三角形中位线培优复习
课题 三角形中位线培优 课时单编号：
教师姓名 班主任姓名 教学主管
日期 时间段 本次课时数 累计课时数
教学目标 1、 掌握三角形中位线的性质定理，用该定理解决简单的实际问题。
2、 三角形中位线的性质定理。
教学重点 三角形中位线的性质定理
教学难点 三角形中位线的构造、辅助线的添加是难点
教学方法 启发式、归纳总结、讲练结合
素材来源 教辅资料
教学步骤 教学内容 知识与方法
知识点梳理 一、知识点梳理：
1、三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段.
2、三角形中位线定理： ①三角形的中位线 于第三边（位置关系）
②三角形的中位线等于 （数量关系）
符号语言：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE)
∴DE//
二、专题讲解：常规辅助线的添加
方法一、【利用角平分线+垂直、必有等腰三角形】
例题1：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB的中点.
（1）求证：DE∥BC；（2）求证：DM=（BC-AC）/2
练习：如图，△ABC中，点M为△ABC的边BC的中点，AD为∠BAC的外角平分线，连接DM.（1）求证：MD∥AC；
（2）求证：DM=（AB+AC）/2
EDABCECABDMABCDFMECBAPFEDCBAFNMECBA例题2：BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M。
求证：MN∥BC
练习：如图，在∆ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME。
方法二、【取中点构造中位线】
例题1：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E、F、P分别为AB、CD、BD的中点，探索PF与EF的数量关系.
练习：如图，在∆ABC中，∠C=90°，CA=CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=2MN
NMDCBA例题2：如图，四边形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，边BD，若AB=10，CD=8，求MN的取值范围。
练习：已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE
的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．
方法三、【借助平行四边形的性质】
例题：如图，（1）E、F为△ABC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、FH并延长交于D， 连接AD、CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
练习：已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交
于G．求证：GF＝GC．
课后作业 课后作业
1.如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，BE平分∠ABC，AE⊥BE，点F为AC的中点，连接EF，求EF的长度.
3.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点。
求证：2AF= FC
EFBAC
专题02 直角三角形斜边上的中线(专项培优训练)(教师版)
专题02 直角三角形斜边上的中线（专项培优训练）
试卷满分：100分 考试时间：120分钟 难度系数：0.56
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC
中，∠ACB
＝90°，AB
＝10，BC
＝6．点F
是AB
中点，连接
CF
，把线段CF
沿射线BC
方向平移到DE
，点D
在AC
上．则线段CF
在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE
的周长和面积分别是（ ）
A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16
解：由平移的性质可知DF
∥CE
，DF
＝CE
，
∴四边形CFDE
是平行四边形，
在Rt△ABC
中，∠ACB
＝90°，AB
＝10，BC
＝6，
∴AC
＝＝＝8，
在Rt△ABC
中，∠ACB
＝90°，AB
＝10，点F
是AB
的中点，
∴CF
＝AB
＝5，
∵DF
∥CE
，点F
是AB
的中点，
∴＝＝，∠CDF
＝180°﹣∠ABC
＝90°，
∴点D
是AC
的中点，
∴CD
＝AC
＝4，
∵点F
是AB
的中点，点D
是AC
的中点，
∴DF
是Rt△ABC
的中位线，
∴DF
＝BC
＝3
，∴四边形CFDE
的周长为2（DF
+CF
）＝2×（5+3）＝16，
四边形CFDE
的面积为DF
•CD
＝3×4＝12．
故选：C
．
2．（2分）（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC
中，∠C
＝90°，AC
＝10，BC
＝8，线段DE
的两个端点
D
、E
分别在边AC
，BC
上滑动，且DE
＝6，若点M
、N
分别是DE
、AB
的中点，则MN
的最小值为（ ）
A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3
解：△ABC
中，∠C
＝90°，AC
＝10，BC
＝8，
∴AB
＝＝2，
∵DE
＝6，点M
、N
分别是DE
、AB
的中点，
∴CN
＝＝，CM
＝＝3，
当C
、M
、N
在同一直线上时，MN
取最小值，
∴MN
的最小值为：﹣3，
故选：B．3．（2分）（2023•海曙区校级一模）如图，△ABC
中，∠ACB
专题05 三角形中位线(知识点串讲)(解析版)
1
2 专题05 三角形中位线
重难突破
三角形中位线
1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
3．相关结论：顺次连接任意四边形中点所得到的四边形是平行四边形.（连接原四边形一条对角线，由中位线定理可证）
4．拓展：
①梯形的中位线等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）
②过三角形一边的中点作另一边的平行线，与第三边交于一点，则这两点之间的线段为三角形的中位线.
