(好题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)
一、选择题
1．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A ．
2129
B ．
2329
C ．
1112
D ．
1213
2．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ） A ．
16
π
B ．
4
π C ．
322
π- D ．14
π
-
3．如图，长方形的四个顶点为(0,0)O ，(4,0)A ，(4,2)B ，(0,2)C ，曲线y x =
经过点
B .现将一质点随机投入长方形OAB
C 中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
4．在下列命题中，
①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
518
； ②34
1()2x x
+的展开式中的常数项为2；
③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1
(10)2
P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②B．①③
C．②③D．①②③
5．4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（）
A
．
4
9
B．
4
27
C
．
3
64
D．
3
32
6．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD
-，该四棱锥的体积为
42
3
，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为（）
A．
1
π
B．
2
π
C．
3
π
D．
2
π
7．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5
AD=，3
BD=，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（）
A．
9
64
B．
4
49
C．
2
25
D．
2
7
8．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（）
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
9．假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC内的概率为() A
33
B．
2
π
C．
4
π
D．
33
4
π
10．在二项式
4
2
n
x
x
的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）
A．1
6
B．
1
4
C．
5
12
D．
1
3
11．甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为2
3
，则甲乙两人各自射
击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（）
A．1
2
B．1C．
5
6
D．
11
12
12．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）
A．1
4
B．
8
π
C．
3
4
D．
4
π
二、填空题
13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.
14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为
__________.
15．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.
16．十六个图钉组成如图所示的四行四列的方阵，从中任取三个图钉，则至少有两个位于同行或同列的概率为______.
17．如图所示，分别以,,
A B C为圆心，在ABC内作半径为2的三个扇形，在ABC
内任取一点P，如果点P落在这三个扇形内的概率为1
3
，那么图中阴影部分的面积是
____________.
18．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则
()
E X ______________．
19．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度不超过3R的概率是__________．
20．如图，圆柱12
O O内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱12
O O的概率为______；
三、解答题
21．在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.
22．某大学综合评价面试测试中，共设置两类考题：A类题有4个不同的小题，B类题有3个不同的小题.某考生从中任抽取3个不同的小题解答.
（1）求该考生至少抽取到2个A类题的概率；
（2）设所抽取的3个小题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与均值. 23．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动
车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为1
4
，
1
2
；一小时以上且不超过两小时还车的
概率分别为1
2
，
1
4
；两人租车时间都不会超过三小时.
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
24．为了响应市政府迎接全国文明城市创建活动的号召，某学校组织学生举行了文明城市创建知识类竞赛，为了了解本次竞赛中学生的成绩情况，从中抽取50名学生的分数(满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]
50,100之内)作为样本进行统计，按照[)[)[)[)[]
50,6060,7070,8080,9090,100
，，，，分成5组，并作出如下频率分布直方图，已知得分在[)
80,90的学生有5人.
()1求频率分布直方图中的的, x y 值，并估计学生分数的众数、平均数和中位数: ()2如果从[)[)[)60,7070,8080,90，，三个分数段的学生中，按分层抽样的方法抽取8人参与座谈会，然后再从[)[)70,8080,90，两组选取的人中随机抽取2人作进一步的测试，求这2人中恰有一人得分在[)80,90的概率.
25．某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在[]160,185，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为[)160165,，第2组成绩为[)165170,，第3组成绩为[)170175,，第4组成绩为[)175,180，第5组成绩为[]180,185，样本频率分布直方图如下：
（1）估计全体考生成绩的中位数；
（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率．
26．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量）
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数（个）
5
10
20
15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
试题分析：设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
详解：
设水深为x尺，
则（x+2）2=x2+52，
解得x=21
4
，
即水深21
4
尺．
又葭长29
4
尺，
则所求概率为21 29
.
故选A．
点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
2．D
解析：D
【分析】
根据题意，作出满足题意的图像，利用面积测度的几何概型，即得解.
