行列式的定义
定义1 由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i ,称为一个n 级排列.
例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列. 显然, n 级排列共有!n 个.
排列12n 中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.
定义2 在n 个不同元素的任一排列中,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个n 级排列12t s n i i i i i 中,如果一个较大的数排在一个较小的数之前,即若t s i i >,则称这两个数,t s i i 组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为12()n i i i τ 或τ.
例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数4τ=. 根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数：
设在一个n 级排列12n i i i 中，比(1,2,,)t i t n = 大的且排在t i 前面的数共有i t 个，则t i 的逆序的个数为i t ，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即
12121
().n
n n i i i i i t t t t τ==+++=∑
例1 计算排列45321的逆序数.
解 因为4排在首位,故其逆序数为0；
比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；
比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4．
可见所求排列的逆序数为
(45321)002349τ=++++=．
定义3 如果排列12n i i i 的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列12n i i i 的逆序数为偶数，则称它为偶排列.
例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12n 的逆序数是0，因此是偶排列.
2.对换
定义1 在排列12t s n i i i i i 中,将任意两数t i 和s i 的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换. 例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325. 经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实.
定理1 对换改变排列的奇偶性.
也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列.
推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
3.n 阶行列式
定义1 设有2
n 个数，排成n 行n 列的表：
111212122212
n n
n n nn
a a a a a a a a a
作出表中位于不同行列的n 个数的乘积，并冠以符号(1)τ-，得到!n 个形如
1212(1)n j j nj a a a τ- 的项，其中12n j j j 为自然数1,2,,n 的一个排列，τ为这个排列的
逆序数.所有这!n 项的代数和
121212(1)n n
j j nj j j j a a a τ-∑
称为n 阶行列式，记作
1212121112121222()121
2(1)n n n
n
n j j j j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
.
其中
12n
j j j ∑
表示对所有的n 级排列12n j j j 求和.行列式有时也简记为det()ij a ，这里数
ij a 称为行列式的元素，1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ- 称为行列式的一般项.
定义1.1.5通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点： ①由于n 级排列的总数是!n 个，所以展开式共有!n 项； ②每项必须是取自不同行不同列的n 个元素的乘积；
③每项前的符号取决于n 个元素列下标所组成排列的奇偶性.
要注意的是，当1n =时，一阶行列式a a =，不要与绝对值记号相混淆. 例1 证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).
1(1)2,1
2
12,111
(1)
n
n n n n n n n a a a a a a ---=- .
证 根据n 阶行列式的定义易得
121
n
n
n a a a (1)((1)21)
2
12,1112,11(1)
(1)
n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=- .
上例中行列式，其非副对角线上元素全为0，此类行列式可以直接求出结果，例如
00010
020
03004000
(4321)(1)123424τ=-???=. 证毕 类似地，非主对角线上元素全为0的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主对角线上元素的乘积，即有
11
22
1122nn nn
a a a a a a =
.
主对角线以下（上）的元素全为0的行列式称为上（下）三角行列式，它的值与对角行列式的一样.
例2 计算上三角形行列式
1112122200
n n nn
a a a a a a .
解 一般项为1212()
12(1)
n n j j j j j nj a a a τ- ，现考虑不为零的项.
n nj a 取自第n 行，但只有0nn a ≠，故只能取n j n =；11,n n j a --取自第1n -行，只有
1,11,0,0n n n n a a ---≠≠，由于nn a 取自第n 列，故11,n n j a --不能取自第n 列, 所以11n j n -=-；
同理可得，2212,,2,1n j n j j -=-== . 所以不为零的项只有
(12)11221122(1)n nn nn a a a a a a τ-= .
所以
11121222112200
n n nn nn
a a a a a a a a a = .
在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素按行指标排起来.事实
上，数的乘法是交换的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，n 阶行列式的项可以写成
1122n n i j i j i j a a a
其中1212,n n i i i j j j 是两个n 级排列.利用定理1.1.1，可以给出n 阶列式另一种表示法.
定理1 n 阶行列式也定义为
1212112212121112121222()()1
2(1).n n n n n
n
n n i i i j j j i j i j i j i i i j j j n n nn a a a a a a a a a a a a ττ+=
-∑
推论 n 阶行列式也定义为
1212121112121222()121
2(1).n n n
n n i i i i i i n i i i n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
例2 在四阶行列式中，21321443a a a a 应带什么符号？ 解 1）按定义1.1.5计算.
