高中数学学业水平测试必背知识点

态度决定人生，细节决定成败！

高中数学学业水平测试必背知识点

必修一

一、 集合与函数概念

并集：由集合A 和集合B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取

一次。记作：A ∪B

交集：由集合A 和集合B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次

记作：A ∩B 补集：就是作差。

1、集合{}n a a a ,...,,21的子集个数共有2n

个；真子集有2n

–1个；非空子集有2n

–1个；

非空的真子有2n

–2个.

2、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数0≥；③指数的真数属于R 、对数的真数0>.

3、函数的单调性：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

时，都有f(x 1)<（>）f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。 4、奇函数：是()()f x f x -=-，函数图象关于原点对称（若0x =在其定义域内，则(0)0f =）

； 偶函数：是()()f x f x -=，函数图象关于y 轴对称。 5、指数幂的含义及其运算性质：

（1）函数)10(≠>=a a a y x

且叫做指数函数。

（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠当 01a <<为减函数，当 1a >为增函数； ①r

s

r s

a a a

+?=；②()r s rs

a a =；③()(0,0,,)r

r r

ab a b a b r s Q =>>∈。

（3）指数函数的图象和性质

x a y =

0 < a < 1 a > 1

图 象

性 质

定义域 R 值域 (0 , +∞)

定点

过定点（0，1），即x = 0时，y = 1

（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。

态度决定人生，细节决定成败！ （2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。 单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数

对称性 x y a =和x y a -=关于y 轴对称

奇偶性

非奇非偶函数

7、对数函数的含义及其运算性质：

（1）函数log (0,1)a y x a a =>≠叫对数函数。

（2）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠当 01a <<为减函数，当 1a >为增函数；

①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：01log =a ；③底真相同的对数等于1：

1log =a a ，

（3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：

①N M MN a a a log log log +=； ②N M N

M

a a a

log log log -=； ③)(log log R n M n M a n

a ∈=。

（4）换底公式：)0,10,10(log log log >≠>≠>=

b c c a a a

b

b c c a 且且 x y a log =

0 < a < 1 a > 1

图 象

定义域 (0 , +∞) 值域 R

性 质

（1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0

（2）在R 上是减函数

（2）在R 上是增函数

态度决定人生，细节决定成败！

8、幂函数：函数α

x y =叫做幂函数（只考虑2

1

,

1,3,2,1-=α的图象）。 9、方程的根与函数的零点：如果函数)(x f y =在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(

一、直线 平面 简单的几何体

1、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=

2、球的体积公式： 33

4

　R v π=

； 球的表面积公式：24　R S π=

3、柱体、锥体、台体的体积公式：

柱体V =S h (S 为底面积，h 为柱体高)； 锥体V =Sh 3

1

(S 为底面积，h 为柱体高)

台体V =3

1

(S ’+S S'+S )h (S ’, S 分别为上、下底面积，h 为台体高)

4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理： （1）四公理三推论:

公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合

是一条过这个公共点的直线。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. （2）空间线线，线面，面面的位置关系：

态度决定人生，细节决定成败！ 空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点；

平行直线——在同一平面内，没有公共点；

异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。

空间直线和平面的位置关系： （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α?，a A α=I

，//a α。

空间平面和平面的位置关系：

（1）两个平面平行——没有公共点；

（2）两个平面相交——有一条公共直线。

5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。

符号表示：////a b a a b ααα??

?

?????

。 图形表示：

6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这

两个平面平行。

符号表示：//////a b a b P a b βββαα

α??????

=????

??I 。图形表示：

7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与

已知平面相交，那么交线与这条直线平行。

符号表示：////a a a b b α

βαβ??

????=?

I 。 图形表示：

8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的

平行。符号表示： 9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面。符号表示： //,,//a b a b

αβαγβγ==?I I ,,,,a b a b P l a l b l ααα

??=⊥⊥?⊥I

态度决定人生，细节决定成败！

10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示： 11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

符号表示：//a a b b αα⊥?

??⊥?。

12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示： 13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。

直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图） 14、异面直线所成角的取值范围是(]??90,0；

直线与平面所成角的取值范围是[]??90,0； 二面角的取值范围是[)??180,0； 两个向量所成角的取值范围是[]??180,0 二、直线和圆的方程

1、斜 率：αtan =k ，),(+∞-∞∈k ；直线上两点),(),,(222111y x P y x P ，则斜率为

2、直线的五种方程 ：

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

11

2121y y x x y y x x --=--( (111(,)P x y 、222(,)P x y ； (12x x ≠)、(12y y ≠)).