【详解】
分别以A ，B ，C ，D 四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分
224ABCD S =⨯=，21
4144
ABCD S S ππ=-⨯⨯=-阴影
由几何测度的古典概型，14
ABCD S P S π
=
=-阴影 故选：D 【点睛】
本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
3．A
解析：A 【分析】
计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可. 【详解】
由已知易得：34
200
216=42=8=
[]|33
S S xdx x ⨯==⎰
阴影长方形，，
由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率1
1=3
S P S =-阴影长方形 故选：A 【点睛】
本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断. 【详解】
对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9872⨯=种可能； 满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有54240⨯⨯=种可能； 根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为405
729
P =
=，故①错误； 对②：对341()2x x +写出通项公式可得43
4124144122r
r
r r r r
r x T C C x
x ---+⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
令1240r -=，解得3r =，即可得常数项为31
422C -⋅=，故②正确；
对③：由正态分布的特点可知11
(10)(1)22
P P p ξξ-<<=-≥=-，故③正确. 综上所述，正确的有②③. 故选：C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题.
5．D
解析：D 【分析】
先求出基本事件总数n ，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率. 【详解】
因为4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，所以基本事件总数n =44,每项活动至少有一名同学参加，因此4名同学分别参加一项活动，共有4
4
A 种不同的情况.因此：每项活动至少一名同学参加的概率为：4
443
432
A p ==
. 【点睛】
本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题.
6．A
解析：A 【分析】
先根据四棱锥的体积求出球的半径，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】
，设球半径为R
112232R R R R =⨯⨯⨯⨯∴=
因此所求概率为31314
23
ππ=⨯，
故选：A 【点睛】
本题考查四棱锥体积、球体积以及几何概型概率公式，考查综合分析求解能力，属中档题.
7．B
解析：B 【分析】
求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】 解：
18060120ADB ∠=︒-︒=︒，
在ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为2
2
2
153253492AB ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
，解得7AB =， 2DE AD BD =-=，224()749
DEF ABC
S
S
∴
==． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8．D
解析：D 【分析】
设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】
设正品为12,a a ，次品为b ,
任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23
P =， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.
9．A
解析：A 【分析】
设圆的半径为R ，且由题意可得是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代入几何概率的计算公式可求． 【详解】
解：设圆的半径为R 构成试验的全部区域的面积：2S R π=
记“向圆O 内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A ，
则构成A
22) 由几何概率的计算公式可得， (
)2
2
4P A R π==故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了与面积有关的几何概型概率的计算公式的简单运用，关键是明确满足条件的区域面积，属于基础试题．
10．C
解析：C 【分析】
先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】
因为n
前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418
118,0,1,2
,82
r
r r r n n T C x r -
+>∴=∴=⋅=，
当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为63679
95
12
A A A =,选C. 【点睛】
本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．D
解析：D 【分析】
记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件A 的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件A 的概率. 【详解】
记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中， 则事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标， 由独立事件的概率乘法公式得()
321114312
P A ⎛⎫⎛⎫=-
-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()
111
111212
P A P A ∴=-=-
=，故选D. 【点睛】
本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用圆的面积公式及几何概型中的面积型直接得解．
【详解】
由已知可得：矩形ABCD的面积为（3+5）×（2+3+8）＝104，
又阴影部分的面积为1
4
π（12+12+22+32+52+82）＝26π，
即点取自阴影部分的概率为26
1044ππ
=，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆的面积公式及几何概型中的面积型，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何
解析：1 3
【分析】
利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】
由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为
3
11
2
21 (1()|
33
S dx x x
=-=-=
⎰，
由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为
1
1
3
113 p==
⨯
．
【点睛】
本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事
解析：
7 10
【分析】
基本事件总数2
510n C ==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C ==，根据对
立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率. 【详解】
因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者， 所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2
5
10n C ==个基本事件，
又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数2
33m C ==，
所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010
P =-=. 故答案为：710
【点睛】
本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.