因为2132144314213243a a a a a a a a =，而4123的逆序数为
(4123)01113τ=+++=，
所以21321443a a a a 的前面应带负号.
2）按定理1.1.2计算.
因为21321443a a a a 行指标排列的逆序数为
(2314)00202τ=+++=，
列指标排列的逆序数为
(1243)00011τ=+++=.
所以21321443a a a a 的前面应带负号. 4、行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变，即
111211121121222122221
212.n
n n n n n nn
n
n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
性质2 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.
推论 若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为零. 性质3 用一个数乘以行列式的某一行（列），等于用这个数乘以此行列式，即
1112111121121
21
2
1
2.n n
i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =
第i 行(或列)乘以k ,记为k i ?γ(或i c k ?).
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零. 推论3 若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零.
性质4 若行列式中第i 行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和.其中这两组数分别是这两个行列式第i 行（列）的元素，而除去第i 行（列）外，这两个行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的.即
1112111
221
2n i i i i in in n n nn
a a a a
b a b a b a a a +++
11121111211
21
21
21
2n n
i i in i i in n n nn n n nn
a a a a a a a a a
b b b a a a a a a =+
.
若n 阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n
个行列式.如
a x
b y a b y x b y
c z
d w c d w z d w ++++=+++++a b a y x b x y
c d c w z d z w
=+++
性质5 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变. 例如以数k 乘第j 行加到第i 行上（记作j i kr r +），有
11
12111
1211211
2212121
21
2
n n i i in
i j i j in jn
j j jn j j jn n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=
.
以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.
第二讲 行列式的计算
教 学 目 的：掌握行列式的计算 教学重点与难点：行列式的计算 教学计划时数：2学时 教 学 过 程：
1、化行列式为三角行列式来计算
性质2，3，5介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即i j r r ?，k i ?γ，j i kr r +和
i j c c ?，i c k ?，j i kc c +.利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算j i kr r +（或
j i kc c +）可以把行列式中许多元素化为0，进而把行列式化为三角行列式，最后得到行列式的值.例如把行列式化为上三角行列式的步骤是：
把行列式化为上三角行列式的步骤是：
如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0.
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
例1 计算行列式
.0
1
12012120112110-----=
D 解 31
3112
211021102011
20112
12120112211
00314r r r r r r D +-?-------
-
----== 3232
433110
2110201120112
00240024002
20002
r r r r r r ++--------
-
----=
= 1(1)(2)(2)4=-?-?-?-=.
例2 计算n 阶行列式
n a b b b b a b b D b b a b b b b a
= .
解 注意到此行列式中各行（列）的n 个数之和相等，故可把第二列至第n 列都加到 第一列上去，然后各行都加上第一行的（－1）倍，就有
12(1)(1)(1)(1)n
c c c n
a n
b b b b
a n
b a b b D a n b b a b a n b b b a
++++-+-+-+-=
2131
1
(1)000000
n r r r r r r a n b
b b b a b a b a b
---+----=
1[(1)]().n a n b a b -=+--
按本例，特别地有：
4131111
311
[3(41)1](31)4811311113
-=+-?-=. 2、行列式按行（列）展开定理
定义1 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，余下的（1-n ）阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ；再记
ij j i ij M A +-=)1(，
称ij A 为元素ij a 的代数余子式.
例如，对三阶行列式
11121321222331
32
33
a a a a a a a a a 元素12a 的余子式和代数余子式分别为
21231231
33
a a M a a =
，
212312
1212123133
(1)
a a A M M a a +=-=-=-
.
有了定义1，三阶行列式可以写成
111213
21222311111212131331
32
33
a a a a a a a M a M a M a a a =-+ 111112121313a A a A a A =++.
引理 一个n 阶行列式D ,若其中第i 行（或第j 列）所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即
ij ij A a D =.
定理1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，即
),,,2,1(2211n i A a A a A a D in
in i i i i =+++=
或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj
nj j j j j =+++=
推论 行列式的任一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++
或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 上述定理和推论合起来，称为行列式按行（列）展开定理. 我们可以利用定理1来计算一些简单的行列式.
例3 计算行列式
12341012.3110120
5
D =
-- 解 因为D 中第二行的数字比较简单，所以选择D 的第二行.应用性质5得
31
4121
222
10003
1461
2
17
c c c c D -------=
222
146217
=按第二行
2＋1
展开
（－1）－－－－－ 21
31111
100
146135217239
c c c c
--＝22－－－－＝
2(2715)24=-+=-35
=2
-3-9
.
例4 计算n 阶行列式
000000000000n a b a b D a b
b a
= .
