勾股定理的最短路径问题解题思路
勾股定理最短路径问题等面积法
勾股定理最短路径问题等面积法勾股定理最短路径问题等面积法，听起来是不是有点绕？别急，听我慢慢给你捋一捋。
先从勾股定理说起，大家应该都知道吧？就是直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方，嗯，就是这么简单一个公式，a² + b² = c²。
这玩意儿不管是在中学课本里，还是在咱们日常生活中都能见到。
比如你想知道从A点到B点，经过一段直角的路程有多远，直接套这个公式就行了。
可是，今天我们聊的可不是这件事。
我们要说的，是用勾股定理来解决“最短路径”的问题，而且还要通过“等面积法”来解释，怎么让这个看起来复杂的问题变得简单又有趣。
先说说最短路径。
假设你站在一个地方，想跑到另一个地方，不管是横着走还是竖着走，总想选一条最省劲儿的路对吧？要是你从家里到超市，直接横穿过公园，那不就太浪费力气了？其实这就是在做最短路径的选择。
如果是直角三角形的两条直角边，你可以直接想象一下从A点出发，先往右走，然后再往上走，最后走到B点。
而最短的路径呢？就应该是斜着穿过去的那条线。
有没有发现，绕来绕去其实是没有意义的，直接走最短的直线就行了。
这个直线，就是通过勾股定理算出来的斜边。
咱们来聊聊“等面积法”。
乍一听，这是什么东东啊？等面积法就是一种巧妙的方式，它让我们可以通过“面积”的方式来理解最短路径的问题。
想象一下，咱们有一个矩形，宽是a，高是b。
你可能会说，这不就是一个普通的矩形嘛，啥了不起的。
可是，这个矩形能代表什么呢？它代表了你从A点到B点的两条直角边——就像你走直角路线，先水平再垂直那样。
好，那现在把这个矩形的面积给算出来，面积就是a乘b，对吧？你把这个矩形变成一个等面积的正方形，什么意思呢？就是让正方形的面积和矩形一样大。
这样，正方形的边长就变成了√(a² + b²)。
哦，这不就又回到勾股定理了嘛。
通过这种“等面积”的转换，咱们用一种全新的方式重新审视最短路径问题，发现它和勾股定理之间有着密不可分的关系。
人教部初二八年级数学下册 运用勾股定理解决最短路径问题 名师教学PPT课件
解题思路：按对称点实现“折”转“直”
例1 如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB= 90°，AC=BC=2，D是 BC边上的中点.若E是AB边上一 动点，求EC+ED的最小值.
A E
C
DB
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=2， D是BC边上的中点.若E是AB边上一动点，求EC+ED的最 小值.
所以∠CBF= ∠C'BF. 又∠CAB=∠CBA=45°
所以∠CBC'= 90°. 在Rt△BC'D中，∠DBC'=90°
5 所以C'D= BD2 C' B2 = 12 22 =
A
C'
所以CE+DE=C'E+DE=C'D=. 5
故EC+ED的最小值为 5
F E
C
D
B
初中数学 八年级第二学期
Hale Waihona Puke 最短路径问题的应用之 用勾股定理求两线段和的最小值
新疆和硕县第一中学 刘杨
学习目标: 用勾股定理求两线段和的最小值 （确定起点终点的最短路径问题）
问题概述：最短路径问题是图论研究中的一个 经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组 成的)中两结点之间的最短路径算法 问题原型：“将军饮马”，
解答:先作出点C关于AB所在直线的对称点C'
连接CC'，交AB于点F，连接C'D,交AB于点E，
连接CE,BC'，
A
C'
如图所示，由对称性可知AB所在直线垂 直平分CC'
17.1.4 勾股定理最短路径问题
a b c .
2 2 2
2 2
a
C
2 2 2
c
b
2
A
a c b
b c a
c a b
二、解决问题
• 问题1. 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等 于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点 A爬到点B ,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 ?
