知识讲解_三角函数的概念

三角函数的概念

【考纲要求】

1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.

2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.

3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.

4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题. 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、角的概念与推广

1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：

与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2

k k k Z π

βπβπ<<+∈

第二象限角的集合：{|

22,}2

k k k Z π

βπβππ+<<+∈

第三象限角的集合：3{|22,}2

k k k Z πβππβπ+<<+∈

第四象限角的集合：3{|

222,}2

k k k Z πβπβππ+<<+∈

终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈

三角函数的概念

角的概念的推广、弧度制

正弦、余弦的诱导公式

同角三角函数的基本关系式

任意角的三角函数

终边在y 轴上的角的集合：{|,}2

k k Z π

ββπ=+∈

终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2

k k Z πββ=∈

要点诠释：

要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制

1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=?，扇形面积2

112

2

S lr r

α==

扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.

2．角度制与弧度制的换算：

180π=；180

10.017451(

)57.305718'180

r a d r a d r a d π

π

=

≈=≈=；

要点诠释：

要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数

1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r O P ==

则s in y r

α=

, c o s x r

α=

, ta n y x

α=

，c o t x y

α=

，s e c r x

α=，c s c r y

α=.

2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段M P ，O M ，A T 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.

3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是

{|,}2

k k Z π

ααπ≠+

∈；co t y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.

4. 三角函数值在各个象限内的符号：

要点诠释：

①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.

②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 考点四、同角三角函数间的基本关系式

1. 平方关系：2

2

22

22

s in c o s 1;s e c 1ta n ;

c s c 1c o t α+α=α=+αα=+α.

2. 商数关系：s in c o s ta n ;

c o t c o s s in ααα=

α=

α

α

.

3. 倒数关系：tan co t 1;sin csc 1;co s sec 1α?α=αα=α?α=

要点诠释：

①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.

②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如22

1sin c o s =α+α，

2

2

1s e c ta n ta n 45=α-α==

，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法

及方程思想的运用. 考点五、诱导公式

1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.

2.

απ

±2，

απ±2

3的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在

象限的符号. 要点诠释：

诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为0

90角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和

记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2

π

的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行

记忆.

【典型例题】

类型一、角的相关概念 例1.已知θ是第三象限角,求角2

θ

的终边所处的位置.

【答案】

2

θ

是第二或第四象限角

【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2

k k k Z πππθπ+<<+

∈，

∴3,22

4k k k Z π

θ

πππ+

<

<+

∈,

当2k n =时，322,22

4

n n n Z πθ

πππ+<

<+

∈,

∴

2

θ

是第二象限角，

当21k n =+时，3722,22

4

n n n Z πθ

πππ+<

<+

∈,

∴2

θ

是第四象限角， ∴

2

θ

是第二或第四象限角.

方法二：

由图知:

2

θ

的终边落在二，四象限.

【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2

θ

是第二象限角，其错误原因为认

为第三象限角的范围是3(,

)2

ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．

（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断n

θ

，(*

n N ∈)

是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角n

θ

(*

n N ∈)终边所在的范围。

如：k=3，如下图中标有号码3的区域就是

2

θ

终边所在位置．

举一反三：

【变式1】已知θ是第二象限角,求角3

θ

的终边所处的位置.

【答案】

3

θ

是第一或第二或第四象限角

【解析】方法一：∵θ是第二象限角，即22,2

k k k Z π

πθππ+

<<+∈，

∴

22,36

3

3

3

k k k Z π

θ

π

ππ?+

<

<

?+∈,

当3k n =时，22,6

3

3

n n k Z π

θ

π

ππ+<

<+

∈,

∴

3

θ

是第一象限角，

当31k n =+时，522,63

n n k Z πθ

πππ+<

<+∈,

∴

3

θ

是第二象限角，

当32k n =+时，3522,23

3

n n k Z πθ

πππ+<

<+

∈,

∴3

θ

是第四象限角，

∴

3

θ

是第一或第二或第四象限角.

方法二：

k=2，如下图中标有号码2的区域就是

3

θ

终边所在位置．

由图知：3

θ

的终边落在一，二，四象限.

【变式2】已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm ）. 【答案】29cm.

类型二、任意角的三角函数

例2. 若sin co s 0θθ>，则角θ在 象限. 【答案】第一或第三 【解析】

方法一：由sin co s 0θθ>知（1）sin 0c o s 0

θθ>??

>?或（2）sin 0c o s 0

θθ

由（1）知θ在第一象限，由（2）知θ在第三象限， 所以θ在第一或第三象限.

方法二：由sin co s 0θθ>有sin 20θ>，

所以()222k k k Z πθππ<<+∈, 即()2

k k k

Z

π

πθπ<<+

∈

当2()k n n Z =∈时，θ为第一象限，当21()k n n Z =+∈时，θ为第三象限 故θ为第一或第三象限.

方法三：分别令57116666

π

θπππ=

、、、，代入sin cos 0θθ>，

只有6

πθ=

、76

θπ=

满足条件，

所以θ为第一或第三象限.

【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题. 举一反三： 【变式1】确定

ta n (3).sin 5

c o s 1

-的符号.