解 将n D 按第1列展开，则有
1(1)
(1)
0000000000
(1)0000000000n n n n a b b a a b D a b a b b a a b +--=+-
1111(1)(1)n n n n n n a a b b a b -+-+=?+-?=+-.
例5 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
,)(1111
1
12
11
2
222
1
21∏≥>≥----==j i n j i n n n n n
n n x x x x x x x x x x x D
其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.
证 用数学归纳法.因为
22121
1
2
11()i j i j D x x x x x x ≥>≥=
=-=
-∏
，
所以当2n =时公式成立.现假设公式对于（1n -）阶范德蒙德行列式成立，要证对n 阶范德蒙德行列式也成立.
对n D 降阶：从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有
2131122133112222213311111100
()
()
(),0()()()
n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------
按第一列展开，并把每列的公因子1()
(2,3,,)i x x i n -= 提出，得到
23213112222
31
11()()()
,n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x ---=---
上式右端的行列式是（1n -）阶范德蒙德行列式，由归纳假设，它等于所有因子
()(2)i j x x n i j -≥>≥乘积.故
213112
()()()()n n i j n i j D x x x x x x x x ≥>≥=----∏
1
().i j n i j x x ≥>≥=
-∏
证毕
由例5立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是12,,n x x x 这n 个数中至少有两个相等.另外，我们可用例5的结果直接计算行列式，如
22223
333
1
1112345
(54)(53)(52)(43)(42)(32)1223452345=------=.
第三讲 习题课
教 学 目 的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌
握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.
教学计划时数：2课时 教 学 过 程：
1 内容精要
排列，排列的逆序数，行列式的概念，行列式的性质，行列式的计算.
2 知识脉络图
12121212n n
j j nj n j j j ki kj n D a a a j j j n D a A ττ=????
???=∑ 排列,排列的逆序数，奇（偶）排列阶行列式的定义：(-1)，为排列的逆序数（不同行不同列的个元素乘积的代数和）两个翻：全翻（转置）不变，部分翻（交换）变号三个零：某行（列）元素全为零，两行（列）对应位置元素相等，性质两行（列）对应位置元素成比例三个可性：可提性，可分性，可加性
行列式按行（列）展开:展开式111n n ik jk
k k t i i i a A D M A ===???
???
?
?
?????
??
=???
???
??=???
?
??
????????
∑∑∑拉普拉斯展开：基本方法：定义法，三角形法，展开法计算方法特殊方法：对角线法则，范德蒙德行列式，递推公式，数学归纳法，加边法，拆开法，三对角行列式等3典型例题
例1用行列式定义计算行列式
0100
00200001000
n D n n =-
解： n D 仅有位于不同行、不同列的n 个非零元素，即
1,12,21,11,2,,1,n n n nn a a a n a n ---===-= .
因此n D 的!n 项中仅有一项非零，故
((1)(2)21)1,12,21,1(1)n n n n n n n nn D a a a a τ-----=- .
因为
(2)(1)
((1)(2)321)(2)(3)32102
n n n n n n n τ----=-+-+++++=
，
所以
(2)(1)
2
(1)
!n n n D n --=-.
例2 计算行列式.2
10117121641
12324--=
D 分析 对于元素是数字的行列式，通常运用行列式的性质将其化为三角行列式来计算，或将其某一行（列）化成有较多0元素之后，再按该行（列）展开降阶.
解法一（化为三角形行列式）
5205910354021011232
17121641
2101
3
412134
124-------
-++?r r r r r r r r D ＝＝ 10
23001741005
910
2
10105
2035405910210123243242----------?r r r r r r ＝＝
2
3
00
35005910
2
101102300
250059102101344342-----+-r r r r ＝
＝
.
19 19
71
0059
1021
012
3007100
59
1
2
101344332-=-------+r r r r ＝
＝
解法二（利用行列式的展开定理逐次降阶）
01
5912
3
5415
432131244--++c c c c D ＝
591354543)1()1(14--?-=+0011741410233121395------c c c c ＝ 31
2310
1(1)
19.4117
+--=?-=---
注 上述两种解法是计算数字行列式常用的方法. 例3计算行列式
1n D +=0121
12
200
000
n n
n
a b b b c a c a c a
，120n a a a ≠ 其中. 分析 因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.
解 111
012
1
12,3,,
20
000000
0j j j
c
j j
a j n
c b n
a j c c n
j n n
a b b
b a D a a --=-=-∑
＝
012121
(
)j j j
n
c b n n a j a a a a a a a ==-∑
.