(4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

3、两条直线的平行、重合和垂直： (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①1l ‖1212b k k l 且=?≠;2b ②22121b b k k l l ==?且重合时与； ③12121l l k k ⊥?=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111

12222

||A B C l l A B C ?

=≠

；②1212120l l A A B B ⊥?+= 4、两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的距离公式 │P 1P 2│=2

122

12)()(y y x x -+- 5、两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的中点坐标公式 M （

221x x +，2

2

1y y +） 2121y y k x x -=-,l l αβαβ

⊥??⊥,,.

l m l m l ααββ?=⊥?⊥I θαP

H l

态度决定人生，细节决定成败！ ax 2

+bx+c=0(a ≠0) 6、点P （x 0，y 0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=

2

2

00B

A C

By Ax +++

7、平行直线Ax+By+C 1=0、Ax+By+C 2=0的距离公式d=

2

2

12B

A C C +-

8、圆的方程：标准方程()()2

2

2

r b y a x =-+-，圆心

()b a ,，半径为r ；

一般方程220x y Dx Ey F ++++=，（配方：4

4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++）

0422>-+F E D 时，

表示一个以)2,2(E D --为圆心，半径为F E D 42

122-+的圆； 9、点与圆的位置关系：

点00(,)P x y 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种： 若2

2

00()()d a x b y =-+-

d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

10、直线与圆的位置关系：

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ;0=???=相切r d ; 0>???<相交r d .其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

11、弦长公式：

若直线y=kx+b 与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x 1，y 1)，B （x 2，y 2）两点，则由

二次曲线方程

y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：

AB =2

12212)()(y y x x -+-

=21k +21x x - =[]

212

21241x x x x k -++）（）（

=[]

212

2122124)()11(11y y y y k

y y k -++=-+

=a

ac

b k

4122

-+ 13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式： ⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征A （x ，y ，0）：竖坐标z=0 xoz 平面上的点的坐标的特征B （x ，0，z ）：纵坐标y=0

z y

x F E D

C B

A

X

Y

Z

O

yoz 平面上的点的坐标的特征C （0，y ，z ）：横坐标x=0 x 轴上的点的坐标的特征D （x ，0，0）：纵、竖坐标y=z=0 y 轴上的点的坐标的特征E （0，y ，0）：横、竖坐标x=z=0 z 轴上的点的坐标的特征E （0，0，z ）：横、纵坐标x=y=0

⑵│P 1P 2│=212212212-z z -y y -x x ）

（）（）（++ 必修三

算法初步与统计：

以下是几个基本的程序框流程和它们的功能

一、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构

二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT “提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IF —THEN —ELSE ”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO —LOOP UNTIL ”语句和当型循环结构“WHILE —WEND ”。 三．三种常用抽样方法：

1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。

四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4） 列频率分布表；（5）画频率分布直 方 图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。

2、频率分布直方图： =频率小矩形面积（注意：不是小矩形的高度） 计

算

公

式

：

=

频数频率样本容量

=?频数样本容量频率

==?

频率频率小矩形面积组距组距

各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1 3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。

折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。 4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。 （1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。

（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。 （3）计算公式：

频率

组距

标准差：

方差：

直线回归方程的斜率为b ?，截距为a ?，即回归方程为y ?=b ?x+a ?（此直线必过点（x ，y ））。

6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C …表示. 随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 1、事件间的关系：

（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；

（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；

（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。 2、概率的加法公式：

（1）当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）（2）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)． 3、古典概型：

（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）

每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：

()A m

P A n

=

=

事件包含的基本事件个数实验中基本事件的总数

4、几何概型：

（1

）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）

s =

2222121[()()()]

n s x x x x x x n

=-+-++-L

成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． （3）几何概型的概率公式： ()A P A =

事件构成的区域的长度（面积或体积）

实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）

5、排列：（1）、排列数公式： m

n A =)1()1(+--m n n n Λ=

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且

m n ≤)．0！=1

（2）、全排列：n

个不同元素全部取出的一个排列；

!n A n

n =)!1(123)2)(1(-?=????--=n n n n n Λ；

6、组合：

（1）、组合数公式： m

n

C =m n m m

A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N *

，且

m n ≤)；10

=n C 。

必修四 一、 三角函数

1、弧度制：（1）、π=ο

180弧度，1弧度'1857)180

(

οο≈=π

；弧长公式：r l ||α= （l 为

α所对的弧长，r 为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。

2、三角函数： （1）、定义：

y x

x y r x r y ====ααααcot tan cos sin

4、同角三角函数基本关系式：1cos sin 2

2

=+αα α

αcos tan =

1cot tan =αα

5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。

α

αααααααcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-

ααααααααααα

αααααtan )90cot(cot )90tan(sin )90cos(cos )90sin(tan 90cot(cot )90tan(sin )90cos(cos )90sin(=-?=-?=-?=-?-=+?-=+?-=+?=+? α

αααααααα

αα

αααααcot )180cot(tan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(cot )180cot(tan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-?-=-?-=-?=-?=+?=+?-=+?-=+?

ααααααααααα

αααααtan )270cot(cot )270tan(sin )270cos(cos )270sin(tan )270cot(cot )270tan(sin )270cos(cos )270sin(=-?=-?-=-?-=-?-=+?-=+?=+?-=+?s α

αααααααα

αα

αααααcot )360cot(tan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(cot )360cot(tan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-?-=-?=-?-=-?=+?=+?=+?=+?

6、两角和与差的正弦、余弦、正切：

)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+

)(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

)(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ： βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a

)(βα+T ： β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ )(βα-T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

态度决定人生，细节决定成败！ tan α+tan β= tan(α+β)(-1βαtan tan ) tan α-tan β= tan(α-β)(+1βαtan tan ) 7、辅助角公式：???

?

??

++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2

22222 )sin()sin cos cos (sin 2222???+?+=?+?+=x b a x x b a

8、二倍角公式：（1）、α2S ： αααcos sin 22sin = α2C ：ααα22sin cos 2cos -=1cos 2sin 2122-=-=αα

α2T ：α

α

α2

tan 1tan 22tan -=

（2）、降次公式：（多用于研究性质）

ααα2sin 21cos sin = 21

2cos 2122cos 1sin 2+-=-=ααα

2

1

2cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα

9、在ααααcot ,tan ,cos ,sin ====y y y y 四个三角函数中只有αcos =y 是偶函数，

其它三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）

10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、

单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；

如：

b

x A b x A y b

x A y b x A ++=++=++=++=

)cot()tan()cos()sin(?ω?ω?ω?ω再求解。

11、三角函数的图象与性质： 函数 y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

定义域

R R

},2

|{Z k k x x ∈+

≠π

π

12．函数()?ω+=x A y sin 的图象： （1）用“图象变换法”作图

由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ω?的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一：先平移后伸缩

y x y x =?→???????=+>

()()

||向左或向右平移个单位

????00

y x y x =?→???????=+>

()()

||向左或向右平移个单位

????00，

1

sin y x ωω?????????→=+横坐标变为原来的倍

纵坐标不变

（）

纵坐标变为原来的倍横坐标不变A y A x ?→???????=+sin()

ω?

法二：先伸缩后平移

y x =?→???????sin 横坐标变为原来的倍

纵坐标不变1

ω

纵坐标变为原来的倍

横坐标不变

A y A x ?→???????=+sin()

ω?

当函数y A x =+sin()ω?（A>0，ω>0，x ∈+∞[)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间ω

π

2=

T ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数ω

π

21=

=

T f ，它叫做振动的频率；ω?x +叫做相位，?叫做初相（即当x ＝0时的相位）。

二、平面向量 1、平面向量的概念：

()1在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．

()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示

向量的方向．

()3向量AB u u u r

的大小称为向量的模（或长度）

，记作AB u u u r ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r

． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ;(2)第一分配律：(λ+μ)a ρ =λa ρ

+μa ρ;

(3)第二分配律：λ(b a ρρ+)=λa ρ

+λb ρ.

3、向量的数量积的运算律：(1) a ρ·b ρ =b ρ·a ρ

（交换律）;

(2)（λa ρ）·b ρ = λ（a ρ·b ρ）=λa ρ·b ρ =a ρ·（b ρλ）;(3)（b a ρρ+）·c ρ= a ρ·

c ρ +b ρ·c ρ

. 4、平面向量基本定理：

如果1e ρ、2e ρ

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a ρ =λ11e ρ +λ22e ρ

．

不共线的向量1e ρ、2e ρ

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

5、坐标运算：（1）设()()2211,,,y x b y x a ==→

→

，则()2121,y y x x b a ±±=±→

→

数与向量的积：λ()()1111,,y x y x a λλλ==→

，数量积：2121y y x x b a +=?→

→

（2）、设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则()1212,y y x x AB --=→

.（终点

y x y x =?→???????=+>

()()||ωω????

ω向左或向右平移个单位

00

减起点）

6、平面两点间的距离公式：（1） ,A B d

=||AB =u u u r

=（2）向量的模||：?=2||2

2

y x +=；

（3）、平面向量的数量积： θcos →

→

→

→?=?b a b a ， 注意：00=?→→a ，→

→=?00a ，0)(=-+a a （4）、向量()()2211,,,y x b y x a ==→

→的夹角θ，则， （()()2211,,,y x b y x a ==→

→

）

7、重要结论：（1）、两个向量平行： →

→

→

→

=?b a b a λ// )(R ∈λ，?→

→

b a // 01221=-y x y x （2）、两个非零向量垂直 02121=+?⊥→

→

y y x x b a

（3）、P 分有向线段21P P 的：设P （x ，y ） ，P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，且21PP P P λ= ，

则定比分点坐标公式 中点坐标公式

三、空间向量

1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似）

()1在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量．

()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示

向量的方向．

()3向量AB u u u r

的大小称为向量的模（或长度）

，记作AB u u u r ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．

()

5与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r

． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

2、实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λr

与

a r 方向相同；当0λ<时，a λr 与a r 方向相反；当0λ=时，a λr 为零向量，记为0r ．a λr 的

长度是a r

的长度的

λ倍．

3、设λ，μ为实数，a r ，b r

是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：()

a b a b λλλ+=+r r r r ；结合律：()()a a λμλμ=r r

．

4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行

1212

11x x x y y y λλ

λλ+?=??+?+?=?+?121222

x x x y y y +?

=???

+?=?

?cos θ=

向量，并规定零向量与任何向量都共线．

5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a r ，()

0b b ≠r r

，//a b r r 的充要条件是存在

实数λ，使a b λ=r r

．

6、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

7、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使

x y C AP =AB +A u u u r u u u r u u u r ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A u u u r u u u r u u u r u u u r

；或若四点P ，

A ，

B ，

C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=u u u r u u u r u u u r u u u r

．

8、已知两个非零向量a r 和b r

，在空间任取一点O ，作a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则∠AOB 称为向量a r ，b r

的夹角，记作,a b ??r r ．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π??∈r r ．

9、对于两个非零向量a r 和b r ，若,2

a b π??=r r ，则向量a r ，b r

互相垂直，记作a b ⊥r r ．

10、已知两个非零向量a r 和b r ，则cos ,a b a b ??r r r r 称为a r ，b r

的数量积，记作a b ?r r ．即

cos ,a b a b a b ?=??r r r

r r r ．零向量与任何向量的数量积为0．

11、a b ?r r 等于a r

的长度a r 与b r 在a r 的方向上的投影cos ,b a b ??r r r 的乘积．

12、若a r ，b r 为非零向量，e r

为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ?=?=??r r r r r r r ；

()20a b a b ⊥??=r r r r ；()3()

()

a b a b a b a b a b ?

??=?-??

r r r r r r r r

r r 与同向与反向，2a a a ?=r r r

，a =r ； ()4cos ,a b a b a b

???=r r r r

r

r ．

13、量数乘积的运算律：()1a b b a ?=?r r r r ；()2()()()

a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

；

()3(

)

a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r ．

14、空间向量基本定理：若三个向量a r ，b r ，c r

不共面，则对空间任一向量p r ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++r r r r

．

15、三个向量a r ，b r ，c r

不共面，则所有空间向量组成的集合是

{}

,,,p p xa yb zc x y z R =++∈r r r r r ．这个集合可看作是由向量a r ，b r ，c r

生成的，

{

}

,,a b c r r r 称为空间的一个基底，a r ，b r ，c r

称为基向量．空间任意三个不共面的向量都

可以构成空间的一个基底．

16、设1e u r ，2e u u r ，3e u r

为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e u r ，2e u u r ，3e u r 的公共起点O 为原点，分别以1e u r ，2e u u r ，3e u r

的方向为x 轴，y 轴，z 轴的

正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p r

，一定可以把它平移，

使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =u u u r r

．存在有序实数组{},,x y z ，使得

123p xe ye ze =++u r u u r u r r

．把x ，y ，z 称作向量p r 在单位正交基底1e u r ，2e u u r ，3e u r 下的坐标，

记作(),,p x y z =r ．此时，向量p r

的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标

(),,x y z ．

17、设()111,,a x y z =r ，()222,,b x y z =r ，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++r

r ．

()2()121212,,a b x x y y z z -=---r

r ．

()3()111,,a x y z λλλλ=r

．

()4121212a b x x y y z z ?=++r

r ．

()5若a r 、b r

为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥??=?++=r r r r ．

()6若0b ≠r r ，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ?=?===r r r r

．

()

7a ==r ()

8cos ,a b a b a b ???==r r r

r r ． ()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则

d AB

=AB =

u u u r

18、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a r ，b r

，则////a b a b ??r r

()a b R λλ=∈r r

，异面垂直时0a b a b a b ⊥?⊥??=r r r r ．

19、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a r ，b r

，则////a b αβ??r r

a b λ=r r ，0a b a b αβ⊥?⊥??=r r

r r ．

20、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a r ，则向量a r

称为平面α的法向量．

21、法向量的定义：垂直于平面或者垂直于线的向量（方向不管）。

22、若直线a 的方向向量为a r ，平面α的法向量为n r ，且a α?，则////a a αα?r

0a n a n ?⊥??=r r r r ，//a a a n a n ααλ⊥?⊥??=r r r r r ．

★法向量的计算

方法一：已知),,(),,(222111z y x C A z y x B A ==ρρ

，,设面平ABC

的一个法向量为),,(z y x n =ρ，由n ρ

⊥面ABC 得所以：C A n B A n ρρρρ⊥⊥, ;

所以

0=?B A n ρρ

0=?C A n ρρ

即 0111=++zz yy xx 0222=++zz yy xx

上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取z （或x 或y ）等于一 个数，可求出另两个未知数，得出平面的一个法向量。

方法二：若),,(),,(222111z y x C A z y x B A ==ρρ

，，则平面ABC 的一个法向量为：

y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1

=?=C A B A n ρρρ

( )

y 2 z 2 ，z 2 x 2 ，x 2 y 2

=（y 1z 2-y 2z 1，z 1x 2-z 2x 1，x 1y 2-x 2y 1）

立体几何中的向量方法

------距离问题

一、求点到平面的距离 1．（一般）传统方法：

利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度；

?α

O

P

2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.

在PAO Rt ?中，

又|

|||sin n AP =

θ|

|n d =

∴（其中为斜向量，为法向量）

二、直线到平面的距离 转化为点到线的距离：

|

|n d =

（其中为斜向量，为法向量）

三、平面到平面的距离

也是转化为点到线的距离：

|

|n d =

为斜向量，为法向量）

四、异面直线的距离

如图，异面直线也是转化为点到线的距离：

|

|n d =

（其中为两条异面直线上各取一点组成的向量，是与,都垂直的向量） 例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题： （1） 求1B 到面BE A 1的距离；

解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则

),1,1,0(),0,2

1

,1(11-=-=∴A A ，设),,(z y x =为面BE A 1的法向量

则?????=-=+-??????=?=?0

210011z y y x A A 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴

x

θ

θsin |||

|sin AP d AP =?=

选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为3

211=

=d （2）求C D 1到面BE A 1的距离；

)2,2,1()1(:1=BE A 的法向量知平面由解

)0,0,1(11=D 斜向量 3

11111==

∴n

d BE A D 的距离为到面点 (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；

)1,1,1(:11-==AC n BD A 的法向量为由图知平面解

)0,0,1(11=A D 又斜向量 3

1

1111==

∴n

d BD A D 的距离为到面点 3

3111的距离为

与即面CB D BD A (4) 求异面直线B D 1与E A 1的距离.

xyz D -系如图建立空间直角坐标解:

)1,1,1(),0,2

1

,1(11-=-=∴D A

D A z y x 11,),,(是与设=都垂直的向量，则

?

?

?==??????=?=?x z x y B D n A 3200

11，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(= 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D

x

x

x

111

(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)

2

D B A

E 则