高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】4.4
§4.4函数y＝(ωx＋φ)的图象及应用
2019高考会这样考 1.考查函数y＝(ωx＋φ)的图象变换；2.结合三角恒等变换考查y＝(ωx ＋φ)的性质和应用；3.考查给出图象的解析式．
复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图，抓住函数y＝(ωx＋φ)的图象的特征；2.理解三种图象变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y＝(ωx＋φ)的性质．
1．用五点法画y＝(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．
如下表所示.
2.
3．图象的对称性
函数y＝(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
(1)函数y＝(ωx＋φ)的图象关于直线x＝(其中ω＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．
(2)函数y＝(ωx＋φ)的图象关于点(,0)(其中ω＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．
[难点正本疑点清源]
1．作图时应注意的两点
(1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根
据周期性作出整个函数的图象．
2．图象变换的两种方法的区别
由y＝x的图象，利用图象变换作函数y＝(ωx＋φ)(A>0，ω>0) (x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．
1．已知简谐运动f(x)＝2 (|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为．
答案6，
解析由题意知1＝2 φ，得φ＝，又|φ|<，
得φ＝；而此函数的最小正周期为T＝2π÷＝6.
2．(2019·浙江)把函数y＝2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()
答案 A
解析y＝2x＋1
y＝x＋1
y＝(x＋1)＋1y＝(x＋1)．
结合选项可知应选A.
3．(2019·大纲全国)设函数f(x)＝ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()
B．3 C．6 D．9
答案 C
解析由题意可知，＝(n∈N*)，
∴n·＝(n∈N*)，
∴ω＝6n (n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.
4．把函数y＝的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数
解析式为()
A．y＝B．y＝
C．y＝D．y＝
答案 D
解析将原函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝＝的图象；再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝的图象．
5. 已知简谐运动f(x)＝(ωx＋φ) (|φ|<)的部分图象如图所示，则该简谐
运动的最小正周期T和初相φ分别为()
A．T＝6π，φ＝B．T＝6π，φ＝
C．T＝6，φ＝D．T＝6，φ＝
答案 C
解析由图象易知A＝2，T＝6，∴ω＝，
又图象过(1,2)点，∴＝1，
∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝.
题型一函数y＝(ωx＋φ)的图象及变换
例1已知函数y＝2，
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2的图象可由y＝x的图象经过怎样的变换而得到．
思维启迪：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．
(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．
(3)只要看清由谁变换得到谁即可．
解(1)y＝2的振幅A＝2，周期T＝＝π，
初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2＝2 X.
列表，并描点画出图象：
(3)方法一把y＝x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝的图象，再把y＝的图
象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝的图象，最后把y＝上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2的图象．
方法二将y＝x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝2x 的图象；再将y＝2x的图象向左平移个单位，得到y＝2＝的图象；再将y＝的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2的图象．
探究提高(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．
已知函数f(x)＝3，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解(1)列表取值：
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
(2)先把y＝x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再
把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
题型二求函数y＝(ωx＋φ)的解析式
例2(1)(2019·江苏) 已知f(x)＝(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是．
(2)(2019·辽宁)已知函数f(x)＝(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()等
于()
A．2＋
D．2－
思维启迪：(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期；根据待定系数法求φ.
(2)将“ωx＋φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解．
答案(1)(2)B
解析(1)由题图知A＝，＝－＝，
∴T＝π，ω＝＝2.
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴函数解析式为f(x)＝，
∴f(0)＝＝.
(2)由图形知，T＝＝2(π－)＝，∴ω＝2.
由2×π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－π，k∈Z.
又∵|φ|＜，∴φ＝.由(2×0＋)＝1，
知A＝1，∴f(x)＝(2x＋)，
∴f()＝(2×＋)＝＝.
探究提高根据y＝(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；
②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；
③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：由函数y＝(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即
令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.
已知函数f(x)＝(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象
的一部分如图所示，则该函数的解析式为．
答案f(x)＝2
解析观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，
∴1＝2(ω·0＋φ)，即φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，
且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2.
题型三三角函数模型的应用
例3如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地
面的距离为0.8米，且每60秒转动一圈，图中与地面垂直，以
为始边，逆时针转动θ角到，设B点与地面间的距离为h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从开始转动，经过t秒到达，求h与t之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最
高点时所用的时间．
解(1)过点O作地面的平行线，过点B作的垂线交于
点M(如图)，
当θ>时，∠＝θ－，
h＝＋＋0.8
＝5.6＋4.8.
当0≤θ≤时，上式也成立．
∴h与θ间的函数关系式为h＝5.6＋4.8.