注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.
计算行列式
1n D +=0121
12
200
000
n n
n
a b b b c a c a c a
，120n a a a ≠ 其中.
分析 因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.
解 111
012
1
12,3,,
20
000000
0j j j
c
j j
a j n
c b n
a j c c n
j n n
a b b
b a D a a --=-=-∑
＝
012121
(
)j j j
n
c b n n a j a a a a a a a ==-∑
.
注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.
例4 计算行列式
1231
231231
2
3
n n n n n x m x x x x x m x x D x x x m x x x x x m
--=
--
.
分析 该行列式具有特点：各行（列）的元素之和相同，且各列除主对角线上的元素外均相同，可考虑下面方法求解.
解法一 从第2列起将各列加到第1列，然后从第2行起各行加上第1行的（－1） 倍，得
23123
1231
231
n
i n i n
i n i n
n i n i n
i n i x m
x x x x m
x m x x D x m
x x m x x m
x x x m ====---=
----∑∑∑∑
231
0000000
n
i n i x m
x x x m m m
=--=
--∑
11
()()n
n i i x m m -==--∑.
解法二 把行列式的第1行乘以)1(-分别加到第n , ,3 ,2 行上去，然后依次将第
n , ,3 ,2 列加到第1列，得
12
3
00000
0n n x m
x x
x m m D m m m
m
--=
--
231
0000000
n
i
n i x m
x x x m m m
=--=
--∑
11
()()n
n i i x m m -==--∑.
例5 计算n 阶行列式
n x x x
y D y y
λαββ
β
αβββα
=
)2(≥n .
分析 这个行列式大部分元素相同，所以问题的关键是想办法变出尽可能多的零. 解 从第二行开始，各行都减去第n 行，然后从第二列开始，各列都加到最后一列，再按第一列展开，得
00000000
n x x x x
D y
λ
αβ
βααββα
αββαβ
β
β
α
----=
--
(1)0000000000
(2)x x x n x y
n λ
αβαβαββββαβ
---=
-+-
(1)
0000000
0(2)n n αβ
αβλ
αβββ
βαβ---=-+-
1(1)
(1)000(1)00
00
n n x
x x n x
y
αβ
αβαβ
+---+---
212)()1()1()1(])2([)(-+-----+-+-=n n n n xy n n βαβαβαλ ].)1()2([)(2xy n n n ---+-=-λβλαβα
注 结合行列式的性质，利用行列式的展开定理计算行列式，这是计算n 阶行列式的又一重要方法.
例6 证明：
012110111000010000000
1
n n n n n n a a a a a x x a x a x a x a x x
-----=++++-
.
证明 用数学归纳法. 记左边行列式为1n D +，则 当1n =时，01
2011a a D a x a x
=
=+-，命题成立.
假设n k =时，11011k k k k k D a x a x a x a -+-=++++ ，则当1n k =+时，
012121000010000000
1
k k k a a a a a x x D x x
++--=
-
.
对2k D +按第(2)k +列展开，得
(2)1211(1)
10000
100(1)00010
001k k k k k x x D xD a x ++++++--=+---
1310111()(1)(1)k k k k k k k x a x a x a x a a -++-+=+++++-- 111k k k k x a x a x a ++=++++ .
因此由数学归纳法，命题对一切正整数n 成立.
例7 利用范德蒙德行列式计算下列行列式
(1)
111
(1)()(1)()11
1
1
n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---++++++
(2)2
223
3312312312
3123n n n
n
n n n 分析 这两个行列式与范德蒙德行列式形式不同，但若把(1)的最后一行依次与前面各行交换到第一行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行，这样继续进行下去，共经过交换
2
)
1(+n n 次行后可化为范德蒙德行列式；对(2)只要每列提出公因数1,2,,n ，也可化为范德蒙行列式.