O B
A
O'
二、解决问题
A B
• 问题2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对 的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
展开图： 20 A 3 A 20 2 3
2
3 2 3 C
2 B
B
二、解决问题
• 问题 3. 如图，长方体的长为 15cm ，宽为 10cm ，高为 20cm ，点B 离点 C 5cm, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
二、解决问题
• 归纳小结：
• 曲面上的最短路径问题，一般均可通过展开曲面 从而转化成平面上的最短路径问题，我们要通过勾股 定理来求出未知线段，需要构造直角三角形。所以在 剪开圆柱侧面时，要沿垂直于底面的线剪，这样就得
到了长方形，利用直角来构造直角三角形。
O
O B B
A
O'
A O'
C
A
二、解决问题
最短路程是蚂蚁沿圆柱侧面爬行的15曲面上的最短路径问题一般均可通过展开曲面从而转化成平面上的最短路径问题我们要通过勾股定理来求出未知线段需要构造直角三角形
第21讲 最短路径问题
第21讲 最短路径问题一、方法剖析与提炼引例：如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m 和500m ，两村庄之间的距离为d(已知d 2=400000m 2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小，则最小距离为___________m 。
【解答】1000。
【解析】如图，作点B 关于公路l 的对称点B′，连接AB′交公路于点C ，CA+CB最短距离就是AB′的长度。
根据勾股定理可以求得AB′=1000m 。
【解法】同侧的两点，通过轴对称变换成异侧，利用两点之间线段最短确定最小距离。
【解释】通过生活中的实际例子，让学生感受最短路径来源于生活，并引出求最短路径常用的方法，利用轴对称变换找对称点及两点之间线段最短（即饮马问题）。
学习时可作如下归纳：（1）在初中范围内和边的不等量有关的知识有哪些，引出两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边；（2）在此图中哪种变换方式比较适合将马路同侧的两条线段变换到异侧，并且保持线段长度不变，旨在复习轴对称、平移、旋转等变换特点；（3）在移动变换中，有没有可能将两条线段置于共线的情形，即最短路径。
例1：已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，求DN+MN 的最小值。
【解答】连结BD 交AC 于点O ，根据正方形的对称性可知，B 点即为D 的对称点。
连结BM 交AC 于点N ，则BM 的值为DN+MN 的最小值。
所以BM=10。
【解析】如图，点B 即为点D 关于AC 的对称点，连接BM ，BM 的长度即为DN+MN的最小距离。
在Rt△BCM 中，根据勾股定理可求得BM=10。
【解法】此题 DN ，MN 这两条线段中，M ，D 两点固定，只有N 一个点是移动的，故只需确定点N ，使得距离之和最短即可。
【解释】此例从最基本的图形出发，让学生易于接受，敢于探索。
学生依据正方形自身拥有的轴对称性找到对称点，将同侧两条线段利用翻折变成异侧的两条线段，利用两点之间线段最短找到最短路径。
《勾股定理的应用-最短路径问题》课件
解：经分析，有三种路径均最短。如图所示在Rt△AOB中，AB²=2²+1²=5答：最短路程为cm.
1、若蚂蚁是沿一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的顶点A外表面爬到顶点B呢？爬行路径唯一吗？最短路径是多长？
拓展思考
拓展思考
2、若已知无盖圆柱体高为12 cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面点A一只蚂蚁绕圆柱侧面2圈爬到点B处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
2、已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为12cm，圆柱下底面点A有一只蚂蚁，它想吃点A对面圆柱外侧点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
6
A
A`
B
小试牛刀
解：如图，在圆柱的侧面展开图中AA`=6，A`B=12-4=8∴在RT△AA`B中AB²=6²+8²∴AB=10答：最短路程为10cm.
3、若已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为20cm，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的圆柱内壁点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
--最短路径问题
两点之间,线段最短．
1、在一个平面内，如果一只蚂蚁要从A点爬到B点，怎么爬路径最短？
情境引入
A
B
2、在一个无盖圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁怎么爬路程最短？
情境引入
合作探究
1、小组讨论
小组为单位讨论蚂蚁爬行最短路线。并在本组的圆柱上用不同颜色的彩色笔画出蚂蚁爬行的路径。时间：两分钟
∴AB²=___________
πr
合作探究
1、已知无盖圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
2020人教版数学八年级下册 第十七章勾股定理：小专题(一)：利用勾股定理解决最短路径问题
小专题（一）：利用勾股定理解决最短路径问题【例】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3）【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱沿着过A点的直线AA'剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走.【方法指导】几何体中最短路径基本模型如下：1.（2018·黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为_____________cm . （杯壁厚度不计）2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24dm,3dm,3dm ，点A 和点B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是_____________.3.如图，长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm .（1）点1A 到点2C 之间的距离是多少？（2）若一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，则爬行的最短路程是多少？【例】解：需要爬行的最短路程是15cm . 变式训练1.202.30dm3.解：（1）Q 长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm ，222222124117(cm).C 5(17)A C A ∴=+=∴=+=42(cm).（2）如图1所示，22215552(cm)A C =+=.如图2所示，22219182(cm)A C =+=.如图3所示，222164213(cm).5221382,A C =+=<<∴Q 一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，爬行的最短路程是52cm .。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
人教版八年级数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义
最短路径问题解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。
A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_________dm．2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元(1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？(2)求出总费用是多少？课后作业1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（）A.2B.4C.6D.82、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。
以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。
（1）求∠BAC的度数。
（2）若AC=2，求AD的长。
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。
勾股定理应用之最短路径问题
圆柱侧面两点最短路径问题
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，一只蚂蚁从A点出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬行的最短路程。
为什么这 样走最短？
C
B
我怎么走 会最近呢?