15．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的 解析：
799
【分析】
基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：75
7
8m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率． 【详解】
解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，
基本事件总数12
12n A =，
五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：75
78m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75
7812127
99
A A m p n A ===．
故答案为：7
99
．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16．【分析】先求出从16个图钉中任取3个的所有方法数再求出三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量利用排除法即得解【详解】从16个图钉中任取3个共有种取法；三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量：种至少有 解析：
2935
【分析】
先求出从16个图钉中任取3个的所有方法数，再求出三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量，利用排除法，即得解. 【详解】
从16个图钉中任取3个共有3
16560C =种取法；
三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量：3
4432=96C ⨯⨯⨯种 至少有两个位于同行或者同列的情况的数量：56096464-=种. 所以至少有两个位于同行或同列的概率为2935
. 故答案为：2935
【点睛】
本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
17．【分析】先求出三块扇形的面积再由概率计算公式求出的面积进而求出阴影部分的面积【详解】∵∴三块扇形的面积为:设的面积为∵在内任取一点点落在这三个扇形内的概率为∴图中阴影部分的面积为:故答案为:【点睛】 解析：4π
【分析】
先求出三块扇形的面积,再由概率计算公式求出ABC ∆的面积,进而求出阴影部分的面积. 【详解】
∵180A B C ︒++=, ∴三块扇形的面积为:2
1
222
ππ⨯⨯=, 设ABC 的面积为S ,
∵在ABC 内任取一点P ,点P 落在这三个扇形内的概率为
13
, 21
63
S S ππ∴
=⇒=, ∴图中阴影部分的面积为:624πππ-=, 故答案为:4π. 【点睛】
本题主要考查几何概型的应用,属于几何概型中的面积问题,难度不大.
18．【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为： 5 4 3 4 2 则【点睛】本题考查几何概型及随 解析：3.5625
【解析】
【分析】
列出随机变量的分布列求解. 【详解】
由题意知某人到达银行的概率为几何概型，所以： 其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：
则()54342 3.56258
161648
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查几何概型及随机变量的分布列.
19．【分析】先根据题意先找出弦的长度不超过对应的点其构成的区域是点M 两侧各圆周既而求得概率【详解】根据题意满足条件弦的长度不超过对应的点其构成的区域是点M 两侧各圆周所以弦MN 的长度不超过的概率是故答案为
解析：2
3
【分析】
先根据题意，先找出弦MN 对应的点，其构成的区域是点M 两侧各13
圆周，既而求得概率. 【详解】
根据题意，满足条件“弦MN ”对应的点，其构成的区域是点M 两侧各
1
3圆周，所以弦MN 的概率是23
P = 故答案为2
3
【点睛】
本题主要考查了几何概型的意义，关键是找出满足条件弦MN 的图形测度，再带入公式求解.
20．【分析】设出球的半径利用勾股定理求得圆柱的底面半径分别计算圆柱和球的体积然后利用几何概型的概率计算公式求得所求的概率【详解】设球的半径为依题意可知圆柱底面半径故圆柱的体积为而球的体积为故所求概率为【 解析：
916
【分析】
设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用
几何概型的概率计算公式，求得所求的概率. 【详解】
设球的半径为r
，依题意可知，圆柱底面半径r =='，故圆柱的体积为22333πππ44r r r r r ⋅=⋅⋅='，而球的体积为34π
3r ，故所求概率为333π94
4π163
r
r =. 【点睛】
本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.
三、解答题
21．（1）200（2）10.4（天）（3）815
【分析】
（1）求出调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，即得解； （2）利用平均数公式计算即得解；（3）利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】
（1）调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人， 因此该地区A 病毒患者中，60岁以下的人数估计有20
50020050
⨯=人. （2）()11123751071191411413251810.45050
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=（天）
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，
从六人中抽取两人包括15个基本事件：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6.