如图，
过△ABC的边AB的中点作平行于边BC的直线，交边AC于点E，则DE为△ABC的中位线.
典例1．（2018春•定兴县期末）如图所示，已知P、R分别是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐变小
C．不变 D．先增大，后变小
【答案】C 1
2 【解析】解：∵E、F分别是PA、PR的中点，
∴EFAR，
∴EF的长不变，
故选：C．
【点睛】根据三角形中位线定理得到EFAR，判断即可．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
典例2．（2018春•柳州期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC＝6，BC＝8，则MN＝___．
【答案】2
【解析】解：延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
在△BMC和△BMG中，
，
∴△BMC≌△BMG，
∴BG＝BC＝8，CM＝MG，
∴AG＝2，
同理，AH＝AC＝6，CN＝NH，
∴GH＝4， 1
2 ∴MNGH＝2，
故答案为：2．
【点睛】延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，证明△BMC≌△BMG，得到BG＝BC＝8，CM＝MG，同理得到AH＝AC＝6，CN＝NH，根据三角形中位线定理计算即可．
浙教版八年级下册第四章平行四边形 第2讲(平行四边形的判定及三角形中位线)培优讲义(含解析)
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
1 / 14 平行四边形 第2讲（平行四边形的判定及三角形中位线）
命题点一：平行四边形判定定理的应用
【思路点拨】
延长AC后，证明AD∥BC，然后转化为证明三角形全等，得到四边形对角线互相平分，从而证得四边形ABCD是平行四边形．在解决几何证明时，全等三角形是解题的有效手段．
例1如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F，若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.证明：四边形ABCD为平行四边形．
解：延长AC，在点C上方取点N，点A下方取点M，使AM＝AE，CN＝CF，则由已知可得PM＝PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．
∴∠M＝∠N，∠MEP＝∠NFP.
∴∠AEP＝∠PFC．
∴AD∥BC．
可证得△PAE≌△PCF，得PA＝PC，
再证△PED≌△PFB，得PB＝PD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
例2已知四边形ABCD是平行四边形，且满足AB＝BC，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.如图所示，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2 / 14 解：如图，连结EF，过点A作AH⊥EC于点H，
过点F作FG⊥EC于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝AC．
∵∠EAF＝∠BAC＝60°，
∴∠EAB＝∠FAC．
∵∠AEB＝∠ABH－∠EAB＝60°－15°＝45°，且AB∥CD，
∴∠AFC＝∠BAF＝60°－15°＝45°.
∴△ABE≌△ACF.
∴BE＝CF.
∵BH＝CH＝2，AH＝23，
∴EH＝AH＝23.
∴EB＝CF＝EH－BH＝23－2.
专题07 三角形中的中位线与中垂线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题07三角形中的中位线与中垂线模型
【模型1】三角形中位线如图，已知D、E分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得BCDEBCDE21,//且,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得ABCADESS41。
【模型2】梯形中位线如图，已知CDAB//，E、F分别为梯形两腰AD、BC的中点，根据梯形中位线的性质，可得)(21,////CDABEFEFCDAB且,
【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法
如图，在ABC中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作BCDE//，可知DE为ABC的中位线。【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法
如图，在ABC中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作BCDE//，可知BC为ADE的中位线。【模型3】中垂线模型如图，已知直线l是AB的垂直平分线，点A是直线l上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。
【例1】已知：ABC中，D为BC的中点，AG平分,BACCGAG于G，连结DG，若
6,4ABAC，求DG的长．
【答案】1DG
【分析】延长CG交AB于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据
三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC），从而得出DG的长．【解析】解：延长CG交AB于点E．
AG平分BAC，CGAG于G，
CGEG，4AEAC，2BEABAC，
∵CGEG=，D为BC的中点，112DGBE．
故答案为1DG.
【例2】如图，在菱形ABCD中，60ABC，点E、F分别为边BC、DC的中点，连接
EF，求证：3EFBE．
【答案】见解析
【分析】连接AC、BD，交于点O，根据三角形的中位线定理知EFBO，在菱形ABCD
中，60ABC，易知60BCO，解直角三角形OBC知BO=BC∙sin60°=3=32BCBE,
从而得证．
中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
1 / 15 中考复习之三角形中位线
定义：：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
一、与中点有关的概念
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半
二、常见的题型
题型一:求线段的长
例1、已知：如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.（1）若AC=10cm，则DE= 5 cm.
