图,以 O 为坐标原点,������������的方向为 x 轴正方向, 建立空间直角坐标系 O-xyz.由已知得
O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-
-7-
考向一 考向二 考向三
对点训练1 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为 AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所 成角的正弦值.
-8-
考向一 考向二 考向三
解 (1)因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OP⊥AC,且 OP=2 3.连接 OB,因为 AB=BC= 2AC,所以△ABC 为等腰直角三角
|cos<������������,n>|= 3.所以
3|������-4|
高考数学二轮总复习 第三部分 专题五 5.3.1 空间中的平行、垂直与空间角课件
1 · = 0,
由
得 1
-
=
0.
1 · = 0,
1
1
2
令 x1=1,则平面 MDF 的一个法向量 n1=
1 1
1, ,2 2
同理可得平面EFCD的一个法向量n2=(0,1,1).
∵n1·
n2=0,
∴平面MDF⊥平面EFCD.
12/11/2021
.
解题心得向量法证明空间平行与垂直关系时,是以计算为手段,寻求直线上
×
2
h= .
3
又PA=2,则PB∶EB=PA∶h=3∶1.连接DB交AC于点O,连接OE,
∵△AOB∽△COD,∴DO∶OB=2∶1,得DB∶OB=3∶1,
∴PB∶EB=DB∶OB,则PD∥OE.又OE⊂平面AEC,PD⊄平面AEC,
∴PD∥平面AEC.
12/11/2021
2.向量法证明空间平行、垂直关系
转换.
(2)证明线线垂直:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;②利用
勾股定理;③利用线面垂直的性质定理.
12/11/2021
2.证明线面平行和线面垂直的常用方法
(1)证明线面平行:①利用线面平行的判定定理;②利用面面平行的性质定
理.
(2)证明线面垂直:①利用线面垂直的判定定理;②利用面面垂直的性质定
理.
3.证明面面平行和面面垂直的常用方法是判定定理.
12/11/2021
4.利用空间向量证明平行与垂直
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为
μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则:
(1)线面平行:l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
由
得 1
-
=
0.
1 · = 0,
1
1
2
令 x1=1,则平面 MDF 的一个法向量 n1=
1 1
1, ,2 2
同理可得平面EFCD的一个法向量n2=(0,1,1).
∵n1·
n2=0,
∴平面MDF⊥平面EFCD.
12/11/2021
.
解题心得向量法证明空间平行与垂直关系时,是以计算为手段,寻求直线上
×
2
h= .
3
又PA=2,则PB∶EB=PA∶h=3∶1.连接DB交AC于点O,连接OE,
∵△AOB∽△COD,∴DO∶OB=2∶1,得DB∶OB=3∶1,
∴PB∶EB=DB∶OB,则PD∥OE.又OE⊂平面AEC,PD⊄平面AEC,
∴PD∥平面AEC.
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2.向量法证明空间平行、垂直关系
转换.
(2)证明线线垂直:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;②利用
勾股定理;③利用线面垂直的性质定理.
12/11/2021
2.证明线面平行和线面垂直的常用方法
(1)证明线面平行:①利用线面平行的判定定理;②利用面面平行的性质定
理.
(2)证明线面垂直:①利用线面垂直的判定定理;②利用面面垂直的性质定
理.
3.证明面面平行和面面垂直的常用方法是判定定理.
12/11/2021
4.利用空间向量证明平行与垂直
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为
μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则:
(1)线面平行:l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
高中数学课件-立体几何复习——平行、垂直证明
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F， 连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点， ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中，F 为 CB 的中点， ∴BF＝12BC＝1. 又∵AD∥BC，且 AD＝1， ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE⊂平面 EFD，∴DE∥平面 PAB.
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
在△PBC 中，E、Ｈ和分别为 PC、PB 的中点， ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，且 AD＝1，BC＝２ ∴AD // 12BC. ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ＥD∥AH.
β
a
αlHale Waihona Puke a all
a
☺ 简称：面面垂直，线面垂直.
归纳小结
1．垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若 这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转 化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
➳性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行．
//
a
a // b
b
☺ 简称：面面平行，线线平行.
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是BA1，BC1的中点。 求证：EF // 平面ABCD