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A ，则事件A 包括8个， 所以8
()15
P A =. 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率公式，考查平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．（1）22
35；（2）分布列见解析，97
EX = 【分析】
（1）利用古典概率与互斥事件概率计算公式即可得出．
（2）设所抽取的3个小题中B 类题的个数为X ，则X 的取值为0，1，2，3．利用超几何分布列计算公式即可得出． 【详解】
（1）该考生至少抽取到2个A 类题的概率21343
4
37
2235
P +
=
=
． （2）设所抽取的3个小题中B 类题的个数为X ，则X 的取值为0，1，2，3．
3437
4(0)35P X ===
， 21433718(1)35P X ===， 12433712(2)35
P X ===， 3337
1(3)35
P X ==
=
， ∴随机变量X 的分布列为：
均值0123353535357
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
本题考查古典概率与互斥事件概率计算公式、超几何分布列计算公式及其数学期望计算公式，考查推理能力与计算能力． 23．（1）516；（2）916
【分析】
（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，都付2元的概率1111
428
P =⨯=，都付4元的概率2111248P =
⨯=，都付6元的概率3111
4416
P =⨯=，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率．
（2）设两人费用之和8、10、12的事件分别为A 、B 、C ，
()111111544242416P A =
⨯+⨯+⨯=， ()11113442416
P B =⨯+⨯=， ()111
4416
P C =
⨯=，设两人费用之和大于或等于8的事件为W ，则W A B C =++，由
此能求出两人费用之和大于或等于8的概率． 【详解】
解：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元. 都付2元的概率为1111
428P =⨯=； 都付4元的概率为2111248P =⨯=； 都付6元的概率为31114416
P =
⨯=； 故所付费用相同的概率为1231115
881616
P P P P =++=
++=. （2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为A 、B 、C
()111111544242416
P A =⨯+⨯+⨯=； ()11113442416P B =
⨯+⨯=；()1114416
P C =⨯=. 设两人费用之和大于或等于8的事件为W ，则W A B C =++ 所以，两人费用之和大于或等于8的概率
()()()()5319
16161616
P W P A P B P C =++=
++= 【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
24．(1)
0.04,?0.010x y ==，众数为75，平均数为70.6，中位数为71；(2)2
5
. 【分析】
（1）根据长方形面积之和为1，频率的计算，求得,x y ；再根据直方图中众数、平均数和中位数的计算方法即可求得对应的值；
（2）先计算出[)[)70,8080,90，分数段的学生人数，再根据古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】
（1）根据频率分布直方图可得5
1050
y ⨯=，解得0.010y =； 由所有长方形的面积之和为1，
则()100.0160.0300.0100.0041x ⨯++++=，解得0.04x =； 由最高的长方形所对区间的中点值为75，可得众数为75；
设平均数为x ，则550.16650.3750.4850.1950.0470.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 设中位数为0x ，则()00.160.3700.040.5x ++-⨯=，解得071x =.
综上所述：0.04,?
0.010x y ==，众数为75，平均数为70.6，中位数为71. （2）因为[)[)[)60,7070,8080,90，，三个分数段的学生 分别有500.315⨯=人，500.420⨯=人，500.15⨯=人. 要从中抽取8人，
则从[)[)[)60,7070,8080,90，，分数段抽取的人数分别为：3人，4人，1人. 设分数在[)70,80的学生为1234,,,A A A A ，分数在[)80,90的学生为B ， 则从中抽取2人的所有可能合计10种，具体如下：
1213141232423434,,,,,,,,,A A A A A A A B A A A A A B A A A B A B
则满足题意的共有1234,,,A B A B A B A B 共计4种. 故这2人中恰有一人得分在[)80,90的概率42
105
P ==. 【点睛】
本题考查频率分布直方图中参数的求解，以及由频率分布直方图计算众数，中位数，平均数，以及古典概型的概率计算，涉及分层抽样，属综合性中档题. 25．（1）17250；（2）415
． 【分析】
（1）由频率分布直方图中把频率（矩形面积）等分的点对应的成绩为中位数．
（2）由频率分布直方图中的频率求出从三组中各抽取的人数，并编号，用列举法写出任取2人的事件，并列出来自同一组的事件，计算个数后可求概率． 【详解】
（1）样本中位数为0x ，从频率分布直方图可知[)0170,175x ∈， 从而有()00.050.351700.040.5x ++-⨯=，解得0172.50x = 故全体考生成绩的中位数约为17250．
（2）记A 为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人， 记第3组学生为12,a a ，第4组学生为123,,b b b ，第5组学生为c ； 从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：
()()()()()()()()()()()()()()()
1211121312122232121312323,,,,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a c a b a b a b a c b b b b b c b b b c b c
其中事件A 共有4种，为()()()()12121323,,,,,,,a a b b b b b b 由古典概型公式得()4
15
P A =
故这两名学生均来自同一组的概率为415
． 【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查古典概型，解决古典概型的基本方法是列举法．
26．(1) 0.4(2)1个 (3) 31()62
P A == 【解析】
试题分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求． （2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数． （3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率． 试题
（1）重量在[)90,95的频率为：
；
（2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在
[)80,85的个数为：
；
（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有，
，
，
，
，
6种
情况．
其中符合 “重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 3种;设“抽出的4个苹果中，任取2个，重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62
P A =
=． 考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、分层抽样方法．
【方法点晴】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
数学必修3第三章概率测试题(附答案)
高中数学必修3第三章 概率单元检测 一、选择题 1．任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是( ). A ． 24 1 B ． 6 1 C ．8 3 D ． 12 1 2．在区间?? ? ? ??2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A ．31 B ．π2 C ． 2 1 D ． 3 2 3．从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ). A ．103 B ．107 C ． 5 3 D ． 5 2 4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ). A ．103 B ．51 C ． 10 1 D ． 12 1 5．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ). A ．12513 B ．12516 C ． 125 18 D ． 125 19 6．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ). A ．21 B ．31 C ． 4 1 D ． 16 1 7．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ).