(2)点A在圆上转动的角速度是弧度/秒，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝5.6＋4.8，t∈[0，＋∞)．
首次到达最高点时，h＝10.4米，
即＝1，t－＝，
即t＝30秒时，该缆车首次到达最高点．
探究提高本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y＝x，y＝x等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．
如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近
似满足函数y＝(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象，可知从8～14时的图象是y＝(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∴＝14－8＝·，∴ω＝，
∴y＝10＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，
∴所求解析式为y＝10＋40，x∈[8,14]．
利用三角函数的性质求解析式
典例：(12分)如图为y＝(ωx＋φ)的图象的一段．
(1)求其解析式；
(2)若将y＝(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求
f(x)的对称轴方程．
审题视角(1)图象是y＝(ωx＋φ)的图象．(2)根据“五点法”作图的原则，M可以看作第一个零点；可以看作第二个零点．
规范解答
解(1)由图象知A＝，
以为第一个零点，为第二个零点．[2分]
列方程组错误!解之得错误![4分]
∴所求解析式为y＝.[6分]
(2)f(x)＝
＝，[8分]
令2x－＝＋kπ(k∈Z)，则x＝π＋(k∈Z)，[10分]
∴f(x)的对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)．[12分]
答题模板
第一步：根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点．
第二步：将“ωx＋φ”作为一个整体，找到对应的值．
第三步：列方程组求解．
第四步：写出所求的函数解析式．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及答题规范．
温馨提醒(1)求函数解析式要找准图象中的“五点”，利用方程求解ω，φ；(2)讨论性质时将ωx＋φ视为一个整体．
方法与技巧
1．五点法作函数图象及函数图象变换问题
(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点
法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．
(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经
常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
2．由图象确定函数解析式
由函数y＝(ωx＋φ)的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．3．对称问题
函数y＝(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)
的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．
失误与防范
1．由函数y＝x(x∈R)的图象经过变换得到函数y＝(ωx＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x前面的系数提取出来．
2．函数y＝(ωx＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．
3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．
A组专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．将函数y＝x的图象向左平移φ (0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝的图象，则φ等于
()
答案 D
解析将函数y＝x向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝(x＋φ)．只有φ＝π时有y ＝＝.
2．(2019·课标全国)已知ω>0，函数f(x)＝在上单调递减，则ω的取值范围是
()
D．(0,2]
答案 A
解析取ω＝，f(x)＝，
其减区间为，k∈Z，
显然?，k∈Z，
排除B，C.
取ω＝2，f(x)＝，
其减区间为，k∈Z，
显然 ，k∈Z，排除D.
3．将函数y＝(x＋φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ的一个可能取值是()
答案 D
解析图象F′对应的函数y′＝，
则＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
令k＝1时，φ＝，故选D.
4．若函数f(x)＝2(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则() A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝D．ω＝2，φ＝
答案 D
解析∵T＝π，∴ω＝2.
又2 φ＝，|φ|<，∴φ＝.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．函数y＝(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝.
答案 3
解析由图象可以看出T＝π，∴T＝π＝，因此ω＝3.
6．已知f(x)＝(ω>0)，＝，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝.
答案
解析依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－<，即ω<12，令k ＝0，
得ω＝.
7．设函数f(x)＝x－x，若0≤x≤2 011π，则函数f(x)的各极值之和为．
答案
解析 f ′(x )＝ x ＋ x ＝，令f ′(x )＝0，得x ＝－＋k π (k ∈Z )，∵f (x )＝， ∴＝ ＝＝－· k π，
当k 为奇数时，函数取得极大值； 当k 为偶数时，函数取得极小值－， ∵0≤x ≤2 011π，∴≤k ≤045,4)， ∴此函数在此区间上各极值的和为. 三、解答题(共22分)
8． (10分)(2019·陕西)函数f (x )＝＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间
的距离为.
(1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈，＝2，求α的值． 解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2， ∴函数f (x )的解析式为y ＝2＋1. (2)∵＝2＋1＝2， ∴＝.
∵0<α<，∴－<α－<， ∴α－＝，∴α＝.
9． (12分)已知函数f (x )＝2－(x ＋π)．
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若将f (x )的图象向右平移个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝＋ x ＝ x ＋ x ＝2x ＋12
x ))
＝2，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝＝2[＋]
＝2.
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴当x＋＝，即x＝时，＝1，g(x)取得最大值2.
当x＋＝，即x＝π时，＝－，g(x)取得最小值－1.
B组专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．函数y＝2x的图象向右平移φ (φ>0)个单位，得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值为()
πππD．以上都不对
答案 A
解析y＝2x的图象向右平移φ个单位得到y＝2(x－φ)的图象，又关于x＝对称，则2＝kπ＋(k∈Z)，2φ＝－kπ－(k∈Z)，取k＝－1，得φ＝π.
2．设ω>0，函数y＝(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是
()
D．3
答案 C
解析由函数向右平移个单位后与原图象重合，
得是此函数周期的整数倍．又ω>0，
∴·k＝，∴ω＝k(k∈Z)，∴ω＝.
3. 电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)
的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是()
A．－5安B．5安C．5安D．10安
答案 A
解析由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴I＝10(100πt＋φ)．
为五点中的第二个点，∴100π×＋φ＝.
∴φ＝.∴I＝10，
当t＝秒时，I＝－5安．
二、填空题(每小题5分，共15分)
4．若f(x)＝2(ωx＋φ)＋m对任意实数t都有＝，且＝－3，则实数m的值等于．答案－1或－5
解析依题意得，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，于是当x＝时，函数f(x)取得最值，因此有±2＋m＝－3，解得m＝－5或m＝－1.
5．已知函数f(x)＝(ωx＋φ) (ω>0，－≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)＝.
答案
解析据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝，又函数图象过点，故f(2)＝(π＋φ)＝－φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝. 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋(x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为℃.
答案20.5
解析由题意得错误!∴错误!
∴y＝23＋5，
x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
三、解答题
7．(13分)(2019·湖南)已知函数f(x)＝(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)
的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－的单调递增区间．
解(1)由题设图象知，周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2.因为点在函数图象上，
所以＝0，即＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0,1)在函数图象上，所以＝1，解得A＝2. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2.
(2)g(x)＝2－2
＝2 2x－2
＝2 2x－22x＋
3
22x))
＝2x－2x＝2.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.