（2）若EF=6cm，则CB= 12 cm.
（3）若AB=10，AC=12，BC=8， 则△DEF的周长 15
练习：1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
2 / 15 的长是（ ）
A. 5cm B. 7cm C. 9cm D. 10cm
【答案】B
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【答案】C
3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ）
专题07 三角形中的中位线与中垂线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题07三角形中的中位线与中垂线模型
【模型1】三角形中位线
如图，已知D、E分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得
BCDEBCDE
21
,//且
,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得
ABCADESS
41。
【模型2】梯形中位线
如图，已知CDAB//
，E、F分别为梯形两腰AD、BC的中点，根据梯形中位线的性质，可得)(
21
,////CDABEFEFCDAB且,
【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法
如图，在ABC
中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作BCDE//
，可知DE为
ABC
的中位线。
【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法
如图，在ABC
中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作BCDE//
，可知BC
为ADE
的中位线。
【模型3】中垂线模型
如图，已知直线l
是AB的垂直平分线，点A是直线l
上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直
平分线的性质可得AB=AC。
【例1】已知：ABC
中，D为BC的中点，AG
平分,BACCGAG
于G
，连结DG
，若
6,4ABAC
，求DG的长．
【例2】如图，在菱形ABCD
中，60ABC，点
E、
F分别为边BC、DC
的中点，连接
EF，求证：
3EFBE．
【例3】已知：如图，在△ABC中，D在边AB上．
（1）若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD·AB；
（2）若E为CD中点，∠ACD=∠ABE，AB=3，AC=2，求BD的长．
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD
中，AC
与
BD交于点O，点E是BC边的中点，
1OE，则
AB
的长是（）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=2cm，
则AB的长为（）
A．4cmB．8cmC．2cmD．6cm
3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（）
A．2B．4C．8D．10
4．如图，在矩形ABCD
132 三角形的“四心”(培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接(解析版)
第1.3章 几何篇
1.3.2 三角形的“四心”
初中要求
了解三角形的外心、内心、重心的概念；
高中要求 掌握三角形外心、内心、重心的性质.
1.三角形的重心
(1)三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心．
点𝐷、𝐸、𝐹是中点，则点𝑂是∆𝐴𝐵𝐶的重心.
(2)三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点．
如上图，𝐴𝑂=2𝑂𝐷,𝐶𝑂=2𝑂𝐸,𝐵𝑂=2𝐷𝐹。
2.三角形的内心
(1)三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.
𝐴𝐷、𝐶𝐸、𝐵𝐹是角平分线，则点𝑂是∆𝐴𝐵𝐶的内心.
(2)三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
3.三角形的垂心
(1)三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.
(2)锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.
4.三角形的外心
(1)三角形三边的垂直平分线所在直线相交于一点，该点称为三角形的外心.
𝑂𝐸、𝑂𝐷、𝑂𝐹分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐴𝐶的垂直平分线，点𝑂是三角形的外心.
(2)三角形的外心到三个顶点的距离相等.
5.拓展
(1)等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一．因而在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，三角形的内心𝐼、重心𝐺、垂心𝐻必然在一条直线上．
(2)正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心.
【题型一】 三角形的“四心”的性质证明
【典题1】 求证𝐷、𝐸、𝐹分别为△𝐴𝐵𝐶三边𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵的中点， 𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹交于一点，且𝐴都被该点分成2:1.