A ． 5 1 B ． 5 2 C ． 5 3 D ． 5 4 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ). A ．6 1 B ．31 C ． 21 D ． 3 2 9．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”．已知P (A )＝P (B )＝ 61 ，则“出现1点或2点”的概率为( ). A ．21 B ．31 C ． 6 1 D ． 12 1 二、填空题 10．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为___________． 11．有A ，B ，C 三台机床，一个工人一分钟内可照看其中任意两台，在一分钟内A 未被照看的概率是 ． 12．抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有1～6点)，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”，则“出现的点数大于2”的概率为 ． 13．已知函数f (x )＝log 2 x ， x ∈??????221 ，，在区间?? ? ???221 ，上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为 ． 14．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ． 15．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ．则a ＋b 能被3整除的概率为 ．
人教版高中数学必修三 第三章 概率专题20_概率—高考数学(文)真题分项版解析(有答案)
专题20_概率—高考数学(文)真题分项版解析 1.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ． 12 D ．π 4 【答案】B 【考点】几何概型 【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关． 2.【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ） 45（B ）35（C ）25（D ）1 5 【答案】C 【解析】 试题分析：选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为1 4C 种，由古典概型公式，满足题意的概 率值为1 42542 105 C p C == =.本题选择C 选项. 【考点】古典概型 【名师点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和
试验中基本事件的总数代入公式() () n A P n = Ω. 3.【2017课标II ，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. 110 B. 15 C. 310 D. 25 【答案】D 【考点】古典概型概率 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 4.【2015高考山东，文7】在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“12 1 -1log 2 x ≤+≤（） 1”发生的概率为( ) （A ） 34（B ）23（C ）13（D ）14 【答案】A 【考点定位】 1. 几何概型；2.对数函数的性质.
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题 1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫ ++= ⎪⎝ ⎭ .若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）. A ． 14 B ． 15 C ． 25 D ． 35 2．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ． 15 B ． 13 C ． 35 D ． 23 3．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ． 23 B ． 14 C ．38 D ． 34 4．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ） A ．1103156 π - B ．14 π- C ．17126 π - D ．681237 π -
高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)
高中数学必修三第三章《概率》章节练习 题(含答案) 高中数学必修三第三章《概率》章节练题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列试验属于古典概型的有（）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是（）。 A。B。C。D。 补偿训练】一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）。 A。B。C。D。
3.在全运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的 5名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的 概率为（）。 A。B。C。D。 4.任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a， b)落在区域|x|+|y|≤3中的概率为（）。 A。B。C。D。 5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）。 A。B。C。D。 6.如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为 P1，P2，则P1，P2的大小关系是（）。 A。P1=P2 B。P1>P2 C。P1 7.一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现 的点数为a，第二次出现的点数为b，则a+b能被3整除的概 率为（）。 8.已知函数f(x)=log2x，x∈R。在区间[1,8]上任取一点x，使f(x)≥-2的概率为（）。 补偿训练】已知直线y=x+b，b∈[-2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是（）。 A。B。C。D。 9.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=√(x) 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S： ①先产生两组[0,1]的均匀随机数，a=RAND，b=RAND； ②做变换，令x=4a，y=√(b)； ③判断(x,y)是否在阴影部分中，若是则计数器加1； ④重复上述步骤n次，估计S≈n×计数器/. 则利用上述方法，当n=时，估计得到的阴影部分的面积 S≈（）。 一、选择题 1．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A ． 2129 B ． 2329 C ． 1112 D ． 1213 2．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ） A ． 16 π B ． 4 π C ． 322 π- D ．14 π - 3．如图，长方形的四个顶点为(0,0)O ，(4,0)A ，(4,2)B ，(0,2)C ，曲线y x = 经过点 B .现将一质点随机投入长方形OAB C 中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（ ） A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ． 34 4．在下列命题中， ①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 518 ； ②34 1()2x x +的展开式中的常数项为2； ③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1 (10)2 P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（ ） A．②B．①③ C．②③D．①②③ 5．4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（） A ． 4 9 B． 4 27 C ． 3 64 D． 3 32 6．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为 42 3 ，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为（） A． 1 π B． 2 π C． 3 π D． 2 π 7．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5 AD=，3 BD=，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（） A． 