【答案】原式小于零

【解析】因为3,5,1-分别是第三、第四、第一象限的角，所以ta n (3)0->，sin 50<，co s 10>，

所以原式小于零.

【变式2】已知tan co s >0αα?，ta n 0s in αα

<，则α是第 象限角.

【答案】二 【解析】∵

ta n 10sin c o s αα

α

=

<，∴co s 0α<，tan 0α<，则α是第二象限角.

【变式3】求

sin |c o s |ta n |sin |

c o s |ta n |

x x x x x

x +

+

的值.

【答案】当x 为第一象限角时，值为3；当x 为第二、三、四象限角时，值为-1.

例 3.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为射线430(0)x y x +=>，则

2

s i n (s i n c o t )c o s αααα++

的值是（ ）

1.

5

A 2.

5

B 8.

5

C 9.

5

D

【答案】C

【解析】在角α的终边上任取一点(3,4)P -，则有5r =， 则原式44398()554

25

5

--=

?++

=-，故选C .

举一反三：

【变式】已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求sin α、c o s α、tan α的值

【解析】|r a =

=

（1）当0a >时，r =，∴s in 5α=，c o s 5

α=，tan 2α=；

（2）当0a <时，r =，∴s in 5α=-，c o s 5

α=-

，tan 2α=.

类型三、诱导公式 例4.已知3

3)6cos(

=

α-π，求)6

(sin

)6

5cos(

2

π-

α-α+π的值.

【答案】3

-

【解析】)6

(sin )6

5cos(

2

π-

α-α+π2

c o s [(

)]s in [(

)]6

6

π

π

παα=-----

2

2

c o s (

)s in (

)c o s (

)[1c o s (

)]6

6

6

6

π

π

π

π

αααα=----=-----

113

3

3

=-

-+

=-

.

举一反三：

【变式1】计算：sin 330co s 240+ 【答案】1-

【解析】原式sin (36030)c o s(180+60=sin 30c o s 601=-+--=-）

.

【变式2】化简s in ()c o s ()4

4

π

π

αα-++

.

【答案】0

【解析】原式sin ()c o s

()sin ()sin ()04

2444π

π

πππαααα??=-

++-=---=????

. 类型四、同角三角函数的基本关系式 例5．已知1sin c o s 5

ββ+=，且0βπ<<．求sin c o s ββ、sin co s ββ-的值；

【答案】1225

-

；

75

【解析】方法一：由1sin c o s 5

ββ+=

可得：22

1s in 2s in c o s c o s 25

ββββ++=

，

即112s in c o s 25

ββ+=，∴12s in c o s 25

ββ=-

∵1sin c o s 5

ββ+=

，12s in c o s 25

ββ=-

∴sin β、c o s β是方程2

11205

25

x x -

-

=的两根，

∴4s in 53c o s 5ββ?=????=-??或3s in 54c o s 5ββ?

=-????=

??

∵0βπ<<， ∴sin 0β>， ∴4s in 5

β=

，3c o s 5

β=-

，

∴7sin c o s 5

ββ-=

方法二：由1sin c o s 5

ββ+=可得：22

1s in 2s in c o s c o s 25

ββββ++=

，

即112s in c o s 25

ββ+=，∴12s in c o s 25

ββ=-

∵0βπ<<，∴sin 0β>，∴c o s 0β<，∴sin co s 0ββ->

由

2

1249sin c o s 12sin c o s 1225

25

ββββ-=-=+?=

（）

∴7sin c o s 5

ββ-=

举一反三：

【变式】已知sin c o s 2

αα+=，求

2

2

11sin c o s α

α

+

的值.

【答案】16

【解析】由s in c o s 2

αα+=

可得：221s in 2s in c o s c o s 12s in c o s 2

αααααα++=+=；

于是1s in c o s 4

αα=-

，

∴

2

2

2

2

2

2

11s in c o s 16s in c o s s in c o s ααα

α

αα

++

=

=．

例6．已知2sin co s 0αα+=，求下列各式的值 （1）

4sin 3c o s 2sin 5c o s αααα

-+ ；（2）22

2sin 3sin c o s 5c o s αααα--

【答案】54

-；125

-

【解析】由2sin co s 0αα+=得1ta n 2

α=-

，

（1）原式4s in 3c o s c o s 2s in 5c o s c o s αα

αααα

-=

+4ta n 353ta n 54

αα-==-+；

（2）原式22

2

2

112c o s (2ta n 3ta n 5)(2ta n 3ta n 5)1ta n 5

αααααα

=--=--=-

+

举一反三：

【变式】已知tan 2α=-，求值 （1）

sin c o s sin c o s αααα

+- ；（2）

2

1

2s in c o s c o s ααα

+

【答案】13

；53

-

【解析】

（1）原式s in c o s c o s s in c o s c o s αα

αααα

+=

-ta n 11ta n 13

αα+==-； （2）原式2

2

2

1

2s in c o s c o s c o s (

)

c o s ααα

αα

=

+

2

1ta n 52ta n 1

3

αα+=

=-

+