证明
连结𝐷𝐸，设𝐴𝐷、𝐵𝐸交于点𝐺，
∵𝐷、𝐸分别为𝐵𝐶、𝐴𝐸的中点，则𝐷𝐸//𝐴𝐵，且𝐷𝐸=12𝐴𝐵，
专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型(专项练习)(培优篇)
CDEBA专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型
（专项练习）（培优篇）
知识储备：
1、模型一： 三垂直全等模型
图一
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA
2、拓展：模型二： 三等角全等模型
图二
如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA
一、单选题
1．如图，Rt△ABC中，△C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位线，点D在AB上，把点B绕点D按顺时针方向旋转α（0°
A．△△ B．△△ C．△△△ D．△△
二、填空题
2．如图，点A的坐标为4,0，点B的坐标为0,1，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰RtOBF△，等腰RtABE△，连接EF交y轴于P点，点P的坐标是______．
3．如图，AO△OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．
三、解答题
4．在RtAOB中，AOB90．
(1)如图△，以点A为直角顶点，AB为腰在AB右侧作等腰RtABC，过点C作CDOA交OA的延长线于点D．求证：AAOBCD≌．
(2)如图△，以AB为底边在AB左侧作等腰RtABC，连接OC，求AOC的度数．
(3)如图△，RtAOB中，,OAOBODAB,垂足为点D，以OB为边在OB左侧作等边OBC,连接AC交OD于E，2OE,求AC的长．
5．已知Rt△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE△AE，过点B作BD△AE，交AE的延长线于D．
（1）如图1，求证BD=AE；
（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求△EDH的度数；
平行四边形和三角形的中位线专题培优
--
-- 平行四边形和三角形的中位线（二)
1、如图，过□ABCD内一点P作边的平行线EF、GH，若S四边形PHCF＝5,Ｓ四边形ＰGAE=3，则S△PBD=____＿_＿＿_．
2、如图，□ABCD中,M、N分别是ＡＤ、ＡB上的点,且BM＝ＮD,其交点为Ｐ，求证：∠ＣPB＝∠ＣPD．
３、已知等腰△EAD和等腰△CAB,EA=ＥＤ，CA=CB，∠AED=∠ACB=α，以线段AC、AＥ为边作平行四边形ＡＣＦＥ,连接BF、DF.
(1）如图1，当α＝９0°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数；
（2）如图２，当０°
--
-- ４、如图1,在△OＡB中，∠OAB=900,∠AOB=300,OB＝８.以OB为边，在△OAB外作等边△ＯBC,D是ＯB的中点,连接AＤ并延长交OＣ于Ｅ.
(１）求证：四边形ＡBＣE是平行四边形；
(２)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求ＯG的长。
5、如图,△ＡＢC中,∠AＣB＝90°，CＤ⊥AB于D，AＥ平分∠BAC，交CＤ于Ｋ，交BC于E，F为BE上一点且BＦ＝CE，求证:FＫ∥ＡＢ.
6、四边形ABCD中,AＤ∥BC,(１)如图1,若Ｅ、F分别是AＢ、ＣD的中点，求证:EF=21(AD+BC）
(2）如图,2,若G、H分别是AＢ、CＤ的中点，求证：ＧＨ<21(AＢ+ＣD)
(3)如图3，连接AC、BＤ，若M、Ｎ分别是ＡC、BD的中点,求证：MN＜21(BC—ＡD)
--
--
7、如图,点Ｐ是四边形ＡＢＣD的对角线ＢD的中点,Ｅ，F分别是ＡB,CＤ的中点,AＤ=BC，∠ＣBD=45∘．∠ADＢ=105∘，试探究ＥF与PF之间的数量关系，并证明。
8、如图,将△ABＣ的边AＢ绕点A顺时针旋转角α得到线段AＤ，同时边ＡC绕点Ａ逆时针旋转角α得线段AE(α≠1８０°-∠BＡC)，连接BＤ、CE,分别作BＤ、ＢC、ＣE中点，Ｍ、P、N，连接MP、PN．
三角形中位线培优复习
1
课题 三角形中位线培优
教学目标 1、 掌握三角形中位线的性质定理，用该定理解决简单的实际问题。
2、 三角形中位线的性质定理。
教学重点 三角形中位线的性质定理
教学难点 三角形中位线的构造、辅助线的添加是难点
教学方法 启发式、归纳总结、讲练结合
教学步骤 教学内容 知识与方法
知识点梳理 一、知识点梳理：
1、三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段.
2、三角形中位线定理： ①三角形的中位线 于第三边（位置关系）
②三角形的中位线等于 （数量关系）
符号语言：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE)
∴DE//
二、专题讲解：常规辅助线的添加
方法一、【利用角平分线+垂直、必有等腰三角形】
例题1：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB的中点.
（1）求证：DE∥BC；（2）求证：DM=（BC-AC）/2
练习：如图，△ABC中，点M为△ABC的边BC的中点，AD为∠BAC的外角平分线，连接DM.（1）求证：MD∥AC；
（2）求证：DM=（AB+AC）/2
例题2：BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M。
EDABCECABDMABCD
2
FMECBAPFEDCBAFNMECBA求证：MN∥BC
练习：如图，在∆ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME。