椭圆的离心率专题训练
椭圆的离心率专题训练（带详细解析)
一.选择题（共29小题)
1.（２０1５?潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若椭圆
Ｃ上恰好有６个不同的点P，使得△Ｆ1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是（)
Ａ.?B.C．D．
２．（2０15?河南模拟）在区间[１，5]和[2，４]分别取一个数,记为a，b，则方程
表示焦点在ｘ轴上且离心率小于的椭圆的概率为(）
A. B． C.?D.
３．（2０15?湖北校级模拟）已知椭圆（a>b＞0)上一点A关于原点的对称点为点
B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF＝α，且,则该椭圆离心率ｅ的取值范围为（)
A．?B．?Ｃ．?D．
４．(２015?西安校级三模)斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．Ｂ.?C.?Ｄ．
5．(201５?广西模拟）设椭圆C：=1（a＞b＞０)的左、右焦点分别为F1、F２，P是
C上的点,PＦ2⊥Ｆ1Ｆ2,∠PF1F２＝30°，则Ｃ的离心率为（)
A.?B．?C．?Ｄ．
6．（2015?绥化一模)已知椭圆，Ｆ1，F2为其左、右焦点，P为椭圆Ｃ上除长轴端点外的任一点,△Ｆ１PF2的重心为G，内心I,且有（其中λ
为实数）,椭圆C的离心率e=()
A．?B．?Ｃ． D.
7．(2０１５?长沙模拟)已知F1（﹣c，0），Ｆ2（ｃ,０）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）
Ａ.?B.?C．?D．
8.（２０15?朝阳二模）椭圆+=１(a＞b＞0）的左、右焦点分别是F１，F2，过F2作倾斜角为12０°的直线与椭圆的一个交点为Ｍ,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为( )
A.?
B.２﹣
C.2(2﹣)
D.
９.(２015?新余二模）椭圆Ｃ的两个焦点分别是F1，Ｆ2,若Ｃ上的点P满足
，则椭圆C的离心率e的取值范围是(）
Ａ.?Ｂ.
Ｃ． D.或
１0．（201５?怀化二模)设Ｆ1,F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2＝１20°，则椭圆的离心率的取值范围是(）
A.Ｂ．?Ｃ.?D.
11．(2015?南昌校级二模）设A1,A2分别为椭圆=1（a>b＞０）的左、右顶点,若在椭圆上存在点Ｐ，使得>﹣,则该椭圆的离心率的取值范围是( ）
A．（０，)?B．(０，) C.Ｄ．
12.（2015?宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F２，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若｜MF２|=|F1Ｆ2|，且|MＦ1|＝４，|NＦ1|＝３,则椭圆Г的离心率为（）
Ａ.?Ｂ. C. D.
1３．（2015?高安市校级模拟）椭圆C：＋=１(a＞b＞0)的左焦点为F,若F关于直线
ｘ+ｙ＝0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为( ）
A．?B．?Ｃ.?Ｄ．一l
１4.(２015?宁城县三模)已知Ｆ1，F2分别为椭圆+=1(a＞b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点,且ＰF２垂直于x轴．若｜Ｆ1F2|=２|ＰF2|,则该椭圆的离心率为（）
A．?B.Ｃ.?D．
１5．（2015?郑州二模）已知椭圆(a>ｂ>０）的两焦点分别是Ｆ１,F2，过Ｆ1的直
线交椭圆于Ｐ,Q两点，若|ＰF2|=|F１F2|，且2|ＰＦ１|=3|QF1|,则椭圆的离心率为(）A． B.?C.D．
１6．（2015?绍兴一模）已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2,O
为坐标原点，Ｍ为ｙ轴正半轴上一点，直线MF2交Ｃ于点Ａ，若F1A⊥ＭF２，且|MF２|＝2|O Ａ|，则椭圆C的离心率为(）
A．?Ｂ．Ｃ．?Ｄ．
17.（2０1５?兰州模拟)已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2,M是椭圆C上一点,且满足｜｜＝2||=2｜|，则椭圆的离心率e=(）
Ａ.?B.C．?D．
18．（2０1５?甘肃校级模拟)设F1，F2分别是椭圆＋＝1（a＞b＞0)的左右焦点,若在直线x=上存在点P,使△ＰF1Ｆ2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是( ）
A.(0,)?B．（0,) Ｃ．(,1）D．(,1）
19．(2０15?青羊区校级模拟)点Ｆ为椭圆+＝1(ａ>b＞0）的一个焦点,若椭圆上在点A
使△AOF为正三角形,那么椭圆的离心率为（）
Ａ． B.?C.D．﹣１
2０．(2015?包头一模)已知椭圆C:＝１(a>b>0)和圆O：x2+y2=b２，若C上存在点M，
过点Ｍ引圆O的两条切线，切点分别为Ｅ,F，使得△MEＦ为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（)
A．[,1)?B．[,1) Ｃ．[，1) D.（1,]
21．（２015?甘肃一模）在平面直角坐标系xOy中,以椭圆＋=１(a＞b>0）上的一点Ａ
为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点,与y轴相交于Ｂ,Ｃ两点,若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是( ）
A.（，)
B.(，1)?
C.(，1）?Ｄ.（0，）
２２.(2015?杭州一模)设F1、F2为椭圆Ｃ：+=1（a>b>0)的左、右焦点,直线l过焦点F
且与椭圆交于A，B两点，若△ＡBF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离２
心率为e，则e2=( )
Ａ.２﹣?B．3﹣?C．11﹣6D．9﹣6
2３．(２０１５?宜宾模拟）直线ｙ=kｘ与椭圆Ｃ：+=1(a＞b＞0)交于A、B两点，F 为椭圆C的左焦点，且?=0,若∠ABF∈(0，］,则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是( ）
A．(0,]?B．(０,]Ｃ.[，] D．［，1)
２4．(20１5?南宁三模）已知F1（﹣ｃ,0),F2（c,0）为椭圆=１(a＞ｂ＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2ｃ2，则此椭圆离心率的取值范围是()
A.[,]?Ｂ.（０，］?C.[，1)?D.［，］
25.（2015?张掖模拟)已知F1（﹣c，0），Ｆ2（c,０)是椭圆＝1(a＞b>0)的左右两个焦点，P为椭圆上的一点,且,则椭圆的离心率的取值范围为( ）
A． B.C． D.
２６.（2０15?永州一模）已知两定点Ａ(﹣1，０)和Ｂ（1，0),动点Ｐ（ｘ,ｙ）在直线ｌ：ｙ=x+2上移动，椭圆C以A,B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
Ａ． B.C． D.
27．(2０15?山东校级模拟）过椭圆+＝1（a＞b>0)的左顶点Ａ且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B,且点B在ｘ轴上的射影恰好为右焦点F，若0<ｋ＜,则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．（0，）?Ｂ.（，1）C．（0,)?D.(，1)
2８．（２0１5?鹰潭一模)已知椭圆Ｃ1:=1(a＞b＞0）与圆C２：x2+y2=ｂ2,若在椭圆C1上存在点P，过Ｐ作圆的切线PA，ＰB,切点为A,Ｂ使得∠BＰＡ=，则椭圆Ｃ1的离心率的取值范围是(）
A.?B．?C．?D．
29．(2015?江西校级二模）已知圆Ｏ1：(ｘ﹣2）2＋ｙ2＝16和圆Ｏ2：ｘ2+y2=ｒ2(0＜r＜２）,动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为ｅ１、e2(e1＞e2),则ｅ1＋２e2的最小值是（）
A.?
B.?Ｃ.Ｄ.
参考答案与试题解析
一．选择题（共2９小题)
1．(２０15?潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为Ｆ1,F2,若椭圆C
上恰好有6个不同的点P，使得△F１Ｆ２P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
A．?Ｂ．?Ｃ．?D.
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:分等腰三角形△F1Ｆ2P以Ｆ1Ｆ２为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.
解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时,
△F1Ｆ２P构成以Ｆ1Ｆ２为底边的等腰三角形,
此种情况有２个满足条件的等腰△F1F2Ｐ;
②当△F1F2Ｐ构成以F１F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∵F1F2＝Ｆ1Ｐ,
∴点P在以F1为圆心，半径为焦距２c的圆上
因此,当以Ｆ1为圆心,半径为２c的圆与椭圆Ｃ有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2Ｐ，
在△F1F2P1中，Ｆ1F2+PF1>PF2，即2c+２c＞2a﹣２ｃ，
由此得知3c>a.所以离心率e>．
当ｅ=时,△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠
同理，当Ｆ1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰
△F1F2P
这样,总共有６个不同的点P使得△F１F2P为等腰三角形
综上所述,离心率的取值范围是:e∈（,）∪（,1）
点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2Ｐ为等腰三角形，求椭
圆离心率e的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
2.(２015?河南模拟)在区间[1，5]和［２，4]分别取一个数,记为a,ｂ，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）
A.?B．C．?D.
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时,(a，b)点对应的平面图形的面积大小和区间[１,５］和[2，４]分别各取一个数(a,b)点对应的平面图形的面积大小,并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．
解答:
解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于,
∴a＞ｂ>０,a＜２b
它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
P=＝,
故选B.
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.
３．(2015?湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞０）上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，若AF⊥BF,设∠AＢF=α,且，则该椭圆离心率e的取
值范围为（）
Ａ.?B.C．?D.
考点: 椭圆的简单性质．
专题：三角函数的图像与性质;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点,进一步根据垂直的条件得到长方形,所以：ＡＢ＝NＦ,再根据椭圆的定义：|AF|+｜AN|＝2a，由离心率公式
e==由的范围,进一步求出结
论.
解答:
解：已知椭圆(ａ＞ｂ>０）上一点A关于原点的对称点为点B，Ｆ为其右
焦点，设左焦点为：Ｎ
则：连接AF，ＡN,AＦ，BF
所以:四边形AFNB为长方形.
根据椭圆的定义：|ＡF|＋｜AN|＝2a
∠ＡBF=α,则:∠ANF=α．
所以:2a=2ccosα+2csinα
利用e==
所以:
则:
即:椭圆离心率e的取值范围为[］
故选：A
点评：本题考查的知识点:椭圆的定义,三角函数关系式的恒等变换,利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型.
4．(2015?西安校级三模）斜率为的直线ｌ与椭圆交于不同的两点,且这两个交点在ｘ轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )
A. B.?C．?D．
考点: 椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.
专题: 计算题.
分析:
先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程,两边乘２a2b2,求得关于的方程求得e．
解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c
所以两个交点分别为（﹣ｃ，﹣c)(ｃ,c）
代入椭圆=1
两边乘2ａ2b2
则c2（2b2+a2)=2a2b2
∵ｂ2=a2﹣ｃ2
ｃ2(3a2﹣２c２)＝2a^4﹣２a２c2
2a＾4﹣5ａ2c2+2c^4=０
(2a2﹣c２)（a2﹣2c2）＝0
=2，或
∵０<ｅ＜1
所以e＝=
故选A
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了椭圆方程中a,b和c的关系．
5．(2０1５?广西模拟）设椭圆Ｃ:=1（ａ>b＞０)的左、右焦点分别为F1、F２，P是C上的点，PF２⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）
A.?
B.?C．?D．
考点: 椭圆的简单性质.
专题: 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设｜PF2|=ｘ,在直角三角形PF1F２中，依题意可求得｜PF1|与|Ｆ１Ｆ2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案.
解答：解:设｜PＦ2|=x,
∵ＰF2⊥F1F２,∠ＰF１F2＝３０°,