行列式的定义及其性质证明
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
行列式的性质
行列式的性质 基本性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。 一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备. 设 111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）． 性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = . 证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =++ +，
线性代数行列式算与性质
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
行列式的定义及性质
行列式的定义及性质 （张俊敏） ● 教学目标与要求 通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点 教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 （二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为： 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式
22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-，其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式，记作ij M ，即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ （2.5）
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式0 004003002001000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 22113 2 1 33323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 121n 1121000 0D 0 n n n a a a b b b b b += =. 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
线性代数行列式基本概念
目录 目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
特殊行列式与行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11=∑ -n n n j j j nj j j j j j a a a 212 1 2121) () 1(τ 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 即nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11=nn n n n n a a a a a a a a a 2122212121 11； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D= d c b a =ad-b c , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ?,交换i,j 两列记作 C i ? C j 。 32 2311332112312213a a a a a a a a a ---3221133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1
行列式的计算技巧与方法总结(修改版)
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式
构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
行列式计算方法归纳总结
数学与统计学学院 中期报告 学院: 专业: 年级: 题目: 学生姓名: 学号: 指导教师姓名职称: 年月日
目录 1 引言 (1) 2行列式性质 (2) 3行列式计算方法 (6) 3.1定义法 (6) 3.2递推法 (9) 3.3化三角法 (9) 3.4拆元法 (11) 3 .4加边法 (12) 3.6数学归结法 (13) 3.7降价法 (15) 3.8利用普拉斯定理 (16) 3.9利用范德蒙行列式 参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。8
行列式的概念及应用 摘要： 本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。 关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式 The concept and application of determinant Summary: This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant. Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant 1 引言 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
几种特殊类型行列式及其计算
1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()123231111001 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000000 n n n a a a a D a a ?? --- ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式
线性代数总结汇总+经典例题
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A|
第一讲A 行列式的基本内容和行列式的几种形式
第一讲 行列式 一、内容提要 （一）n 阶行列式的定义 ∑-=????? ? ??????= n n j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212211) (2 1 2222111211) 1(τ （二）行列式的性质 1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号； 3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零； 5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即 nm n n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D 212 21 111211+++=， 则 nn n n in i n nn n n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D 2 1 121112112 1 121 11211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。 （三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式 （1）余子式的定义 去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M （2）代数余子式的定义 ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=) 1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式 ∑ =?? ?≠==n j kj ij k i k i D A a 1 （2）按列展开公式
行列式总结
行列式总结 一、概念 1. 排列：排列的逆序数及其计算方法，排列的奇偶性。 一个排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。 一个排列中所有逆序的总数叫做该排列的逆序数。 排列的逆序数的计算方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，然后相加。 ? 逆序数为奇数的排列叫奇排列。 ? 逆序数为偶数的排列叫偶排列。 2．行列式：() () 121212 1112 12122 21212 1n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = -∑ 其他两种形式： ()1 212 1n t p p p n D a a a =-∑ ()11 22 1n n t p q p q p q D a a a =-∑ 一般项是不同行不同列元素乘积的代数和。 ※一般项中的元素及一般项符号的确定。 3. 余子式与代数余子式 一般地, 在n 阶行列式中, 把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去, 留下来的n -1阶行列式叫做元素a ij 的余子式, 记作M ij , 令 A ij = (-1)i+j M ij , 并称之为a ij 的代数余子式.
二、性质 ⑴将行列式转置，行列式的值不变：T D D 。 ⑵交换行列式的两行（列），行列式的值变号； 推论：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零； ⑶用数k乘行列式的某一行（列），等于用数k乘此行列式；推论1：如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面； 推论2：如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零； ⑷如果将行列式某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同。 推论：如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。 ⑸将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。 三、计算 ⑴定义法⑵化三角形法（利用性质） ⑶降阶法（展开法则）⑷其他
线性代数之行列式的性质及计算讲解学习
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即
111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 11121112212 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=L L L L L L L L L L L 1112112 12 n i i in n n nn a a a a a a a a a +L L L L L L L L L L L 111211212 n i i in n n nn a a a b b b a a a L L L L L L L L L L L . 证: 由行列式定义 1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L 12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 111211212 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L 11121112212 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++L L L L L L L L L L L 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．
行列式的定义
定义1 由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i ,称为一个n 级排列. 例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列. 显然, n 级排列共有!n 个. 排列12n 中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序. 定义2 在n 个不同元素的任一排列中,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个n 级排列12t s n i i i i i 中,如果一个较大的数排在一个较小的数之前,即若t s i i >,则称这两个数,t s i i 组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为12()n i i i τ 或τ. 例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数4τ=. 根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数： 设在一个n 级排列12n i i i 中，比(1,2,,)t i t n = 大的且排在t i 前面的数共有i t 个，则t i 的逆序的个数为i t ，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即 12121 ().n n n i i i i i t t t t τ==+++=∑ 例1 计算排列45321的逆序数. 解 因为4排在首位,故其逆序数为0； 比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3； 比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4． 可见所求排列的逆序数为 (45321)002349τ=++++=． 定义3 如果排列12n i i i 的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列12n i i i 的逆序数为偶数，则称它为偶排列. 例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12n 的逆序数是0，因此是偶排列. 2.对换 定义1 在排列12t s n i i i i i 中,将任意两数t i 和s i 的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换. 例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325. 经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实.