9 64 B． 4 49 C． 2 25 D． 2 7 8．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 9．假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC内的概率为() A 33 B． 2 π C． 4 π D． 33 4 π 10．在二项式 4 2 n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（） 高中数学必修3第三章《概率》单元检测试卷 姓名： 分数： 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 1.下列说法正确的是（ ） A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间 B. 频率是客观存在的，与试验次数无关 C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D. 概率是随机的，在试验前不能确定 2.掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（ ） A. 61 B. 21 C. `31 D. 4 1 3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03， 丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为 （ ） A ．0.99 B ．0.98 C ．0.97 D ． 0.96 4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ） A. 9991 B. 10001 C. 1000999 D. 2 1 5.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”， C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. A 与C 互斥 B. B 与C 互斥 C. 任何两个均互斥 D. 任何两个均不互斥 6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（ g ）范围内的概率是（ ） A. 0.62 B. 0.38 C. 0.02 D. 0.68 7.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ） A. 1 B. 21 C. 31 D. 3 2 8. 有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影 2021年高中数学第三章概率综合测试题（含解析）新人教B版必修3 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．下列事件中，不是随机事件的是( ) A．东边日出西边雨刘禹锡 B．下雪不冷化雪冷民间俗语 C．清明时节雨纷纷杜牧 D．梅子黄时日日晴曾纾 [答案]B [解析]A、C、D为随机事件，B为必然事件． 2．(xx·安徽太和中学高一期末测试)从装有5个红球和3个白球的口袋中任取3个球，那么下列是互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球 [答案] D [解析]A中两事件是包含关系，B中两事件是对立事件，C中两事件可能同时发生，故选D. 3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠∅的概率为1，则a的取值范围是( ) A．[－2，2] B．(－2，2] C．[－2，2) D．(－2，－2) [答案] A [解析]依题意知，直线x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1恒有公共点．故|a| 12＋12 ≤1，解得 －2≤a≤ 2. 4．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第1、2、3册的概率为( ) A.1 6 B． 1 3 C.1 2 D． 2 3 [答案] B [解析]基本事件空间为Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}共6个基本事件．而事件A＝“各册从左到右，或从右到左恰好为第1、2、3册”中含有两 个基本事件(1,2,3)和(3,2,1)，各基本事件是等可能的．∴P(A)＝2 6＝ 1 3 . 5．在400 mL自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( ) A．0.005 B．0.004 C.0.001 D．0.002 [答案] A [解析]发现大肠杆菌的概率为P＝2 400 ＝0.005. 6．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( ) A．0.7 B．0.5 C.0.3 D．0.6 [答案] A [解析]任意摸出一球，事件A＝“摸出红球”，事件B＝“摸出黄球”，事件C＝“摸出白球”，则A、B、C两两互斥． 由题设P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4， P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝0.9， 又P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1， ∴P(A)＝0.4＋0.9－1＝0.3， ∴P(B∪C)＝1－P(A)＝1－0.3＝0.7. 7.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒 豆子，落在阴影区域内的概率为2 3 ，则阴影区域的面积为 ( ) 阶段质量检测(三) 概率 [考试时间：90分钟试卷总分：120分] 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列事件属于必然事件的有________． ①长为2,2,4的三条线段，组成等腰三角形 ②电话在响一声时就被接到 ③实数的平方为正数 ④全等三角形面积相等 2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是__________． 3．在坐标平面内，已知点集M＝{(x，y)|x∈N，且x≤3，y∈N，且y≤3)}，在M中任取一点，则这个点在x轴上方的概率是________． 4．某人随机地将标注为A，B，C的三个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完．则标注为B的小球放入编号为奇数的盒子中的概率等于________．5．已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．6．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A) ＝1 2 ，P(B)＝ 1 6 ，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 7．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3 册的概率为________． 8．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任意x0∈[－5,5]使f(x0)≤0的概率为________．9．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成平局的概率为________． 10．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为6的概率是________． 11．从分别写有ABCDE的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为________. 12.如图，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为2 cm的一枚铁片抛到此纸板上，使铁片整体随机落在纸板内，则铁片落下后把小圆全部覆盖的概率为________． 13．(安徽高考改编)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________． 14．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________． 第3课时概率 课后篇巩固提升 基础巩固 1.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是() A.恰有1名男生与恰有2名女生 B.至少有1名男生与全是男生 C.至少有1名男生与至少有1名女生 1名男生与全是女生 中的两个事件互斥且不对立符合要求;B中的两个事件之间是包含关系,不符合要求;C 中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件,故不互斥;D中的两个事件是对立的,不符合要求.故选A. 2.