A
D
圆柱侧面两点最短路径问题 如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，一只蚂蚁从A点出发，
我怎么走 会最近呢?
A
8
B
2 4
长方体中的最值问题 如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂蚁从顶点A出发，沿
长方体表面到达顶点B，蚂蚁走的路程最短为多少厘米？
A
8
4
B 2 B1
A
4
8
B
B2 2A
8
B
2
4
B3
长方体中的最值问题 如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂蚁从顶点A出发，沿
沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬行的最短路程。
C
B
C
③②
B
①
④
A
A
D
由以上4种路线，可知路线①最短（两点之间线段最短）
圆柱侧面两点最短路径问题 如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，一只蚂蚁从A点出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬行的最短路程。
解： 如图，将圆柱体展开，
线路是多少？
AA203源自２32 B
3
2 B
台阶中的最值问题
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于20cm，3cm和2cm，
请你想一想，一只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点去吃可口的食物，最短
线路是多少？
【初中数学知识点解析】 巧用勾股定理求最短路径的长
解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱的侧面展开图如图
所示，其中AC为圆柱的底面周长，
则AC＝2πr ≈2×3×4＝24(cm)，
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的航程BC的长．
解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线与OA交 于点 C，C点即为所求． (2)如图，连接BC，设BC＝x n mile，则CA＝x n mile， 在Rt△OBC中，OB2＋OC2＝BC2， 所以152＋(45－x)2＝x2. 解得x＝25. 即我国海监船行驶的航程 BC的长为25 n mile.
解最短路线．
(4) SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短 路程的平方．
解：在Rt△ASC中，由勾股定理， 得AC2＝102＋52＝125. 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125.
知识要点
求最短距离的问题 • 第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题； • 第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)
进行集中，然后借助勾股定理解决； • 第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形
中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理 求出最短路程(距离)．
所以甲方案所修的水渠较短．
技巧2 用平移法求平面中的最短问题
2．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m， 又向南走40 m，再向东走70 m．则 小明到达的终点与原出发点的距离 是__1_0_0__m__．
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勾股定理的最短路径问题解题思路
勾股定理是初中数学中比较基础的一个定理，但是在计算机科学中也有其应用。
其中一个比较典型的应用就是最短路径问题。
下面介绍一下如何运用勾股定理解决最短路径问题。
首先，我们假设有一个起点A和一个终点B，它们之间存在一些障碍物（例如，墙壁、建筑物等），我们需要找到一条最短的路径，使得从起点A到终点B的路径避开这些障碍物。
接下来，我们将地图分成一个个小方格，每个方格可以看做是一个节点。
我们可以使用广度优先搜索或Dijkstra算法来找到从起点A到终点B的最短路径。
但是，如果我们将勾股定理应用于这个问题中，我们可以更快地找到最短路径。
我们可以将地图上的每个点都看做是一个直角坐标系中的点，然后将起点A和终点B之间的连线视为斜边。
接着，我们可以将每一条直线段都看做是勾股定理中的直角边，然后根据勾股定理计算出它们的斜边长度。
最后，我们可以将所有的直线段的长度相加，得到从起点A到终点B的最短路径长度。
在实际操作中，我们可以将地图上的每个点都标记为1或0，1表示该点是障碍物，0表示该点可以通行。
然后，我们可以使用勾股定理计算每条直线段的长度，然后将长度相加，得到最短路径的长度。
综上所述，勾股定理可以帮助我们更快地找到最短路径。
在实际的应用中，我们可以将地图上的每个点看做是勾股定理中的一个直角坐标系中的点，然后通过计算斜边长度来确定每条直线段的长度，最
终得到最短路径的长度。