工程数学教案1-1行列式的定义与性质
教案头 教学详案 一、回顾导入（20分钟） ——在中学里，通过代入消元法和加减消元法求解二元、三元一产供销线性方程组。例如方程组 ???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a 中，未知量1x 、2 x 的系数可以用以下的记号来表示：22 211211a a a a ，从而引入新课。 二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟） 一、二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式 定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 ) 1(, 22 2112 11a a a a 表达式21122211a a a a -称为数表(1)所确定的二阶行列式，并记作 ) 2(,22 21 12 11a a a a 即 2112221122 2112 11a a a a a a a a D -== 计算方法 对角线法则 21 12221122 2112 11a a a a a a a a D -== 。 2. 三阶行列式 定义 由九个数排成三行三列的数表 ) 3(,33 3231232221121211a a a a a a a a a
表达式 (4)称为由(3)所确定的三阶行列式，并记作 ) 3(.33 3231 232221121211a a a a a a a a a 即 计算方法 1）对角线法则 2）沙路法 二、全排列及其逆序数 定义 把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（也简称为排列）。 定义 对n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n 个元素的任一全排列中，当某 两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。 定义 一个排列中的所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 定义 若一个排列中的所有元素按标准次序排列，则称之为标准排列（自然排列）。 定义 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 三、 n 阶行列式的定义 定义 由2 n 个数组成的n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和 ∑-n np p p t a a a 2121)1(。记作 ) 4(, 312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++.31221333211232231132 2113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=33 3231 232221 13 1211 a a a a a a a a a .312213332112322311a a a a a a a a a ---32 2113312312332211a a a a a a a a a ++=3222211211a a a ++-31211211a a a a a a . 2122221 11211 nn n n n n a a a a a a a a a D =33 32 31 232221131211a a a a a a a a a 332211a a a =.322311a a a -322113a a a +312312a a a +312213a a a -332112a a a -
行列式的定义和性质及若干应用论文
行列式及其在初等数学中的应用 【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用 【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组 引言 行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。 1 行列式的定义和性质 1.1行列式的定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。 例1 n n D n 000 00010020 0100 计算行列式 . 解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n 1122 ,故!) 1(2 ) 2)(1(n D n n n 1.2行列式的性质 行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。 例 2 一个n 阶行列式ij n a D 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij 则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零. 证明： 由 ji ij a a 知ii ii a a ，即n i a ii ,2,1,0 .故行列式可表示为
行列式计算方法的归纳 毕业论文
行列式计算方法的归纳 摘 要 行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过 3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式） 也可按行列式的定义求值.对于一般n 阶行列式，特别是当n 较大时，直接用定 义计算行列式几乎是不可能的事.因此，研究一般n 阶行列式的计算方法是十分 必要的.由于不存在计算n 阶行列式的一般方法，所以，本文只给出4种特殊的 计算方法给出了行列式的4种计算方法，综合利用所给解法，基本上可解决一般 4阶行列式的计算方法问题. 关键词 行列式； 三角形行列式； 递推关系式 1 化三角形法 此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号 例 计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n = 解 ()[]a b b a b b b n a D n 1 11 1-+=()[]b a b a b b b n a ---+= 00001 1 ()[]()b a n b n a ---+=1 1 2 提取公因式法 若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a a a ,,, 型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和
型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a 变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法. 例 计算n 阶行列式 a a a a a a a a a D n n n n x x x +++= 2 1 2 1 2 1 解 该行列式各行元素之和都等于 x+∑=n i i a 1 ，属于“全和型”，所以 a a a a a a a D n n n n i i n x x x ++? ?? ??+=∑= 2 2 2 11 11 x x x a a a n n i i 000 0121? ?? ??+=∑= ?? ? ??+= ∑=-n i i n a x x 11 () b a a b b a n n a b b a 22 1 -=*= =- 3 利用范德蒙德（Vandermonde ）行列式法 著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果. 例 计算n 阶行列式()() ()()() () ()()() 11211112111111 1 11 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 21 1---------= ---x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n n 解 将第一行可视为()()()1,,1,12 2 1 1------ x x x x x x n n ， 再由行列式的性质() () () ()()() 11211111111 1 2 1 1 1 22 11 21 ---------- ---x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n