《易经》是我国古代预测未来的著作,其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知,则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为() A.1 8B.1 4 C.3 8 D.1 2 :正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反,共8种,其中出现两正一反的共有3种,故所求概率为3 8 .故选C. 3.把一枚质地均匀的骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为() A.1 6B.1 4 C.1 3 D.1 2 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个. 而“在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点”包含的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个. ∴在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为9 18=1 2 .故选D. 4.如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是() A.1 4B.π 4 C.1 3 D.π 3 高中数学必修三概率综合训练 一、单选题 1.下列事件中，是随机事件的是（） ①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品； ②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标； ③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码； ④异性电荷，相互吸引； ⑤某人购买体育彩票中一等奖． A. ②③④ B. ①③⑤ C. ①②③⑤ D. ②③⑤ 2.下列说法正确的是（） A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间 B. 频率是客观存在的，与试验次数无关 C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D. 概率是随机的，在试验前不能确定 3.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（） A. 本市明天将有70%的地区降雨 B. 本市明天将有70%的时间降雨 C. 明天出行带雨具的可能性很大 D. 明天出行不带雨具肯定要淋雨 4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A. “至少有一个红球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球” D. “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” 5.已知事件A与事件B发生的概率分别为、，有下列命题： ①若A为必然事件，则；②若A与B互斥，则； ③若A与B互斥，则. 其中真命题有（）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.设函数，若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（） A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 7.如图，在矩形中，AB=4cm，BC=2cm，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到阴影部分的概率是（） A. B. C. D. 8.掷一个骰子，出现“点数是质数”的概率是（） A. B. C. D. 9.抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（） 阶段质量检测（三） 概 率 (时间120分钟，满分150分) 一 、 选 择 题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列事件中随机事件的个数为( ) ①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖； ④已经有一个女儿，第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C. 2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球 解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D. 3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( ) A.15 B.25 C.3 10 D.7 10 解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故P ＝4 10＝2 5 . 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( ) A.13 B.16 2019-2020学年高中数学基础知识篇第三章概率训练(含解析)北师大版必修 3 建议用时实际用时满分实际得分 90分钟150分 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（） A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.不等可能事件 2.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 3.某人在打靶中连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A.至多有一次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有一次中靶 4.下列说法中正确的是( ) A.事件中至少有一个发生的概率一定比中 恰有一个发生的概率大 B.事件同时发生的概率一定比事件恰有一 个发生的概率小 C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥 事件 D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥 事件 5.在一批产品中，有多于4件的次品和正品，从这批产品中任意抽取4件，事件为抽取4件产品中至少有一件次品，那么A为( ) A.抽取的4件产品中至多有1件次品 B.抽取的4件产品中恰有1件次品 C.抽取的4件产品中没有次品 D.抽取的4件产品中有多于4件的次品 6.下列叙述错误的是( ) A.频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B.若事件发生的概率为，则0≤≤1 C.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定 是 互斥事件 D.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙 与甲抽到有奖奖券的可能性相同 7.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是( ) A.B.C.D. 8.有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为( ) A.B.C.D. 9.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（） A.3个都是正品 B.至少有1个是次品 C.3个都是次品 D.至少有1个是正品 二、填空题（每小题5分，共35分） 10.某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 . 11.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85﹚﹙g﹚范围内的概率 是 . 12.有一种电子产品，它可以正常使用的概率为 0.992，则它不能正常使用的概率是 . 13.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一 个数字恰好能开锁的概率为 . 14.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 . 15.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取 人教版高中数学必修精品教学资料 第三章概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型 3.2.2 （整数值）随机数 （random numbers）的产生 A级基础巩固 一、选择题 1．下列是古典概型的是 ( ) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是． 答案：C 2．小明同学的QQ密码是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ 时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( ) A. 1 105 B. 1 104 C. 1 102 D. 1 10 解析：只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最 后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是1 10 . 答案：D 3．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)． 答案：D 4．已知集合A ＝{2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，9}，在集合A ∪B 中任取一个元素，则它是集合A∩B 中的元素的概率是( ) A.23 B.35 C.37 D.25 解析：A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A ∩B ＝{2，3，6}， 所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37 . 答案：C 5．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( ) A ．0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.6 解析：10个数据落在区间[22，30)内的数据有22，22，27，29共4个，因此，所求的 频率即概率为410 ＝0.4.故选B. 答案：B 二、填空题 6．从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． 解：总的取法有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中含有a 的有ab ，ac ，ad ，ae 共4种． 故所求概率为410＝25 . 答案：25 7．分别从集合A ＝{1，2，3，4}和集合B ＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________． 解析：基本事件总数为4×4＝16，记事件M ＝{两数之积为偶数}，则M 包含的基本事件 有12个，从而所求概率为1216＝34 . 答案：34 8．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是 一、选择题 1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．316 B ．38 C ． 14 D ． 18 2．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共 5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ） A ．110 B ．310 C ．12 D ．35 3．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ） A ． 8 π B ． 16 π C ．18 π - D ．116 π - 4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ） A ． 518 B ． 718 C ． 716 D ． 516 5．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ． 35 B ． 79 C ． 715 D ． 3145 6．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ． 310 B ． 25 C ． 825 D ． 35 7．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ． 23 B ． 14 C ．38 D ． 34 8．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，2 3 CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ） A ．12 B ．34 C ．27 D ． 38 9．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ） 一、选择题 1．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（） A． 1 10 B． 3 10 C． 1 2 D． 7 10 2．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（） A． 5 18 B． 7 18 C． 7 16 D． 5 16 3．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（） A．1 3 B． 4 9 C． 5 9 D． 2 3 4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率() P A B=（） A．1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 5 6 5．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（） A． 9 10 B． 7 10 C． 3 10 D． 1 10 6．如图，正方形ABNH、DEFM的面积相等， 2 3 CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH内 投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（） 一、选择题 1．已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于,,,E F G H ,连接,,,EF FG GH HE , 现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆I 内；事件B:豆子落在四边形EFGH 外，则()P B A =( ) A ．14 π - B ． 4 π C ．2 1π - D ． 2π 2．将曲线2 2 x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ,曲线1x y +=围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（ ） A ． 1 2 π+ B ． 11 π+ C ． 2 2 π+ D ． 21 π+ 3．在区间11,22⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则cos x π的值介于22与32 之间的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ． 15 D ． 16 4．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A ． 1 2 B ． 13 C ． 23 D ． 14 5．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ． 2764 B ． 916 C ． 81 256 D ． 716 6．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在 (整数值)随机数(random numbers)的产生 一、选择题 1．袋子中有四个小球分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字有放回地从中任取一个小球取到“快”就停止用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数且用1234表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字以每两个随机数为一组代表两次的结果经随机模拟产生了20组随机数： 13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34 据此估计直到第二次就停止的概率为( ) A 15 B ．14 C 13 D ．12 【解析】 由随机模拟产生的随机数可知直到第二次停止的有 1343231313共5个基本事件故所求的概率为P ＝520＝14 【答案】 B 2．某班准备到郊外野营为此向商店订了帐蓬如果下雨与不下雨是等可能的能否准时收到帐篷也是等可能的只要帐篷如期运到他们就不会淋雨则下列说法正确的是( ) A ．一定不会淋雨 B ．淋雨机会为34 C ．淋雨机会为12 D ．淋雨机会为14 【解析】 用A 、B 分别表示下雨和不下雨用a 、b 表示帐篷运到和运不到则所有可能情形为(Aa )(Ab )(Ba )(Bb )则当(Ab )发生时就会被雨 淋到∴淋雨的概率为P ＝14 【答案】 D 3．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数指定1234表示命中567890表示没有命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) 【28750061】 A ．035 B ．025 C ．020 D ．015 【解析】 恰有两次命中的有191271932812393共有5组则该运 动员三次投篮恰有两次命中的概率近似为520＝025 【答案】 B(好题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)
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